AD2_Met Est I_GABARITO

Prévia do material em texto

MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
AVALIAÇÃO À DISTÂNCA 2 - AD2
1o Semestre de 2020
Prof. Moisés Lima de Menezes
(POSTAGEM em pdf até o dia 03 de maio de 2020)
GABARITO
1. (5,0 pontos) Pessoas andando na rua foram questionadas sobre o que elas preferem fazer em
seus horários vagos. Foram fixadas algumas atividades e os que responderam dentro destas
atividades estão listados na tabela abaixo:
Faixa Etária/Atividade Ler Assistir TV Praticar Esportes Total
Menos de 20 anos 5 20 15 40
De 20 a 25 anos 10 30 20 60
De 26 a 33 anos 25 15 10 50
Mais de 33 anos 30 15 25 70
Total 70 80 70 220
Suponha que uma das pessoas que responderam dentre estes itens da tabela seja sorteada ao
acaso:
(a) Qual a probabilidade de ela ter no máximo 33 anos?
(b) Qual a probabilidade de ela ter mais de 33 anos e preferir ler nas horas vagas?
(c) Qual a probabilidade de ela não preferir praticar esportes ou ter entre 20 e 25 anos?
(d) Qual a probabilidade de ela preferir assistir TV, dado que tem 25 anos ou menos?
(e) Os eventos: “ter de 26 a 33 anos” e “preferir ler ” são independentes?
2. (5,0 pontos) 20% das lâmpadas utilizadas em uma empresa são de origem do fabricante A .
Mais 30% são do fabricante B , outras 25%, do fabricante C e as demais 25%, do fabricante
D . Sabe-se de antemão que a vida útil destas lâmpadas é de seis meses. Sabe-se também que há
um percentual de lâmpadas que duram apenas 1/3 do que deveriam durar. Para cada fabricante,
este percentual é de 3%, 2,5%, 3% e 3,5% para os fabricantes A , B , C e D , respectivamente.
O Presidente desta empresa percebeu que muitas lâmpadas andam queimando antes do tempo e
resolveu averiguar. Assuma que uma lâmpada será sorteada aleatoriamente e seu tempo de vida
útil verificado.
(a) Qual é a probabilidade de que o seu tempo de vida útil seja de seis meses?
(b) Se foi verificado que o seu tempo de vida útil foi de apenas dois meses, qual a probabilidade
de que esta lâmpada tenha sido produzida pelo fabricante C?
1
Solução:
1. (a) A soma das pessoas que tem no máximo 33 anos de idade é igual à (40 + 60 + 50 = 150) .
Assim:
P (≤ 33) = 150
220
= 0,6818.
(b) Neste caso, estamos interessados na interseção entre os dois eventos.
P (> 33 ∩ Ler) = 30
220
= 0,1363.
(c) Na ocasião, “não praticar esportes” pode ser visto como “ler ou assistir TV”. Desta forma:
Considere os eventos:
A: Preferir assistir TV
B: Preferir Ler
C: Prefereir praticar esportes
X: ter entre 20 e 25 anos
P (C̄ ∪X) = P (C̄) + P (X)− P (C̄ ∩X) = (70 + 80)
220
+
60
220
− (10 + 30)
220
=
150
220
+
60
220
− 40
220
=
150 + 60− 40
220
=
170
220
= 0,7727.
(d) Probabilidade condicional.
P (TV | ≤ 25) = P (TV ∩ ≤ 25)
P (≤ 25)
=
(20+30)
220
(60+40)
220
=
50
220
100
220
=
50
100
= 0,5.
(e) Para verificar a independência, é necessário ver a probabilidade da interseção e o produto
das probabilidades. Se P (A∩B) = P (A)P (B) , então os eventos A e B são independentes.
Considere os eventos:
A: A pessoa tem de 26 a 33 anos
B: A pessoa prefere ler nas horas vagas
P (A ∩B) = 25
220
= 0, 1136.
Por outro lado,
P (A)P (B) =
50
220
× 70
220
= 0, 2272× 0, 3181 = 0, 0722.
Como pode-se obsevar, 0, 1136 6= 0, 0772 .
Desta forma:
P (A ∩B) 6= P (A)P (B).
Logo:
“NÃO SÃO INDEPENDENTES”.
2
2. Considere os seguintes eventos e suas respectivas probabilidades obtidas do enunciado do prob-
lema:
P (A) = 0, 20 , P (B) = 0, 30 , P (C) = 0, 25 , P (D) = 0, 25 são as probabilidades de as
lâmpadas terem sido originadas destes fabricantes.
Considerando defeituosas (F ) as lâmpadas que duram menos que o esperado, então temos as
seguintes probabilidades: P (F |A) = 0, 03 , P (F |B) = 0, 025 , P (F |C) = 0, 03 , P (F |D) =
0, 035
(a) Para a solução deste item, usaremos o “Teorema da Probabilidade Total”:
Considere P o evento: A lâmpada é perfeita e sua duração é de seis meses.
Assim: P (P |A) = 0, 97 , P (P |B) = 0, 975 , P (P |C) = 0, 97 , P (P |D) = 0, 965 . Logo:
P (P ) = P (A)P (P |A) + P (B)P (P |B) + P (C)P (P |C) + P (D)P (P |D)
= (0, 20× 0, 97) + (0, 30× 0, 975) + (0, 25× 0, 97) + (0, 25× 0, 965)
= 0, 194 + 0, 2925 + 0, 2425 + 0, 24125
= 0,97025.
(b) Este é um problema do “Teorema de Bayes”.
P (C|F ) = P (C)P (F |C)
P (F )
Temos que P (F ) = 1− P (P ) . Assim: P (F ) = 1− 0, 97025 = 0, 02975.
Logo:
P (C|F ) = 0, 25× 0, 03
0, 02975
=
0, 0075
0, 02975
= 0,2521.
3