AULA 7 - PARABOLA

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GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEAR
Aula 7
Prof. Baggio
Parábola 
Consideremos um cone circular reto seccionado por um 
plano paralelo a geratriz, conforme figura:
Parábola 
A secção cônica obtida é 
chamada de Parábola.
Parábola 
Definições e elementos:
Inicialmente consideremos, no plano do papel, uma reta 
d e um ponto F que não pertence a ela.
F
d
Vamos marcar, agora, uma série de
pontos que estão a uma mesma distância
do ponto fixado F e da reta d. Na prática,
isso pode ser feito com o auxílio de uma
régua, um esquadro, lápis, alfinete e
barbante.
Parábola 
Parábola 
Construindo o gráfico ponto a ponto teremos:
B
C
D
V
F
E
H
G
A
D F
d
┐
Parábola 
A parábola é o conjunto de todos os pontos do plano que estão à 
mesma distância de F e d.
B
C
D
V
F
E
H
G
A
D F
d
┐
Elementos principais:
F → Foco
d→ diretriz
V → vértice (pto médio FD)
eixo de simetria→ é a
reta que passa por F e é ⊥a
d → 𝐃𝑭
p →parâmetro →p = 2c
Logo, c = 
𝒑
𝟐
c-c
p
Parábola 
Concluímos que parábola é o lugar geométrico dos 
pontos do plano que distam igualmente de uma reta fixa 
d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não 
pertencente à diretriz, chamado foco.
Equações da Parábola:
A partir do foco (F) e da diretriz (d) chegamos a equação 
da parábola formada por todos os pontos P(x,y) do 
plano tal que d(P,F) = d(P,d).
Parábola 
Equação reduzida da Parábola:
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal com origem no 
vértice da parábola e eixo das abscissas passando pelo foco. 
F
V
d
𝒑
𝟐
−
𝒑
𝟐
x
y
P(x,y)P’
𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙
Nessas condições, chama-se equação reduzida da 
parábola a equação que P(x,y), ponto genérico da 
curva. P ∈ parábola ⇔ PF=PP’
Se F a direita do vértice Se F a esquerda do vértice
𝒚𝟐 = −𝟐𝒑𝒙
Se F acima do vértice
Se F no eixo x (abscissa)
Se F no eixo y (ordenadas)
Se F abaixo do vértice
𝒙𝟐 = 𝟐𝒑𝒚 𝒙𝟐 = −𝟐𝒑𝒚
Logo, o foco é F(
𝑝
2
, 0) e a diretriz d tem equação: 𝒙 =
𝒑
𝟐
Parábola 
A partir do foco e da diretriz é possível determinar o 
vértice V(𝒙𝒗, 𝒚𝒗) e o valor de 𝐜.
Existem 4 casos possíveis de equação da parábola.
1º caso:
FV
d
(𝒚 − 𝒚𝒗)
𝟐 = 4c (𝐱 − 𝒙𝒗)
Parábola 
2º caso:
F V
d
(𝒚 − 𝒚𝒗)
𝟐 = - 4c (𝐱 − 𝒙𝒗)
Parábola 
3º caso:
F
V
d
(𝒙 − 𝒙𝒗)
𝟐 = 4c (𝐲 − 𝒚𝒗)
Parábola 
4º caso:
V
F
d
(𝒙 − 𝒙𝒗)
𝟐 = - 4c (𝐲 − 𝒚𝒗)
Parábola 
Exemplo 1: Determinar a equação da parábola que tem 
como diretriz a reta de equação x = -4 e como foco o 
ponto P(6,2). 
F(6,2)
V
d
y
x
P(x,y)Q(-4,y)
D(-4,2)
• O V é o pto médio de FD;
• A distância de V e F = c
• Os pontos P(x,y) são / d(P,F) 
= d(P,Q). 
0-4
2
6
Parábola 
• O V é o pto médio de FD;
V 
6−4
2
,
2+2
2
⇒ V 1,2
• A distância de V e F = c
c = (6 − 1)2+(2 − 2)2 ⇒ c = 5
• Os pontos P(x,y) são tais que d(P,F) = d(P,Q). 
(𝑥 − 6)2+(𝑦 − 2)2= (𝑥 + 4)2+(𝑦 − 𝑦)2⇒
(𝑥 − 6)2+(𝑦 − 2)2=(𝑥 + 4)2⇒
(𝑦 − 2)2=(𝑥 + 4)2-(𝑥 − 6)2⇒
(𝑦 − 2)2= 𝑥2 + 8𝑥 + 16 − 𝑥2 + 12𝑥 − 36 ⇒
(𝑦 − 2)2= 20𝑥 − 20 ⇒
(𝒚 − 𝟐)𝟐= 𝟐𝟎(𝒙 −1)
Parábola 
(𝒚 − 𝟐)𝟐= 𝟐𝟎(𝒙 −1)
(𝒚 − 𝟐)𝟐= 𝟒. 𝟓(𝒙 −1)
𝑦𝑣 𝑥𝑣
4.5
c
(𝒚 − 𝟐)𝟐= 𝟐𝟎(𝒙 −1)
Parábola 
Esboçando o gráfico:
F(6,2)
V(1,2)
X= - 4
Logo,
F(6,2) e a diretriz x = - 4
Parábola 
Exemplo 2: Determinar a equação da parábola de foco 
F(0,-5) e diretriz y=5.
V(0,0)
F(0,-5)
d
x
y
P(x,y)
(x,5)
(y=5)
Propriedade do ponto P(x,y) da 
parábola: d(P,F) = d(P,d)
d(P,F)= (𝑥 − 0)2+(𝑦 + 5)2 =
𝑥2 + (𝑦 + 5)2
d(P,d) = (𝑥 − 𝑥)2+(𝑦 − 5)2. 
Como as distâncias são iguais e 
elevando ambos os lados ao 
quadrado, temos:
𝑥2 + (𝑦 + 5)2 = 02 + (𝑦 − 5)2 ⇒
𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑦 + 25 = 𝑦2 − 10𝑦 + 25 ⇒
0
𝒙𝟐= - 20y