Módulo 1

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Geometria Analítica 
Módulo 1 
Revisão de funções trigonométricas, 
Vetores: Definições e aplicações 
 Módulo, direção e sentido. 
 Igualdades entre vetores 
 
1. Revisão de funções trigonométricas 
a) Triângulo retângulo: É o triângulo que possui um ângulo reto (90°). 
 
No triângulo retângulo da figura temos: 
Hipotenusa  maior lado do retângulo, indicado na figura por a 
Catetos  lados que formam o ângulo reto, indicados por b e c 
  um dos ângulos agudos (< 90°) do triangulo retângulo. 
Cateto adjacente ao ângulo   b 
Cateto oposto ao ângulo   c 
Teorema de Euclides: “A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo 
vale 180°”. 
Teorema de Pitágoras: “Em todo triângulo retângulo o quadrado da 
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”. Para o triangulo da 
figura temos: 
²²² cba  
 
Relações trigonométricas principais 
 
hipotenusa
 ângulo ao oposto cateto de seno   na figura temos a
c sen  
 
hipotenusa
 ângulo ao adjacente cateto de seno-co   na figura temos 
a
b cos  
 
 angulo ao adjacente cateto
 ângulo ao oposto cateto de tangente

  na figura temos b
c tg  
 
b) Triângulo qualquer: É nome dado qualquer triângulo que não possui um 
ângulo reto (90°). 
 
a; b; c  medida dos lados do ABC 
A; B; C  vértice e medida dos ângulos internos do ABC 
Lei dos Co-senos: “Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é 
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do 
produto dessas medidas pelo co-seno do ângulo que eles formam.” Na figura 
temos: 
C 2a.b.cos - b² a² c²
 B 2a.c.cos - c² a² b²
A 2b.c.cos - c² b² a²



 
2. Noção intuitiva de vetor 
 
Vetor é um segmento de reta orientado que usado para indicar grandeza que 
necessitam de direção (alinhamento) e sentido (para onde?). Um vetor também 
pode ser usado para indica uma posição em um plano cartesiano. 
A indicação de um vetor pode ser feita da maneira mostrada na figura ao lado. 
Os vetores PQ , u e v de mesmo módulo (tamanho ou intensidade), mesma 
direção e mesmo sentido logo os 3 vetores são iguais. 
PQ = u

 = v

 
O módulo de um vetor representa o comprimento do vetor e é indica entre 2 
barras 
Dois que possuem o mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos são 
chamado de vetores opostos e neste caso pode usar a seguinte notação: 
ba

  Significa os vetores são opostos. 
 
Exercício Resolvido - 1 
Um automóvel desloca-se seguindo o caminho ABC indicado na figura. 
Determinar a distância efetivamente percorrida pelo automóvel e o quanto ele 
afastou-se do ponto A. 
 
Solução 
²²² cba   ²40²30² a 
2500a  cma 50 
 
Exercício Resolvido - 2 
Na figura abaixo estão representados três vetores em escala. 
 
a) Calcule o módulo do vetor a . 
 
Solução 
O vetor a ocupa na direção horizontal 7 segmentos de 5cm cada portanto seu 
módulo (comprimento total de seu segmento de reta) é de 35cm, em notação 
vetorial podem escrever: 
cma 35 
b) Calcule o modulo do vetor b

 
Solução 
O vetor b tem direção inclinada e ocupa na horizontal 6 segmentos de 5cm e 
na vertical 8 segmentos de 5cm portanto seu módulo (comprimento total de 
seu segmento de reta) é calculado utilizado o teorema de Pitágoras. Seu 
módulo equivale a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 30cm 
e 40cm. 
²40²30 b

  2500b

  cmb 50

 
Portanto a módulo do vetor b é de 50cm 
 
c) Calcule o modulo do vetor c

 
Solução 
O vetor c ocupa na direção direção vertical 8 segmentos de 5cm cada portanto 
seu módulo (comprimento total de seu segmento de reta) é de 40cm, em 
notação vetorial podem escrever: 
cma 40 
Exercícios propostos 
1. É dado o ABC. Resolva 
 
a) Calcule o valor da hipotenusa c 
b) Calcule o seno de  e . 
c) Calcule o co- seno de  e . 
d) Calcule a tangente de  e . 
 
2. Determinar a distância entre os pontos A e B, conhecidas as distancias AC 
= 2 cm e BC = 7 cm e o ângulo ACB = 120°. 
 
 
3. Quando dois vetores são iguais? 
a) Tem a mesma direção e sentido. 
b) Tem a mesma carga. 
c) Tem a mesma direção, sentido e comprimento. 
d) Tem comprimento e sentidos iguais. 
e) Tem o mesmo valor escalar. 
 
4. Leia o texto abaixo. 
O jardim de caminhos que se bifurcam. 
(....) Uma lâmpada aclarava a plataforma, mas os rostos dos meninos 
ficavam na sombra. Um menino perguntou: O senhor vai à casa do Dr. 
Stephen Abert? Sem aguadar resposta outro disse: A casa fica longe 
daqui, mas o senhor não se perderá se tomar esse caminho à esquerda e 
se em cada encruzilhada do caminho dobrar à esquerda. 
(Adaptado. Borges, J. Ficcções. Rio de Janeiro: 1997. p.96.) 
Quanto à cena descrita acima, considere que: 
I - o sol nasce à direita dos meninos: 
II - o caminho fica à esquerda dos meninos; 
III - o senhor seguiu o conselho dos meninos, tendo encontrado duas 
encruzilhadas até a casa; 
IV - As duas encruzilhadas são perpendiculares (formam um ângulo de 90º) 
Concluiu-se que o senhor caminhou, respectivamente, nos sentidos: 
a) oeste, sul e leste. 
b) leste, norte e oeste. 
c) oeste, norte e leste. 
d) leste, norte e oeste. 
e) leste, norte e sul. 
Sugestão : O Sol nasce no leste. 
Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina