APX1 Métodos Estatísticos - Gabarito 2020.2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX1 – Métodos Estat́ısticos I – 2/2020
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Todas as respostas devem estar devidamente justifi-
cadas e com todos os cálculos.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
Com os dados do diagrama de ramo-e-folhas abaixo, que vão de 1,12 a 5,56, resolva as
questões de 1 a 7.
1 12 12 12 12 12 12
2 77 77 77 77 77 77 77
3 10 10 10 10
4 00
5 15 15 56 56 56 56 56
Questão 1 [0,5 ponto] Qual é a amplitude total dos dados?
R: A amplitude total dos dados é a diferença entre o maior e menor valor observado.
Assim:
∆ = xmax − xmin = 5, 56− 1, 12 = 4,44
Questão 2 [0,5 ponto] Qual é o tamanho dessa amostra?
R: O tamanho da amostra é obtido a partir da contagem dos dados. Assim:
n = 25
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Questão 3 [0,5 ponto] Obtenha a moda.
R: A moda é o valor de maior frequência. Logo:
x∗ = 2,77
Questão 4 [1,0 ponto] Obtenha a tabela de distribuição de frequências com frequência simples
absoluta e frequência simples relativa.
R: A frequência absoluta se obtém a partir da contagem dos dados e a frequência relativa a partir
da razão entre a frequência absoluta e o tamanho da amostra. Logo:
xi ni (Freq. Abs.) fi (Freq. Relativa)
1,12 6 0,24
2,77 7 0,28
3,10 2 0,08
4,00 1 0,04
5,15 4 0,16
5,56 5 0,20
Total 25 1
Questão 5 [1,0 ponto] Obtenha a média desses dados.
R: Para o cálculo da média, vamos completar a tabela da questão anterior com a coluna (nixi), que
é obtida a partir do produto da coluna xi pela coluna ni.
xi ni (Freq. Abs.) nixi
1,12 6 6,72
2,77 7 19,39
3,10 2 6,20
4,00 1 4,00
5,15 4 20,60
5,56 5 27,80
Total 25 84,71
X =
∑
nixi
n
= 84, 7125 = 3,39
Questão 6 [0,5 ponto] Obtenha a mediana desses dados.
R: Como n é ı́mpar (n = 25), a mediana será o valor intermediário. Ou seja:
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• • • • • • • • • • • • ◦ • • • • • • • • • • • •
⇑
x(13)
Q2 = x(n+1)/2 = x(13) = 2,77.
Questão 7 [1,0 ponto] Obtenha os quartis Q1 e Q3.
R: Excluindo-se a mediana, temos dois conjuntos com n = 12 observações, cada. Os quartis Q1 e
Q3 são as medianas de cada uma destas partes. Então os cálculos destes quartis são feitos a partir
da média entre as observações centrais de cada parte. Ou seja:
• • • • • ◦ ◦ • • • • • ◦ • • • • • ◦ ◦ • • • • •
⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑
x(6) x(7) Q2 x(19) x(20)
Q1 =
x(6) + x(7)
2 =
1, 12 + 2, 77
2 =
3, 89
2 = 1,945
Q3 =
x(19) + x(20)
2 =
5, 15 + 5, 15
2 = 5,15
Questão 8 [1,0 ponto] Sabendo que σ2 = 1
n
(∑
nix
2
i − n(X)2
)
e que uma amostra de tamanho
40 resultou em uma média 10 e um desvio padrão 5, determine
∑
nix
2
i .
R: Temos:
n = 40
X = 10
σ = 5⇒ σ2 = 25
Com isso e a fórmula, podemos substituir e então teremos:
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σ2 = 1
n
(∑
nix
2
i − n(X)2
)
25 =
∑
nix
2
i − 40× (102)
40
25× 40 =
∑
nix
2
i − (40× 100)
1.000 =
∑
nix
2
i − 4.000∑
nix
2
i = 1.000 + 4.000∑
nix
2
i = 5.000
Questão 9 [1,0 ponto] Dada a tabela de distribuição de frequências agrupada, obtenha a mediana.
Classes Freq. Freq. Freq. Freq.
Abs. Relat. (%) Acum Abs. Acum Relat. (%)
01 ` 06 5 3,33 5 3,33
06 ` 11 26 17,33 31 20,67
11 ` 16 53 35,33 84 56,00
16 ` 21 46 30,67 130 86,67
21 ` 26 15 10,00 145 96,67
26 ` 31 5 3,33 150 100
Total 150 100
R: Para o cálculo da mediana, observa-se a classe cuja frequência acumulada relativa contenha os
50%. Na ocasião, esta frequência é 56%. A classe associada a essa frequência é 11 ` 16. Com isso,
pode-se fazer a proporção conforme as ilustrações das páginas 23 e 24 da aula 03.
Então, teremos:
16− 11
Q2 − 11
= 56− 20, 6750− 20, 67
5
Q2 − 11
= 35, 3329, 33
5× 29, 33 = 35, 33× (Q2 − 11)
156, 65 = 35, 33Q2 − 388, 63
35, 32Q2 = 535, 28
Q2 =
535, 28
35, 32
Q2 = 15,15
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Considere a “palavra” PERNAMBUCO e resolva as questões de 10 a 13.
Questão 10 [0,5 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavra PERNAMBUCO em que
a expressão BOCA aparece?
R: Para que a expressão BOCA apareça, é necessário que as letras B - O - C - A estejam juntas e
nessa ordem. Assim, basta considerar a expressão BOCA com uma “letra” dentre as outras restantes.
A palavra PERNAMBUCO contém 10 letras diferentes. A expressão BOCA contém 4 dessas letras.
Assim, sobram 6 letras mais a “letra” BOCA. Logo:
P7 = 7! = 5.040
Questão 11 [0,5 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavra PERNAMBUCO que
iniciam com a letra P e terminam em vogal?
R: A palavra PERNAMBUCO possui 4 vogais. Fixando a letra P no ińıcio e fixando cada uma das
4 vogais no final, teremos as outras 8 letras que podem permutar entre si tendo a segunda posição,
8 possibilidades, a terceira, 7 e assim por diante. Ou seja:
P 8 7 6 5 4 3 2 1 A
P 8 7 6 5 4 3 2 1 E
P 8 7 6 5 4 3 2 1 O
P 8 7 6 5 4 3 2 1 U
Logo:
4× P8 = 4× 8! = 4× 40.320 = 161.280
Questão 12 [1,0 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavra PERNAMBUCO em que
as consoantes estão sempre juntas?
R: Para que as consoantes estejam juntas, precisamos pensar em duas coisas: elas juntas formam
uma “letra” e elas permutam entre si.
Pensando no fato de elas serem uma única “letra”, temos 6 consoantes B - C - M - N - P - R,
restando as demais 4 letras da palavra PERNAMBUCO. Se ela pode ser considerada uma única
letra, temos então ela mais as 4 letras restantes. Ou seja: 5 “letras” para permutar.
P5 = 5! = 120.
Porém, como bem já foi lembrado aqui, as consoantes podem permutar entre si. Como são 6
consoantes, então:
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P6 = 6! = 720.
Então, para cada uma das 720 permutações, há as 120 permutações. Logo:
720× P5 = 720× 120 = 86.400.
Questão 13 [1,0 ponto] Quantos são os posśıveis anagramas da palavras PERNAMBUCO em que
a expressão COR não aparece?
R: Inicialmente vamos verificar quantos anagramas possuem a expressão COR para em seguida
verificar quantos não apresentam esta expressão.
Para verificar essa quantidade, basta seguir os mesmos passos seguidos na questão 12.
Então a expressão COR é considerada como uma letra e, portanto, será considerado 7 letras + a
letra COR para permutar. Ou seja:
P8 = 8! = 40.320
Como eu estou interessado nos anagramas em que não aparecem a expressão COR, então teremos
que subtrair do total.
O total são 10 letras permutando. P10 = 10! = 3.628.800.
Então:
P10 − P8 = 3.628.800− 40.320 = 3.588.480
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