Números Complexos: Polinômios e Equações Algébricas

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Números Complexos
Aula 7– Polinômios e Equações Algébricas
Prof: Mário Alves
Conteúdo Programático desta aula
Teorema fundamental da álgebra
Representação fatorada
Multiplicidade de uma raiz
Teorema Fundamental da Álgebra (T.F.A)
Todo polinômio de grau n , n maior ou igual a 1, admite ao menos uma raiz complexa.
Teorema da decomposição:
Todo polinômio de grau n 
pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau,isto é:
Determine o grau e o conjunto solução das equações no Universo C:
a)5(x-1)(x-7)=0
Solução:
A equação é do segundo grau e suas raízes são x =1 e x =7
b)3(x+4)(x+4)(2x-5)(2x-5)(2x-5)=0
Solução:
A equação é do quinto grau e suas raízes são x =-4 e x =5/2
Exemplo:Forme uma equação do terceiro grau cujas raízes sejam 1,2 e3.
 Solução:
(x-1)(x-2)(x-3)=0
multiplicando obtemos:
Multiplicidade de uma raiz
Exemplo preliminar
Consideremos a equação polinomial (x-3)(x-1)(x-1)(x-4)(x-4)(x-4)=0, que apresenta seis raízes , sendo uma raiz igual a 3 , duas raízes iguais a 1 e três raízes iguais a 4.
Dizemos que 3 é raiz simples , 1 é raiz dupla e 4 é raiz tripla da equação dada.
Multiplicidade de uma raiz
Dizemos que a é uma raiz de multiplicidade m,(m da equação P(x)=0 se e somente se :
Exemplo: P(x) = (x-1)(x-2)(x-4)(x-4)(x-4)
1 –Raiz simples
2-Raiz simples
4- Raiz tripla ou de multiplicidade 3
Exemplo: p(x) =
2 – multiplicidade 5
1-multiplicidade 4
-1-raiz simples
Raízes complexas
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz o número complexo a+bi (b diferente de zero) , então essa equação também admite como raiz o número complexo a-bi(conjugado).
Exemplo: 
)
0
(
......
0
1
1
1
¹
+
+
+
+
=
-
-
a
a
a
x
a
x
a
n
n
n
n
n
x
P
)
)....(
)(
)(
(
3
2
1
r
r
r
r
a
n
n
x
x
x
x
P
-
-
-
-
=
0
6
11
6
2
3
=
-
+
-
x
x
x
)
1
³
0
Q(a)
 
e
 
)
(
.
)
(
)
(
¹
=
-
x
Q
x
p
a
x
m
)
1
(
)
1
(
2)
-
(x
4
5
+
-
x
x
i.
-
 
e
 
i
 
são
 
raízes
 
as
 
0
1
2
=
+
x