AULA 2 - RETA

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR
Aula 2
Prof. Baggio
Reta
Equação geral
y
0
r
x
B(𝑥2, 𝑦2)
P(x,y,)
A(𝑥1, 𝑦1)
A reta r passa pelos pontos A(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) e B(𝒙𝟐, 𝒚𝟐).
Seja P(x,y,) um ponto genérico qualquer. Aplicando a 
condição de alinhamento de três pontos, temos: 
Reta
1 1 1
𝑥1 𝑥2 𝑥
𝑦1 𝑦2 𝑦
= 0
Desenvolvendo o determinante:
𝑥2 𝑦 - 𝑥𝑦2 − 𝑥1 𝑦+ 𝑥𝑦1+𝑥1𝑦2-𝑥2𝑦1 = 0
𝑥(𝑦1- 𝑦2)+ 𝑦(𝑥2-𝑥1)+(𝑥1𝑦2-𝑥2𝑦1) = 0
Como 𝑥1, 𝑦1, 𝑥2 e 𝑦2 são constantes, chamamos:
𝑦1- 𝑦2 = a 𝑥2-𝑥1= b e 𝑥1𝑦2-𝑥2𝑦1 =c
Obtemos a equação
a 𝒙 + b𝒚 + c = 0, com a ou b ≠ 0
Pertinência de ponto em reta
Exemplo:
2x + 3y - 6 = 0
x + 2y – 4 = 0
Reta
Para um ponto pertencer a uma reta, suas 
coordenadas deverão satisfazer a equação da reta.
Reta
Exemplos:
1 – O ponto P(1,2) pertence à reta x+3y-7=0 ?
2 – O ponto P(-1,3) pertence à reta 2x-y+4=0 ? 
Atenção: Um equação é sempre uma lei à qual as 
coordenadas dos pontos que compõem aquela 
figura tem que obedecer.
Os pontos de uma reta tem que atender à relação 
entre abscissa e ordenada que a equação da reta 
estabelece.
Gráfico da reta
Dois pontos definem uma reta.
Exemplo: Dada a reta 2x+y-4=0, traçar o gráfico da reta.
x y
0
2 0
4 y
x0
(0,4)
(2,0)
Equação reduzida da reta
Para definirmos a equação reduzida da reta, basta 
colocarmos em evidência o y.
a 𝑥 + b𝑦 + c = 0
y=−
𝑎
𝑏
𝑥 −
𝑐
𝑏
se chamarmos −
𝑎
𝑏
= m e −
𝑐
𝑏
= p
Definimos a equação reduzida da reta.
y = mx + p
Onde: m = coeficiente angular da reta
p = coeficiente linear da reta.
Obs. A reta que passa pela origem tem p=0
Equação reduzida da reta
Na dedução da equação geral da reta, tínhamos:
𝑥(𝑦1- 𝑦2)+ 𝑦(𝑥2-𝑥1)+(𝑥1𝑦2-𝑥2𝑦1) = 0
Se isolarmos o y teremos:
y = 
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝑥 + p
Equação reduzida da reta
Dado o gráfico abaixo, observe:
y
𝑥1
A
B
x𝑥2
𝑦2
𝑦1
0
θ
θ
𝑥2- 𝑥1
𝑦2- 𝑦1
A razão m = 
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
é constante para dois pontos distintos
quaisquer da reta e é igual à tangente de (ângulo de 
inclinação da reta).
θ
Equação reduzida da reta
Logo, 
m = tg = 
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Nota: m=tg é o coeficiente angular ou declive da 
reta e (inclinação) é o ângulo que a reta faz com o 
eixo das abscissas com abertura voltada para o 
sentido positivo do eixo.
Inclinação de reta é o menor ângulo pelo qual 
deveríamos girar o x em torno da interseção com a 
reta, no sentido anti-horário, para coincidir com a 
mesma.
θ
θ
θ
Equação reduzida da reta
p > 0 < 90° ⇒ m>0
p < 0 < 90° ⇒ m>0 
p > 0 > 90° ⇒ m<0 
p < 0 > 90° ⇒ m<0 
p = 0 < 90° ⇒ m>0
θ p
θ
p
θ
p
θ
pθ
x
y
y
y
y
x
x
x
x
y
0
0
0
0
0
Equação reduzida da reta
p = 0 > 90° ⇒ m<0
p ∈ R = 0° ⇒ m=0
∄coeficiente liner e angular
Interseção de r com y=∅
Tg 90°= ∄
θ
p
θ
p
0
y
y
x
y
x
x0
0
Equação reduzida da reta
Exemplo:
1 – Determinar os coeficientes angular e linear da 
reta 6x-2y+2=0.
-2y = -6x-2
y = 3x +1, então: m=3 e p =1
Equação reduzida da reta
2 – Determinar os coeficientes angular e linear da 
reta do gráfico:
y
x
0
(0,4)
45°
m = tg 45°
m = 1 e p = 4 
Retas Particulares
1º) x = k (k constante)
0 x
y x = k
k
A reta é paralela ao eixo dos y
Retas Particulares
2º) x = 0
A equação do eixo dos y
y
x0
x = 0
Retas Particulares
3º) y = k (k constante)
A reta é paralela ao eixo dos x
y = k
0
y
x
k
Retas Particulares
4º) y = 0
Equação do eixo dos x
y = 0
y
x0
Retas Particulares
5º) y = x
β13
Bissetriz dos quadrantes ímpares
y
x =y
0 x
Retas Particulares
6º) y = -x
β24
Bissetriz dos quadrantes pares
y
0 x
y = -x
Equação da Reta que passa por Dois Pontos
Sejam A (𝑥1,𝑦1) e B(𝑥2𝑦2) pertencentes à reta r e 
P(𝑥, 𝑦) um ponto genérico desta mesma reta.
M
rP
B
A
0 x
y
N
𝑥1 𝑥𝑥2
𝑦1
𝑦2
𝑦
∆ANP ~ ∆AMB
PN = y - 𝑦1
BM = 𝑦2 - 𝑦1
NA = 𝑥 - 𝑥1
AM = 𝑥2 - 𝑥1
Logo, PN/BM = NA/AM
Substituindo temos: 𝒚− 𝒚𝟏
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
=
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Equação da Reta que passa por Dois Pontos
Exemplo:
Dê a equação geral da reta que passa por A(1,-1) e 
B(2,0).
y − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
∴
y − (−1)
0 − (−1)
=
𝑥 − 1
2 − 1
∴
y+1
1
=
𝑥 − 1
1
∴ 𝒙 − 𝐲 − 𝟐 = 𝟎
Coeficiente Angular
Coeficiente angular da reta que passa por dois pontos.
y − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
⇒
y − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
1
𝑥2 − 𝑥1
. 𝑥 − 𝑥1 ⇒
y − 𝑦1= 
𝑦2− 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
. 𝑥 − 𝑥1 ⇒ y =
𝑦2− 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
. 𝑥 −
𝑦2− 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
. 𝑥1 + 𝑦1
m = 
𝑦2− 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Exemplo: Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos 
pontos A(-1,0) e B(2,1).
m = 
𝑦2− 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
= 
1−0
2−(−1)
= 
1
2+1
∴ m =
1
3
Equação Segmentária da Reta
Observe a figura:
y − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
∴
y − q
0 − q
=
𝑥− 0
p − 0
∴ q𝑥+ p y = p q
Dividindo-se a equação por pq, temos:
𝒙
𝒑
+ 
𝐲
𝒒
= 1
y
(0,q)
0 x
(p,0)
p
q
Equação Segmentária da Reta
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta da figura 
a seguir:
0
y
x3
-2
𝑥
𝑝
+ 
𝑦
𝑞
= 1
𝒙
𝟑
+ 
𝒚
−𝟐
= 1
Equação do feixe de retas
Pelo desenvolvimento anterior:
y − 𝑦1= 
𝑦2− 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
. 𝑥 − 𝑥1 como 
𝑦2− 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=m,
temos 𝐲 − 𝒚𝟏=m(𝒙 − 𝒙𝟏) com 𝒙 ≠ 𝒙𝟏
Pois a reta 𝑥 = 𝑥1não possui coeficiente angular. Então,
𝒚 − 𝒚𝟏=m(𝒙 − 𝒙𝟏) é a equação do feixe de retas a menos 
de 𝑥 = 𝑥1
y
x
𝑦1
𝑥1
Equação Paramétrica da Reta
Equação Paramétrica da reta
Vimos que a equação da reta pode aparecer nas 
formas geral, reduzida e segmentária.
Porém existe mais uma, a forma paramétrica. Onde 
as coordenadas x e y dos pontos da reta são dadas 
em função de uma terceira variável t.
ቊ
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
Exemplo:
A reta r é definida na forma paramétrica por 
ቊ
𝑥 = 𝑡 + 1
𝑦 = 2𝑡
Para t = 5, temos ቊ
𝑥 = 5 + 1 = 6
𝑦 = 2.5 = 10
Logo, (6,10) é um ponto dessa reta.
Nota: Para determinar uma equação geral da reta r, 
podemos obter t em uma das equações 
paramétricas e substituí-lo na outra:
𝑥 = 𝑡 + 1 ⟹ 𝑡 = 𝑥 − 1
𝑦 = 2(𝑥 − 1)⟹ 𝑦 = 2 𝑥 - 2 ⟹ 2 𝒙 - 𝒚 - 2 =0