APOSTILA_DE_MATEMATICA_NONO_ANO

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CARO ALUNO(A); 
Espero que esta apostila contribua em seu aprendizado. 
 
 
 
 
Objetivos de aprendizagem 
 
 
 Resolver problemas envolvendo o teorema de Pitágoras; 
 Calcular e resolver situações diversas envolvendo porcentagem e juros; 
 Interpretar e aplicar a fórmula do juro simples; 
 Consolidar conhecimentos obtidos na resolução de equações do 1° grau; 
 Conceituar função polinomial do 1° grau; 
 Construir, ler e analisar os gráficos de funções polinomiais do 1° grau; 
 Utilizar a função polinomial do 1° grau para resolver problemas. 
 Consolidar conhecimentos obtidos na resolução de equações do 2° grau; 
 Conceituar função polinomial do 2° grau; 
 Construir, ler e analisar os gráficos de funções polinomiais do 2° grau; 
 Identificar a concavidade e outros elementos da parábola; 
 Identificar o crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 2° grau; 
 Resolver problemas de máximos e mínimos associados a função polinomial do 2° grau; 
 Compreender os significados dos coeficientes da função do 2° grau; 
 Utilizar a função polinomial do 2° grau para resolver problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Rodrigues 2 
CAPÍTULO 1 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Triângulo Retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo 
a seguir é retângulo em A,veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ONDE: 
A hipotenusa, a, fica oposto ao ângulo reto, de 90º, sempre. Aqui representado pelo A; 
Catetos é o nome que dar aos outros dois lados, no caso b e c; 
 
 
2. TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS – O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
dos catetos. 
 
222 cba  
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
1. Aplicando o teorema de Pitágoras, determine os valores solicitados nos casos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
a 
c 
C 
B 
A 
b 
a 
c 
C 
B 
A 
cateto 
hipotenusa 
cateto 
C 
B 
A 
4 
Prof. Rodrigues 3 
EXERCÍCIOS 
 
1. Quantos metros de fio são necessários para "puxar luz" de um poste de 6 m de altura 
até a caixa de luz que está ao lado da casa e a 8 m da base do poste? 
 
 
 
 
 
 
 
2. A que altura a escada está do solo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
A matemática financeira é uma área da matemática que se dedica a problemas de 
ordem financeira. Esses problemas podem ser exemplificados como juros, inflação, 
invertimentos e outras questões que estão presentes no dia a dia de empresários, 
banqueiros e outros profissionais. A matemática financeira engloba procedimentos 
matemáticos para facilitar operações monetárias. 
 
REGRA DE TRES SIMPLES (REVISÃO) 
 
EXEMPLOS 
1. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais. Quantos dias terá que trabalhar para 
receber 20 000 reais? 
2. Um carro com velocidade constante de 100 km/h, vai da cidade A até a cidade B em 3 
horas. Quanto tempo levaria esse mesmo carro para ir de A até B, se sua velocidade 
constante fosse 160 km/h? 
3. Se 15 operários levam 10 dias para completar certo trabalho, quantos operários farão 
esse mesmo trabalho em 6 dias. 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Comumente ouvimos ou vemos pessoas falarem expressões como: "Promoção - até 30% 
de desconto para pagamento à vista", "A inflação foi de 5,4%", "Os advogados cobram 
20% sobre o valor da causa", etc. 
Prof. Rodrigues 4 
http://www.profissionalizando.net.br/vestibular/54-simulados/475-regra-de-tres-exercicios-resolvidos##
Estas expressões envolvem um conceito matemático denominado porcentagem, ou seja, 
um cálculo de partes em 100. 
Quando se diz que uma loja oferece um desconto de 30% (trinta por cento), está-se 
afirmando que em cada R$100,00 de compras será concedido um desconto de R$ 30,00. 
Portanto, em R$ 400,00, o desconto será de R$ 120,00. 
Nos valores citados temos: 30% é a taxa, R$ 400,00 é o principal e R$120,00 é a 
porcentagem ou percentagem. 
A taxa pode ser expressa nas formas: 
- percentual como 30%. 
- razão como 30/100. 
- decimal como 0,30. 
Para calcular a porcentagem de determinado valor, usa-se uma regra de três ou a 
simples fórmula matemática: 
100
iC
P

 
Onde: 
P = porcentagem 
C = Capital, e 
i = taxa 
 
EXEMPLOS: 
1. Quanto representa 30% de R$ 400,00? 
Temos: 30% = 30/100 = 0,3, logo: 
120
100
30400


 pp 
2. 40% de 800 vale? 
Temos: 40% = 40/100 = 0,4, logo: 
320
100
40800


 pp 
Uma outra questão é calcular o principal, quando se conhece a porcentagem e a taxa. 
Para isso, usamos uma regra de três ou a fórmula: 
 
i
P
C
100
 
Por exemplo: 
1. Qual é o valor cujos 25% é 60,00? 
00,240
25
10060


C 
TAXA i 
Encontram-se também questões para cálculos da taxa, como ocorre no exemplo abaixo. 
Para resolver problemas em que se quer conhecer qual a taxa, pode-se recorrer a uma 
regra de três simples ou à fórmula: 
C
d
i
100
 
Onde: 
d = desconto ou porcentagem 
i = taxa 
C = capital 
Prof. Rodrigues 5 
Exemplos 
 
1. Carlos ao comprar um automóvel cujo valor era R$ 20.000,00 obteve um desconto de 
R$ 1.000,00. Qual foi a taxa oferecida no desconto? 
5
20000
1001000


i , ou seja 5% 
 
JUROS 
 
JUROS: É uma taxa cobrada por um empréstimo. Essa taca pode variar de acordo com 
o tempo em que se demora a fazer o pagamento da quantia emprestada. Os juros 
podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. 
 
Taxa de juros 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um 
determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida 
da especificação do período de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual 
dividida por 100, sem o símbolo %: 
 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
Juros Simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital 
inicial emprestado ou aplicado. O regime de juros será simples quando o percentual de 
juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não 
incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial 
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula 
temos: 
tiCJ  
Onde: 
J = juros 
P = principal (capital) 
i = taxa de juros 
T = número de períodos 
 
Prof. Rodrigues 6 
Exemplos Resolvidos 
1. Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo 
regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
2. Uma empresa aplicou um capital de R$ 3000,00 a juros simples, a uma taxa de 11% 
a.a. Após 3 anos quanto lhe rendeu de juros? 
J = 3000 x 0.11 x 3 = 990,00 
 
EXERCÍCIOS 
Porcentagem 
1. Determine: 
a) 3% de 420 b) 7,25% de 1200 c) 125% de 200 d) 6% de 18 
2. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão 
aprovadas num concurso público com 6500 inscritos? 
3. Numa cidade, 45% da população é composta de homens. Qual a população total 
dessa cidade se nela residem 60500 mulheres? 
4. Um vendedor Ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo vendido 
10000,00 no dia, quanto ele receberá de comissão? 
5. Um feirante comprou um pendrive por 20,00 e em seguida o vendeu por 25,00. Qual 
foi sua porcentagem de lucro? 
6. Sabendo que certa mistura foi feita com 12 L de água e 8 L de álcool, determine a 
porcentagem de álcool contida na mistura. 
7. Poderei obter um abatimento de 15% para o pagamento à vista na compra de uma 
geladeira que custa 900,00. Quanto pagarei pela geladeira nessas condições? 
Juros Simples 
1. Qual é o juro simples que um capital de 30000,00 produz, quando aplicado durantecinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m? 
2. Qual é o juro simples que um capital de 2500,00 rende quando aplicado durante um 
ano, à taxa mensal de 2% 
3. Um capital de 10000,00, investido a juros simples de 13% a.a., foi sacado após três e 
dez dias, a contar da data inicial do investimento. Qual foi o juro? 
Prof. Rodrigues 7 
4 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros 
em 75 dias? 
5 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., 
durante 125 dias. 
6. Qual foi a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital de 
5000,00, para que este em quatro meses e meio, renda 720,00? 
 7. Que capital inicial rende 2000,00 em cinquenta dias, a uma taxa simples de 0,2% 
a.d.? 
 
CAPÍTULO 3 
FUNÇÃO 
 
Definição - Dados dois conjuntos A e B não vazios. Uma relação f de A em B recebe o 
nome de Função ou Aplicação de A em B se, e somente se, para todo Ax existe um só 
By tal que fyx ),( , f é uma função de A em B. 
 
 
10. IDENTIFICAÇÃO DE UMA FUNÇÃO. 
 
10.1. DIAGRAMA DE FLECHAS. 
Para que se tenha uma função é necessário que de cada elemento do conjunto A parta 
uma única flecha aos elementos de B. 
 
 
Exemplo: Verificar se os diagramas a seguir representam ou não, funções da A em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Rodrigues 8 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Definição – Chama-se função do primeiro grau, toda sentença da forma baxy  em 
que a e b são números reais, e 0a . 
 
Exemplos: 
a) 62  xy b) 2 xy c) xy  
 
Na lei baxy  , o número a é chamado de coeficiente e o número b é chamado de 
termo constante ou independente. 
 
Exemplos: 
Identificar o coeficiente a e termo independente b nos casos abaixo: 
a) 55  xy b) 72)(  xxf c) 3 xy d) xy  
 
11.1. Gráfico de uma Função do 1º grau. 
Exemplos: 
 
 
 
 
Vamos construir o gráfico das funções do 1º grau, abaixo, no plano cartesiano. 
a) 12  xy b) 23  xy c) xy 3 
 
 
12. RAÍZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
O valor de x para o qual a função baxxf )( se anula, ou seja, para o qual 0)( xf , 
ou 0y , denomina-se Raiz ou Zero da função do 1º grau. 
Para determinar a Raiz ou Zero de uma função do 1º grau, basta resolver a equação 
0bax . 
 
Exemplos: 
Determinar a Raiz ou Zero das funções abaixo: 
a) 12  xy b) 42)(  xxf c) 62  xy 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Dados a e b escreva, no caderno, a lei de cada função 1º grau. 
a) a = 2 e b = -1 b) a = -1 e b = 1 c) a = 3 e b = 2 
 
2. Dada a função definida pela lei f(x) = 5x – 4, com x real, determine em seu caderno: 
a) f(-1) b) (-3/5) c) o valor de x para que se tenha f(x) = 6. 
 
 
 
Prof. Rodrigues 9 
3. Determine a raiz ou zero das funções nos casos abaixo e faça o gráfico. 
a) 1 xy c) 23)(  xxf e) 2 xy 
b) 42)(  xxf d) 2 xy f) 33)(  xxf 
 
4. A lei que fornece a temperatura T, em grau Celsius, de ebulição da água de acordo 
com a altitude h, em metros, é T = 100 – 0,001h. 
a) Qual é a temperatura de ebulição da água a 2.400 m de altitude? 
b) Qual é a temperatura de ebulição da água ao nível do mar? 
 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Definição – Uma função do 2º grau toda função do tipo cbxaxy  2 , com a, b, c 
números reais e 0a , e é definida para todo x real. 
 
Exemplos: 
1. 452  xxy , sendo a = 1, b = -5 e c = 4 
2. 252 2  xxy , sendo a = 2, b = 5 e c = -2 
3. xxy 23 2  , sendo a = -3, b = 2 e c = 0 
4. 2xy  , sendo a = -1, b = 0 e c = 0 
 
Exercícios 
1. Dada a função 652  xxy , determine os valores de a, b e c. 
2. Dada a função definida por 652  xxy determine em seu caderno: 
a) f(0) b) f(2) c) f(3) d) f(4) 
 
 
Raízes ou zero da função do 2º grau 
 
O zero ou raízes de uma função do 2º grau, são os valores reais de x obtidos quando 
fazemos f(x) = 0. 
Tais valores são encontrados a partir da fórmula de Bhaskara: 
 
a
b
x



2
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A quantidade de raízes reais de uma função do 2º grau depende do valor obtido para o 
radicando cab  42 , chamado discriminante, a saber: 
Quando 0 (positivo), há duas raízes reais e distintas; 
Quando 0 (igual a zero), há só uma raiz real; 
Quando 0 é negativo, não há raiz real. 
Prof. Rodrigues 10 
Exemplos 
1. Determine as raízes, se houver, das funções abaixo: 
a) 86)( 2  xxxf b) 282)( 2  xxxf c) 22)( 2  xxxf 
 
 
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA 
 
Se a>0 (a positivo), a concavidade estará voltado para cima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a<0 (a negativo), a concavidade da parábola estará voltada para baixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VÉRTICE DA PARÁBOLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0a concavidade voltada para cima 0a concavidade voltada para baixo 
 
Coordenadas do Vértice: 
 
As coordenadas do vértice  YvXvV , da parábola são calculadas com as seguintes 
expressões: 
 
Abscissa do Vértice: 
a
b
Xv



2
 e Ordenada do Vértice: 
a
Yv



4
 
 
a < 0 
Concavidade 
Voltado para baixo 
a > 0 
Concavidade 
Voltado para cima 
Prof. Rodrigues 11 
Exemplo: 
Determinar, as coordenadas do vértice a função 86)( 2  xxxf : 
3
)1(2
6



Xv e 1
4
4
)1(4
4






Yv , logo as coordenadas são  1,3V 
 
 
VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO 
Quando a função é crescente, ela tem seu valor máximo e, se decrescente, tem seu 
valor mínimo. Para determina-los, basta calcular o Yv para valor máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Exemplos: 
 
 
Construção do gráfico da função do 2º grau. 
Para esboçar o gráfico de maneira rápida e fácil, precisamos determinar as raízes e as 
coordenadas do vértice da função dada. 
 
Exemplos: 
1. Determine o gráfico das funções a seguir: 
a) 23)( 2  xxxf 
b) 53)( 2  xxxf 
c) 34)( 2  xxxf 
d) 44)( 2  xxxf 
 
 
 
 
V. Máximo 
V. Mínimo 
Prof. Rodrigues 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Determine os zeros ou raízes das funções: 
a) 54)( 2  xxxf 
b) 62)( 2  xxxf 
c) 12)( 2  xxxf 
 
2. Calcule as ordenadas do vértice, verifique se é ponto de máximo ou de mínimo das 
seguintes funções: 
a) 32)( 2  xxxf 
b) 4)( 2  xxf 
c) 442)( 2  xxxf 
 
3. Dada a função 86)( 2  xxxf . Determine: 
a) os valores de a e b e c; 
b) as suas raízes, se houver; 
c) as coordenadas do vértice; 
d) o gráfico. 
 
4. Dada a função 9)( 2  xxf . Determine: 
a) os valores de a, b e c; 
b) as suas raízes, se houver; 
c) as coordenadas do vértice; 
d) o gráfico. 
 
5. (PUC-MG) O valor máximo da função 22)( 2  xxxf é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 
 
 
 
 
 
 
Em resumo... 
Para construir o gráfico de uma função quadrática sem montar a tabela de pares ordenados (x,y), 
basta levar em consideração as cinco informações a seguir. 
 
1. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x. 
2. O vértice 




 

aa
b
V
4
,
2
, indica o ponto de mínimo (se a > 0) ou máximo (a < 0). 
3. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola. 
4. (0,c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y. 
5. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola. 
Prof. Rodrigues 13 
CAPÍTULO 4 
RELAÇÕES MÉTRÍCAS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
CONCEITOS BÁSICOS: 
A) Uma CORDA é todo segmento de reta cujas 
extremidades pertencem à circunferência. 
B) Uma reta que tenha um único ponto em comum com 
uma circunferência é uma reta TANGENTE a essa 
circunferência. 
C) Uma reta que tenha dois pontos em comum com 
uma circunferência é uma SECANTE a essa circunferência. 
 
 
RELAÇÃO ENTRE CORDAS: 
 
 Considerando os triângulos PAD e PCB (ao lado): 
 
 
 
 Logo: . Então temos a seguinte relação:Exemplos: 
EX1: Calcule o valor de x : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE SECANTES: 
 Considerando os triângulos PAD e PCB ao lado: 
 
 Logo: Então temos a seguinte 
relação: 
 
 
 







arcomesmodeinscritosângulos
vérticepeloopostos
CA
PP
PCBPAD 
 
 







arcomesmodeinscritosângulos
comumângulo
CA
PP
PCBPAD 
D C corda 
Secant
e 
A B 
T Tangent
e 
PDPCPBPA
PB
PC
PD
PA

C 
D 
A 
B 
P 
4 2 
3 
x 
PDPCPBPA
PB
PC
PD
PA

B 
C 
P 
A 
SOLUÇÃO 
 
12
4
48
484
6.84.




x
x
x
x
Prof. Rodrigues 14 
Exemplo 
EX1: Calcular a medida x : 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS SELECIONADOS 
1. Calcule o valor de x em cada caso: 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
T E S T E S 
 
1. O valor de x na figura é: 
a) 1 
b) 4 
c) x 3 
d) 2 10 
 
2. (FRANCO) O Valor de x na figura é: 
 
a) 3 
b) 4, 8 
c) 7, 5 
d) 
3
1
3 
 
5
3
3
20
x 
4 
16 SOLUÇÃO 
 
8
64
64
4.16
2
2




x
x
x
x
x 18 
4 x/2 
x-2 
x+2 
2x x 
x x 
4 
12 
6 4 
x 5 
Prof. Rodrigues 15