Progressão Geométrica (Exercícios com resolução)

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Prof. Cícero Carlos 
 
 
Exercícios de revisão de P.G. para P2 
 
 
Lista de exercícios resolvidos. 
 
1) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem definida pela 
função 𝑎 = 2 , com “n” natural não nulo. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 1, temos 𝑎 = 2 = 2. 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑎 = 2 = 4. 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑎 = 2 = 8. 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (2, 4, 8, … ). 
 
 Para 𝑛 = 10, temos 𝑎 = 2 = 1024. 
 Portanto, temos o décimo termo da P.G.1 é 𝑎 = 1024. 
 
b) A soma dos dez primeiros termos. 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
2 ∙ (2 − 1)
2 − 1
 
 
𝑆 = 2 − 2 
 
 Portanto, temos que a fórmula da soma dos n primeiros termos da 
P.G.1 é 
𝑆 = 2 − 2 . 
 
 Para 𝑛 = 10, temos 𝑆 = 2 − 2 . 
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 Portanto, temos 𝑆 = 2046 . 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
2) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem definida pela lei 
de recorrência 𝑎 = 2 ∙ 𝑎 , com 𝑎 = 3 e “n” natural maior ou igual 2. 
Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑎 = 2 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 3 = 6. 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑎 = 2 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 6 = 12. 
 Para 𝑛 = 4, temos 𝑎 = 2 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 12 = 24. 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (3, 6, 12, 24, … ). 
 
Como 𝑎 = 3 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula do termo geral da 
P.A.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 3 ∙ 2 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 3 ∙ 2 
 
 Para 𝑛 = 10, temos 𝑎 = 3 ∙ 2 
 Portanto, temos 𝑎 = 1536 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 3 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
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𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
3 ∙ (2 − 1)
2 − 1
 
 
𝑆 = 3 ∙ (2 − 1) 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 é 
𝑆 = 3 ∙ (2 − 1) 
 
 Para 𝑛 = 10, temos 𝑆 = 3 ∙ (2 − 1) . 
 Portanto, temos 𝑆 = 3069 . 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
3) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem definida pela 
sequência numérica (5, 10, 20, ...). Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 5 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula do termo geral da 
P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 5 ∙ 2 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 5 ∙ 2 
 
 
 Para 𝑛 = 10, temos 𝑎 = 5 ∙ 2 
 Portanto, temos 𝑎 = 2560 . 
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b) A soma dos dez primeiros termos da P.G.1; 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 5 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
5 ∙ (2 − 1)
2 − 1
 
 
𝑆 = 5 ∙ (2 − 1) 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 = 5 ∙ (2 − 1) 
 
 Para 𝑛 = 10, temos 𝑆 = 5 ∙ (2 − 1). 
 Portanto, temos 𝑆 = 5115. 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
4) Considere 𝑆 = 3 − 1, a soma dos n primeiros termos de uma P.G.1, 
determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 1, temos 𝑆 = 3 − 1 = 2. 
 
Como 𝑆 = 𝑎 = 2, logo 𝑎 = 2. 
 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑆 = 3 − 1 = 8. 
 
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Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 = 8, logo 2 + 𝑎 = 8. Portanto, 𝑎 = 6. 
 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑆 = 3 − 1 = 26. 
 
Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 26, logo 2 + 6 + 𝑎 = 26. Portanto, 
𝑎 = 18. 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (2, 6, 18, … ). 
 
 
Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula do termo geral da 
P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 2 ∙ 3 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 ∙ 3 
 
 Para 𝑛 = 10, temos 𝑎 = 2 ∙ 3 
 Portanto, temos 𝑎 = 39366 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos. 
 
 Solução: 
 Para 𝑛 = 10 na fórmula 𝑆 = 3 − 1, temos 𝑆 = 3 − 1. 
 Portanto, temos 𝑆 = 59048. 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
5) Considere uma P.G.1 crescente, em que 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 26 e 𝑎 ∙ 𝑎 ∙
 𝑎 = 216. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
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Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 26
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 216
  
 
Como a representação especial para três termos de uma P.G.1 é 
 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 26
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 216
  
 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 26
𝑥 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞 = 216
  
 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 26
𝑥 = 216
  
 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 26
𝑥 = 6
  
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 6 na primeira equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 26 
 
6 ∙ 𝑞 + 6 + 6 ∙ 𝑞 = 26 
 
6 ∙ 𝑞 + 6 ∙ 𝑞 = 20 
 
3 ∙ 𝑞 + 3 ∙ 𝑞 = 10 
 
3𝑞 − 10𝑞 − 3 = 0 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau 3𝑞 − 10𝑞 − 3 = 0, 
temos: 
𝑞 = ou 𝑞 = 3. 
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Como a P.G.1 é crescente, logo 𝑞 = 3. 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 6 e 𝑞 = 3, na representação especial, 
temos: 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
𝑎 = 6 ∙ 3
𝑎 = 6
𝑎 = 6 ∙ 3
  
 
𝑎 = 2
𝑎 = 6
𝑎 = 18
  
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (2, 6, 18, … ). 
 
 
Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula do termo geral da 
P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 2 ∙ 3 
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 ∙ 3 
 
 Para 𝑛 = 10 na fórmula 𝑎 = 2 ∙ 3 temos, 𝑎 = 2 ∙ 3 
Portanto, temos 𝑎 = 39366 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑟 = 4, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
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𝑆 =
2 ∙ (3 − 1)
3 − 1
 
 
𝑆 = 3 − 1 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 = 3 − 1 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 = 3 − 1, temos 𝑆 = 3 − 1. 
 Portanto, temos 𝑆 = 59048. 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
6) Considere a Progressão Geométrica de segunda ordem definida pela 
função 𝑎 = 3 , com “n” natural não nulo. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 1, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 . 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 . 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 . 
 Para 𝑛 = 4, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 . 
 Para 𝑛 = 5, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 . 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.2 (3 , 3 , 3 , 3 ,
3 , … ). 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 3 , temos 𝑎 = 3 ∙ 
 Portanto, temos 𝑎 = 3 . 
 
 
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b) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
c) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
7) Considere a Progressão Geométrica de segunda ordem definida pela 
sequência numérica (1, 1, 2, 8, 64, 1024,...). Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 1, 𝑎 = 1 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula do 
termo geral da P.G.2 definida por função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙
𝑎
𝑎
∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙
1
1
∙ 2 
 
𝑎 = 2 
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.2 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 , temos 𝑎 = 2
∙Portanto, temos 𝑎 = 2 . 
 
 
b) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
c) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
8) Considere a Progressão Geométrica de segunda ordem definida pela lei 
de recorrência 𝑎 = 3 ∙ , com 𝑎 = 1 e 𝑎 = 1 e “n” natural maior ou 
igual 3. Determine: 
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a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 ∙ = 3. 
 Para 𝑛 = 4, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 ∙ = 3 . 
 Para 𝑛 = 5, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 ∙ = 3 . 
 Para 𝑛 = 6, temos 𝑎 = 3 ∙ = 3 ∙ = 3 . 
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.2, (1, 1, 3, 3 , 3 , 3 , … ) 
 
 Como 𝑎 = 1, 𝑎 = 1 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula do 
termo geral da P.G.2 definida por função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙
𝑎
𝑎
∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙
1
1
∙ 3 
 
𝑎 = 3 
 
 
 
Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.2 na forma de 
função é 
𝑎 = 3 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 3 , temos 𝑎 = 3
∙
 
 Portanto, temos 𝑎 = 3 . 
 
 
b) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
c) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
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9) Considere a Progressão Geométrica de segunda ordem definida pela lei 
de recorrência mista 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 𝑎 , com 𝑎 = 1 e “n” natural maior 
ou igual 2. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 1 = 2. 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12. 
 Para 𝑛 = 4, temos 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 12 = 216. 
 Para 𝑛 = 5, temos 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 3 ∙ 216 = 11664. 
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.2, (1, 2, 12, 216, 11664, … ) 
 
 Como 𝑎 = 1, 𝑎 = 2 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula do 
termo geral da P.G.2 definida por função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙
𝑎
𝑎
∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙
2
1
∙ 3 
 
𝑎 = 2 ∙ 3 
 
 
Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.2 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 ∙ 3 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 ∙ 3 temos 
𝑎 = 2 ∙ 3
∙
 
 Portanto, temos 𝑎 = 2 ∙ 3 = 162 . 
 
 
b) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
c) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
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10) Considere uma P.G.1 crescente, em que 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 3 e 
𝑎 + 𝑎 = 12. 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 3
𝑎 + 𝑎 = 12
  
 
Como a representação especial para quatro termos de uma P.G.1 é 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 3
𝑎 + 𝑎 = 12
  
 
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 3
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12
  
 
𝑥 = 3
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12
  
 
𝑥 = 3√3
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12
  
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 3√3 na segunda equação do sistema 
acima, temos: 
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12 
 
3√3 ∙ 𝑦 + 3√3 ∙ 𝑦 = 12 
 
√3 ∙ 𝑦 + √3 ∙ 𝑦 = 4 
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√3 ∙ 𝑦 − 4𝑦 + √3 = 0 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau √3 ∙ 𝑦 − 4𝑦 + √3 = 0, 
temos: 
 
𝑦 =
√
 ou 𝑦 = √3. 
 
Como a P.G.1 é crescente, logo 𝑦 = √3. 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 3√3 e 𝑦 = √3, na representação 
especial, temos: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 3√3 ∙ √3
𝑎 = 3√3 ∙ √3
𝑎 = 3√3 ∙ √3
𝑎 = 3√3 ∙ √3
  
 
⎩
⎨
⎧
𝑎 = 1
𝑎 = 3
𝑎 = 9
𝑎 = 27
  
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (1, 3, 9, 27, … ). 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula do termo geral 
da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙ 3 
 
𝑎 = 3 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 3 
 
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 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 3 , temos 𝑎 = 3 
 Portanto, temos 𝑎 = 3 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
1 ∙ (3 − 1)
3 − 1
 
 
𝑆 =
3 − 1
2
 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 =
3 − 1
2
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 = temos 𝑆 = . 
 Portanto, temos 𝑆 = . 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
 
11) Considere uma P.G.1 crescente e com termos positivos, em que 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 2 e 𝑎 + 𝑎 = 272. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
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Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 2
𝑎 + 𝑎 = 272
  
 
Como a representação especial para quatro termos de uma P.G.1 é 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 2
𝑎 + 𝑎 = 272
  
 
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 2
(𝑥 ∙ 𝑦 ) + (𝑥 ∙ 𝑦 ) = 272
  
 
𝑥 = 2
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 272
  
𝑥 = 8
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 272
  
Assim, substituindo o 𝑥 = 8 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 272 
 
8 ∙ 𝑦 + 8 ∙ 𝑦 = 272 
 
4 ∙ 𝑦 + 4 ∙ 𝑦 = 17 
 
4 ∙ 𝑦 − 17𝑦 + 4 = 0 
 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau 4 ∙ 𝑦 − 17𝑦 + 4 = 0, 
temos: 
 
𝑦 = − ou 𝑦 = ou 𝑦 = −2 ou 𝑦 = 2. 
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Como a P.G.1 é crescente, logo 𝑦 = 2. 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 8 e 𝑦 = 2, na representação especial, 
temos: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 8 ∙ 2
𝑎 = 8 ∙ 2
𝑎 = 8 ∙ 2
𝑎 = 8 ∙ 2
  
 
⎩
⎨
⎧
𝑎 = 1
𝑎 = 4
𝑎 = 16
𝑎 = 64
  
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (1, 4, 16, 64, … ). 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = 4, logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙ 4 
 
𝑎 = 4 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 4 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 4 temos 𝑎 = 4 
 Portanto, temos 𝑎 = 2 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
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 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = 4, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
1 ∙ (4 − 1)
4 − 1
 
 
𝑆 =
4 − 1
3
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
𝑆 =
4 − 1
3
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 = temos 𝑆 = . 
 Portanto, temos 𝑆 = . 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
12) Considere uma P.G.1 crescente, em que 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 8 e 𝑎 + 𝑎 = 5. 
Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 8
𝑎 + 𝑎 = 5
  
 
Como a representação especial para três termos de uma P.G.1 é 
 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
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Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 8
𝑎 + 𝑎 = 5
  
 
 
𝑥 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞 = 8
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5
  
 
𝑥 = 8
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5
  
 
𝑥 = 2
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5
  
 
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 2 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5 
 
2 ∙ 𝑞 + 2 ∙ 𝑞 = 5 
 
2 ∙ 𝑞 − 5𝑞 + 2 = 0 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau 2 ∙ 𝑞 − 5𝑞 + 2 = 0, 
temos: 
 
𝑞 = ou 𝑞 = 2. 
 
Como a P.G.1 é crescente, logo 𝑞 = 2. 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 2 e 𝑞 = 2, na representação especial, 
temos: 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
𝑎 = 2 ∙ 2
𝑎 = 2
𝑎 = 2 ∙ 2
  
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑎 = 1
𝑎 = 2
𝑎 = 4
  
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (1, 2, 4, … ). 
 
 Como 𝑎= 1 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙ 2 
 
𝑎 = 2 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 , temos 𝑎 = 2 
 Portanto, temos 𝑎 = 512. 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
1 ∙ (2 − 1)
2 − 1
 
 
𝑆 = 2 − 1 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 = 2 − 1 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 = 2 − 1, temos 𝑆 = 2 − 1. 
 Portanto, temos 𝑆 = 1023. 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
13) Considere uma P.G.1 crescente, em que 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 512 e 𝑎 + 𝑎 +
𝑎 = 336. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 512
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 336
  
 
Como a representação especial para quatro termos de uma P.G.1 é 
 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 512
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 336
  
 
𝑥 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞 = 512
(𝑥 ∙ 𝑞 ) + 𝑥 + (𝑥 ∙ 𝑞 ) = 336
  
 
𝑥 = 512
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 336
  
 
𝑥 = 8
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 336
  
 
Prof. Cícero Carlos 
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 8 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 336 
 
8 ∙ 𝑞 + 8 + 8 ∙ 𝑞 = 336 
 
8 ∙ 𝑞 + 8 ∙ 𝑞 = 272 
 
4 ∙ 𝑞 + 4 ∙ 𝑞 = 17 
 
4 ∙ 𝑞 − 17𝑞 + 4 = 0 
 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau 4 ∙ 𝑞 − 17𝑞 + 4 = 0, 
temos: 
 
𝑞 = − ou 𝑞 = ou 𝑞 = −2 ou 𝑞 = 2. 
 
Como a P.G.1 é crescente, logo 𝑞 = 2. 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 8 e 𝑞 = 2, na representação especial, 
temos: 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
𝑎 = 8 ∙ 2
𝑎 = 8
𝑎 = 8 ∙ 2
  
 
𝑎 = 4
𝑎 = 8
𝑎 = 16
  
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (4, 8, 16, … ). 
 
 Como 𝑎 = 4 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 4 ∙ 2 
 
𝑎 = 2 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 , temos 𝑎 = 2 
 Portanto, temos 𝑎 = 2048. 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 4 e 𝑞 = 2, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
4 ∙ (2 − 1)
2 − 1
 
 
𝑆 = 4 ∙ (2 − 1) 
 
𝑆 = 2 − 4 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 = 2 − 4 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 = 2 − 4, temos 𝑆 = 2 − 4. 
 Portanto, temos 𝑆 = 4092. 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
14) Considere uma P.G.1 crescente, em que 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 13 e 𝑎 ∙ 𝑎 ∙
 𝑎 = 27. Determine: 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 27
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 13
  
 
Como a representação especial para três termos de uma P.G.1 é 
 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 27
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 13
  
 
𝑥 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞 = 27
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13
  
 
𝑥 = 27
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13
  
 
𝑥 = 3
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13
  
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 3 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13 
 
3 ∙ 𝑞 + 3 + 3 ∙ 𝑞 = 13 
 
3 ∙ 𝑞 + 3 ∙ 𝑞 = 10 
 
3 ∙ 𝑞 − 10𝑞 + 3 = 0 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau 3 ∙ 𝑞 − 10𝑞 + 3 = 0, 
temos: 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑞 = ou 𝑞 = 3. 
 
Como a P.G.1 é crescente, logo 𝑞 = 3. 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 3 e 𝑞 = 3, na representação especial, 
temos: 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
𝑎 = 3 ∙ 3
𝑎 = 3
𝑎 = 3 ∙ 3
  
 
𝑎 = 1
𝑎 = 3
𝑎 = 9
  
 
Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (1, 3, 9, … ). 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙ 3 
 
𝑎 = 3 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 3 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 3 , temos 𝑎 = 3 
 Portanto, temos 𝑎 = 3 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = 3, logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
1 ∙ (3 − 1)
3 − 1
 
 
𝑆 =
3 − 1
2
 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 =
3 − 1
2
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 = temos 𝑆 = . 
 Portanto, temos 𝑆 = . 
 
 
c) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
d) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
15) Considere uma P.G.1 decrescente, em que 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 3 e 
𝑎 + 𝑎 = 12. Determine: 
 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 3
𝑎 + 𝑎 = 12
  
 
Como a representação especial para quatro termos de uma P.G.1 é 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 3
𝑎 + 𝑎 = 12
  
 
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 3
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12
  
 
𝑥 = 3
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12
  
 
𝑥 = 3√3
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12
  
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 3√3 na segunda equação do sistema 
acima, temos: 
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 12 
 
3√3 ∙ 𝑦 + 3√3 ∙ 𝑦 = 12 
 
√3 ∙ 𝑦 + √3 ∙ 𝑦 = 4 
 
√3 ∙ 𝑦 − 4𝑦 + √3 = 0 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau √3 ∙ 𝑦 − 4𝑦 + √3 = 0, 
temos: 
 
𝑦 =
√
 ou 𝑦 = √3. 
 
Como a P.G.1 é decrescente, logo 𝑦 =
√
. 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 3√3 e 𝑦 =
√
, na representação 
especial, temos: 
Prof. Cícero Carlos 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧𝑎 = 3√3 ∙
1
√3
𝑎 = 3√3 ∙
1
√3
𝑎 = 3√3 ∙
1
√3
𝑎 = 3√3 ∙
1
√3
  
 
⎩
⎨
⎧
𝑎 = 27
𝑎 = 9
𝑎 = 3
𝑎 = 1
  
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (27, 9, 3, 1, … ). 
 
 Como 𝑎 = 27 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo geral 
da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 27 ∙
1
3
 
 
𝑎 = 3 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 3 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 3 , temos 𝑎 = 3 
 Portanto, temos 𝑎 = 3 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Como 𝑎 = 27 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
27 ∙
1
3
− 1
1
3
− 1
 
 
𝑆 =
81 ∙ (3 − 1)
2 ∙ 3
 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 =
81 ∙ (3 − 1)
2 ∙ 3
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙( )
∙
 temos 𝑆 =
∙
∙
. 
 Portanto, temos 𝑆 =
∙
∙
. 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 27 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
27
1 −
1
3
 
𝑆 =
81
2
 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = . 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
d) A soma do oitavo termo como décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
16) Considere uma P.G.1 decrescente e com termos positivos, em que 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 2 e 𝑎 + 𝑎 = 272. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 2
𝑎 + 𝑎 = 272
  
 
Como a representação especial para quatro termos de uma P.G.1 é 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 2
𝑎 + 𝑎 = 272
  
 
𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 2
(𝑥 ∙ 𝑦 ) + (𝑥 ∙ 𝑦 ) = 272
  
 
𝑥 = 2
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 272
  
 
𝑥 = 8
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 272
  
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 8 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑦 = 272 
 
8 ∙ 𝑦 + 8 ∙ 𝑦 = 272 
 
4 ∙ 𝑦 + 4 ∙ 𝑦 = 17 
 
4 ∙ 𝑦 − 17𝑦 + 4 = 0 
 
 
Logo, resolvendo a equação biquadrada 4 ∙ 𝑦 − 17𝑦 + 4 = 0, 
temos: 
 
𝑦 = − ou 𝑦 = ou 𝑦 = −2 ou 𝑦 = 2. 
 
Como a P.G.1 é decrescente, logo 𝑦 = . 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 8 e 𝑦 = , na representação especial, 
temos: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑦
  
 
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧𝑎 = 8 ∙
1
2
𝑎 = 8 ∙
1
2
𝑎 = 8 ∙
1
2
𝑎 = 8 ∙
1
2
  
 
⎩
⎨
⎧
𝑎 = 64
𝑎 = 16
𝑎 = 4
𝑎 = 1
  
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (64, 16, 4, 1, … ). 
 
 Como 𝑎 = 64 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
𝑎 = 64 ∙
1
4
 
 
𝑎 = 2 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 temos 𝑎 = 2 ∙ 
 Portanto, temos 𝑎 = 2 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 64 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
64 ∙
1
4
− 1
1
4
− 1
 
 
𝑆 =
256 ∙ (4 − 1)
3 ∙ 4
 
 
𝑆 =
256 ∙ (2 − 1)
3 ∙ 2
 
 
𝑆 =
2 − 1
3 ∙ 2
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
𝑆 =
2 − 1
3 ∙ 2
 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙
 temos 𝑆 =
∙
∙ ∙
. 
 Portanto, temos 𝑆 =
∙
. 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 64 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
64
1 −
1
4
 
𝑆 =
256
3
 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = . 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
17) Considere uma P.G.1 decrescente, em que 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 8 e 𝑎 + 𝑎 =
5. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 8
𝑎 + 𝑎 = 5
  
 
Como a representação especial para três termos de uma P.G.1 é 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 8
𝑎 + 𝑎 = 5
  
 
 
𝑥 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞 = 8
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5
  
 
𝑥 = 8
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5
  
 
𝑥 = 2
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5
  
 
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 2 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 5 
 
2 ∙ 𝑞 + 2 ∙ 𝑞 = 5 
 
2 ∙ 𝑞 − 5𝑞 + 2 = 0 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau 2 ∙ 𝑞 − 5𝑞 + 2 = 0, 
temos: 
 
𝑞 = ou 𝑞 = 2. 
 
Como a P.G.1 é decrescente, logo 𝑞 = . 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 2 e 𝑞 = , na representação especial, 
temos: 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
Prof. Cícero Carlos 
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 2 ∙
1
2
𝑎 = 2
𝑎 = 2 ∙
1
2
  
 
𝑎 = 4
𝑎 = 2
𝑎 = 1
  
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (4, 2, 1, … ). 
 
 Como 𝑎 = 4 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo geral 
da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 4 ∙
1
2
 
 
𝑎 = 2 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 , temos 𝑎 = 2 
 Portanto, temos 𝑎 = . 
 
 
b) A soma dos infinitos termos da P.G.1; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 4 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑆 =
4 ∙
1
2
− 1
1
2
− 1
 
 
𝑆 =
8 ∙ (2 − 1)
2
 
 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 =
8 ∙ (2 − 1)
2
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙( )
, temos 𝑆 =
∙
. 
 Portanto, temos 𝑆 = . 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 4 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
4
1 −
1
2
 
𝑆 = 8 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = 8. 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
18) Considere uma P.G.1 decrescente, em que 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 512 e 𝑎 +
𝑎 + 𝑎 = 336. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 512
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 336
  
 
Como a representação especial para quatro termos de uma P.G.1 é 
 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 512
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 336
  
 
𝑥 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞 = 512
(𝑥 ∙ 𝑞 ) + 𝑥 + (𝑥 ∙ 𝑞 ) = 336
  
 
𝑥 = 512
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 336
  
 
𝑥 = 8
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 336
  
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 8 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 336 
 
8 ∙ 𝑞 + 8 + 8 ∙ 𝑞 = 336 
 
8 ∙ 𝑞 + 8 ∙ 𝑞 = 272 
 
4 ∙ 𝑞 + 4 ∙ 𝑞 = 17 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
4 ∙ 𝑞 − 17𝑞 + 4 = 0 
 
 
Logo, resolvendo a equação biquadrada 4 ∙ 𝑞 − 17𝑞 + 4 = 0, temos: 
 
𝑞 = − ou 𝑞 = ou 𝑞 = −2 ou 𝑞 = 2. 
 
Como a P.G.1 é crescente, logo 𝑞 = . 
 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 8 e 2 = 2, na representação especial, 
temos: 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 8 ∙
1
2
𝑎 = 8
𝑎 = 8 ∙
1
2
  
 
𝑎 = 16
𝑎 = 8
𝑎 = 4
  
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (16, 8, 4, … ). 
 
 Como 𝑎 = 16 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.A.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 16 ∙
1
2
 
 
𝑎 = 2 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 , temos 𝑎 = 2 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Portanto, temos 𝑎 = . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 16 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
16 ∙
1
2
− 1
1
2
− 1
 
 
𝑆 =
32 ∙ (2 − 1)
2
 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 =
32 ∙ (2 − 1)
2
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙( )
, temos 𝑆 =
∙
. 
 Portanto, temos 𝑆 = . 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 16 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑆 =
16
1 −
1
2
 
𝑆 = 32 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = 32. 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
 
19) Considere uma P.G.1 decrescente, em que 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 =13 e 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 27. Determine: 
 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
As duas equações juntas formam um sistema: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 27
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 13
  
 
Como a representação especial para três termos de uma P.G.1 é 
 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
Assim, escrevendo os termos da P.G.1, usando a representação 
especial, temos: 
 
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 27
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 13
  
 
𝑥 ∙ 𝑞 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞 = 27
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13
  
 
𝑥 = 27
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13
  
Prof. Cícero Carlos 
 
 
𝑥 = 3
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13
  
 
Assim, substituindo o 𝑥 = 3 na segunda equação do sistema acima, 
temos: 
𝑥 ∙ 𝑞 + 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑞 = 13 
 
3 ∙ 𝑞 + 3 + 3 ∙ 𝑞 = 13 
 
3 ∙ 𝑞 + 3 ∙ 𝑞 = 10 
 
3 ∙ 𝑞 − 10𝑞 + 3 = 0 
 
Logo, resolvendo a equação do segundo grau 3 ∙ 𝑞 − 10𝑞 + 3 = 0, 
temos: 
 
𝑞 = ou 𝑞 = 3. 
 
Como a P.G.1 é decrescente, logo 𝑞 = . 
Assim, substituindo os de 𝑥 = 3 e 𝑞 = 3, na representação especial, 
temos: 
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
𝑎 = 𝑥
𝑎 = 𝑥 ∙ 𝑞
  
 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 = 3 ∙
1
3
𝑎 = 3
𝑎 = 3 ∙
1
3
  
 
𝑎 = 9
𝑎 = 3
𝑎 = 1
  
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (9, 3, 1, … ). 
 
 Como 𝑎 = 9 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑎 = 9 ∙
1
3
 
 
𝑎 = 3 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 3 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 3 , temos 𝑎 = 3 
 Portanto, temos 𝑎 = 3 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
 Como 𝑎 = 9 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
9 ∙
1
3
− 1
1
3
− 1
 
 
𝑆 =
27 ∙ (3 − 1)
2 ∙ 3
 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 =
27 ∙ (3 − 1)
2 ∙ 3
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙( )
∙
 temos 𝑆 =
∙
∙
. 
 Portanto, temos 𝑆 =
∙
. 
 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 9 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
9
1 −
1
3
 
𝑆 =
27
2
 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = . 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
20) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem definida pela 
função 𝑎 = 6 ∙ , com “n” natural não nulo. Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 Para 𝑛 = 1, temos 𝑎 = 6 ∙ = 6 ∙ = 6. 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑎 = 6 ∙ = 6 ∙ = . 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑎 = 6 ∙ = 6 ∙ = . 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 6, , , … . 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 6 ∙ , temos 𝑎 = 6 ∙ = . 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Portanto, temos o décimo termo da P.G.1 é 𝑎 = . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 6 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
6 ∙
1
5
− 1
1
5
− 1
 
 
𝑆 =
3 ∙ (5 − 1)
2 ∙ 5
 
 
 Portanto, temos que a fórmula da soma dos n primeiros termos da 
P.G.1 é 
𝑆 =
3 ∙ (5 − 1)
2 ∙ 5
 . 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙( )
∙
, temos 𝑆 =
∙
∙
. 
 Portanto, temos 𝑆 =
∙
∙
. 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 6 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
6
1 −
1
5
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑆 =
15
2
 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = . 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
 
21) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem definida pela 
sequência numérica (1, , , ...). Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo geral da 
P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 1 ∙
5
6
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 =
5
6
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = , temos 𝑎 = 
 Portanto, temos 𝑎 = . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos da P.G.1; 
 
Solução: 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
1 ∙
5
6
− 1
5
6
− 1
 
 
𝑆 =
6 − 5
6
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 
é 
 
𝑆 =
6 − 5
6
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 = , temos 𝑆 = . 
 Portanto, temos 𝑆 = . 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 1 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
1
1 −
5
6
 
𝑆 = 6 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = 6. 
 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
22) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem definida pela lei 
de recorrência 𝑎 = ∙ 𝑎 , com 𝑎 = 2 e “n” natural maior ou igual 2. 
Determine: 
 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑎 = ∙ 𝑎 = ∙ 2 = . 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑎 = ∙ 𝑎 = ∙ = . 
 Para 𝑛 = 4, temos 𝑎 = ∙ 𝑎 = ∙ = . 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 2, , , , … . 
 
 Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.A.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 2 ∙
1
4
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 , temos 𝑎 = 2 ∙ 
 Portanto, temos 𝑎 = 2 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
2 ∙
1
4
− 1
1
4
− 1
 
 
𝑆 =
2 − 1
3 ∙ 2
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 é 
 
𝑆 =
2 − 1
3 ∙ 2
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙
 temos 𝑆 =
∙
∙ ∙
 . 
 Portanto, temos 𝑆 =
∙
. 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
2
1 −
1
4
 
𝑆 =
8
3
 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = . 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
 
23) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem, em que 𝑎 = 
e 𝑎 = . Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = e 𝑎 = , logo usando a fórmula generalizada do 
termo geral, temos que: 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
64
243
=
8
9
∙ 𝑞 
 
𝑞 =
8
27
 
 Portanto, 𝑞 = . 
 Logo, usando a fórmula do termo geral, temos que: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
8
9
= 𝑎 ∙
2
3
 
𝑎 = 2 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 2, , , , … . 
 
 Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.A.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
𝑎 = 2 ∙
2
3
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 ∙
2
3
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 ∙ , temos 𝑎 = 2 ∙ 
 Portanto, temos 𝑎 = 2 ∙ = . 
 
b) A somados dez primeiros termos; 
 
Solução: 
 
Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos n 
primeiros termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎 ∙ (𝑞 − 1)
𝑞 − 1
 
 
𝑆 =
2 ∙
2
3
− 1
2
3
− 1
 
 
𝑆 =
2 ∙ (3 − 2 )
3
 
 
 
 Portanto, temos a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.1 é 
 
𝑆 =
2 ∙ (3 − 2 )
3
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑆 =
∙( )
 temos 𝑆 =
∙
 . 
 Portanto, temos 𝑆 =
∙
= . 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 2 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
2
1 −
2
3
 
𝑆 = 6 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = 6. 
 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
24) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem, em que 
𝑆 = 20 ∙ 1 − representa a soma dos n primeiros termos de P.G.1. 
Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 1, temos 𝑆 = 20 ∙ 1 − = 15. 
 
Como 𝑆 = 𝑎 = 15, logo 𝑎 = 15. 
 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑆 = 20 ∙ 1 − = . 
 
Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 = , logo 15 + 𝑎 = . Portanto, 𝑎 = . 
 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑆 = 20 ∙ 1 − = . 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = , logo 15 + + 𝑎 = . Portanto, 
𝑎 = . 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 15, , , … . 
 
 Como 𝑎 = 15 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 2 ∙
1
4
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 2 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 2 , temos 𝑎 = 2 ∙ 
 Portanto, temos 𝑎 = 2 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos. 
 
 Solução: 
 Para 𝑛 = 10 na fórmula 𝑆 = 20 ∙ 1 − , temos 
𝑆 = 5 ∙
(2 − 1)
2
 
𝑆 = 5 ∙
(2 ∙ − 1)
2 ∙
 
 Portanto, temos 𝑆 = 5 ∙ . 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 15 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
15
1 −
1
4
 
𝑆 = 20 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = 20. 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
 
25) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem, em que 
𝑆 = 20 ∙ 1 − representa a soma dos n primeiros termos de P.G.1. 
Determine: 
 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 1, temos 𝑆 = 20 ∙ 1 − = 16. 
 
Como 𝑆 = 𝑎 = 16, logo 𝑎 = 16. 
 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑆 = 20 ∙ 1 − = . 
 
Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 = , logo 16 + 𝑎 = . Portanto, 𝑎 = . 
 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑆 = 20 ∙ 1 − = . 
 
Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = , logo 16 + + 𝑎 = . Portanto, 
𝑎 = . 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 16, , , … . 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
 Como 𝑎 = 16 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 16 ∙
1
5
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função dada pela expressão: 
𝑎 = 16 ∙ 5 
 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 16 ∙ 5 , temos 𝑎 = 16 ∙ 5 
 Portanto, temos 𝑎 = 16 ∙ 5 . 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos. 
 
 Solução: 
 Para 𝑛 = 10 na fórmula 𝑆 = 20 ∙ 1 − , temos 
𝑆 = 4 ∙
(5 − 1)
5
 
𝑆 = 4 ∙
(5 − 1)
5
 
 Portanto, temos 𝑆 = 4 ∙ . 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 15 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑆 =
15
1 −
1
5
 
𝑆 =
75
4
 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = . 
. 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
26) Considere a Progressão Geométrica de primeira ordem, em que 
𝑆 =
∙
 representa a soma dos n primeiros termos de P.G.1. 
Determine: 
 
a) O décimo termo; 
 
 Solução: 
 
 Para 𝑛 = 1, temos 𝑆 =
∙
= 9. 
 
Como 𝑆 = 𝑎 = 9, logo 𝑎 = 9. 
 
 Para 𝑛 = 2, temos 𝑆 =
∙
= 12. 
 
Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 = 12, logo 9 + 𝑎 = 12. Portanto, 𝑎 = 3. 
 
 Para 𝑛 = 3, temos 𝑆 =
∙
= 13. 
 
Como 𝑆 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 13, logo 9 + 3 + 𝑎 = 13. Portanto, 
𝑎 = 1. 
 
 Portanto, temos o desenvolvimento da P.G.1 (9, 3, 1, … ). 
 
 Como 𝑎 = 9 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula do termo 
geral da P.G.1 na forma de função, temos: 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑞 
 
𝑎 = 9 ∙
1
3
 
 
 Portanto, temos a fórmula do termo geral da P.G.1 na forma de 
função é 
𝑎 = 3 
 
 Para 𝑛 = 10, na fórmula 𝑎 = 3 , temos 𝑎 = 3 
 Portanto, temos 𝑎 = 3 . 
 
 
 
b) A soma dos dez primeiros termos. 
 
 Solução: 
 Para 𝑛 = 10 na fórmula 𝑆 =
∙
, temos 𝑆 =
∙
. 
 Portanto, temos 𝑆 =
∙
= . 
 
 
c) A soma dos infinitos termos da P.G.1. 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 9 e 𝑞 = , logo substituindo na fórmula da soma dos 
infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
9
1 −
1
3
 
𝑆 =
27
2
 
 Portanto, a soma dos infinitos termos da P.G.1 é 𝑆 = . 
 
d) A soma do oitavo termo com o décimo termo; 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
e) O produto do oitavo termo com o décimo termo. 
 
 
27) Determine o valor de 𝑥, em cada equação abaixo: 
 
a) ∑ 𝑥∞ = 10; 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 𝑥, 𝑞 = 𝑥 e 𝑆 = ∑ 𝑥∞ = 10, logo substituindo na 
fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
𝑥
1 − 𝑥
 
𝑥
1 − 𝑥
= 10 
 
𝑥 = 10 ∙ (1 − 𝑥) 
𝑥 = 10 − 10𝑥 
11𝑥 = 10 
𝑥 =
10
11
 
 
 Portanto, 𝑥 = . 
 
b) ∑ 2 ∙ 𝑥∞ = 3; 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 2𝑥, 𝑞 = 𝑥 e 𝑆 = ∑ 2 ∙ 𝑥∞ = 3, logo substituindo na 
fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
Prof. Cícero Carlos 
 
𝑆 =
2𝑥
1 − 𝑥
 
2𝑥
1 − 𝑥
= 3 
 
2𝑥 = 3 ∙ (1 − 𝑥) 
2𝑥 = 3 − 3𝑥 
5𝑥 = 3 
𝑥 =
3
5
 
 
 Portanto, 𝑥 = . 
 
c) ∑ 3 ∙ 𝑥∞ = 11; 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 3, 𝑞 = 𝑥 e 𝑆 = ∑ 3 ∙ 𝑥∞ = 11, logo substituindo 
na fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
3
1 − 𝑥
 
3
1 − 𝑥
= 11 
 
3 = 11 ∙ (1 − 𝑥) 
3 = 11 − 11𝑥 
11𝑥 = 8 
𝑥 =
8
11
 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Portanto, 𝑥 = . 
 
d) ∑ 3 ∙∞ = 12; 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 3, 𝑞 = e 𝑆 = ∑ 3 ∙∞ = 12, logo 
substituindo na fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, 
temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
3
1 −
1
𝑥
 
3𝑥
𝑥 − 1
= 12 
 
3𝑥 = 12 ∙ (𝑥 − 1) 
𝑥 = 4 ∙ (𝑥 − 1) 
𝑥 = 4𝑥 − 4 
3𝑥 = 4 
𝑥 =
4
3
 
 
 Portanto, 𝑥 = . 
 
e) ∑ 2 ∙∞ = 13 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 2, 𝑞 = e 𝑆 = ∑ 2 ∙∞ = 13, logo 
substituindo na fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, 
temos: 
Prof. Cícero Carlos 
 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
2
1 −
𝑥 − 1
𝑥
 
2𝑥 = 13 
𝑥 =
13
2
 
 
 Portanto, 𝑥 = . 
 
 
28) Determine o valor de cada expressão abaixo: 
 
a) ∑ 2 ∙∞ ; 
 
 Solução: 
 
 Como 𝑎 = 2, 𝑞 = e 𝑆 = ∑ 2 ∙∞ , logo substituindo na 
fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
2
1 −
3
5
 
𝑆 = 5 
 
 Portanto, 𝑆 = 5. 
 
b) ∑ 3 ∙∞ ; 
 
 Solução: 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Como 𝑎 = 3, 𝑞 = e 𝑆 = ∑ 3 ∙∞ , logo substituindo na 
fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
3
1 −
1
3
 
𝑆 =
9
2
 
 
 Portanto, 𝑆 = . 
 
c) ∑ 5 ∙∞ ;Solução: 
 
 Como 𝑎 = 5, 𝑞 = e 𝑆 = ∑ 5 ∙∞ , logo substituindo na 
fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
5
1 −
2
9
 
𝑆 =
45
7
 
 
 Portanto, 𝑆 = . 
 
d) ∑∞ . 
 
 Solução: 
 
Prof. Cícero Carlos 
 
 Como 𝑎 = , 𝑞 = e 𝑆 = ∑∞ , logo substituindo na 
fórmula da soma dos infinitos termos da P.G.1, temos: 
 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑞
 
𝑆 =
5
1 −
1
3
 
𝑆 =
15
2
 
 Portanto, 𝑆 = .