A5 - Alocação de tráfego

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5. Alocação de Viagens
TRANSPORTE E LOGÍSTICA – ENG 1507
PROF. MARIO A.P. BITENCOURT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL
1
PROF. MARIO A.P. BITENCOURT – MAPB_130655@HOTMAIL.COM
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL – GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
ENG 1507
ENG 1507-TRANSPORTE E LOGÍSTICA
Aula 5: Alocação de Viagens
mailto:MAPB_130655@HOTMAIL.COM
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O Modelo das 4 Etapas é um modelo de simulação do funcionamento de um sistema de transportes
que se aplica com base num Modelo da Rede de Transportes e integra as seguintes etapas:
Por onde vou?
Vou ou não vou?
Para onde vou?
Como vou?
1. Modelo das 4 Etapas – Repartição Modal
Determina o volume de tráfego em cada eixo, por modo de transporte e/ou em termos agregados
(variáveis 𝑇𝑙𝑚 ou 𝑇𝑙 , sendo 𝑙 um índice representativo dos eixo da rede)..
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Objetivo
Os principais objetivos da utilização de métodos de alocação de viagens são:
• Determinar o volume de tráfego em cada trecho do sistema viário, nas
condições mais críticas de deslocamento;
• Assinalar as deficiências que atualmente existem no sistema viário,
principalmente a falta de capacidade para acomodar o tráfego;
• Analisar os efeitos de melhoramentos que são ou serão feitos no sistema viário;
• Escalonar a execução de obras no sistema viário;
• Determinar volumes/horários de projetos;
• Determinar o volume de tráfego que poderá ser desviado para um novo trecho
permanente ou provisório.
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Uma vez efetuada a divisão de fluxos pelos diversos modais, passa-se à alocação dos
mesmos às redes viárias. No caso do transporte urbano, há a rede viária usada pelo
transporte individual, a rede das linhas de ônibus, a rede metroviária etc.
• Em Transporte Individual (TI) isso corresponde a saber por quais estradas, ruas e
avenidas os veículos vão circular para, a partir de um centróide de origem, chegar a um
centróide de destino.
• Em Transporte Colectivo (TC) a questão não se prende à rede viária, mas sim com os
serviços de transporte em que essas viagens serão realizadas (a rede não é mesma).
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1. Modais
- Matriz O/D separada por Modo de Transporte alocação feita para cada modo em
separado.
2. Multimodais
- Matriz O/D para um Conjunto de Modos.
- Alocação feita com fluxos podendo escolher por caminhos (Rotas) de um só modo
ou combinando vários modos (Caminhos Multimodais).
Ex.: Automóvel + Metrô
Caminhão + Trem + Navio (Carga)
Considerando os modos de viagem, os modelos de alocação podem ser:
cnj
New Railway Line
Station m
Trip 
generation
center i
Trip 
generation
center j
Station m+1
Station m+2
Station m+3
Station n
Existent Road Network
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A preocupação maior dos modelos de alocação é a distribuição do fluxo gerado pelo
transporte individual. Isto se deveu ao aumento e a facilidade de utilização do
transporte individual, cuja a demanda crescente fez com que surgissem os
congestionamentos constantes nos grandes centros urbanos.
Ex: Um simples ônibus a diesel chega a
fazer cerca de dois quilômetros por litro
de combustível e emite cerca de 1.300
gramas de dióxido de carbono por
quilômetro. Mesmo com apenas 20
passageiros, isso equivale a apenas 65
gramas por pessoa para cada quilômetro
viajado, muito menos que a média dos
carros que é de 169 gramas por
quilômetro. Em um ônibus com 75
passageiros, cada pessoa corresponde
um total de emissões de 17 gramas por
quilômetro.
A alocação de viagens se faz em relação
ao número de veículos na rede e não ao
número simples de deslocamentos.
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No passo da repartição modal obtém-se uma matriz por modo de transporte, uma
delas está em viagens de pessoas em TI, o que não é o mesmo que ter uma matriz em
veículos, já que é necessário considerar a taxa de ocupação média dos mesmos:
ocupação
TI jk
veículos jk
t
T
T 
A ocupação varia em função do motivo de viagem, da
hora de partida, ou do par OD que está a ser
considerado.
Normalmente em viagens pendulares as taxas de
ocupação são menores, entre 1,1 e 1,2 pessoas por
veículo para grandes áreas urbanas.
Já em viagens de lazer estas ocupações podem andar
à volta de 1,4 a 1,5 pessoas por veículo.
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A decisão do motorista na escolha da rota está associada a diversos fatores que destacamos a seguir:
• Tempo de viagem;
• Distância do deslocamento;
• Custo de deslocamento;
• Existência ou não de pedágios ( combina tempo e custo);
• Limitações quanto ao peso; altura ou largura dos veículos;
• Composição do tráfego;
• Existência ou não de facilidades ao longo do trajeto ( postos de gasolina, oficinas, 
restaurantes , hotel etc.);
• Elementos subjetivos ( paisagem, conforto, segurança etc.).
Um primeiro conceito que se encontra subjacente a todos os modelos de alocação de tráfego é o do
custo de deslocamento. Caso um utilizador disponha de mais de uma alternativa para efetuar uma
viagem, vai naturalmente ponderar uma série de fatores para decidir o percurso a seguir.
Torna-se assim útil utilizar o conceito de custo generalizado de deslocamento, como sendo uma
função dos fatores envolvidos na decisão. Alguns destes fatores, como o conforto, os aspetos cênicos
ou a falta de segurança do percurso são dificilmente quantificáveis e geralmente não são levados em
conta nos processos de modelagem.
2. Custo generalizado de viagem
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O custo generalizado de deslocamento da zona i para a zona j, através do modo k, pode ser
representado por:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑤1𝐶 + 𝑤2𝑡𝑣 + 𝑤3𝑡𝑒
Onde:
C = custo direto de viagem (consumo de gasolina,
portagens, manutenção, etc.)
tv= tempo gasto dentro do veículo
te= tempo total de esperas e transferências
w1,w2,w3 = pesos
Os modelos de alocação consideram basicamente dois parâmetros: os tempos de deslocamento
para cada caminho alternativo e capacidade da ligação. Há modelos que incorporam também o
custo de deslocamento.
“O problema de alocação de fluxos em redes de transporte é basicamente um 
problema de escolha de rotas, considerando o ponto de vista do usuário que tenta
minimizar seu custo de viagem.” (Novaes)
𝑀𝑖𝑛(𝑐𝑖𝑗) = 𝑤1𝐶 + 𝑤2𝑡𝑣 +𝑤3𝑡𝑒
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Mapa da cidade de Newhaven.
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Modelagem da rede sobre o mapa
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Rede de ruas modelada
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2
3
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1
4 7
8 9
6
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Representação do sistema físico de vias de transporte usando grafos.
Nós Centróides - Representam a origem ou destino de fluxos de uma zona.
1 2 45
3
6 7
8 9 11
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Interseções  Nós
Vias  Arcos Direcionados
Nós Comuns (Interseções, Paradas importantes)
Arcos  Custos (distância, tempo, $, etc)
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5
1
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2
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4
6
Nosso Exemplo
Os valores em vermelho representam os custos generalizados de 
deslocamento entre nós.
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3. Princípios de alocação de viagens
Ou seja, assume-se que:
- O condutor escolhe o seu trajeto por forma a minimizar os seus custos e viagem, de acordo
com os trajetos disponíveis para o modo de viagem escolhido.
Na maioria dos casos práticos, a atribuição (da matriz OD) é feita assumindo que as viagens se
realizam através do caminho que minimiza o custo (ou o tempo) de quem viaja:
𝑀𝑖𝑛(𝑐𝑖𝑗) = 𝑤1𝐶 + 𝑤2𝑡𝑣 + 𝑤3𝑡𝑒
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A alocação (da matriz origem-destino) de viagens em TI pode fazer-se essencialmente
de acordo com três tipos de modelos:
1. Sem restrição de capacidade –Ex: Modelos “tudo-ou-nada” ; estocástico
2. Com restrição de capacidade – Ex: Modelos de Equilíbrio.
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1. Modelos “tudo-ou-nada”
Definida a melhor rota (caminho mínimo) entre uma origem e um destino, todo fluxo passaria por
esta rota, independentemente da capacidade da mesma.
i j
𝑐𝑖𝑗 = 19
𝑐𝑖𝑘 = 7 𝑐𝑘𝑗 =10
k
𝒕𝒊𝒋 k j
i 12 20
É o mais simples dos métodos. Ele assume que não há efeitos de congestão do tráfego, que
todos os motoristas consideram os mesmos atributos para a escolha de rotas e que eles
percebem e pesam esses atributos do mesmo modo. A ausência de congestão significa que os
custos de deslocamento são fixos e a premissa que todos os motoristas percebem o mesmo
custo significa que todos os veículos que necessitam se deslocar de i para j farão a mesma rota.
Aplicam-se sobretudo ao tráfego interurbano, em que as alternativas são poucas e muito
diferenciadas nas suas características. Ele também é usado em etapas de modelos de alocação
mais sofisticados. Pode ser usado para representar alguma espécie de “caminho de desejo”, isto
é, o que os motoristas gostariam de fazer na ausência de congestão de tráfego.
Por onde iriam os carros?
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i j
𝑐𝑖𝑗 = 19
𝑐𝑖𝑘 = 7 𝑐𝑘𝑗 =10
k
𝒕𝒊𝒋 k j
i 2.000 1.500
3.500
1.500
E se apesar do custo ik ser menor, o caminho ij for pelo meio de uma região insegura? Será que 
todos os condutores escolhem o caminho de menor custo?
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Partem do princípio que os condutores não são todos iguais. Alguns valorizam mais o tempo,
outros a distância percorrida. Para além desta variabilidade, há que ter em conta que o mesmo
condutor pode escolher trajetos diferentes a cada dia. Os comportamentos dos condutores são,
portanto, inconstantes e heterogêneos. Os modelos que procuram simular a inconsistência, dizem-
se estocásticos. Nestes modelos, um ou mais elementos estão sujeitos à aleatoriedade e,
sucessivas simulações do mesmo caso, não geram necessariamente resultados idênticos, como nos
modelos determinísticos. Um exemplo deste tipo de modelos são os pertencentes à família de
algoritmos em que o tráfego é distribuído pelos diferentes trajetos, de acordo com uma curva do
tipo Logit, com preferência pelo trajeto de custo mínimo.
2. Modelos estocásticos
E se o custo não for tudo?
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i j
𝑐𝑖𝑗 = 19
𝑐′𝑖𝑘 = 11 𝑐𝑘𝑗 =10
k
𝒕𝒊𝒋 k j
i 2.000 1.500
3.000
500
Os 3000 carros entre i e k vão congestionar o trânsito ou pelo menos abrandar a velocidade. Isso 
não muda o custo da viagem entre ik? Não será mais lógica outro tipo de alocação?
1.000
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Ao contrário dos métodos anteriores que pressupõem custos de deslocamento fixos, independentes
do carregamento das vias, nos modelos de equilíbrio o custo de deslocamento nos arcos depende da
procura.
Eles procuram , com diferentes graus de sucesso, se aproximar dos critérios de equilíbrio
formalmente descritas por Wardrop (1952).
3. Modelos de equilíbrio ou dos Princípios de Wardrop (1952)
1° Critério de Wardrop (equilíbrio do usuário):
“Os tempos de viagem de todas as rotas realmente usadas são menores ou iguais
do que os da aquela que seria experimentada por um único veículo numa rota não
utilizada”.
Interpretação: Cada motorista procura minimizar o seu próprio custo de viagem
(tempo) sem se importar com os outros (é o chamado “critério egoísta”).
2° Critério de Wardrop (equilíbrio social):
“O tempo médio global de viagem de todos os motoristas é mínimo.”
Interpretação: Os motoristas agem como se soubessem o que seria melhor para o
sistema. A rede está em equilíbrio. Nenhum motorista pode melhorar seu custo
generalizado de viagem, mudando de rota unilateralmente.
5. Alocação de Viagens
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i j
𝑐𝑖𝑗 = 19
𝑐′𝑖𝑘 = 11 𝑐𝑘𝑗 =10
k
𝒕𝒊𝒋 k j
i 2.000 1.500 2.000
1.500
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1. Modelos “tudo-ou-nada”
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i j
𝑐𝑖𝑗 = 19
𝑐𝑖𝑘 = 7 𝑐𝑘𝑗 =10
k
𝒕𝒊𝒋 k j
i 2.000 1.500
3.500
1.500
E se apesar do custo ik ser menor, o caminho ij for por um caminho menos seguro? Será que 
todos os condutores escolhem o caminho mais barato?
Suposições: 
 Todas as ruas comportam qualquer volume de viagens;
 Todos os usuários têm perfeito conhecimento da rede;
 Todos os usuários têm os mesmos critérios de avaliação dos caminhos;
 Todos os usuários escolhem o caminho mínimo.
Fonte: Yamakami Akebo-1977
1. Modelos “tudo-ou-nada”
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O método é composto de duas etapas. Na primeira etapa aplica-se um algoritmo para
definição do menor caminho entre as zonas i e j. Na segunda carrega-se o fluxo de viagens do
modal transporte individual à rota definida na etapa anterior.
Djikstra
O algoritmo que utilizaremos foi desenvolvido por Edsger Wybe Dijkstra em 1959. Este
algoritmo determina a rota mínima (RM) entre um ponto e todos os outros pontos.
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5
1
2
3
4
6
5
2
5
1
4
6
2
7
8
4
6
Etiqueta: [π,α]
π - Custo gasto de i até j
α - Nó anterior a j no caminho entre i e j
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2) Define: Para cada Nó i
Etiquetas i : Valor da rota mínima da origem à i
i : Nó precedente na rota mínima da origem à i.
Algoritmo de Dijkstra:
3) A partir daí : Seleciona sempre um nó com a menor etiqueta temporária. 
4) Tenta-se melhorar a etiqueta dos nós da rede. 
P : Conjunto de nós permanents e T : Conjunto de nós Temporários
1) Seleciona um nó k para ser permanente. 
(No início é o nó de origem. )
5) Podem ser melhorados: nós j temporários, ligados com k pelo arco (k,j).
6) Faz-se varredura,a partir do nó k aos nós j.
7) Se custo do caminho atual até cada nó j for > que o custo do caminho desde a
origem até k mais o custo do arco (k,j), pode-se melhorar a etiqueta do nó j e o nó
precedente ao nó j passa ser o nó k
Revisão
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2
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4
6
[π,α]
[π,α]
[π,α]
[π,α]
[π,α]
[π,α]
[5,1]
A origem é o nó 1
[0,-1]
[∞,0]
[2,1]
[4,1]
[∞,0]
Revisão
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1
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6
5
2
5
1
4
6
2
7
8
4
6
[2,1]
[5,1]
[3,2]
[0,-1]
{1,2}
{3,4,5,6}
Nós permanentes =
Nós provisórios=
[∞,0]
[∞,0]
[4,1]
Revisão
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5
1
2
4
6
2
7
68
4
5
5
1
3
2
4
6
5
[0,-1]
[2,1]
[5,1]
[4,1]
[∞,0]
[∞,0]
[3,2]
[10,3]
[8,4]
Dijkstra:
Revisão
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[0,-1] 3 [3,2] 
1
6 [10,3]
[2,1] 2
4 5 [8,4] 
[4,1]
Árvore de caminho mínimo
Revisão
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O-D 1 2 3 4 5 6 Oi
1 - 250 500 125 250 750 1875
2 v21 - v23 v24 v25 v26 ∑V2j
3 v31 V32 - v34 v35 v36 ∑V3j
4 v41 v42 V43 - v45 v46 ∑V4j
5 v51 v52 v53 v54 - v56 ∑V5j
6 v61 v62 v63 v64 v65 - ∑V6j
Dj ∑Vi1 ∑Vi2 ∑Vi3 ∑Vi4 ∑Vi5 ∑Vi6
Vamos supor que, após a etapa de distribuição de
viagens, encontramos a matriz apresentada a seguir.
2020
5. Alocação de Viagens
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Logit
40% Transporte Individual
60% Transporte Público
Na próxima etapa – repartição modal – encontramos os valores a seguir :
Com este resultado, alocaremos os 40% de viagens feitas pelo transporte
individual. Vamos supor, neste primeiro exemplo, que a taxa de ocupantes
de automóveis seja aproximadamente igual a unidade. Deste modo,
teremos:
5. Alocação de Viagens
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Após a repartição modal – viagens individuais
O-D 1 2 3 4 5 6 Oi
1 - 100 200 50 100 300 750
2 v21 - v23 v24 v25 v26 ∑V2j
3 v31 V32 - v34 v35 v36 ∑V3j
4 v41 v42 V43 - v45 v46 ∑V4j
5 v51 v52 v53 v54 - v56 ∑V5j
6 v61 v62 v63 v64 v65 - ∑V6j
Dj ∑Vi1 ∑Vi2 ∑Vi3 ∑Vi4 ∑Vi5 ∑Vi6
40% do total
5. Alocação de Viagens
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1
2
3
4 5
6
O\D 1 2 3 4 5 6
1 0 100 200 50 100 300
100
200
200 50
100
100
300
300
300
[0,-1] 3 [3,2] 
1
6 [10,3]
[2,1] 2
4 5 [8,4] 
[4,1]
ocupação
TI jk
veículos jk
t
T
T 
t ocupação =1
5. Alocação de Viagens
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL
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1
2
3
4 5
6
100
200
200 50
100
100
300
300
300
Qual o trecho mais carregado? 
Melhorias no trecho 1-3 
ajudariam a aliviar o 
trecho 1-2?
Essas questões são pertinentes para induzirmos novas linhas de desejo e não para desafogar o
trânsito. Como não há restrição ao aumento/diminuição do fluxo, os valores de custos
existentes em cada fluxo são constantes e essa disposição é a de menor custo para todos os
deslocamentos com origem em 1.
É notório que ter-se-ia que fazer o algoritmo de Dijkstra para todos os nós i, para se
definir o trecho mais carregado da rede viária da área de estudo.
5. Alocação de Viagens
TRANSPORTE E LOGÍSTICA – ENG 1507
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL
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5
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2
3
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6
5
2
6
1
4
6
2
7
8
4
5
6
Defina a melhor rota para os veículos unitários originados da zona 3. Aloque o fluxo de
veículos de acordo com o nº de viagens na hora de pico da manhã fornecido a seguir,
sabendo que 40% dos valores representam o deslocamento pelo modal unitário e
considerando a taxa de ocupação por veículo igual a 1,12.
3 250 500 - 500 250 750 2250
O-D 1 2 3 4 5 6 Oi
Exercício 1
5. Alocação de Viagens
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Djkstra:
1
2
3
4
6
5
[0,-1]
[6,4]
[3,2]
[1,3]
[7,3]
[2,3]
O/D 1 2 3 4 5 6
3 89,3 178,6 - 178,6 89,3 267,9
89,3+178,6=267,9
89,3
89,3+178,6=267,989,3
267,9
5. Alocação de Viagens
TRANSPORTE E LOGÍSTICA – ENG 1507
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL
39
222
5
1
2
3
4
6
5
2
5
1
4
6
2
7
8
4
5
6
2 300 - 200 175 345 600 1620
O-D 1 2 3 4 5 6 Oi
Defina a melhor rota para os veículos unitários originados da zona 2. Aloque o fluxo de veículos de
acordo com o nº de viagens na hora de pico da manhã fornecido a seguir, sabendo que 50% dos valores
representam o deslocamento pelo modal unitário e considerando a taxa de ocupação por veículo igual a
1,10.
Exercício 2
5. Alocação de Viagens
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40
Djkstra:
1
2
3
4
6
5
[0,-1]
[6,4]
[3,2]
[1,3]
[7,3]
[2,3]
O/D 1 2 3 4 5 6
2 136,4 - 90,9 79,5 156,8 272,7
90,9+79,5+156,8+272,7=599,9
156,8
79,5+156,8=236,3136,4
272,7
5. Alocação de Viagens
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41
4
4
1
4
2
3
2
1
3
O/D 1 2 3 4
1 - 100 400 100
2 200 - 100 100
3 100 100 - 200
4 300 200 100 -
(Taxa de ocupação do modal=1)
O Processo todo...
𝑻𝒊𝒋𝒌 =
𝑻𝒊𝒋
𝒕𝒊𝒋𝒌
= 𝑻𝒊𝒋
Matriz de transporte Individual
Por tij ser igual a unidade os valores de
deslocamento, representam também o
número de veículos se deslocando.
Exercício 3
5. Alocação de Viagens
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42
1
4
2
3
600
100 400
O/D 1 2 3 4
1 - 100 400 100
2 200 - 100 100
3 100 100 - 200
4 300 200 100 -
Matriz de transporte 
Individual
1
4
2
3
200
100
100
O/D 1 2 3 4
1 - 100 400 100
2 200 - 100 100
3 100 100 - 200
4 300 200 100 -
5. Alocação de Viagens
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43
1
4
2
3
100
200
200
O/D 1 2 3 4
1 - 100 400 100
2 200 - 100 100
3 100 100 - 200
4 300 200 100 -
1
4
2
3
500
200
100
O/D 1 2 3 4
1 - 100 400 100
2 200 - 100 100
3 100 100 - 200
4 300 200 100 -
5. Alocação de Viagens
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44
1
4
2
3
300
800
500
200
500
200
200
100
Alocação total
5. Alocação de Viagens
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45
3. Modelos de Equilíbrio
5. Alocação de Viagens
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46
i j
𝑐𝑖𝑗 = 19
𝑐′𝑖𝑘 = 11 𝑐𝑘𝑗 =10
k
𝒕𝒊𝒋 k j
i 2.000 1.500
3.000
500
Os 3000 carros entre i e k vão congestionar o trânsito ou pelo menos reduzir a velocidade. Isso 
não muda o custo da viagem entre ik? Não será mais lógica outro tipo de alocação?
1.000
5. Alocação de Viagens
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47
i j
𝑐𝑖𝑗 = 19
𝑐′𝑖𝑘 = 11 𝑐𝑘𝑗 =10
k
𝒕𝒊𝒋 k j
i 2.000 1.500 2.000
1.500
5. Alocação de Viagens
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48
Características do Fluxo de TráfegoAnálise macroscópica - Tráfego como meio contínuo e fluido
 Fluxo ou volume: q [veíc/h] x
 
 
T
xn
xq 
(Variável temporal)
 Concentração ou densidade: d [veíc/km]
X
 
 
X
tn
td 
(Variável espacial)
5. Alocação de Viagens
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49
A premissa básica dos modelos de tráfego
é que a velocidade é uma função
decrescente em relação a densidade. Se a
densidade aumenta, o espaço entre os
veículos diminui e os motoristas reagem,
diminuindo a velocidade.
Podemos observar na figura ao lado que a
densidade das duas pistas são bem
diferentes. Entretanto, é possível as duas
pistas terem o mesmo fluxo de veículos,
certamente com velocidades distintas.
veic/kmveic/h
km/h
𝑞 = 𝑣 × 𝑑
5. Alocação de Viagens
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50
. Relação fluxo x tempo de viagem no arco
. Relação fluxo-velocidade
vvo vf
qmáx
q
q
5. Alocação de Viagens
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51
q
5. Alocação de Viagens
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52
A modelação da degradação da velocidade com o fluxo, ou do tempo de viagem com o
fluxo de tráfego, pode ser feita de forma simplificada por:
A. Funções por faixas de volume
B. Funções contínuas
1000 2000 3000
Tráfego
(uvl/h)
10
20
5
40
15
Tempo
(minutos)
A. Função por faixas de volume:








30002000 se 02,020
20001000 se 005,010
10000 se 15
qqt
qqt
qt
5. Alocação de Viagens
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53
Uma das curvas de distribuição tempo-tráfego mais usadas é a função definida pelo Bureau of
Public Roads - BPR (1964).
É o mesmo que dizer:
com:
 
 
  














2
/1200
/
21min15
:Exemplo
hveíc
hveícV
t
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Tempo (minutos)
Tráfego 
(uvl/h) 
B. Função contínua:
 curva da calibração de parametros - e 
fluxo) (sem vazioem viagemde Tempo t
 viagemde Tempo - t
e)(capacidad suporta arco o que fluxo Máximo - C
 tráfegode Volume - q
fluxo) (sem vazioem Velocidade - V
(Speed) Velocidade - V
0
i
i
0
i



 







C
q
V
V
i
i
1
0
5. Alocação de Viagens
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54
Funções de desempenho ou atrito:
Tempo de um fluxo livre
U.S. Bureau of Public Roads (BPR)
 = 0,15 ;  = 4,0
5. Alocação de Viagens
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55
1000 2000 3000
Tráfego
(uvl/h)
10
20
5
40
15
Tempo
(minutos)
0
10
20
30
40
50
0 500 1000 1500
Tempo 
(minutos)
Tráfego 
(uvl/h) 
Função contínua Funções por faixas de volume
5. Alocação de Viagens
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56
Passos do método Incremental:
1. Atribui-se aos eixos da rede uma percentagem (incremento) do tráfego da matriz origem-
destino numa base de “tudo-ou-nada” consoante os tempos de viagem ou custos 
generalizados;
2. Calculam-se os tempos (ou custos) correspondentes ao funcionamento da rede com o 
tráfego atribuído através deste incremento (o aumento do fluxo pode ter tido impacto no 
tempo de viagem);
3. Termina-se a execução do método se a soma dos incrementos atingir os 100%, caso 
contrário volta-se ao ponto 1.
3.1. MÉTODO INCREMENTAL DE ALOCAÇÃO POR EQUILÍBRIO
As redes reais não são convertíveis em simplificações de poucos arcos e curvas de fluxo-tempo
lineares. Por isso não é tão fácil chegar a este equilíbrio. Existem, no entanto, vários métodos
aproximados para a alocação de tráfego numa rede por equilíbrio, entre os quais o denominado
Método Incremental (conhecido também como método das “fatias”).
É um processo na qual frações de tráfico são alocadas em etapas e cada proporção alocada é
baseada no Tudo ou nada. Após cada passo, os tempos de viagem são calculados de acordo com os
volumes de tráfego no link. Quando se aplica muitas etapas, a alocação incremental se assemelha à
alocação de equilíbrio do usuário, entretanto este método não resulta em uma solução de
equilíbrio. A Alocação incremental é influenciada na ordem em que os volumes dos pares o-d são
alocados, provocando tendências no resultado final.
5. Alocação de Viagens
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57
Como as curvas de degradação do tempo de viagem com o fluxo não são lineares,
pode-se afirmar que para fluxos maiores a degradação de tempo de viagem é superior,
considerando o mesmo incremento unitário. Portanto, não é eficiente utilizar fatias da
mesma dimensão, mas sim dimensionar essas fatias de acordo com as curvas de
degradação.
Assim deve-se começar por fatias maiores no início já que isso não provoca grande
efeito no tempo de viagem e gradualmente considerar fatias mais pequenas.
Obs:
40%
30%
15%
10%
5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
5. Alocação de Viagens
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58
A B C
A - 500 1500
B 500 - 500
C 1500 500 -
(unidade: uvl/h)
Origens
Destinos
Tráfego
40%
30%
15%
10%
5%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Alocação incremental de Tráfego (carregamentos 
progressivos ou cascata)
A B CA B C
Exercício 4
 
 
 
 
 
  





























4
4
/1500
/
11min5
/3000
/
11min15
fluxo- tempode Curvas
hveíc
hveícV
tt
hveíc
hveícV
t
BCAB
AC
5. Alocação de Viagens
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59
A B C
A - 200 600
B 200 - 200
C 600 200 -
(unidade: uvl/h)
Origens
Destinos
Tráfego
Carregamento (40%)
1ª Alocação
Carregamento da rede com os primeiros 40% da matriz O/D na base do Tudo-ou-Nada. Note-se que,
como a matriz é simétrica e a rede também, basta carregar a diagonal superior da matriz.
A B CA B C
5 min 5 min
15 min
Tempo de 
viagem 200+600= 800 200+600 = 800
tAB =5min
tBC =5min
tAB +tBC = 5+5 =10 min
tAC =15min
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
5. Alocação de Viagens
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60
 
 
 
  min4,5081,015
1500
800
115
/1500
/
11min5
4
4
































hveíc
hveícV
tt BCAB
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
5. Alocação de Viagens
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61
A B CA B C
5.4 
min
15 min
800+
150+450
800+
150+450
2ª Alocação (+30%)
800 veículos
da iteração anterior
5.4 
min
Tempos de 
viagem 
actualizados
A B C
A - 150 450
B 150 - 500
C 450 150 -
(unidade: uvl/h)
Origens
Destinos
Tráfego
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
5. Alocação de Viagens
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62
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
 
  min8,8759,015
1500
1400
11min5
4
















 BCAB tt
5. Alocação de Viagens
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63
A B CA B C
8.8 min 8.8 min
15 min
1400+
75
1400+
75
3ª Alocação (+15%)
Nas novascondições de tempo de viagem, as viagens AC passam a ser 
feitas pela circular.
225
A B C
A - 75 225
B 75 - 225
C 225 75 -
(unidade: uvl/h)
Origens
Destinos
Tráfego
75
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
5. Alocação de Viagens
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64
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
  min7,9
1500
1475
11min5
4















 BCAB tt
  min150005,15
3000
225
11min15
4















ACt
5. Alocação de Viagens
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65
A B CA B C
9.7 min 9.7 min
15 min
1475+50=1525
4ª Alocação (+ 10%)
225+150=375
Não muda 
praticamente
1475+50=1525
A B C
A - 50 150
B 50 - 50
C 150 50 -
(unidade: uvl/h)
Origens
Destinos
Tráfego
  min3,10
1500
1525
11min5
4















 BCAB tt
  min15004,15
3000
375
11min15
4















ACt
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
5. Alocação de Viagens
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66
A B CA B C
10.3 min 10.3 min
15 min
1525+25=1550 1525+25=1550
5ª Alocação (+ 5%)
Alocação após 
carregamento total da matriz O/D.
375+75=450
Note-se que para A-C não se ultrapassou o volume de tráfego que faria o tempo de 
percurso ser significativamente superior a 15 minutos.
A B C
A - 25 75
B 25 - 25
C 75 25 -
(unidade: uvl/h)
Origens
Destinos
Tráfego
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
5. Alocação de Viagens
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67
A B CA B C
10.7 min 10.7 min
15 min
1550 1550
450
tAB =10.7 min
tBC =10.7 min
tAB +tBC = 10.7+10.7 =21.4 min
tAC =15 min
Diferença de 6.4 minutos 
entre os dois caminhos
Obs: Aplicando fatias mais pequenas o equilíbrio tenderá a ser melhor. 
Alocação incremental de Tráfego 
(carregamentos progressivos ou 
cascata)
5. Alocação de Viagens
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Considere as opções de rota que liga a
região O à D. Os tempos de viagem dos
três links variam conforme o fluxo. A
demanda de O para D é 110 veículos.
O D
Rota 1 
Rota 2 
Rota 3 
Nota-se que, se a demanda é menor ou igual a 100, os veículos utilizarão a rota 2, pois o tempo
de deslocamento estará entre 30 e 40 min.
Fonte: http://www.princeton.edu/~alaink/Orf467F15/TransportationNetworkDesign_Mathew.pdf
“Os tempos de viagem de todas as rotas realmente usadas são menores ou iguais do que os
da aquela que seria experimentada por um único veículo numa rota não utilizada”.
1° Critério de Wardrop (critério egoísta)
3.2. MÉTODO SIMPLES DE ALOCAÇÃO POR EQUILÍBRIO (User equilibrium)
5. Alocação de Viagens
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69
5. Alocação de Viagens
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70
Entretanto, quando a demanda excede 100, o tempo ultrapassa
40 min, então torna-se lucrativo mudar-se para a rota 1. Caso haja
a mudança, o fluxo da rota 2 poderá cair para um valor menor que
100 e será lucrativo voltar para a rota 2. Com esse raciocínio,
conclui-se que 100 usarão a rota 2 e 10 veículos usarão a rota 1 e
nenhum veículo poderá diminuir o seu tempo, mudando de rota. A
rota 3, neste caso terá fluxo zero.
(a) Equilíbrio
(b) Desequilíbrio: rota 2 – 110 veic
(c) Desequilíbrio: rota 2- 90 veic; rota 1 –
20 veic
(d) Desequilíbrio: rota 2-70 veic; rota1-30 
veic; rota 3-10 veic
O equilíbrio do usuário se 
dá, quando a soma das 
áreas definidas pelos 
fluxos e seus respectivos 
tempos para cada rota é 
mínima.
Fonte: http://www.princeton.edu/~alaink/Orf467F15/TransportationNetworkDesign_Mathew.pdf
5. Alocação de Viagens
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71
5. Alocação de Viagens
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72
Onde:
O total do fluxo de 1 para 2 
é 12, então:
Exemplo
Fonte: http://www.princeton.edu/~alaink/Orf467F15/TransportationNetworkDesign_Mathew.pdf
5. Alocação de Viagens
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73
O tráfego entre os dois (únicos) bairros de uma cidade, A e B, no valor de 2000
uvl/h pode ser efetuado por duas rotas, 1 e 2. Determine a alocação de equilíbrio
desse tráfego sabendo que as curvas tempo-tráfego para os referidos percursos
são as seguintes:
EXERCÍCIO 5
A B
1
2
11 01,010:1R qtota 
22 0025,015:2R qtota 
(t em minutos; q em uvl/h)
Tempo
(min)
Tráfego
(uvl/h)
1000
10
20
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





21
21 2000
tt
qq







21
21
0025,01501,010
2000
qq
qq
min18
uvl/h800
uvl/h1200
21
1
2






 tte
q
q
Mas se a rota 2 passar a ter um pedágio de $3 e o valor em tempo do dinheiro for 5
minutos/$ (ou seja estou disposto a gastar mais 5 minutos para poupar $1), a função de
desempenho de tempo de viagem passa a ser:
t2=15+0,0025q2+5ped
como o pedágio é constante independentemente do tráfego 
passamos a ter:
t2=15+0,0025q2+(5x3)=30+0,0025q2
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O pedágio funciona como 
um agravamento do tempo 
de viagem (impedância) e 
portanto o caminho 2 terá 
menos viagens!
Tempo
(min)
Tráfego
(uvl/h)
1000
10
20
Determinem os novos fluxos!
O que acontecerá com o fluxo da rota 2?
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Os motoristas agem como se soubessem o que seria melhor para o
sistema. A rede está em equilíbrio. Nenhum motorista pode melhorar seu
custo generalizado de viagem, mudando de rota unilateralmente.
2° Critério de Wardrop (critério social)
“O tempo médio global de viagem de todos os motoristas é mínimo.”
3.2. MÉTODO SIMPLES DE ALOCAÇÃO POR EQUILÍBRIO (Social equilibrium)
A alocação SO (system Optimum) ou do Equiíbrio Social pode ser pensada como
um modelo no qual o congestionamento é minimizado quando se
predeterminam as rotas para um conjunto de viajantes, como no caso de uma
evacuação em situação de emergência ou num grande evento.
Fonte: Planejamento de transportes- conceito e modelos – Prof. Vânia B.G. Campos
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Método do “Equilíbrio Social”
Social Equilibrium (SO)
O total do fluxo de 1 para 2 é 12, 
então:
Exemplo:
Fonte: http://www.princeton.edu/~alaink/Orf467F15/TransportationNetworkDesign_Mathew.pdf
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Comparando com o “Equilíbrio do Usuário” e o “Equilibrio Social”, temos:
t1 t2 x1 x2 Z* Tempo total
Eq do Usuário 27,4 27,4 5,8 6,2 239,0 328,8
Eq Social 25,9 28,4 5,3 6,7 327,5 327,5
ES
EU
Fonte: http://www.princeton.edu/~alaink/Orf467F15/TransportationNetworkDesign_Mathew.pdf
Excel
equilibrios do usuário e social.xlsx
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1. Modelos Tudo-ou-Nada
Aplicam-se sobretudo ao tráfego interurbano, em que as alternativas são poucas e muito
diferenciadas nas suas característicase em que acima de tudo não se coloca tanto a questão
da degradação do tempo de viagem com o fluxo que passa nos arcos.
Por exemplo: Auto-Estrada vs Estrada Nacional.
2. Modelos Estocásticos
Nestas condições também se podem utilizar modelos de escolha discreta tal como usamos na
repartição modal, em vez de colocar todos os veículos num caminho, atribuem-se os veículos
segundo repartições obtidas através da utilidade de cada caminho calculadas com um logit.
QUANDO APLICAR CADA UM DOS MODELOS?
3. Modelos de Equilíbrio
Aplicam-se ao tráfego urbano (e metropolitano) em que as combinações de caminhos
possíveis são muitas e o congestionamento em horas de ponta acontece com grande
probabilidade em vários arcos da rede, afetando o tempo de viagem, o que por sua vez
degrada consideravelmente a atratividade dos caminhos mais curtos, ou seja aqueles que em
principio seriam os melhores.
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Bibliografia
• Miller E. (2007) A Travel Demand Modelling System for the Greater Toronto Area, 
Version 3.0 Joint Program in Transportation. University of Toronto.
• Ortúzar J. and Willumsen L. (2001) Modelling Transport. 3rd Edition. John Wiley and 
Sons. West Sussex, England.
• O’ Flaherty C. A. (1997) Transport Planning and Traffic Engineering. 1st Edition. John 
Wiley and Sons. New York, USA.
• Repolho, H. Slides de aula – Departamento de Engenharia Industrial – PUC/RJ - 2013
• Wardrop, J. (1952) Some theoretical aspects of road traffic research. Proceeding of 
the Institute of Civil Engineers, 2(1):325-378.
• Hammond P. (2012) Congestion Report. Washington State Department of 
Transportation, 11th edition.