EM406_cap01_1S2020

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©2004 by Pearson Education 1-1 
 
UNICAMP-FEM-DMC 
Prof. José Maria Santos 
EM406-ResMat I 
 
Textos de 
R.C. Hibbeler 
Resistência dos Materiais, 5ª ed. 
Capitulo 1 - Tensão 
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Os parafusos usados para 
as conexões desta 
estrutura de aço estão 
submetidos a um estado 
de tensão. 
 
Neste Capítulo nós 
discutiremos como os 
engenheiros projetam 
estas conexões e as suas 
fixações. 
Objetivos do Capítulo 
• Neste Capítulo revisaremos alguns dos princípios 
importantes da Estática e mostraremos como eles 
são usados para determinar as resultantes internas 
do carregamento de um corpo. 
• Depois os conceitos de tensão normal e tensão de 
cisalhamento serão introduzidos e aplicações 
específicas de análise e projeto de peças sujeitas a 
uma carga axial ou cisalhamento direto serão 
discutidas. 
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Introdução 
• A resistência dos materiais ou mecânica dos materiais é 
um ramo da mecânica que estuda os efeitos internos da 
tensão e deformação em um corpo solido. 
• A tensão esta associada com a resistência do material que o 
corpo é feito, enquanto a deformação é uma medida de 
quanto o corpo se deformou. 
• Um entendimento pleno dos fundamentos deste assunto é de 
vital importância para o projeto de qualquer máquina ou 
estrutura, pois muitas das fórmulas e regras de projeto 
citadas nas normas de engenharia estão baseadas neste 
assunto. 
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Histórico 
• A origem da resistência dos materiais 
data de antes do início do Século 17 
quando Galileo Galilei realizou 
experimentos para estudar os efeitos 
das cargas em barras e vigas feitas 
com vários materiais. 
1-5 
Histórico 
• Contudo, nenhum 
desenvolvimento aconteceu 
até o início do Século 19 
quando os métodos 
experimentais para teste dos 
materiais estavam plenamente 
melhorados. 
• Nesta época muitos estudos 
experimentais e teóricos sobre 
este assunto foram realizados, 
primcipalmente na França, por 
notáveis tais como Saint-
Venant, Poisson, Lamé, e 
Navier. 1-6 
Histórico 
• Através dos anos, após muitos 
problemas fundamentais terem 
sido resolvidos, tornou-se 
necessário usar matemática 
avançada e técnicas 
computacionais para resolver 
problemas mais complexos. 
• Como resultado, a resistência dos 
materiais teve de se expandir em 
outras áreas da mecânica, tais 
como a teoria da elasticidade e a 
teoria da plasticidade. 
1-7 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
• Como a Estática é importante para ambos o 
desenvolvimento e a aplicação da resistência dos materiais, 
é muito importante entender bem os seus fundamentos. 
• Importantes princípios da estática: 
 
Cargas. Um corpo pode esta sujeito a ambos: cargas de 
superfície e forças de corpo. 
• Cargas de superfície que atuam sobre uma pequena área de 
contato são chamadas de forças concentradas, enquanto 
carregamentos distribuídos atuam sobre uma grande área 
da superfície do corpo. 
1-8 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
• Quando o carregamento é coplanar (Fig. 1–1a), a resultante 
da força FR de um carregamento distribuído é igual a área sob 
o diagrama do carregamento, e atua através do centroide desta 
área. 
 
 
 
 
 
 
1-9 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
• Uma força de corpo é desenvolvida quando um corpo 
exerce uma força sobre um outro sem contato físico entre 
eles. Ex: Força gravitacional, forças magnéticas, etc. 
 
• Embora estas forças afetem todas as partículas que compõe 
o corpo, elas são normalmente representadas por uma única 
força concentrada atuando no corpo. 
• No caso gravitacional, esta força é chamada de peso (W) do 
corpo e atua através do centro de gravidade do corpo. 
1-10 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
• Reações de Apoio. Como regra geral, se o apoio impede a 
translação em uma dada direção, então deve existir uma 
força sobre o membro naquela direção. Igualmente, se um 
rotação é impedida, então deve existir um momento sobre 
o membro. 
1-11 
Muitos elementos de 
maquinas são conectados 
por pinos a fim de 
permitir movimento de 
rotação livre nas 
conexões. Este suporte 
exerce uma força no 
elemento, mas não exerce 
momento. 
1-12 
Corpos sujeitos a um sistema de forças coplanares, as reações de apoio 
mais comumente encontradas estão mostradas na Tabela 1–1. 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
Equações de Equilíbrio. O equilíbrio de um corpo exige um 
equilíbrio de forças, para impedir a translação ou um 
movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória reta 
ou curva, e um equilíbrio de momentos , para impedir a rotação 
do corpo. 
Matematicamente, em equações vetoriais 
 
 
ou na forma escalar 
 
 
Para um sistema coplanar, 
 
1-13 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
• Para a aplicação das Equações de Equilíbrio devem ser 
incluídas todas as forças conhecidas e desconhecidas 
(incógnitas) que atuam sobre o corpo, a melhor forma de 
fazer isso é através do Diagrama de Corpo Livre (DCL). 
• Para o corpo da Figura 1-1a o DCL será como mostrado na 
Figura 1-1b. 
1-14 
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Para projetar as vigas desta estrutura, é necessário determinar os 
carregamentos internos em vários pontos ao longo de seus comprimentos. 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
Resultantes das Cargas Internas. Em RM a estática é usada 
principalmente para determinar as resultantes dos carregamentos que atuam 
dentro do corpo. Isto é feito usando o método das seções (Figura 1-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Embora a distribuição exata desta carregamento interno possa ser 
desconhecido, suas resultantes FR and MRO, Fig. 1–2c, são determinados 
aplicando-se as equações de equilíbrio ao segmento mostrado na Fig. 1–2c. 
1-16 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
• Para aplicações futuras nós consideramos as componentes de 
FR e MRO atuando nas direções normal e tangencial à área 
seccionada, Fig. 1–2d. 
1-17 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
• 04 tipos diferentes de carregamentos resultantes podem ser 
definidos como as seguir: 
• Força normal, N 
• Força de cisalhamento, V 
• Momento de torção ou torque, T 
• Momento de flexão, M 
 
1-18 
Equilíbrio de um Corpo Deformável 
Carregamento Coplanar 
 
• 03 tipos diferentes de carregamentos resultantes podem ser 
definidos: 
• Força Normal, N 
• Força de Cisalhamento, V 
• Momento de Flexão, M 
1-19 
20 
Convenção de Sinais 
• A convenção de sinais para as forças internas 
diferem daquelas das forças externas, onde 
teremos: 
1-21 
Exemplo 1 - Determine a resultante dos 
carregamentos internos atuando na seção 
transversal em C da viga cantilever (engastada-
livre) mostrada na figura. 
Solução: 
1 – Reações nos Apoios (DCL): 
Neste caso não será necessário calcular as 
reações em A se considerarmos o segmento CB 
da estrutura. 
2 – Seção (DCL): O DCL do segmento CB 
esta mostrado na fig (b) . Importante: 
• Indicar as resultantes dos carregamentos 
internos na seção. 
• Manter o carregamento distribuído até a 
seção e calcular e em seguida calcular a 
sua resultante (área do carregamento) e 
posição (centroide). 
3 – Equações de Equilíbrio: 
1-22 
Exemplo 1 - Determine a resultante dos 
carregamentos internos atuando na seção 
transversal em C da viga cantilever 
(engastada-livre) mostrada na figura. 
Solução: 
3 – Equações de Equilíbrio: 
 
 
 
 
 
Tente resolver o problema usando o 
segmento AC ! Primeiro determine as reações 
que são mostradas na Fig (c). 
Exemplo 2 – Um motor de 500 kg esta 
suspenso na lança de um guincho na fig. 
(a). Determine as forças internas atuando 
na seção transversal da lança no ponto E. 
Solução: 
1 – Reações nos Apoios (DCL): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Método da Seção: 
 
Exemplo 2 – Um motor de 500 kg esta 
suspenso na lança de um guincho na fig. 
(a). Determine as forças internasatuando 
na seção transversal da lança no ponto E. 
Solução: 
3 – Equações de Equilíbrio: 
• Força Normal 
 
 
 
• Força Cortante 
 
 
 
• Momento Fletor 
 
Exemplo 3 –Determine as forças internas 
atuando na seção transversal da viga no 
ponto B do tubo mostrada na fig. (a). 
Solução: 
1 – Reações nos Apoios (DCL): 
Não precisamos das reações usando o 
segmento AB. 
 
2 – Seção (DCL) e Equilibrio: 
 
• Força Cortante (direção x) 
 
 
• Força Normal (direção y) 
 
 
• Força cortante (direção z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 –Determine as forças internas 
atuando na seção transversal da viga no 
ponto B do tubo mostrada na fig. (a). 
Solução: 
2 – Seção (DCL) e Equilibrio: 
 
• Momento Fletor (em torno de x) 
 
 
 
• Momento Torsor (em torno de y) 
 
 
 
• Momento Fletor (em torno de z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão 
Vimos que a força e o momento atuando em um ponto específico O sobre 
uma área secionada do corpo (Figura 1-8) representa os efeitos resultantes 
da distribuição do carregamento que atua na área secionada (Figura 1-9a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obter esta distribuição do carregamento é de suma importância para a 
resistência dos materiais. Para isso, precisamos estabelecer o conceito de 
tensão. 
1-27 
Tensão 
Considere que a área secionada está subdividida em 
pequenas áreas A (azul mais escuro na Fig. 1–9a). 
Quando reduzimos A a tamanhos cada vez menores, 
fazemos 2 hipóteses sobre as propriedades do 
material: 
1. Contínuo: consiste de um material que tem 
continuidade ou distribuição uniforme da matéria 
sem vazios. 
2. Coeso: significa que todas as suas partes estão 
conectadas, sem ter quebras, trincas ou 
separações. 
Na Fig. 1-9a uma força finita muito pequena F 
agindo sobre a área A é mostrada com suas 3 
componentes Fx , Fy e Fz . 
Quando A  0  F  0, mas o cociente 
(F/A)  limite finito chamado de tensão. 
1-28 
Tensão 
A tensão descreve a intensidade da força interna 
atuando sobre um plano específico (área) que passa 
por um ponto. 
Tensão Normal. A intensidade da força atuando 
normal a A é referida como a tensão normal (), 
como Fz é normal a área teremos: 
 
 
Se a força ou a tensão normal “puxa” A ela é uma 
tensão de tração se ela “empurra” A ela é uma 
tensão de compressão. 
Tensão de Cisalhamento. A intensidade da força 
atuando tangente a A é referida como a tensão de 
cisalhamento (), aqui temos duas componentes: 
1-29 
Tensão 
Notação. O índice z indica a direção da normal à área 
e os índices x e y os eixos ao longo dos quais as 
tensões de cisalhamento atuam (Fig. 1-10). 
 
1-30 
Estado Geral de Tensão. Se o corpo for adicionalmente secionado por 
planos paralelos ao plano x z (Fig. 1-9b) e o plano y z (Fig. 1-9c) podemos 
obter um elemento de volume cubico que representa o estado de tensões em 
em um ponto do corpo, caracterizado por 9 componentes (Fig. 1-11). 
Estado Geral de Tensão 
1-31 
Estado Geral de Tensão. O estado de tensões em um ponto do corpo é 
caracterizado por 9 componentes que podem ser escritas na forma de um 
tensor das tensões como: 
Tensão normal média em uma barra com 
carga axial 
• Vamos determinar a distribuição de tensões 
normal média atuando sobre uma área da seção 
transversal de uma barra com carga axial (Fig. 1-
12a). 
• A seção transversal é perpendicular a linha de 
centro da barra e como esta é prismática todas as 
seções serão a mesma ao longo da barra. 
• O material da barra é: 
– Homogêneo, tem as mesmas propriedades físicas e 
mecânicas através do seu volume; 
– Isotrópico, tem as mesmas propriedades em todas as 
direções. 
• Quando a carga P é aplicada na barra através do 
centroide da área de seção transversal, a barra 
deformará uniformemente através da região 
central do seu comprimento (Fig. 1-12b). 
 
1-32 
Tensão normal média em uma barra com 
carga axial 
OBSERVAÇÕES: 
• Muitos materiais de engenharia podem ser 
aproximados como sendo homogêneos e 
isotrópicos. 
Exemplo: Aço, contém milhares de cristais orientados 
aleatoriamente em cada milímetro cúbico de seu 
volume, como muitos objetos feitos de aço tem tamanho 
físico muito maior do que um único cristal, a hipótese 
proposta relativa a composição do material é bastante 
realística. 
• Materiais anisotrópicos, tais como a madeira, tem 
propriedades diferentes em diferentes direções e 
ainda que este seja o caso, se as fibras da madeira 
estão orientadas ao longo do eixo axial da barra 
(como por exemplo uma prancha típica de madeira), 
esta também deformará uniformemente quando 
sujeita a uma carga axial P. 1-33 
Distribuição de tensões normal média 
• Se passarmos uma seção através da barra e a 
separarmos em duas partes, o equilíbrio requer uma 
força normal resultante N na seção igual a P (Fig. 1–
12c). 
• Devido o material sofrer uma deformação uniforme, é 
necessário que a seção transversal esteja sujeita a 
uma a uma distribuição de tensões normal constante. 
• Como resultado, cada pequena área ΔA na seção 
transversal esta sujeita a uma força ΔN =  ΔA (Fig. 
1–12d), e a soma destas forças atuando sobre a toda a 
área da seção transversal deve ser equivalente a força 
interna resultante P na seção. 
1-34 
Distribuição de tensões normal média 
• Se fizermos ΔA  dA e portanto ΔN  dN, vemos que  
é constante, e teremos 
 
 
 
 
 
 
onde, 
 = tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal; 
N = resultante da força interna normal que atua no centroide da área da 
seção transversal; 
A = área da seção transversal da barra onde  é determinado. 
 
1-35 
Distribuição de tensões normal média 
• Logo, se considerarmos o equilíbrio vertical de um elemento da barra (Fig. 
1–13) e aplicarmos a equação do equilíbrio de forças ao seu DCL teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• As componentes da tensão normal em um elemento do material mostra 
que estas devem ser iguais em intensidade mas opostas em direção. 
 
1-36 
Distribuição de tensões normal média 
• Nestas condições o material esta sujeito a tensões uniaxiais e estas análises 
aplicam-se a membros sujeitos a ambos tração ou compressão (Fig. 1–14). 
1-37 
Tensão normal média máxima 
• Vimos que ambos a força interna N e a área da seção transversal A eram 
constantes ao longo do eixo longitudinal da barra, e como resultado a tensão 
normal  = N/A é também constante ao longo do comprimento da barra. 
• Ocasionalmente, a barra pode estar sujeita a diversas cargas axiais 
externas, ou a uma variação da sua área da seção transversal, logo a 
tensão normal dentro da barra pode ser diferente de uma seção para a 
próxima. Se a tensão normal média máxima deve ser determinada, é 
importante encontrar a posição onde a razão N/A seja máxima. 
• O Exemplo 1.5 ilustra este procedimento. Uma vez que o carregamento 
interno através da barra é conhecido, a razão máxima N/A pode ser 
identificada. 
 
1-38 
Exemplo 5 – A barra da Fig. 1–15a tem largura constante de 35 mm e 
espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima na barra 
quando sujeita ao carregamento mostrado. 
Solução: 
1 – Seção (DCL): Usando o método das seções nos trechos AB, BC e CD , 
teremos os DCL’s da Fig. 1–15b. 
 
Exemplo 5 – A barra da Fig. 1–15a tem largura constante de 35 mm e 
espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima na barra 
quando sujeita ao carregamento mostrado. 
Solução: 
2 – Diagrama de Esforço Normal: Fazendo o diagrama com os resultados 
anteriores da variação da força normal em função do comprimento da barra 
teremos 
 
 
 
 
 
onde observa-se um valor máximo de 
 
Exemplo 5 – A barra da Fig. 1–15a tem largura constante de 35 mm e 
espessura de 10 mm. Determine a tensão normal média máxima na barra 
quando sujeita ao carregamento mostrado. 
Solução: 
3– Tensão Normal Média Máxima: Aplicando a Eq. (1-6) 
 
 
 
A distribuição da tensão atuando em uma seção transversal arbitrária da 
barra dentro da região BC é mostrada na Fig. 1-5d 
Exemplo 6 – Uma luminária de 80 kg é suportada 
por duas barras AB e BC como mostrado na 
Fig. 1–16a. Se AB tem diâmetro 10 mm e BC tem 
diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal 
média em cada barra. 
Solução: 
1 – Carregamento Interno: O DCL da luminária 
pode ser obtido como na Fig. 1-16b, fazendo o 
equilíbrio, 
 
 
 
 
 
 
Da 3ª lei de Newton (ação-reação), estas forças 
tracionam as barras. 
Aplicando o método da seção vemos que as forças 
internas nas barras serão iguais as forças externas 
obtidas! 
Exemplo 6 – Uma luminária de 80 kg é suportada 
por duas barras AB e BC como mostrado na 
Fig. 1–16a. Se AB tem diâmetro 10 mm e BC tem 
diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal 
média em cada barra. 
Solução: 
2 – Tensão Normal Média: Aplicando a Eq. (1-6) 
 
 
 
 
 
 
A distribuição da tensão normal média em um 
ponto sobre a seção transversal da barra AB (Fig. 1-
6c) mostra que um elemento do material está 
tensionado como mostra a Fig. 1-16d. 
Tensão de cisalhamento média 
• A tensão de cisalhamento foi definida 
anteriormente como a componente da tensão que 
age no plano da área secionada. 
• A Fig. 1-19a mostra como esta tensão pode se 
desenvolver. Se F for grande pode fazer o 
material da barra deformar e falhar nas seções AB 
e CD. 
• O DCL do segmento central (Fig. 1-19b) indica 
que uma força de cisalhamento V = F/2 deve ser 
aplicada a cada seção para manter o equilíbrio. 
• A tensão de cisalhamento média distribuída 
sobre cada área secionada que desenvolve esta 
força de cisalhamento é definida por 
 
 
Sua distribuição na seção é mostrada na Fig. 1-19c. 
Este é o caso do cisalhamento simples ou direto. 
1-44 
Equilíbrio da tensão de cisalhamento 
• Considere o bloco da Fig. 1-20a, o qual foi 
secionado e esta sujeito a a uma força de 
cisalhamento interna V. 
 
• Um elemento de volume tomado em um ponto 
localizado sobre sua superfície estará sujeito a 
uma tensão de cisalhamento direta zy (Fig. 1-
20b). 
 
• Contudo o equilíbrio de forças e momentos 
deste elemento requer que tensões de 
cisalhamento sejam desenvolvidas nos três 
lados do elemento. 
 
• Para tal é necessário desenvolver o DCL do 
elemento 
1-45 
Equilíbrio da tensão de cisalhamento 
• O DCL do elemento é mostrado na Fig. 1-20c. 
• O equilíbrio de forças na direção y requer, 
 
 
 
 
• Similarmente, o equilíbrio de forças na direção 
z produz 
• O equilíbrio de momentos em torno do eixo x , 
 
 
 
 
 
ou 1-46 
Equilíbrio da tensão de cisalhamento 
• Logo, todas as quatro tensões de cisalhamento 
devem ter intensidades iguais e estarem dirigidas 
no mesmo sentido ou em sentidos opostos umas em 
relação as outras nas bordas opostas do elemento 
(Fig. 1-20d). 
• Esta é referida como a propriedade complementar 
do cisalhamento e o elemento esta sujeito ao 
cisalhamento puro. 
1-47 
Exemplo 9 – Determine a tensão de cisalhamento 
média em um pino com 20 mm de diâmetro em A 
e 30 mm de diâmetro em B que suporta a viga da 
Fig. 1–21a. 
Solução: 
Carregamento Interno: As forças nos pinos podem 
ser obtidas do equilíbrio da viga (Fig. 1–21b), 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força resultante no pino A 
Solução: 
Carregamento Interno: 
O pino em A é suportado por duas abas fixas de 
modo que o DCL do centro do segmento do pino é 
(Fig. 1–21c) tem duas superfícies de cisalhamento 
entre a viga e cada uma das abas. 
Como a força da viga (21.36 kN) atuando no pino é 
suportada por forças de cisalhamento em cada uma 
das 2 superfícies, ele é chamado de cisalhamento 
duplo. Assim, 
 
 
 
Observe que o pino em B esta sujeito a um 
cisalhamento simples, que ocorre na seção entre o 
cabo e a viga (Fig. 1–21d), logo 
Solução: 
Tensões de cisalhamento média: 
Exemplo 10 – Se a junta de madeira na Fig. 1-22a 
tem espessura de 150 mm, determine a tensão de 
cisalhamento média ao longo dos planos a-a e b-b 
do membro conectado. Para cada plano, represente 
o estado de tensão sobre um elemento do material. 
Solução: 
1 – Esforço Interno: Do DCL da Fig. 1–22b, 
 
 
 
Agora considere o equilíbrio dos segmentos ao 
longo dos planos de cisalhamento a-a e b-b das 
Figs. 1-22c e d, 
Solução: 
2 – Tensão de cisalhamento média: 
 
 
 
 
 
 
3 – Estado de tensão nos elementos do material: 
Projeto para Tensão Admissível 
Para garantir a segurança de uma peça mecânica ou estrutural, é 
necessário restringir a carga aplicada a um valor que seja menor do que a 
carga que a peça pode suportar. 
Existem muitas razões para fazermos isto: 
• As dimensões pretendidas de uma maquina ou estrutura podem não ser 
exatas, devido a erros na fabricação ou na montagem das suas peças 
componentes. 
• Vibrações desconhecidas, impacto ou carregamentos acidentais podem 
ocorrer, os quais não foram levados em consideração no projeto. 
• Corrosão atmosférica, apodrecimento ou envelhecimento tendem a 
deteriorar o material durante sua vida útil em serviço. 
• Alguns materiais, tais como madeira, concreto ou compósitos 
reforçados com fibras, podem apresentar grande variabilidade nas 
propriedades mecânicas. 
1-53 
Projeto para Tensão Admissível 
Um método de especificação da carga admissível para uma peça é usar um 
número chamado de fator de segurança (F.S.), o qual é a razão entre a 
carga de ruptura Frup e a carga admissível Fadm, 
 
 
 
onde Frup é determinado a partir de testes experimentais do material. 
Se a carga aplicada esta linearmente relacionada com a tensão 
desenvolvida na peça, como no caso de  = N/A e  = V/A, podemos 
escrever F.S. em função da tensão de ruptura e da tensão admissível 
como, 
1-54 
8)-(1 F.S.
adm
rup
F
F

10)-(1 F.S.
9)-(1 F.S.
adm
rup
adm
rup






Projeto para Tensão Admissível 
• O valor específico de F.S. depende dos tipos de materiais a serem 
usados e da finalidade pretendida para a estrutura ou máquina, 
incluindo-se as incertezas mencionadas previamente. 
• Por exemplo, o F.S. usado no projeto de uma aeronave ou veículo 
espacial pode ser próximo de 1 a fim de reduzir o peso dos veículos. 
Entretanto, para o caso de uma usina nuclear, o F.S. de alguns dos seus 
componentes pode ser tão alto como 3 devido as incertezas no 
carregamento ou no comportamento do material. 
• Qualquer que seja o caso, o F.S. ou a tensão admissível para um caso 
específico pode ser encontrado nas Normas de Projeto e “Handbooks” 
de Engenharia. 
• Projetos que estão baseados no limite da tensão admissível são 
chamados de Projeto para Tensão Admissível (em inglês Allowable 
Stress Design - ASD). A utilização deste método garante um equilíbrio 
entre segurança publica e ambiental de um lado e considerações 
econômicas do outro. 
1-55 
Projeto p/ tensão admissível 
Conexões Simples 
• Fazendo-se hipóteses simplificadoras em relação ao comportamento do 
material, as equações  = N/A e med = V/A podem frequentemente ser 
usadas para analisar ou projetar uma conexão simples ou um elemento 
mecânico. 
• Por exemplo, se uma peça esta sujeita a uma força normal em uma 
seção, a área necessária na seção é determinada por 
 
 
 
ou se a seção esta sujeita a uma tensão de cisalhamento média a área será, 
1-56 
11)-(1 
adm
N
A 
12)-(1 
adm
V
A 
Projeto da tensão admissível 
• Três exemplos de aplicação das equações 
anteriores estão mostrados na Fig. 1–24. 
• A primeira figura mostra a tensão normal 
atuando sobre o fundo da placa de base. Esta 
tensão de compressão causada por uma 
superfície que suporta a outra é chamadade 
tensão de esmagamento (em inglês bearing 
stress). 
 
• A área da placa da base B da coluna é 
determinada em função da tensão de 
esmagamento admissível para o concreto. 
1-57 
Projeto da tensão admissível 
• O comprimento l da barra embutido no 
concreto pode ser determinado usando a 
tensão de cisalhamento admissível do 
material da cola. 
1-58 
Projeto da tensão admissível 
• A área do parafuso desta junta sobreposta é 
determinada pela tensão de cisalhamento, a 
qual é maior entre as placas. 
1-59 
Projeto para Estado Limite 
• Mostramos que o projeto adequado de uma peça deve levar 
em conta as incertezas resultantes da variabilidade de ambos 
as propriedades do material e os carregamentos aplicados. 
• Cada uma destas incertezas pode ser investigada usando a 
teoria da probabilidade e estatística, e desta forma na 
engenharia estrutural tem havido uma tendência crescente de 
separa as incertezas da carga das incertezas do material. 
• Este método de projeto é chamado de Projeto para Estado 
Limite ( do inglês Limit State Design - LSD), ou mais 
especificamente, nos Estados Unidos é chamado de Projeto 
para Fatores de Carga e Resistência (do inglês Load and 
Resistance Factor Design - LRFD). Nos discutiremos aqui 
como este método é aplicado. 
1-60 
Projeto p/ estado limite 
Fatores de Carga. Vários tipos de cargas (R) podem atuar sobre uma estrutura e 
cada uma pode ser multiplicada por um fator de carga  que leva em conta a sua 
variabilidade. 
• As cargas incluem cargas mortas, a qual é o peso próprio da estrutura e as 
cargas vivas, as quais envolvem pessoas ou veículos que se movem nela. Outros 
tipos de cargas incluem cargas de vento, terremotos e neve. 
• A carga morta (D) é multiplicada por um fator relativamente pequeno tal como 
D = 1,2, pois pode ser determinado com certeza maior do que, por exemplo, a 
carga viva (L) causada por pessoas, que pode ter um fator de carga de L = 1,6. 
• Normas de construção requerem que uma estrutura seja projetada para suportar 
várias combinações de cargas, e nestes casos, cada tipo de carga terá um fator 
de carga próprio. Por exemplo, o fator de carga de uma combinação de cargas 
de carga morta (D), carga viva (L), e carga de neve (S) dá uma carga total (R) de 
 
• Os fatores de carga para este carregamento combinado refletem a probabilidade 
que R ocorrerá para todos os eventos estabelecidos. Observe que nesta equação 
o fator de carga S = 0.5 é pequeno, devido a baixa probabilidade de que uma 
carga máxima de neve ocorrerá simultaneamente com as cargas máximas de 
carga morta e carga viva. 
1-61 
Projeto p/ estado limite 
• Fatores de Resistência. Os fatores de resistência ( ) são determinados a partir 
da probabilidade de falha do material quanto a qualidade do material e a 
consistência da sua resistência. Estes fatores serão diferentes para tipos de 
materiais diferentes. Por exemplo, concreto tem fatores menores do que o aço, 
por que os engenheiros tem maior confiança sobre o comportamento do aço sob 
carregamento do que eles tem com o concreto. Um fator de resistência típico  
= 0,9 é usado para uma peça de aço em tração. 
• Critério de Projeto. Um vez que os fatores de carga e resistência ( e ) 
tenha sido especificado usando uma norma, então o projeto adequado de 
um membro estrutural requer que a sua resistência prevista,  Pn, seja 
maior do que a carga prevista que se deseja suportar. Assim, o critério 
LRFD pode ser estabelecido como, 
 
• Aqui Pn é a resistência nominal do membro, significando a carga, que 
quando aplicada a um membro, causa ou a sua falha (carga de ruptura), 
ou um estado de deformação que a torna inservível. Em resumo, o fator 
de resistência  reduz a resistência nominal do membro e requer que ele 
seja igual ou maior do que a carga ou combinação de cargas aplicadas 
calculada usando os fatores de carga  . 
1-62 
Exemplo 12 – O braço de controle esta sujeito a 
carga mostrada na Fig. 1-25a. Determine o mais 
próximo de ¼ polegada de diâmetro requerido 
pelos pinos de aço em A e C se o fator de 
segurança para o cisalhamento é F.S. = 1,5 e a 
tensão de ruptura no cisalhamento é rup = 12 ksi 
Solução: 
Força nos pinos: Do DCL da Fig. 1–25b, 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resultante do pino C será: 
Exemplo 12 – O braço de controle esta sujeito a 
carga mostrada na Fig. 1-25a. Determine o mais 
próximo de ¼ polegada de diâmetro requerido 
pelos pinos de aço em A e C se o fator de 
segurança para o cisalhamento é F.S. = 1,5 e a 
tensão de ruptura no cisalhamento é rup = 12 ksi 
Solução: 
Tensão de Cisalhamento Admissível: 
 
 
 
Pino A: Cisalhamento simples (Fig. 1-25c), 
 
 
Pino C: Cisalhamento duplo (Fig. 1-25d), 
Exemplo 14 – Determine a maior carga P eu 
pode ser aplicada nas barras com junta sobreposta 
mostrada na Fig. 1-27a. O parafuso tem diâmetro 
de 10 mm e tensão de cisalhamento admissível de 
80 MPa. Cada placa tem tensão de tração 
admissível de 50 MPa, tensão de esmagamento 
admissível de 80 MPa e tensão de cisalhamento 
admissível de 30 MPa. 
Solução: 
Falha da placa em tração: Do DCL da Fig. 1–27b, 
 
 
 
Falha da placa por esmagamento: Do DCL da 
Fig. 1–27c e usando a área projetada do parafuso, 
 
 
 
* O parafuso é mais resistente do que a placa! 
Exemplo 14 – Determine a maior carga P eu 
pode ser aplicada nas barras com junta sobreposta 
mostrada na Fig. 1-27a. O parafuso tem diâmetro 
de 10 mm e tensão de cisalhamento admissível de 
80 MPa. Cada placa tem tensão de tração 
admissível de 50 MPa, tensão de esmagamento 
admissível de 80 MPa e tensão de cisalhamento 
admissível de 30 MPa. 
Solução: 
Falha da placa por cisalhamento: Do DCL da Fig. 
1–27d, 
 
 
 
Falha do parafuso por cisalhamento: Do DCL da 
Fig. 1–27e, 
 
 
Dos resultados anteriores teremos a carga no 
parafuso como o limitante, 
Exemplo 15 – A viga uniforme AB de 400 kg 
mostrada na Fig. 1-28a é suportada por uma barra de 
aço AC e um rolete em B. Se ela suporta uma carga 
viva distribuída de 3 kN/m, determine o diâmetro da 
barra necessário. A tensão de ruptura para o aço é rup 
= 345 MPa. Use o método LRFD, onde ao fator de 
resistência para a tração é  = 0,9 e os fatores de 
carga para cargas morta e viva são D = 1,2 e L = 1,6, 
respectivamente. 
Solução: 
Cargas com os fatores: A carga morta é o peso 
próprio da viga, A carga 
morta aplicado o fator de carga será, 
 A carga viva resultante é 
aplicando o fator será, 
 
Do DCL da Fig. 1-28b, obtém-se a força na barra AC 
Exemplo 15 – A viga uniforme AB de 400 kg 
mostrada na Fig. 1-28a é suportada por uma barra de 
aço AC e um rolete em B. Se ela suporta uma carga 
viva distribuída de 3 kN/m, determine o diâmetro da 
barra necessário. A tensão de ruptura para o aço é rup 
= 345 MPa. Use o método LRFD, onde ao fator de 
resistência para a tração é  = 0,9 e os fatores de 
carga para cargas morta e viva são D = 1,2 e L = 1,6, 
respectivamente. 
Solução: 
Área: A resistência nominal da barra é determinada a 
partir de e como a resistência nominal é 
definida pelo fator de resistência  = 0,9 é necessário 
que,