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Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios Métodos Quantitativos - Lista de Exercícios 2 - Modelagem 1. A empresa Dalai Lama deseja planejar a produção de incenso. Os incensos requerem dois tipos de recursos: mão de obra e materiais. A empresa fabrica três tipos de incenso, cada qual com diferentes necessidades de mão de obra e materiais, conforme tabela abaixo: A disponibilidade de materiais é de 200 g/dia. A mão de obra disponível por dia é de 150 h. Formule um problema de programação linear para determinar quanto deve ser produzido de cada tipo de incenso, tal que o lucro seja maximizado. 2. Certa empresa fabrica dois produtos. Sendo P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de R$1.000,00 e o P2 é de R$1.800,00. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais de P1 e 30 unidades anuais de P2. Qual o plano de produção para que a empresa maximize o seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso. 3. A empresa Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado é vendido a R$ 27,00, e utiliza R$ 10,00 de matéria prima e R$ 14,00 de mão de obra. Duas horas de acabamento e uma hora de carpintaria são demandadas para a produção de um Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios soldado.Cada trem é vendido por R$ 21,00 e utiliza R$9,00 de matéria prima e R$ 10,00 de mão de obra. Uma hora de acabamento e uma hora de carpintaria são demandadas para a produção do trem. A Politoy não tem problemas no fornecimento de matéria primas, mas só pode contar com 100 horas de acabamento e 80 horas de carpintaria. A demanda semanal de trens é limitada, mas no máximo 40 soldados são comprados a cada semana. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Formule um modelo matemático a ser utilizado nessa otimização. 4. Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Skits e Benji. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: - a ração Skits utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne e a ração Benji utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; - o pacote de ração Skits cursta R$ 20,00 e o pacote de ração Benji custa R$ 30,00; - o kg de carne custa R$ 4,00 e o kg de cereais custa R$ 1,00; - estão disponíveis por mês 10.000 kg de carne e 30.000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro. 5. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema. Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 6. Para uma boa alimentação o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades/ dia e de proteínas é de 36 unidades/dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e cada unidade de ovo custa R$2,50. Construa o modelo do problema. 7. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer da semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deverá ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 8. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer da semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deverá ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios modelo do sistema. Formule um modelo de programação linear com o objetivo de maximizar o lucro. 9. Uma companhia de transporte tem dois tipos de caminhões: O tipo “A” tem 2 m³ de espaço refrigerado e 3 m³ de espaço não refrigerado; o tipo “B” tem 2 m³ de espaço refrigerado e 1 m³ de espaço não refrigerado. O cliente quer transportar um produto que necessitará de 16 m³ de área refrigerada e 12 m³ de área não refrigerada. A companhia calcula em 1.100 litros o combustível para uma viagem com o caminhão “A” e 750 litros para o caminhão “B”. Quantos caminhões de cada tipo deverão ser usados no transporte do produto, com o menor consumo de combustível? Construa o modelo do sistema descrito. 10. Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta. Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 11. Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear. 12. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote de bolo de chocolate é vendido com um lucro de 3 u.m e os lotes de bolo de creme com um lucro de 1 u.m . Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menos que 20. O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. As máquinas de preparação do sorvete disponibilizam 180 horas de operação, sendo que cada lote de bolos de chocolate consomem 2 horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 horas. Formule apenas o modelo do problema. 13. A Fashion Things Ltda. é uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessórios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu distribuidor,de que existe mercado tanto para bolsas do modelo padrão (preço médio) quanto para as bolsas do modelo luxo (preço alto). A confiança do distribuidor é tão acentuada que ele garante que ele irá comprar todas as bolsas que Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios forem produzidas nos próximos três meses. Uma análise detalhada dos requisitos de fabricação resultaram na especificação da tabela abaixo, a qual apresenta o tempo despendido (em horas) para a realização das quatro operações que constituem o processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de bolsa: Produto Corte e coloração Costura Acabamento Inspeção e Empacotamento Lucro por bolsa Padrão 7/10 1/2 1 1/10 R$10,00 De luxo 1 5/6 2/3 1/4 R$9,00 Tempo disp. 630 600 700 135 14. A indústria Alumilândia S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessuras fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de Lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da AlumiLândia S/A., há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ 100.000,00 para cada capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 tonelada de Lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para cada produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios médias e 7 tonelada de Lâminas grossas por dia. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? Elabore o modelo. 15. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele já transporta 200 caixas de laranjas a 20 u.m de lucro por caixa por mês. Ele necessita transportar pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? 16. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Elabore o modelo. 17. A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos frequentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados – solução Red e solução Blue – e que provêem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia quer saber quantas doses de 10 militros de cada solução deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer às exigências mínimas padronizadas de 48 gramas de extrato de guaraná e 12 gramas de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento cardiáco, a norma padrão também prescreve Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios que a quantidade de cafeína seja de, no máximo, 20 gramas por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas de extrato de guaraná e 1 grama de cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui com 6 gramas de extrato de guaraná e 2 gramas de cafeína. Uma dose de solução Red custa R$ 0,06 e uma dose de solução Blue custa R$ 0,08. 18. Um fabricante de bombons tem estocado bombons de chocolate, sendo 130 kg com recheio de cerejas e 170 kg com recheio de menta. Ele decide vender o estoque na forma de dois pacotes sortidos diferentes. Um pacote contém uma mistura com metade do peso dos bombons de cereja e metade em menta e vende por R$ 20,00 por kg. O outro pacote contém uma mistura de um terço de bombons de cereja e dois terços de menta e vende por R$12,50 por kg. O vendedor deveria preparar quantos quilos de cada mistura a fim de maximizar seu lucro nas vendas? 19. Uma mulher tem R$ 10.000,00 para investir e seu corretor sugere investir em dois títulos, A e B. O título A é bastante arriscado, com lucro anual de 10% e o título B é bastante seguro, com um lucro anual de 7%. Depois de algumas considerações, ela resolve investir no máximo R$ 6.000,00 no título A, no mínimo R$ 2.000,00 no título B. Como ela deverá investir seus R$ 10.000,00 a fim de maximizar o rendimento anual? Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 20. Uma pessoa precisa de 10, 12 e 12 unidades dos produtos químicos A, B e C, respectivamente, para o seu jardim. Um produto contém 5, 2 e 1 unidade de A, B e C, respectivamente, por vidro; um produto em pó contém 1, 2 e 4 unidades de A, B e C respectivamente por caixa. Se o produto líquido custa $3,00 por vidro e o produto em pó custa $2,00 por caixa, quantos vidros e quantas caixas ele deve comprar para minimizar o custo e satisfazer as necessidades? 21. Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso. 22. Um carpinteiro dispõe de 90, 80 e 50 metros de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto A requer 2, 1 e 1 metro de compensado, pinho e cedro, respectivamente. O produto B requer 1, 2 e 1 metros, respectivamente. Se A é vendido por $120,00 e B por $100,00, quantos de cada produto ele deve fazer para obter um rendimento bruto máximo? Elabore o modelo. Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 23. A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela venda de cada pára- quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo. 24. No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda., escolheu três produtos P1, P2 e P3. O quadro abaixo mostra os montantes solicitados por unidade na produção. Produto Contribuição (lucro por unidade) Horas de trabalho Horas de uso demáquinas Demanda máxima P1 2.100 6 12 800 P2 1.200 4 6 600 P3 600 6 2 600 Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período. Faça a modelagem desse problema. Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 25. Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer gasolina pura, octana e aditivo que são disponíveis nas quantidades de 9.600.000, 4.800.000 e 2.200.000 litros por semana, respectivamente. As especificações de cada tipo são: − um litro de gasolina verde 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; − um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; − um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, baseada em demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a 600.000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $0,30, $0,25 e $0,20 respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro. Construa o modelo do problema. Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios Gabarito: 1. 2. 3. 4. Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 5. 6. 7. 8. Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 9. 10. Max Z = 300x1 + 500x2 Sujeito a: 2x1 + x2 16 - restrição do algodão x1 + 2x2 11 - restrição da seda x1 + 3x2 15 - restrição da lã x1 0 x2 0 11. Min Z = 0,30x1 + 0,40x2 Sujeito a: 2x1 + 3x2 90 - restrição do esp. Refrigerado 4x1 + 3x2 120 - restrição do esp. não refrigerado x1 0 x2 0 12. Max Z = x1 + 3x2 Sujeito a: x1 ≤ 40 x2 ≤ 60 x2 ≥ 10 x1 + x2 ≥ 20 3x1 + 2x2 ≤ 180 x1 0 x2 0 Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 13. Max Z = 10x1 + 9x2 Sujeito a: 7/10x1 + x2 ≥ 630 1/2x1 + 5/6x2 ≤ 600 x1 + 2/3x2 ≤ 700 1/10x1 + 1/4x2 ≤ 135 x1 0 x2 0 14. Min Z = 100.000x1 + 200.000x2 Sujeito a: 8x1 + 2 x2 16 - restrição lâminas finas x1 + x2 6 - restrição lâminas médias 2x1 + 7x2 28 - restrição lâminas grossas x1 0 x2 0 15. Max Z = 10x1 + 30x2 + 4000 Sujeito a: x1 + x2 600 x1 100 x2 200 x1 0 x2 0 16. Max Z = 30000x1 + 10000x2 Sujeito a: 20x1 +10x2 80 x1 + x2 5 x1 0 x2 0 17. Min Z = 0,06x1 + 0,08x2 Sujeito a: 8x1 + 6x2 48 Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios x1 + 2x2 12 x1 + 2x2 20 x1 0 x2 0 18. Max Z = 20x1 + 12,50x2 Sujeito a: 1/2x1 + 1/3x2 130 1/2x1 + 2/3x2 170 x1 0 x2 0 19. Max Z =0,10x1 + 0,07x2 s.a x1 + x2 10.000 x1 6.000 x2 2.000 x1, x2 0 20. Min Z = 3x1 + 2x2 Sujeito a: 5x1 + x2 10 2x1 + 2x2 12 x1 + 4x2 12 x1 0 x2 0 21. Max Z = 1000x1 + 1800x2 Sujeito a: 20x1 + 30x2 1200 x1 40 x2 30 x1 0 x2 0 Métodos Quantitativos Prof. Ricardo 2º Semestre 2020 2ª Lista de Exercícios 22. Max Z = 120x1 + 100x2 Sujeito a: 2x1 + x2 90 x1 + 2x2 80 x1 + x2 50 x1 0 x2 0 23. Max Z = 60x1 + 40x2 Sujeito a: 10x1 + 10x2 100 3x1 + 7x2 42 x1 0 x2 0 24. Max Z = 2100x1 + 1200x2 + 600x3 Sujeito a: 6x1 + 4x2 + 6x3 4800 12x1 + 6x2 + 2x3 7200 x1 800 x2 600 x3 600 x1 0 x2 0 x3 0 25. Max Z = 0,30x1 + 0,25x2 + 0,20x3 Sujeito a: 0,22x1 + 0,52x2 + 0,74x3 9.600.000 0,50x1 + 0,34x2 + 0,20x3 4.800.000 0,28x1 + 0,14x2 + 0,06x3 2.200.000 x3 16x1 x2 600.000 x1 0 x2 0
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