Calculo III

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Calculo III 
1 
 Questão 
 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 
(sen t, cos t , 1) 
 
(- sen t, cos t , t) 
 (- sen t, cos t , 1) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(- cos t, sen t , 1) 
Respondido em 03/09/2020 20:35:49 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
 
 x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
 
x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
x(t) = r sen t y(t) = r cos t 
 
x(t) = a cos t y(t) = b sen t 
Respondido em 03/09/2020 20:36:00 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
3y + 2x2 -10 = 0 
 
Não representa nenhuma curva. 
 3y + 2x - 10 = 0 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
4xy - 34x = 0 
Respondido em 03/09/2020 20:36:22 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos 
descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e 
s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Determine o ponto de encontro das 
estradas. 
 
 
x = 1 e y = 0 
 
x = 20 e y = 30 
 x= 10 e y = 50 
 
x = 10 e y = 5 
 
x = 30 e y = 10 
Respondido em 03/09/2020 20:36:28 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). 
Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 ( -sent, cos t) 
 
0 
 
1 
 
( - sen t, - cos t) 
 
( sen t, - cos t) 
Respondido em 03/09/2020 20:36:40 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
 
 
f (t) = (t, t2) 
 f (t) = (t, t2 -4) 
 
f (t) = (t, t -4) 
 
f (t) = (t, t3 -4) 
 
f (t) = (t, t3 - 5) 
Respondido em 03/09/2020 20:36:51 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou 
igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 
 
v(t) = 50 
 
v(t) =30 
 
v(t) = 15 
 
v(t) = 20 
 v(t) = 1 
Respondido em 03/09/2020 20:36:57 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Determine a parametrização da ciclóide 
 
 (t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) ,   . 
 
(t) = (r ( - sen ), r ( cos )) ,   . 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(t) = (r ( -cos ), r (1 -sen )) ,   . 
 
(t) = ( 
 
 Questão 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 
(- sen t, cos t , t) 
 
(- cos t, sen t , 1) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(sen t, cos t , 1) 
 (- sen t, cos t , 1) 
Respondido em 03/09/2020 20:37:35 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
 
 
x(t) = a cos t y(t) = b sen t 
 
x(t) = r sen t y(t) = r cos t 
 
x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
Respondido em 03/09/2020 20:37:50 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
Não representa nenhuma curva. 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
3y + 2x2 -10 = 0 
 
4xy - 34x = 0 
 3y + 2x - 10 = 0 
Respondido em 03/09/2020 20:38:00 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos 
descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e 
s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Determine o ponto de encontro das 
estradas. 
 
 
x = 10 e y = 5 
 
x = 1 e y = 0 
 x= 10 e y = 50 
 
x = 20 e y = 30 
 
x = 30 e y = 10 
Respondido em 03/09/2020 20:38:10 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). 
Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 
( sen t, - cos t) 
 
1 
 ( -sent, cos t) 
 
( - sen t, - cos t) 
 
0 
Respondido em 03/09/2020 20:38:16 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
 
 
f (t) = (t, t3 -4) 
 
f (t) = (t, t2) 
 
f (t) = (t, t -4) 
 f (t) = (t, t2 -4) 
 
f (t) = (t, t3 - 5) 
Respondido em 03/09/2020 20:38:22 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou 
igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 
 
v(t) =30 
 v(t) = 1 
 
v(t) = 15 
 
v(t) = 20 
 
v(t) = 50 
Respondido em 03/09/2020 20:38:37 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Determine a parametrização da ciclóide 
 
 (t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) ,   . 
 
(t) = (r ( - sen ), r ( cos )) ,   . 
 
(t) = ( sen , r cos ) ,   . 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(t) = (r ( -cos ), r (1 -sen )) ,   . 
Respondido em 03/09/2020 20:38:47 
 
 
 Questão 
 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 (2t , cos t, 3t2) 
 (2 , - sen t, t2) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 (2t , - sen t, 3t2) 
 (t , sen t, 3t2) 
Respondido em 03/09/2020 20:39:14 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
(2,cos 4, 5) 
 (2,cos 2, 3) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
(2,sen 1, 3) 
 
(2,0, 3) 
Respondido em 03/09/2020 20:39:26 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em 
cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
Respondido em 03/09/2020 20:39:33 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Dada a seguinte equação Z=((3t)2−4t)i+(1+2t)j+2tkZ=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações 
paramétricas que representa ela são: 
 
 x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (1+2t) 
 x = ((6t)2−2t)((6t)2-2t) e y = 2t 
 
 x=t+1x=t+1 e y=t2+2ty=t2+2t 
 x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t(4t)2+2t e Z = 2t 
 x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = 2t 
Respondido em 03/09/2020 20:39:42 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 
4t), t ∈∈ [0,4ππ], determine o comprimento da hélice C. 
 
 20 ππ 
 20 
 4 √ 20 20 ππ 
 ππ 
 4 ππ 
Respondido em 03/09/2020 20:39:56 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Sabendo que cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se 
move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 
 
V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) 
 V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
 
V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 
 
V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) 
Respondido em 03/09/2020 20:40:09 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, 
determine o comprimento da curva 
entre 0≤t≤π40≤t≤π4 . 
 
 √ 2 π162π16 
 √ 2 π42π4 
 √ 2 π22π2 
 √ 2 π82π8 
 2π2π 
Respondido em 03/09/2020 20:40:32 
 
 
 
8 
 Questão 
 
 
Sabendo que a circunferência de raio r tem como parametrização ( r cos t, r sen t) , 
0 ≤ t ≤ 2 ππ. Determine o comprimento desta circunferência. 
 
 π2π2 
 2ππ r 
 4 ππ r / 3 
 2 ππ 
 
4 π 
 
 Questão 
 
Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
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x = 3t+1 y= 2t+1 
 
x = 3t+1 
 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
Respondido em 03/09/2020 20:41:15 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, 
determine o vetor normal que representa a curvaentre 0≤ t≤π40≤ t≤π4. 
 
 N(t) = −senti−costj2-senti-costj2 
 N(t) = -senti-costj 
 N(t) = -sent-cost 
 N(t) = −senti−costj4-senti-costj4 
 N(t) = senti + costj + 1 
Respondido em 03/09/2020 20:41:24 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos 
descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). 
Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, 
determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado. 
 
 
O carro R2 será multado. 
 
Nenhum dos dois carros será multado 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 O carro R1 será multado. 
 
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Respondido em 03/09/2020 20:41:32 
 
 
 
 Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos 
pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 
 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 x + 2y + 3z - 9 = 0 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 x + y + z - 3 = 0 
Respondido em 03/09/2020 20:42:12 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos 
pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 
 
 x + 2y + 4z - 4 = 0 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 x + y + z - 3 = 0 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
Respondido em 03/09/2020 20:42:27 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) 
interseção com o eixo z. 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
Respondido em 03/09/2020 20:42:36 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o 
ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 > como vetor normal? 
 
 3x - 2y - 6z = 0 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 6x + 3y + 2z + 34 = 0 
Respondido em 03/09/2020 20:42:50 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
Respondido em 03/09/2020 20:43:02 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o 
ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > como vetor normal? 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 y - z + 3 = 0 
 x + y + z + 3 = 0 
 x - y + 3 = 0 
 x - y + z = 0 
Respondido em 03/09/2020 20:43:29 
 
 Questão 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse 
(x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. 
 
 
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(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 (a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
Respondido em 03/09/2020 21:29:43 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos 
afirma que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno 
do eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno 
do eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do 
eixo z é um cone. 
 
 
I, II e III são verdadeiras 
 
III é verdadeira. I e II falsas 
 
II é verdadeira. I e III são falsas 
 I é verdadeira . II e III são falsas 
 
I, II, III são falsas 
Respondido em 03/09/2020 21:29:49 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) 
+(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / 
a2) +(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é 
a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 
 
 I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
I e III sao falsas e II verdadeira 
 
I, II e III sao verdadeiras 
 
I e II sao verdadeiras e III falsa. 
 
I, II e III são falsas 
Respondido em 03/09/2020 21:29:54 
 
 
 Questão 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) 
tende a (1,2). 
 
 
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5/6 
 
3 
 7/9 
 
3/6 
Respondido em 03/09/2020 21:30:27 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 {(x,y)  2| x+y = 2} 
 {(x,y)  2| x+y ≥ 2} 
 
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 {(x,y)  3| x+y ≥ - 2} 
 {(x,y)  2| x+y2 ≥ 2} 
Respondido em 03/09/2020 21:30:35 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 O limite será 14. 
 
O limite será 1. 
 
O limite será xy. 
 
O limite será 14xy. 
 
O limite será 0. 
Respondido em 03/09/2020 21:30:47 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o 
trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
 
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Respondido em 03/09/2020 21:30:58 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
 
 
 
 
um ponto na origem 
 
 
 
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uma parábola 
 
1 
 Questão 
 
 
F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2 , 
tais que: 
 
 Df={ (x,y)  R2/ x  y } 
 Df={ (x,y)  R2/ x < y } 
 
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 Df={ (x,y)  R2/ x  y } 
 Df={ (x,y)  R2/ x y } 
Respondido em 03/09/2020 21:31:43 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa 
definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
 
 
A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
 A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
A função não é harmônica. 
 
A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
Respondido em 03/09/2020 21:31:50 
 
 
Explicação: 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa 
definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
A equação de Laplace é dada por 
∂2f∂x2+∂2f∂y2=0∂2f∂x2+∂2f∂y2=0 que podemos escrever como fxx + fyy= 0 
Portanto precisamos encontra a fxx e fyy da função 
fx = 2x / (x2 + y2) 
fy = 2y / (x2 + y2) 
fxx = (-2x2 + 2y2) /(x2 + y2)2 
fyy= (2x2 - 2y2) /(x2 + y2)2 
Portanto a soma dosdois temos será zero, isto é, fxx + fyy= 0 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) 
tende a (-1,2). 
 
 O limite será 2. 
 
O limite será 3. 
 
O limite será 7. 
 
O limite será 0. 
 
O limite será 9. 
Respondido em 03/09/2020 21:32:08 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 A parametrização de uma curva não é única. 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
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Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
Respondido em 03/09/2020 21:32:15 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou 
igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 
 
v(t) =30 
 
v(t) = 20 
 
v(t) = 50 
 v(t) = 1 
 
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Respondido em 03/09/2020 21:32:26 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando 
(x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a 
(0,0) podemos afirmar que: 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
Respondido em 03/09/2020 21:32:34 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-
1,2). 
 
 o Limite será 12. 
 
o Limite será 0. 
 
o Limite será 1. 
 
o Limite será 9. 
 
o Limite será 5. 
 
 Questão 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos 
pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 2 ) ? 
 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 x + y + z - 3 = 0 
 x + 2y + 4z - 4 = 0 
Respondido em 03/09/2020 21:34:35 
 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). 
 
 3/4 
 
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2 
 
5 
 
4 
Respondido em 03/09/2020 21:34:41 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
Respondido em 03/09/2020 21:34:50 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, 
-3 > como vetor normal? 
 
 
-x + 2y + 3z + 1 = 0 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
2x + 3y - z + 1 = 0 
 
-x - 2y + 3z + 1 = 0 
 
3x + 2y - z + 1 = 0 
Respondido em 03/09/2020 21:34:58 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Determine a curvatura da função y = x2 na origem 
 
 
5 
 
55 
 2 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
4 
Respondido em 03/09/2020 21:35:04 
 
 
 
 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z + 6) 
 
 
L(x,y,λ) = - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 
 
Explicação: 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. Aplicando o Método 
dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: 
y- λ = 0 
x - 2λ = 0 
-x - 2y + 20 = 0 
A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa. 
 
 
40 m2 
 
50 m2 
 
 
20 m2 
 
 
100 m2 
 
 
60 m2 
 
 
 
 
3. 
 
 
Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que: 
I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. 
II: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. 
III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. 
 
 
I , II e II sào verdadeiras. 
 
 
I, II é verdadeira. III é falsa. 
 
II é verdadeira. I e II são falsa. 
 
 
II é falsa. I e II são verdadeira. 
 
 
I , II e II sào falsas. 
 
 
 
 
4. 
 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
 
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0 
 
 y=12e3x+Cy=12e3x+C 
 
 y=e3x+Cy=e3x+C 
 y=13e−3x+Cy=13e-3x+C 
 
 y=13e3x+Cy=13e3x+C 
 
 y=ex+Cy=ex+C 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida 
por (t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] 
 
 
a/2 
 
1/a 
 
 
pi 
 
 
a 
 
 
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6. 
 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Maximizar xy 
Sujeito a: x + 2y = 20 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) 
 
 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y + 20) 
 
 
L(x,y,λ) = - λ (x + 2y - 20) 
 
 
L(x,y,λ) = λ (x + 2y - 20) 
 
 
L(x,y,λ) = xy + λ (x + 2y - 20) 
 
 
 
 
7. 
 
 
A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) = 
(0,0). Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da afirmação. 
 
No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o 
limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado 
e concluímos que o limite não existia. Portanto não é contínua no 
ponto (0,0). 
 
 
No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto (0,0). 
 
 
No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de um único caminho e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto (0,0). 
 
 
No ponto (0,0) a função esta definida. Portanto é contínua no ponto 
(0,0). 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z + 6) 
Respondido em 04/09/2020 07:24:15 
 
 
Explicação: 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. Aplicando o 
Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: 
y- λ = 0 
x - 2λ = 0 
-x - 2y + 20 = 0 
A partir deste sistema determine a área máximapossível para a casa. 
 
 
100 m2 
 
20 m2 
 
40 m2 
 
60 m2 
 50 m2 
Respondido em 04/09/2020 07:24:21 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que: 
I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. 
II: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. 
III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. 
 
 II é verdadeira. I e II são falsa. 
 
I , II e II sào verdadeiras. 
 
II é falsa. I e II são verdadeira. 
 
I , II e II sào falsas. 
 
I, II é verdadeira. III é falsa. 
Respondido em 04/09/2020 07:24:45 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0 
 
 y=ex+Cy=ex+C 
 y=12e3x+Cy=12e3x+C 
 y=e3x+Cy=e3x+C 
 y=13e−3x+Cy=13e-3x+C 
 y=13e3x+Cy=13e3x+C 
Respondido em 04/09/2020 07:24:58 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida 
por (t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] 
 
 
a 
 
pi 
 
a/2 
 
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 1/a 
Respondido em 04/09/2020 07:25:15 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Maximizar xy 
Sujeito a: x + 2y = 20 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
L(x,y,λ) = xy + λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y + 20) 
 
L(x,y,λ) = λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = - λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) 
 
Respondido em 04/09/2020 07:25:20 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) 
= (0,0). Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da 
afirmação. 
 
 No ponto (0,0) a função esta definida. Portanto é contínua no 
ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto 
(0,0). 
 No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o 
limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho 
estipulado e concluímos que o limite não existia. Portanto não é 
contínua no ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de um único caminho e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto 
(0,0). 
 
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Respondido em 04/09/2020 07:25:31 
 
 
 
 
 Questão 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = - λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
Respondido em 04/09/2020 07:22:12 
 
 
Explicação: 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. Aplicando o 
Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: 
y- λ = 0 
x - 2λ = 0 
-x - 2y + 20 = 0 
A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa. 
 
 
60 m2 
 
40 m2 
 50 m2 
 
100 m2 
 
20 m2 
Respondido em 04/09/2020 07:22:35 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que: 
I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. 
II: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. 
III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. 
 
 
II é falsa. I e II são verdadeira. 
 II é verdadeira. I e II são falsa. 
 
I, II é verdadeira. III é falsa. 
 
I , II e II sào falsas. 
 
I , II e II sào verdadeiras. 
Respondido em 04/09/2020 07:22:47 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0 
 
 y=12e3x+Cy=12e3x+C 
 y=e3x+Cy=e3x+C 
 y=13e−3x+Cy=13e-3x+C 
 y=ex+Cy=ex+C 
 y=13e3x+Cy=13e3x+C 
Respondido em 04/09/2020 07:22:55 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida 
por (t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] 
 
 
pi 
 1/a 
 
a 
 
a/2 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
Respondido em 04/09/2020 07:23:08 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Maximizar xy 
Sujeito a: x + 2y = 20 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
L(x,y,λ) = - λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = xy + λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) 
 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y + 20) 
 
L(x,y,λ) = λ (x + 2y - 20) 
Respondido em 04/09/2020 07:23:36 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) 
= (0,0). Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da 
afirmação. 
 
 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto 
(0,0). 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de um único caminho e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto 
(0,0). 
 No ponto (0,0) a função esta definida. Portanto é contínua no 
ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o 
limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho 
estipulado e concluímos que o limite não existia. Portanto não é 
contínua no ponto (0,0). 
Respondido em 04/09/2020 07:23:46 
 
 
 
 Questão 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z + 6) 
 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
L(x,y,λ) = - λ (2x + y + 3z - 6) 
 L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 
Respondido em 03/09/2020 21:35:23 
 
 
Explicação: 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z) 
L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) 
 
 
2 
 Questão 
 
 
Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. Aplicando o 
Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: 
y- λ = 0 
x - 2λ = 0 
-x - 2y + 20 = 0 
A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa. 
 
 
20 m2 
 
100 m2 
 
40 m2 
 50 m2 
 
60 m2 
Respondido em 03/09/2020 21:35:41 
 
 
 
3 
 Questão 
 
 
Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que: 
I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. 
II: - ( x2/ a2)+ ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. 
III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. 
 
 II é verdadeira. I e II são falsa. 
 
I, II é verdadeira. III é falsa. 
 
I , II e II sào falsas. 
 
II é falsa. I e II são verdadeira. 
 
I , II e II sào verdadeiras. 
Respondido em 03/09/2020 21:35:47 
 
 
 
4 
 Questão 
 
 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0 
 
 y=e3x+Cy=e3x+C 
 y=13e3x+Cy=13e3x+C 
 y=12e3x+Cy=12e3x+C 
 y=ex+Cy=ex+C 
 y=13e−3x+Cy=13e-3x+C 
Respondido em 03/09/2020 21:36:02 
 
 
 
5 
 Questão 
 
 
Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida 
por (t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] 
 
 1/a 
 
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a 
 
pi 
 
a/2 
Respondido em 03/09/2020 21:36:12 
 
 
 
6 
 Questão 
 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Maximizar xy 
Sujeito a: x + 2y = 20 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 
 
L(x,y,λ) = xy + λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) 
 
 
L(x,y,λ) = - λ (x + 2y - 20) 
 
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y + 20) 
 
L(x,y,λ) = λ (x + 2y - 20) 
Respondido em 03/09/2020 21:36:24 
 
 
 
7 
 Questão 
 
 
A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) 
= (0,0). Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da 
afirmação. 
 
 
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 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto 
(0,0). 
 No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o 
limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho 
estipulado e concluímos que o limite não existia. Portanto não é 
contínua no ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função esta definida. Portanto é contínua no 
ponto (0,0). 
 No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite 
quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de um único caminho e 
concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto 
(0,0). 
Respondido em 03/09/2020 21:36:34 
 
 
 
 
 
 
 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 
 (2t , cos t, 3t
2) 
 
 
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 (2 , - sen t, t
2) 
 (2t , - sen t, 3t
2) 
 
 
(t , sen t, 3t2) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
 
(2,sen 1, 3) 
 
 
(2,cos 4, 5) 
 
(2,cos 2, 3) 
 
 
(2,0, 3) 
 
 
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3. 
 
 
Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada 
instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada a seguinte equação Z=((3t)2−4t)i+(1+2t)j+2tkZ=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações 
paramétricas que representa ela são: 
 
 
x = ((6t)2−2t)((6t)2-2t) e y = 2t 
 
 
 
x=t+1x=t+1 e y=t2+2ty=t2+2t 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t(4t)2+2t e Z = 2t 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (1+2t) 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = 2t 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈∈ [0,4ππ], 
determine o comprimento da hélice C. 
 
 
4 ππ 
 
4 √ 20 20 ππ 
 
 
20 ππ 
 
 20 
 
 ππ 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em 
cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) 
 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
 
 
V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 
 
 
V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 
 
 
V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o 
comprimento da curva entre 0≤t≤π40≤t≤π4 . 
 
 
 √ 2 π162π16 
 
 √ 2 π22π2 
 
 2π2π 
 √ 2 π42π4 
 
 √ 2 π82π8 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização ( r cos t, r sen t) , 
0 ≤ t ≤ 2 ππ. Determine o comprimento desta circunferência. 
 
 
4 ππ 
 
 
4 ππ r / 3 
 
 
2 ππ 
 
2ππ r 
 
 
π2π2 
 
 
Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 
 
x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
 
x = 3t+1 
 
 
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x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, 
determine o vetor normal que representa a curva 
entre 0≤ t≤π40≤ t≤π4. 
 
 
 N(t) = −senti−costj2-senti-costj2 
 
 N(t) = -sent-cost 
 N(t) = -senti-costj 
 
 N(t) = −senti−costj4-senti-costj4 
 
 N(t) = senti + costj + 1 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos 
por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o 
limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos 
carros será multado e se for o caso qual deles será multado. 
 
 
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O carro R2 será multado. 
 
 
Nenhum dos dois carros será multado 
 
O carro R1 será multado. 
 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 
3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 
 
 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 x + 2y + 3z - 9 = 0 
 x + y + z - 3 = 0 
 
 6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 
0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > como vetor normal? 
 
 x + y + z + 3 = 0 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 y - z + 3 = 0 
 
 x - y + z = 0 
 
 x - y + 3 = 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 
-3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 > como vetor normal? 
 
 3x - 2y - 6z = 0 
 
 3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 
 3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 6x + 3y + 2z + 34 = 0 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 
Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos 
pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 
 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 
 
 
 
6. 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz édado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção 
com o eixo z. 
 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, 
x maior ou igual a zero. 
 
 (cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 (a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
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 (a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 (a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do 
eixo z. Podemos afirma que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta 
parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta 
parábola em torno do eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta 
parábola em torno do eixo z é um cone. 
 
 I, II e III são verdadeiras 
 
 III é verdadeira. I e II falsas 
 
 I, II, III são falsas 
 
 II é verdadeira. I e III são falsas 
 I é verdadeira . II e III são falsas 
 
 
 
 
3. 
 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a 
elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é 
a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é 
a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 
 
 I, II e III sao verdadeiras 
 I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
 I e III sao falsas e II verdadeira 
 
 I, II e III são falsas 
 
 I e II sao verdadeiras e III falsa. 
 
 
 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) 
tende a (1,2). 
 7/9 
 
 3/6 
 
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 3 
 
 5/6 
 
 
 
 
2. 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
 
{(x,y)  3| x+y ≥ - 2} 
 
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 {(x,y)  2| x+y = 2} 
 
{(x,y)  2| x+y ≥ 2} 
 
 
{(x,y)  2| x+y2 ≥ 2} 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a 
(1,2). 
 
 O limite será 1. 
 
 O limite será 0. 
 O limite será 14. 
 
 O limite será 14xy. 
 
 O limite será xy. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a 
(1,2). 
lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14 
 
 
 
 
4. 
 
 
A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
 
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 uma parábola passando na origem. 
 
 um ponto na origem 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o 
trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
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F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2 , tais que: 
 
 Df={ (x,y)  R
2/ x y } 
 
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 Df={ (x,y)  R
2/ x < y } 
 Df={ (x,y)  R
2/ x  y } 
 
 Df={ (x,y)  R
2/ x  y } 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com 
base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é 
harmônica. 
 
 A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
 
 A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 A função não é harmônica. 
 
 A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
 
 
Explicação: 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com 
base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é 
harmônica. 
A equação de Laplace é dada por 
∂2f∂x2+∂2f∂y2=0 
 que podemos escrever como fxx + fyy= 0 
Portanto precisamos encontra a fxx e fyy da função 
fx = 2x / (x2 + y2) 
fy = 2y / (x2 + y2) 
fxx = (-2x2 + 2y2) /(x2 + y2)2 
fyy= (2x2 - 2y2) /(x2 + y2)2 
Portanto a soma dos dois temos será zero, isto é, fxx + fyy= 0 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de 
f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2). 
 
 O limite será 0. 
 
 O limite será 3. 
 
 O limite será 7. 
 
 O limite será 9. 
 O limite será 2. 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
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 A parametrização de uma curva é única. 
 A parametrização de uma curva não é única. 
 
 Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) 
com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 v(t) = 1 
 
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 v(t) = 50 
 
 v(t) =30 
 
 v(t) = 20 
 
 
 
 
6. 
 
 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando 
(x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
podemos afirmar que: 
 
 limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
 limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, 
y) tende a (-1,2). 
 
 o Limite será 0. 
 
 o Limite será 1. 
 o Limite será 12. 
 
 o Limite será 9. 
 
 o Limite será 5. 
 
 
Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y + 
y(1/2) , calcule a taxa de variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u = (5, - 2) 
 11 / (29)
(1/2) 
 
 12/3 
 
 5/7 
 
 2/3 
 
 8 
 
 
 
Explicação: 
Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y +√ y 
 , calcule a taxa de variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u = (5, - 2) 
fx = 2x y 
fy = x2 = (1/2) y-1/2 
fxx = 2y 
fyy = 
∂f∂u(2,1)=∇f(2,1).u||u||= 
11 / (29)(1/2) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; 
 
 
 y = 1 - √ x 
 
 √ x 
 - 1 
 
y = 
- 
√ x 
- 3 
 
 √ x 
+ 1 
 
 
y 
=√ x 
+ 4 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a derivada direcional da função f(x,y)=x2+y2 
 no ponto P(1,2), na direção do vetor →v=(−3,4) 
 
 
 1 
 
 3 
 
 4 
 2 
 
 5 
 
 
 
Explicação: 
f(x,y)=x2+y2 
 
∇f=(2x,2y) 
∇f(1,2)=(2,4) 
 
∣∣→v∣∣=√9+16=5 
Vetor unitario: 
→w=→v|v|=(−35,45) 
Dv=→wx∇f 
Dv=(2,4).(−35,45) 
Dv=−65+165 
 Dv=2 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule o gradiente da função f(x,y,z)=ln√ x2+y2 
 
no ponto P(3,4). 
 
 ∇→f=(−325,−425) 
 
 ∇→f=(−35,45) 
 
 ∇→f=(35,45) 
 
 ∇→f=(25,35) 
 ∇→f=(325,425) 
 
 
 
Explicação: 
∇→f=(xx2+y2,yx2+y2) 
∇→f=39+16,49+16 
∇→f=(325,425) 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=xyez+yzex 
 na direção do vetor →v=(2,2,1) 
 
 
 Dv= y+yzex+23xez+zex+ xyez+yex 
 Dv=23yez+yzex+23xez+zex+13xyez+yex 
 
 Dv=23yez+yzex+ xez+zex+13xy+ex 
 
 Dv=23xez+zex+23xez+zex+13xyez+yex 
 
 Dv=yez+yzex+xez+zex+ xyez+yex 
 
 
 
Explicação: 
f(x,y,z)=xyez+yzex 
 
∇f=(yez+yzex,xez+zex,xyez+yex) 
∣∣→v∣∣=√4+4+1=√9=3Vetor unitario: 
→w=→v|v|=(23,23,13) 
Dv=→w .∇f 
Dv=(yez+yzex,xez+zex,xyez+yex).(23,23,13) 
Dv=23yez+yzex+23xez+zex+13xyez+yex 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor unitário u = (3/5)i+(-
4/5)j, no ponto P=(1,-2) tem valor de: 
 
 10/3 
 
 13/4 
 8/5 
 
 18/7 
 11/2 
 
 
 
Explicação: 
f(x,y)=6x3+xy 
 
∇f=(6x2,y) 
∇f(1,−2)=(4,1) 
 Vetor unitario: 
→w=→v|v|=(−35,45) 
Dv=→wx∇f 
Dv=(4,1).(35,−45) 
Dv=125−45 
 Dv=85 
 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 
5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 2 ) ? 
 
 
 x + 2y + 4z - 4 = 0 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a curvatura da função y = x2 na origem 
 
 
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 5 
 
 4 
 
 55 
 2 
 
 
 
 
3. 
 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
 O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 
 O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
 O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 
 O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e 
tem N = < 1, 2, -3 > como vetor normal? 
 
 -x - 2y + 3z + 1 = 0 
 
 -x + 2y + 3z + 1 = 0 
 
 2x + 3y - z + 1 = 0 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 3x + 2y - z + 1 = 0 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). 
 
 
 2 
 
 5 
 
 Nenhuma das respostas anteriores. 
 3/4 
 
 4 
 
 
 
 
1. 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 (- cos t, sen t , 1) 
 
 (- sen t, cos t , t) 
 (- sen t, cos t , 1) 
 
 (sen t, cos t , 1) 
 
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2. 
 
 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
 
 
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 x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 
 
 x(t) = a cos t y(t) = b sen t 
 
 x(t) = r sen t y(t) = r cos t 
 x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
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 4xy - 34x = 0 
 
 3y + 2x
2 -10 = 0 
 3y + 2x - 10 = 0 
 
 Não representa nenhuma curva. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus 
movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e 
s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Determine o ponto de 
encontro das estradas. 
 
 x = 20 e y = 30 
 x= 10 e y = 50 
 
 x = 30 e y = 10 
 
 x = 10 e y = 5 
 
 x = 1 e y = 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent) 
. Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)h 
 
 ( -sent, cos t) 
 
 1 
 
 0 
 
 ( sen t, - cos t) 
 
 ( - sen t, - cos t) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
 
 f (t) = (t, t
2 -4) 
 
 f (t) = (t, t -4) 
 
 f (t) = (t, t
2) 
 
 f (t) = (t, t
3 -4) 
 
 f (t) = (t, t
3 - 5) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) 
com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 v(t) = 1 
 
 v(t) = 20 
 
 v(t) = 50 
 
 v(t) = 15 
 
 v(t) =30 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a parametrização da ciclóide 
 
 
 (t) = (r ( - sen ), r ( cos )) ,   . 
 
 (t) = (r ( -cos ), r (1 -sen )) ,   . 
 (t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) ,   . 
 
 (t) = ( sen , r cos ) ,   . 
 
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Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 (2 , - sen t, t
2) 
 
 (t , sen t, 3t
2) 
 
 
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 (2t , - sen t, 3t
2) 
 
 (2t , cos t, 3t
2) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
(2,cos 2, 3) 
 
 
(2,cos 4, 5) 
 
 
(2,0, 3) 
 
 
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(2,sen 1, 3) 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada 
instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada a seguinte equação Z=((3t)2−4t)i+(1+2t)j+2tkZ=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações 
paramétricas que representa ela são: 
 
 
x = ((6t)2−2t)((6t)2-2t) e y = 2t 
 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = 2t 
 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (1+2t) 
 
x = ((3t)2−4t)((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t(4t)2+2t e Z = 2t 
 
 
x=t+1x=t+1 e y=t2+2ty=t2+2t 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈∈ [0,4ππ], 
determine o comprimento da hélice C. 
 
4 √ 20 20 ππ 
 
 20 
 
 ππ 
 
 
20 ππ 
 
 
4 ππ 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em 
cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
 
 
V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) 
 
 
V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) 
 
 
V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 
 
 
V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o 
comprimento da curva entre 0≤t≤π40≤t≤π4 . 
 
 
 √ 2 π162π16 
 
 2π2π 
 
 √ 2 π22π2 
 √ 2 π42π4 
 
 √ 2 π82π8 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização ( r cos t, r sen t) , 
0 ≤ t ≤ 2 ππ. Determine o comprimento desta circunferência. 
 
 
π2π2 
 
2ππ r 
 
 
4 ππ 
 
 
4 ππ r / 3 
 
 
2 ππ 
 
 
 
Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
 
 
x = 3t+1 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 
 
 
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x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
 
 
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, 
determine o vetor normal que representa a curva 
entre 0≤ t≤π40≤ t≤π4. 
 
 
 N(t) = -sent-cost 
 
 N(t) = −senti−costj4-senti-costj4 
 
 N(t) = senti + costj + 1 
 N(t) = -senti-costj 
 
 N(t) = −senti−costj2-senti-costj2 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos 
por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o 
limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos 
carros será multado e se for o caso qual deles será multado. 
 
 
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Nenhum dos dois carros será multado 
 
 
O carro R2 será multado. 
 
 
Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. 
 
O carro R1 será multado. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 
3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 
 6x - 3y - 2z + 3 = 0 
 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 x + 2y + 3z - 9 = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 
0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > como vetor normal? 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 
 x + y + z + 3 = 0 
 y - z + 3 = 0 
 
 x - y + z = 0 
 
 x - y + 3 = 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 
-3, 2, 5 ) e tem N = <6, -3, -2 > como vetor normal? 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 3x - 2y - 6z = 0 
 
 6x + 3y + 2z + 34 = 0 
 
 3x - 2y - 6z + 17 = 0 
 
 3x + 2y + 6z + 17 = 0 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção 
com o eixo z. 
 
 
I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 
 
 
I, II, III, e IV sao falsas 
 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
 
I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 
 
 
I, II, III, e IV sao verdadeiras 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 
 
Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. 
 
 
Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. 
 
Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
 
Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos 
pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 
 x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, 
x maior ou igual a zero. 
 
 
(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
(a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
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(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
 
 
 
2. 
 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) 
+(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) 
+(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) 
-(z2 / c2)= 1 
 
I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
 
I, II e III sao verdadeiras 
 
 
I e III sao falsas e II verdadeira 
 
 
I e II sao verdadeiras e III falsa. 
 
 
I, II e III são falsas 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos afirma 
que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do 
eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do 
eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z 
é um cone. 
 
 
II é verdadeira. I e III são falsas 
 
 
I, II, III são falsas 
 
I é verdadeira . II e III são falsas 
 
 
III é verdadeira. I e II falsas 
 
 
I, II e III são verdadeiras 
 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a 
(1,2). 
 
 
3/6 
 
 
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7/9 
 
 
5/6 
 
 
3 
 
 
 
 
2. 
 
 
A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
 
 
uma parábola passando na origem. 
 
 
 
 
 
um ponto na origem 
 
 
 
 
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3. 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
 
 
 {(x,y)  2| x+y = 2} 
 
 
{(x,y)  2| x+y2 ≥ 2} 
 
{(x,y)  2| x+y ≥ 2} 
 
 
{(x,y)  3| x+y ≥ - 2} 
 
 
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4. 
 
 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
 
 
O limite será 14. 
 
 
O limite será xy. 
 
 
O limite será 14xy. 
 
 
O limite será 0. 
 
 
O limite será 1. 
 
 
 
Explicação: 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14lim(x,y)→(1,2)1∗2+3∗1∗22=14 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o 
trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-
1,2). 
 
 
O limite será 3. 
 
 
O limite será 9. 
 
 
O limite será 0. 
 
 
O limite será 7. 
 
O limite será 2. 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). 
 
 
 
o Limite será 1. 
 
 
o Limite será 9. 
 
 
o Limite será 5. 
 
o Limite será 12. 
 
 
o Limite será 0. 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2 , tais 
que: 
 
 
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Df={ (x,y)  R2/ x y } 
 
Df={ (x,y)  R2/ x  y } 
 
 
Df={ (x,y)  R2/ x < y } 
 
 
Df={ (x,y)  R2/ x  y } 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a 
zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 
 
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v(t) = 50 
 
 
v(t) =30 
 
v(t) = 1 
 
 
v(t) = 20 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição 
analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
 
 
A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
A função não é harmônica. 
 
 
A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace 
 
 
 
Explicação: 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição 
analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
A equação de Laplace é dada por 
∂2f∂x2+∂2f∂y2=0∂2f∂x2+∂2f∂y2=0 que podemos escrever como fxx + fyy= 0 
Portanto precisamos encontra a fxx e fyy da função 
fx = 2x / (x2 + y2) 
fy = 2y / (x2 + y2) 
fxx = (-2x2 + 2y2) /(x2 + y2)2 
fyy= (2x2 - 2y2) /(x2 + y2)2 
Portanto a soma dos dois temos será zero, isto é, fxx + fyy= 0 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
 
 
 
Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
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A parametrização de uma curva não é única. 
 
 
Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 
 
 
A parametrização de uma curva é única. 
 
 
 
 
7. 
 
 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando 
(x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
podemos afirmar que: 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
 
 
 
Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y + y(1/2) , calcule a taxa de 
variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u = (5, - 2) 
 
 
5/7 
 
11 / (29)(1/2) 
 
 
12/3 
 
 
2/3 
 
 
8 
 
 
 
Explicação: 
Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveisf(x,y) = x2 y +√ y y , calcule a taxa 
de variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u = (5, - 2) 
fx = 2x y 
fy = x2 = (1/2) y-1/2 
fxx = 2y 
fyy = 
∂f∂u(2,1)=∇f(2,1).u||u||=∂f∂u(2,1)=∇f(2,1).u||u||= 
11 / (29)(1/2) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; 
 
 
 
√ x x + 1 
 
 
y =√ x x + 4 
 
 
√ x x - 1 
 
 
y = 1 - √ x x 
 
y = - √ x x - 3 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a derivada direcional da função f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2 no ponto P(1,2)P(1,2), na 
direção do vetor →v=(−3,4)v→=(-3,4) 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
5 
 
2 
 
 
3 
 
 
 
Explicação: 
f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2 
∇f=(2x,2y)∇f=(2x,2y) 
∇f(1,2)=(2,4)∇f(1,2)=(2,4) 
 
∣∣→v∣∣=√9+16=5|v→|=9+16=5 
Vetor unitario: 
→w=→v|v|=(−35,45)w→=v→|v|=(-35,45) 
Dv=→wx∇fDv=w→x∇f 
Dv=(2,4).(−35,45)Dv=(2,4).(-35,45) 
Dv=−65+165Dv=-65+165 
 Dv=2Dv=2 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule o gradiente da função f(x,y,z)=ln√ x2+y2 f(x,y,z)=lnx2+y2 no ponto P(3,4). 
 
 
 
∇→f=(−325,−425)∇f→=(-325,-425) 
 
 
∇→f=(25,35)∇f→=(25,35) 
 
 
∇→f=(−35,45)∇f→=(-35,45) 
 
 
∇→f=(35,45)∇f→=(35,45) 
 
∇→f=(325,425)∇f→=(325,425) 
 
 
 
Explicação: 
∇→f=(xx2+y2,yx2+y2)∇f→=(xx2+y2,yx2+y2) 
∇→f=39+16,49+16∇f→=39+16,49+16 
∇→f=(325,425)∇f→=(325,425) 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor unitário u = (3/5)i+(-4/5)j, no ponto 
P=(1,-2) tem valor de: 
 
8/5 
 
 
18/7 
 
 
11/2 
 
 
10/3 
 
 
13/4 
 
 
 
Explicação: 
f(x,y)=6x3+xyf(x,y)=6x3+xy 
∇f=(6x2,y)∇f=(6x2,y) 
∇f(1,−2)=(4,1)∇f(1,-2)=(4,1) 
 Vetor unitario: 
→w=→v|v|=(−35,45)w→=v→|v|=(-35,45) 
Dv=→wx∇fDv=w→x∇f 
Dv=(4,1).(35,−45)Dv=(4,1).(35,-45) 
Dv=125−45Dv=125-45 
 Dv=85Dv=85 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a derivada direcional da função f(x,y,z)=xyez+yzexf(x,y,z)=xyez+yzex na 
direção do vetor →v=(2,2,1)v→=(2,2,1) 
 
 
Dv=23yez+yzex+ xez+zex+13xy+exDv=23yez+yzex+ xez+zex+13xy+ex 
 
 
Dv=yez+yzex+xez+zex+ xyez+yexDv=yez+yzex+xez+zex+ xyez+yex 
 
 
Dv= y+yzex+23xez+zex+ xyez+yexDv= y+yzex+23xez+zex+ xyez+yex 
 
 
Dv=23xez+zex+23xez+zex+13xyez+yexDv=23xez+zex+23xez+zex+13xyez+yex 
 
Dv=23yez+yzex+23xez+zex+13xyez+yexDv=23yez+yzex+23xez+zex+13xyez+yex 
 
 
 
Explicação: 
f(x,y,z)=xyez+yzexf(x,y,z)=xyez+yzex 
∇f=(yez+yzex,xez+zex,xyez+yex)∇f=(yez+yzex,xez+zex,xyez+yex) 
∣∣→v∣∣=√4+4+1=√ 9 =3|v→|=4+4+1=9=3 
Vetor unitario: 
→w=→v|v|=(23,23,13)w→=v→|v|=(23,23,13) 
Dv=→w .∇fDv=w→ .∇f 
Dv=(yez+yzex,xez+zex,xyez+yex).(23,23,13)Dv=(yez+yzex,xez+zex,xyez+yex).(23,23,13) 
Dv=23yez+yzex+23xez+zex+13xyez+yex 
 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
 
O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a curvatura da função y = x2 na origem 
 
 
 
55 
 
 
5 
 
 
4 
 
2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos 
pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 2 ) ? 
 
 
 x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 x + y + z - 3 = 0 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
 
 x + 2y + 4z - 4 = 0 
 
 6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, -3 > 
como vetor normal? 
 
 
2x + 3y - z + 1 = 0 
 
 
3x + 2y - z + 1 = 0 
 
 
-x - 2y + 3z + 1 = 0 
 
x + 2y - 3z + 1 = 0 
 
 
-x + 2y + 3z + 1 = 0 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). 
 
 
 
4 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores. 
 
3/4 
 
 
2 
 
 
5 
 
 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. 
Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
1. 
 
 
(h tendendo a zero) 
 
 
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(sen t, cos t , 1) 
 
(- sen t, cos t , 1) 
 
 
(- sen t, cos t , t) 
 
 
(- cos t, sen t , 1) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
 
 
 
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x(t) = r sen t y(t) = r cos t 
 
 
x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 
 
x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
 
 
x(t) = a cos t y(t) = b sen t 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 
 
 
 
Não representa nenhuma curva. 
 
 
3y + 2x2 -10 = 0 
 
3y + 2x - 10 = 0 
 
 
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4xy - 34x = 0 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus 
movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e 
s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Determine o ponto de 
encontro das estradas. 
 
x= 10 e y = 50 
 
 
x = 10 e y = 5 
 
 
x = 30 e y = 10 
 
 
x = 1 e y = 0 
 
 
x = 20 e y = 30 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). 
Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 
( sen t, - cos t) 
 
 
1 
 
( -sent, cos t) 
 
 
0 
 
 
( - sen t, - cos t) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
 
 
 
f (t) = (t, t3 -4) 
 
 
f (t) = (t, t3 - 5) 
 
f (t) = (t, t2 -4) 
 
 
f (t) = (t, t -4) 
 
 
f (t) = (t, t2) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) 
com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem 
 
 
 
v(t) =30 
 
 
v(t) = 20 
 
v(t) = 1 
 
 
v(t) = 50 
 
 
v(t) = 15 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a parametrização da ciclóide 
 
 
 
(t) = (r ( -cos ), r (1 -sen )) ,   . 
 
 
(t) = ( sen , r cos ) ,   . 
 
 
(t) = (r ( - sen ), r ( cos )) ,   . 
 
(t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) ,   . 
 
 
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