Métodos Quantitativos - Lista de Exercícios 2 Questões de Modelagem

Prévia do material em texto

Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos - Lista de Exercícios 2 - Modelagem 
1. A empresa Dalai Lama deseja planejar a produção de incenso. Os incensos requerem 
dois tipos de recursos: mão de obra e materiais. A empresa fabrica três tipos de incenso, 
cada qual com diferentes necessidades de mão de obra e materiais, conforme tabela 
abaixo: 
 
A disponibilidade de materiais é de 200 g/dia. A mão de obra disponível por dia é 
de 150 h. Formule um problema de programação linear para determinar quanto deve ser 
produzido de cada tipo de incenso, tal que o lucro seja maximizado. 
 
2. Certa empresa fabrica dois produtos. Sendo P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 
é de R$1.000,00 e o P2 é de R$1.800,00. A empresa precisa de 20 horas para fabricar 
uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de 
produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto 
é de 40 unidades anuais de P1 e 30 unidades anuais de P2. Qual o plano de produção 
para que a empresa maximize o seu lucro nesses itens? Construa o modelo de 
programação linear para esse caso. 
 
3. A empresa Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado é vendido a 
R$ 27,00, e utiliza R$ 10,00 de matéria prima e R$ 14,00 de mão de obra. Duas horas 
de acabamento e uma hora de carpintaria são demandadas para a produção de um 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
soldado.Cada trem é vendido por R$ 21,00 e utiliza R$9,00 de matéria prima e R$ 10,00 
de mão de obra. Uma hora de acabamento e uma hora de carpintaria são demandadas 
para a produção do trem. A Politoy não tem problemas no fornecimento de matéria primas, 
mas só pode contar com 100 horas de acabamento e 80 horas de carpintaria. A demanda 
semanal de trens é limitada, mas no máximo 40 soldados são comprados a cada semana. 
A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Formule um modelo matemático a ser 
utilizado nessa otimização. 
 
 
4. Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Skits e Benji. Para a 
manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: - a ração Skits utiliza 
5 kg de cereais e 1 kg de carne e a ração Benji utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; - 
o pacote de ração Skits cursta R$ 20,00 e o pacote de ração Benji custa R$ 30,00; - o 
kg de carne custa R$ 4,00 e o kg de cereais custa R$ 1,00; - estão disponíveis por mês 
10.000 kg de carne e 30.000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada 
ração a produzir de modo a maximizar o lucro. 
 
5. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de 
vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo 
menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de 
tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão 
para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
6. Para uma boa alimentação o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade 
mínima de vitaminas é de 32 unidades/ dia e de proteínas é de 36 unidades/dia. Uma 
pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 
unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades 
de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser 
consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo 
possível? Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada unidade de ovo custa R$2,50. 
Construa o modelo do problema. 
 
7. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa 
“A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer da semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há 
verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa 
deverá ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o 
modelo do sistema. 
 
8. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa 
“A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer da semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há 
verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa 
deverá ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
modelo do sistema. Formule um modelo de programação linear com o objetivo de 
maximizar o lucro. 
 
 
9. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo “A” tem 2 m³ de 
espaço refrigerado e 3 m³ de espaço não refrigerado; o tipo “B” tem 2 m³ de espaço 
refrigerado e 1 m³ de espaço não refrigerado. O cliente quer transportar um produto que 
necessitará de 16 m³ de área refrigerada e 12 m³ de área não refrigerada. A companhia 
calcula em 1.100 litros o combustível para uma viagem com o caminhão “A” e 750 litros 
para o caminhão “B”. Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte 
do produto, com o menor consumo de combustível? Construa o modelo do sistema 
descrito. 
 
10. Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros 
de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro 
de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros 
de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, 
quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? 
Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
11. Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 
metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o 
tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou 
transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto 
não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o 
custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o 
modelo de programação linear. 
 
12. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote 
de bolo de chocolate é vendido com um lucro de 3 u.m e os lotes de bolo de creme com 
um lucro de 1 u.m . Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 
10 lotes de bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menos 
que 20. O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de 
chocolate. As máquinas de preparação do sorvete disponibilizam 180 horas de operação, 
sendo que cada lote de bolos de chocolate consomem 2 horas de trabalho e cada lote de 
bolos de creme 3 horas. Formule apenas o modelo do problema. 
 
13. A Fashion Things Ltda. é uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de 
acessórios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, 
pelo seu distribuidor,de que existe mercado tanto para bolsas do modelo padrão (preço 
médio) quanto para as bolsas do modelo luxo (preço alto). A confiança do distribuidor é 
tão acentuada que ele garante que ele irá comprar todas as bolsas que 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
 forem produzidas nos próximos três meses. Uma análise detalhada dos requisitos de 
fabricação resultaram na especificação da tabela abaixo, a qual apresenta o tempo 
despendido (em horas) para a realização das quatro operações que constituem o 
processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de bolsa: 
Produto Corte e coloração Costura Acabamento Inspeção e 
Empacotamento 
Lucro por 
bolsa 
Padrão 7/10 1/2 1 1/10 R$10,00 
De luxo 1 5/6 2/3 1/4 R$9,00 
Tempo 
disp. 
630 600 700 135 
 
 
14. A indústria Alumilândia S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem 
conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de 
fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: 
espessuras fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas 
fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos 
fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de 
lâminas médias e 28 toneladas de Lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da 
AlumiLândia S/A., há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São 
Paulo tem um custo de produção diária de R$ 100.000,00 para cada capacidade 
produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 tonelada de 
Lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 
200.000,00 para cada produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
médias e 7 tonelada de Lâminas grossas por dia. Quantos dias cada uma das fábricas 
deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? Elabore o modelo. 
 
15. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de 
vendas. Ele já transporta 200 caixas de laranjas a 20 u.m de lucro por caixa por mês. Ele 
necessita transportar pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, 
e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá 
ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? 
 
16. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa 
A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há 
verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa 
deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Elabore o modelo. 
 
17. A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos 
frequentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação 
da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados – solução Red e solução 
Blue – e que provêem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná 
e cafeína. A companhia quer saber quantas doses de 10 militros de cada solução deve 
incluir em cada lata da bebida, para satisfazer às exigências mínimas padronizadas de 48 
gramas de extrato de guaraná e 12 gramas de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o 
custo de produção. Por acelerar o batimento cardiáco, a norma padrão também prescreve 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
que a quantidade de cafeína seja de, no máximo, 20 gramas por lata. Uma dose da solução 
Red contribui com 8 gramas de extrato de guaraná e 1 grama de cafeína, enquanto uma 
dose da solução Blue contribui com 6 gramas de extrato de guaraná e 2 gramas de 
cafeína. Uma dose de solução Red custa R$ 0,06 e uma dose de solução Blue custa R$ 
0,08. 
 
18. Um fabricante de bombons tem estocado bombons de chocolate, sendo 130 kg com 
recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta. Ele decide vender o estoque na forma 
de dois pacotes sortidos diferentes. Um pacote contém uma mistura com metade do peso 
dos bombons de cereja e metade em menta e vende por R$ 20,00 por kg. O outro pacote 
contém uma mistura de um terço de bombons de cereja e dois terços de menta e vende 
por R$12,50 por kg. O vendedor deveria preparar quantos quilos de cada mistura a fim 
de maximizar seu lucro nas vendas? 
 
19. Uma mulher tem R$ 10.000,00 para investir e seu corretor sugere investir em dois 
títulos, A e B. O título A é bastante arriscado, com lucro anual de 10% e o título B é 
bastante seguro, com um lucro anual de 7%. Depois de algumas considerações, ela 
resolve investir no máximo R$ 6.000,00 no título A, no mínimo R$ 2.000,00 no título B. 
Como ela deverá investir seus R$ 10.000,00 a fim de maximizar o rendimento anual? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
20. Uma pessoa precisa de 10, 12 e 12 unidades dos produtos químicos A, B e C, 
respectivamente, para o seu jardim. Um produto contém 5, 2 e 1 unidade de A, B e C, 
respectivamente, por vidro; um produto em pó contém 1, 2 e 4 unidades de A, B e C 
respectivamente por caixa. Se o produto líquido custa $3,00 por vidro e o produto em pó 
custa $2,00 por caixa, quantos vidros e quantas caixas ele deve comprar para minimizar 
o custo e satisfazer as necessidades? 
 
21. Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 
1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias. A 
empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar 
uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A 
demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades 
anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro 
nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso. 
 
22. Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro, 
respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, 
respectivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A é vendido 
por $120,00 e B por $100,00, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um 
rendimento bruto máximo? Elabore o modelo. 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
23. A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de 
montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a 
fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada 
um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 
o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está 
disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára-
quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00, encontre a 
programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o 
modelo. 
 
24. No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu 
três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade 
na produção. 
Produto Contribuição 
(lucro 
por unidade) 
Horas de 
trabalho 
Horas de uso 
demáquinas 
Demanda 
máxima 
P1 2.100 6 12 800 
P2 1.200 4 6 600 
P3 600 6 2 600 
 
Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas 
tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de 
trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que 
podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção 
para o período. Faça a modelagem desse problema. 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
25. Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer 
gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de 9.600.000, 
4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificações de cada 
tipo são: 
− um litro de gasolina verde 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana 
e 0,28 litro de aditivo; 
− um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de 
octana e 0,14 litro de aditivo; 
− um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de 
octana e 0,06 litro de aditivo. 
Como regra de produção, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria 
estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a 
quantidade de gasolina verde e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual 
a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e 
comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $0,30, $0,25 e $0,20 
respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a 
margem total de contribuição para o lucro. Construa o modelo do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1. 
 
 
2. 
 
3. 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
6. 
 
 
7. 
 
8. 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
9. 
 
10. Max Z = 300x1 + 500x2 
Sujeito a: 2x1 + x2  16 
 - restrição do algodão x1 + 2x2  11 
- restrição da seda x1 + 3x2  15 
- restrição da lã x1  0 x2  0 
 
11. Min Z = 0,30x1 + 0,40x2 
Sujeito a: 2x1 + 3x2  90 
- restrição do esp. Refrigerado 4x1 + 3x2  120 
- restrição do esp. não refrigerado x1  0 x2  0 
 
12. Max Z = x1 + 3x2 Sujeito a: x1 ≤ 40 
x2 ≤ 60 
x2 ≥ 10 
x1 + x2 ≥ 20 3x1 + 2x2 ≤ 180 
x1  0 
x2  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
13. Max Z = 10x1 + 9x2 
Sujeito a: 7/10x1 + x2 ≥ 630 
1/2x1 + 5/6x2 ≤ 600 
x1 + 2/3x2 ≤ 700 
1/10x1 + 1/4x2 ≤ 135 x1  0 x2  0 
 
14. Min Z = 100.000x1 + 200.000x2 
Sujeito a: 8x1 + 2 x2  16 
- restrição lâminas finas x1 + x2  6 
- restrição lâminas médias 2x1 + 7x2  28 
 - restrição lâminas grossas x1  0 x2  0 
 
15. Max Z = 10x1 + 30x2 + 4000 
Sujeito a: x1 + x2  600 
x1  100 
x2  200 
x1  0 
x2  0 
 
16. Max Z = 30000x1 + 10000x2 
Sujeito a: 20x1 +10x2  80 
x1 + x2  5 x1  0 
x2  0 
 
 
 
17. Min Z = 0,06x1 + 0,08x2 
Sujeito a: 8x1 + 6x2  48 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
x1 + 2x2  12 x1 + 2x2  20 
x1  0 
x2  0 
 
18. Max Z = 20x1 + 12,50x2 
 Sujeito a: 1/2x1 + 1/3x2  130 
 1/2x1 + 2/3x2  170 x1  0 x2  0 
 
19. Max Z =0,10x1 + 0,07x2 
s.a x1 + x2  10.000 
x1  6.000 
x2  2.000 
 x1, x2  0 
 
 20. Min Z = 3x1 + 2x2 
Sujeito a: 5x1 + x2  10 
2x1 + 2x2  12 
 x1 + 4x2  12 
x1  0 x2  0 
 
21. Max Z = 1000x1 + 1800x2 
Sujeito a: 20x1 + 30x2  1200 x1  40 
x2  30 
x1  0 
x2  0 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Quantitativos 
Prof. Ricardo 
2º Semestre 2020 
 
 
 
2ª Lista de Exercícios 
 
 
 
 
 
22. Max Z = 120x1 + 100x2 
Sujeito a: 2x1 + x2  90 x1 + 2x2  80 
x1 + x2  50 x1  0 
x2  0 
 
23. Max Z = 60x1 + 40x2 
Sujeito a: 10x1 + 10x2  100 3x1 + 7x2  42 
x1  0 
x2  0 
 
24. Max Z = 2100x1 + 1200x2 + 600x3 
Sujeito a: 6x1 + 4x2 + 6x3  4800 
12x1 + 6x2 + 2x3  7200 
x1  800 
x2  600 
x3  600 
x1  0 
x2  0 
x3  0 
 
25. Max Z = 0,30x1 + 0,25x2 + 0,20x3 
Sujeito a: 0,22x1 + 0,52x2 + 0,74x3  9.600.000 0,50x1 + 0,34x2 + 0,20x3  4.800.000 
0,28x1 + 0,14x2 + 0,06x3  2.200.000 
x3  16x1 
x2  600.000 
x1  0 x2  0