MATEMÁTICA AVANÇADA - UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI - ATIVIDADE 4 - BANCO DE QUESTÕES

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Banco de Questões – Unidade IV – Matemática Avançada
Área de região limitada por duas curvas
1) Geometricamente, o valor de uma integral representa o valor da área da região limitada por uma função e o eixo em um intervalo . Porém, também é possível usar o cálculo da integral para determinar a área determinada por duas funções. Para isso, basta calcular , sendo que e os valores de e são as interseções dos gráficos de e . Dessa forma, calcule a área da região limitada pelas funções e e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Note que as funções e se interceptam quando , ou seja, quando e , este é o limite de integração. Perceba que, no intervalo temos Então, a área da região limitada pelas funções e é .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Primeiramente, devemos identificar o intervalo de integração, que é definido ao resolver a equação , o que implica e . Dentro dos limites de integração, intervalo , temos que , então, a área é dada por .
a) 
b) 
*c) 
d) 
e) 
Área de região limitada por duas curvas
2) Para calcular a área de uma região definida por duas funções, devemos ser cuidadosos em relação aos pontos de interseção das funções e ao intervalo no qual a região está definida. Além disso, é necessário verificar qual função possui o maior valor funcional no intervalo dado. Com base nessas informações, calcule a área da região compreendida entre os gráficos de e no intervalo e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. As funções e se interceptam quando , ou seja, em e . Perceba que, no intervalo temos que e, no intervalo de temos que . Então, a área da região limitada pelas funções e no intervalo será dada por:
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Primeiramente, devemos verificar se no intervalo de as funções se interceptam. Assim, tomando concluímos que e são os pontos de interseção. Analisando as funções, temos que, no intervalo temos que e, no intervalo de temos que . Assim, a área da região limitada pelas funções e no intervalo será 
.
a) 
b) 
c) 
d) 2
*e) 
 
Volume de um sólido de revolução
3) O volume de um sólido pode ser calculado usando a integral definida. Se o sólido está definido entre os valores de e e é a área de uma seção transversal deste, temos que seu volume é . Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região sob a curva sendo e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, vamos determinar a área de uma seção transversal do sólido, que é dada por . Aplicando a fórmula para o volume, obtemos .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Para aplicar a fórmula do volume, precisamos determinar a área de uma seção transversal do sólido, ou seja, . Então, o volume do sólido é .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Volume de sólido de revolução
4) Os sólidos de revolução são aqueles obtidos pela rotação de uma região em torno de um eixo. Em geral, o volume de um sólido de revolução é calculado por ou , em que e corresponde à área de uma seção transversal do sólido. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico da função em torno do eixo sendo e assinale a alternativa correta.
 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, vamos determinar a área de uma seção transversal do sólido, que é dada por . Aplicando a fórmula para o volume, obtemos ; usando a relação , temos .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Para aplicar a fórmula do volume, precisamos determinar a área de uma seção transversal do sólido, ou seja, . Então, usando a relação , o volume do sólido é .
a) 
*b) 
c) 
d) 
e) 
Área de região limitada por duas curvas
5) O cálculo da área de uma região limitada por funções se dá por meio da integral definida, sendo a integral a diferença entre as funções. Isto é, se a região está limitada no intervalo pelas funções e , tal que para todo , então a área dessa região é dada por . A partir do gráfico a seguir, calcule a área da região limitada pelas funções e e assinale a alternativa correta.
 
Fonte: Elaborado pela autora.
 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Por meio do gráfico, podemos perceber que a região está limitada ao intervalo e, nesse intervalo, temos que . Assim, a área da região é .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A região está limitada no intervalo em que , ou seja, no intervalo . Nesse intervalo, temos que e, portanto, a área da região é calculada como .
a) 2
b) 1
c) 
*d) 
e) 
Área de uma superfície de revolução
6) Uma superfície de revolução é uma superfície obtida pela rotação de uma curva em torno de um eixo ou de uma reta fixa. Quando essa superfície é obtida pela rotação do gráfico da função , limitada em um intervalo , em torno do eixo , sua área é definida por . Determine a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo , do gráfico de , e assinale a alternativa correta.
 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Calculando a derivada da função, temos , com a aplicação da fórmula da área . Usando o método de mudança de variáveis, tomamos e, então, ; os parâmetros da integral na variável são: se , se . Logo, .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Aplicando a fórmula da área da superfície, temos que . Usando o método de mudança de variáveis, obtemos a área da superfície .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Volume de sólido de revolução
7) Se a seção transversal de um sólido for um anel, encontramos o raio interno e externo a partir de um esboço e calculamos a área do anel subtraindo a área do disco interno da área do disco externo, ou seja, . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo da região delimitada pelas curvas e e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, precisamos identificar o intervalo no qual a região está definida e, para isso, basta tomarmos o que implica e . Como no intervalo , o raio interno é e o raio externo é , assim, a área de uma seção transversal do sólido é . Calculando o volume, temos .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A região definida pelas duas curvas está limitada para os valores de e uma seção transversal possui o formato de um anel, cujo raio interno é e o raio externo é . Então, o volume do sólido será .
a) 
b) 
*c) 
d) 
e) 
Volume de sólido de revolução
8) A região da figura a seguir é limitada pelas retas , e a curva . Ao rotacionar essa região em torno do eixo ela irá descrever um sólido . Nesse caso, o cálculo do volume desse sólido se dá de modo mais prático se calculado como em que .
Fonte: Elaborado pela autora.
Assinale a alternativa que corresponde ao volume do sólido gerado pela rotação da região dada na figura apresentada em torno do eixo .
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Dado que então , assim, a área de uma seção transversal do sólido será dada por . A região está restringida para os valores ; então, seu volume será .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Como será usada a fórmula em que , devemos escrever em função de . A partir da curva escrevemos , em que . Então, e o volume do sólido será .
*a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Volume de sólido de revolução
9) O volume de um sólido de revolução é dado pela integral definida , em que e é a área de uma seção transversal do sólido; ou, de modo análogo, pela integral , em que e é a área de uma seção transversal do sólido. Analise as afirmativas a seguir:
I. A integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região definida pela curva em que .
II. A integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região sob a curva de até .
III. A integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação da região acima do eixo delimitada por e em tornodo eixo .
IV. A integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , da região definida pela curva e limitada em .
Está correto apenas o que se afirma em: 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Analisando a(s) afirmativa(s), temos:
Afirmativa II: Comparando a integral com a integral genérica de volume , devemos lembrar que e . Então, , o que implica em que . Ou seja, a integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região sob a curva para 
Afirmativa III: Comparando a integral com a integral genérica de volume , devemos lembrar que e . Então, tem a característica de um anel com raio interno e raio externo . Ou seja, a integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação da região acima do eixo delimitada por e em torno do eixo .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Analisando a(s) afirmativa(s), temos:
Afirmativa I: Comparando a integral com a integral genérica de volume , devemos lembrar que e . Então, , o que implica , em que . Ou seja, a integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região definida pela curva em que .
Afirmativa IV: Comparando a integral com a integral genérica de volume , devemos lembrar que e . Então, implica , em que . Ou seja, a integral corresponde ao volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , da região definida pela curva e limitada em .
*a) II, III.
b) II, IV.
c) II, III, IV.
d) I, III.
e) I, III, IV.
Área de região limitada por duas curvas
10) As integrais definidas podem ser utilizadas para calcular a área de uma região definida por duas funções. Por exemplo, as funções e se interceptam em dois pontos e formam uma região delimitada por elas. Essa região está ilustrada na figura a seguir.
Fonte: Elaborado pela autora.
Calcule a área da região limitada pelas funções e e assinale a alternativa correta. 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. por meio desse gráfico, podemos perceber que a região está limitada ao intervalo e, nesse intervalo, temos que . Assim, a área da região é .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A região está limitada no intervalo em que , ou seja, no intervalo . Nesse intervalo, temos que e, portanto, a área da região é calculada como .
a) 
b) 
c) 
d) 
*e) 
Aplicação à Economia
11) A integral da receita marginal em um intervalo resulta na variação total da receita nesse intervalo, isto é, . Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receita marginal é dada por . Para o intervalo , calcule a variação total da receita e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. A receita total é dada pela integral da receita marginal no intervalo , ou seja, . Portanto, a variação total da receita é de .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com o que foi exposto no enunciado, a receita total é definida pela integral ; no caso, temos e , assim, .
a) 
b) .
*c) .
d) 
e) .
 
Aplicação à Economia
12) Algumas funções são definidas como derivadas de outras. Por exemplo, a função custo marginal é dada como a derivada da função custo total . Como as operações de derivação e integração são inversas, a integral do custo marginal em um intervalo resulta na variação total do custo nesse intervalo, isto é, . Se a função custo marginal é dada por , contabilizado em reais, obtenha a variação total do custo para e assinale a alternativa correta.
 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. O custo total é dado pela integral do custo marginal no intervalo , ou seja, . Portanto, a variação total do custo é de .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com o que foi exposto no enunciado, o custo total é definido pela integral ; no caso, temos e , assim, .
a) 
*b) .
c) .
d) .
e) .
Aplicação à Economia
13) A integral do lucro marginal em um intervalo resulta na variação total do lucro nesse intervalo, isto é, . A função lucro é definida como a diferença entre a função receita e a função custo, isto é, . Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receita marginal é dada por e o custo marginal é de . Para o intervalo calcule a variação total do lucro e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. O lucro total é dado pela integral do lucro marginal no intervalo . Como , temos que . Portanto, a variação total do lucro é de .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com o que foi exposto no enunciado, o lucro total é definido pela integral ; no caso, temos e , assim, .
a) .
b) .
c) .
*d) .
e) .
 
Aplicação à Economia
14) Leia o excerto a seguir:
[...] o cálculo preciso do excedente do consumidor é dado por “toda” a área abaixo da curva da demanda e acima da reta que representa o preço de mercado para , [...]. Como o cálculo preciso do excedente do consumidor pode ser expresso como área entre duas curvas (a curva e a reta ) em um intervalo, podemos expressá-lo por uma integral definida (MUROLO; BONETTO, 2014, p. 368).
MUROLO, Afrânio; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: CENGAGE, 2014. 
Podemos escrever, então, que o excedente do consumidor é dado por , em que é a função demanda, é o preço de mercado e a respectiva quantidade vendida. Calcule o excedente do consumidor se o preço de mercado é de e a função demanda é e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, precisamos da quantidade vendida ; para isso, calculamos . Portanto, . Dado que , trocando as informações na integral, temos , ou seja, o excedente é de .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. O texto fornece o preço de mercado . Já a quantidade vendida deve ser calculada como , o que implica . Substituindo as informações na integral do excedente do consumidor, temos .
*a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
 
Aplicação à Economia
15) Leia o excerto a seguir:
Na economia, a Teoria da Oferta afirma que preços maiores despertam o interesse do produtor de aumentar a oferta de seu produto, já preços menores geram menos quantidade ofertada dos produtos [...]. A diferença entre os preços que o produtor realmente recebe pela venda com o preço praticado pelo mercado, para o preço no qual ele estaria disposto a receber na venda do produto, é chamado de excedente de produção (BARROS, 2013, p.76).
BARROS, Luiz Eduardo Wanderley Buarque de. Cálculo: um estudo de suas aplicações às áreas financeira e econômica. 2013. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa, PB, 2013.
Podemos escrever, então, que o excedente do produtor é dado por , em que é a função de oferta, é o preço de mercado e a respectiva quantidade vendida. Calcule o excedente do produtor se o preço de mercado é de e a função demanda é e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, precisamos da quantidade vendida ; para isso, calculamos . Portanto, . Dado que , ao trocarmos as informações na integral, temos , ou seja, o excedente é de .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. O texto fornece o preço de mercado . Já a quantidade vendida deve ser calculada como , o que implica . Ao substituirmos as informações na integral do excedente do produtor, temos .
a) .
*b) .
c) 
d) 
e) 
 
Integral de trabalho
16) O trabalho é uma grandeza física que existe quando uma força é aplicada em um corpo. o que provocará seu deslocamento , a unidade de medida do trabalho é o Joule (J). O trabalho pode ser definido pela integral , em que é o intervalo de deslocamento do corpo. Vamos supor que a força aplicada em um corpo seja , calcule o trabalho desse corpo quando ele é deslocado da posição para a posição e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta.Como trabalho é definido pela integral da força aplicada em um intervalo de deslocamento, basta substituir os valores dados na definição, assim, .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com as informações fornecidas no enunciado, o trabalho é definido pela integral da força aplicada em um intervalo de deslocamento. Ao substituirmos os valores na definição, temos .
a) .
b) .
*c) .
d) .
e) .
Integral de trabalho
17) De acordo com Leithold (1994, p. 409), a Lei de Hooke “estabelece que, se uma mola for esticada unidades além do seu comprimento natural, ela tende a voltar ao normal, exercendo uma força igual a unidades”. A constante é chamada de constante elástica da mola.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, v. 1, 1994.
Uma mola de comprimento natural de 10 cm é submetida a uma força de . Calcule o trabalho realizado para esticá-la de seu comprimento natural até 15 cm e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Como a mola está sendo esticada de 10 cm para 15 cm, temos que a variação do comprimento da mola se dá no intervalo . Ao utilizarmos a definição de trabalho, temos que . Portanto, o trabalho de esticar a mola é de 1500 J.
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Note que a mola está sendo esticada de 10 cm para 15 cm. Logo, a variação de seu comprimento está restrita ao intervalo . Pela definição de trabalho, , temos que .
a) 7500 J.
*b) 1500 J.
c) 3500 J.
d) 5500 J.
e) 500 J.
 
Integral de trabalho
18) O trabalho realizado pela força , quando um objeto se move de um ponto para um ponto é dado pela integral . Vamos supor que uma partícula se move ao longo do eixo sob a ação de uma força . Se a partícula se deslocar da origem até a posição de , calcule o trabalho realizado pela partícula nesse movimento e assinale a alternativa correta.
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Como trabalho é definido pela integral da força aplicada em um intervalo de deslocamento, temos que a variação do deslocamento ocorre no intervalo . Ao substituirmos os valores fornecidos no enunciado na definição de trabalho, temos . Portanto, o trabalho é de .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com as informações fornecidas no enunciado, o trabalho é definido pela integral da força aplicada em um intervalo de deslocamento. Partindo da origem até a posição de , a variação do deslocamento ocorre no intervalo . Ao substituirmos os valores na definição de trabalho, temos .
*a) 
b) .
c) 
d) 
e) 
 
Integral de trabalho
19) Podemos interpretar a grandeza trabalho, geometricamente, como sendo a área abaixo da curva no gráfico força por deslocamento em um intervalo . Porém, sabemos que a área sob uma curva pode ser interpretada como uma integral. Dada uma partícula que se move ao longo do eixo sob a ação de uma força da posição para a posição , calcule o trabalho realizado nesse movimento e assinale a alternativa correta. 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Como trabalho é área abaixo da curva do gráfico força por deslocamento em um intervalo , escrevemos . No problema dado, a partícula se desloca no intervalo , então, o trabalho será . Ao usarmos o método de mudança de variáveis, temos que e, então, ; os limites de integração serão: se então, se então . Assim, . Portanto, o trabalho é de .
 
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. O trabalho é calculado pela integral definida . A partícula se desloca no intervalo e a força aplicada é dada pela função . Ao usarmos o método de mudança de variáveis para resolver a integral, o trabalho é dado por .
*a) .
b) 
c) 
d) 
e) .
 
Área de uma superfície de revolução
20) Uma superfície obtida pela rotação de uma curva em torno de um eixo, ou uma reta fixa, é chamada de superfície de revolução. Quando essa superfície é obtida pela rotação do gráfico da função , limitada em um intervalo , em torno do eixo , sua área é definida por , em que . Determine a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , do gráfico de , e assinale a alternativa correta.
 
~ Resposta correta. A alternativa está correta. Ao calcularmos a derivada, temos se aplicarmos a fórmula da área . Ao usarmos o método de mudança de variáveis, tomamos e, então, ; os parâmetros da integral na variável são: se , se . Logo, .
@ Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A derivada de é . Se aplicarmos a fórmula da área da superfície, temos que . Quando usamos o método de mudança de variáveis, obtemos a área da superfície .
a) 
b) 
c) 
d) .
*e) .