Exercícios de Cálculo 1 - Semana 10

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 10
Temas abordados : Extremos de funções; Otimização; regra de L’Hospital
Seções do livro: 4.1; 4.5; 4.6
Questão 1. Suponha que, na construção de uma barraca com vista frontal na forma de um
triângulo isósceles de altura h, as laterais devem ser feitas a partir de uma lona com 6 m de
comprimento e 3 m de largura, conforme ilustra a figura.
3m
3m
b
h
a) Determine o comprimento b da base do triângulo em função da altura h.
b) Use o item anterior para expressar o volume V (h) da barraca em função
de h.
c) Determine h de forma que o volume V (h) seja máximo, justificando a sua
resposta.
Questão 2. Deseja-se cortar um arame de comprimento 1 metro em dois pedaços, para
formar, com um deles, um ćırculo e, com o outro, um quadrado. Denote por x o comprimento,
em metros, do pedaço de arame usado para formar o quadrado.
(a) Determine, em função de x, a soma das áreas das figuras obtidas.
(b) Determine os pontos cŕıticos de A no intervalo (0, 1).
(c) Determine o máximo e o mı́nimo absolutos da função do item (a) no intervalo [0, 1].
10 cma
Questão 3. Para construir um cone circular reto remove-se um
setor de uma folha circular de cartolina de raio 10 cm e unem-se as
duas margens retiĺıneas do corte, conforme a figura ao lado, em que
a indica o ângulo do setor circular restante. Sabendo que o volume
do cone de raio da base r e altura h é igual a (1/3)πr2h, resolva os
ı́tens abaixo.
a) Lembrando que o peŕımetro do setor circular ao lado é igual a
10a, determine o valor de r em função de a.
b) Determine o volume do cone obtido em função do ângulo a.
c) Determine o ângulo a0 para o qual o volume do cone obtido
seja o maior posśıvel.
Questão 4. Suponha que uma viga retangular, de largura x e altura y, deva ser cortada de
um cilindro de seção circular de raio a, como ilustra a figura abaixo. A resistência R dessa
viga é diretamente proporcional ao produto de sua largura x pelo quadrado de sua altura y.
Indique por K a constante de proporcionalidade e observe que a altura y = y(x) pode ser
obtida a partir da largura x, e portanto a resistência R = R(x) pode ser expressa apenas em
função de x.
x
y
a) Determine a expressão de y = y(x) em termos de x.
b) Obtenha a expressão da resistência R = R(x) como
função de x.
c) Determine os pontos cŕıticos deR(x) no domı́nio (0, 2a),
classificando-os como de mı́nimo local ou máximo local,
se posśıvel.
d) Determine o valor máximo da resistência que pode ser obtido entre as vigas cortadas
do cilindro.
Questão 5. Um meia-atacante canhoto avança em direção à área adversária à direita do
gol. Considere que o campo seja plano, que a bola esteja a uma distância de h metros da
linha de fundo, que as traves possuam uma distância de b metros entre si e que a linha da
bola se encontre a a metros distante da trave direita. Supondo que a = 2, b = 6, determine
a distância h, em relação a linha de fundo que oferece ao jogador o maior ângulo θ.
Gabarito
1. a) b = 2
√
9− h2 m b) V (h) = 3h
√
9− h2 c) h = 3/
√
2 m
2. a) A(x) = x2/16 + (1− x)2/(4π) b) {4/(4 + π)} c) valor máximo é A(0) = 1/(4π);
valor mı́nimo é A(4/(4 + π)) = 1/(16 + 4π)
3. a) r = (5a)/π b) V (a) =
25a2
3π2
√
100− 25a
2
π2
c) a0 = 2π
√
6/3
4. a) y =
√
4a2 − x2 b) R(x) = Kx(4a2 − x2) c) x0 = (2/
√
3)a é máx. local d)
R(x0) = K(16a
3)/(3
√
3)
5. h = 4 metros
Exerćıcios recomendados do livro
Seção Assunto Exerćıcios
4.1 Extremos de funções 5, 17, 29, 33, 57, 59, 65, 71, 73
4.5 Otimização 3, 7, 15, 17, 27, 33, 43, 51
4.6 Regra de L’Hospital 5, 19, 33, 41, 45, 51, 61, 63, 65