Primeira Prova de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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Primeira Prova de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
Questão 1 (4 pontos): Considere os vetores
−→a = (2β, 2, 0)
−→
b = (0, 1, −β)
−→c = (β, −4, β)
Determine todos os valores de β para os quais o vetor −→a −
−→
b é perpendicular ao vetor
−→
b +−→c .
Resposta: Temos que
• −→a −
−→
b = (2β, 1, β)
•
−→
b +−→c = (β,−3, 0)
Como dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles é zero, então queremos que
(2β, 1, β) • (β,−3, 0) = 0
e, portanto, que
2β2 − 3 = 0
Logo, β2 =
3
2
e temos que β =
√
3
2
ou β = −
√
3
2
.
Questão 2 (4 pontos): Calcule a área do triângulo de vértices A = (3, 1, 1), B = (1, −2, 0) e
C = (2, 1, −1).
Resposta: Temos que
−→
AB = (−2,−3,−1) e
−→
AC = (−1, 0,−2).
A área do paralelogramos formado por
−→
AB e
−→
AC é
||
−→
AB ×
−→
AC|| = ||(6,−3,−3)|| =
√
62 + (−3)2 + (−3)2 =
√
54
Como a área do triângulo ABC é metade da área deste paralelogramo, então
Área do triângulo =
√
54
2
Questão 3 (4 pontos): Determine o valor de λ para que os vetores
−→a = (λ, 1, −λ)
−→
b = (1, 1, −3)
−→c = (2, 1, 0)
sejam coplanares.
Resposta: Os vetores −→a ,
−→
b ,−→c são coplanares se
−→a • (
−→
b ×−→c ) = 0
Temos que −→
b ×−→c = (3,−6,−1)
Portanto,
−→a • (
−→
b ×−→c ) = (λ, 1, −λ) • (3,−6,−1) = 3λ− 6 + λ
Logo, −→a ,
−→
b ,−→c são coplanares se
4λ− 6 = 0
ou seja, se λ =
3
2
Questão 4 (6 pontos): Considere as retas
r : x = β − 2, y = −β, z = −β + 1, β ∈ R
s : x = 1, y = 4λ− 1, z = 2λ− 1, λ ∈ R
(a) (2 pontos) Determine o ponto de interseção entre as retas r e s.
Resposta: Temos que resolver o sistema 
β − 2 = 1
−β = 4λ− 1
−β + 1 = 2λ− 1
Da primeira equação obtemos que β = 3 e, substituindo este resultado na segunda equação, obtemos
λ = −1
2
. Observamos que a terceira equação é satisfeita para os valores de β e λ encontrados e, portanto,
as duas retas realmente se interceptam. Fazendo β = 3 na equação da reta r, obtemos x = 1, y = −3 e
z = −2. Logo, o ponto de interseção entre as retas é o ponto
P = (1,−3,−2)
(b) (1 ponto) Determine o ângulo entre as retas r e s.
Resposta: Observe inicialmente que o vetor −→v = (1,−1,−1) é um vetor diretor para a reta r e o
vetor −→w = (0, 4, 2) é um vetor diretor para a reta s. O cosseno do ângulo θ entre as retas é dado por
cos θ =
|−→v • −→w |
||−→v || ||−→w ||
=
6√
60
=
3√
15
Logo, o ângulo entre as retas é
θ = arccos
(
3√
15
)
(c) (3 pontos) Determine a equação do plano que contém as retas r e s.
Resposta: O vetor
−→n = −→v ×−→w = (2,−2, 4)
é um vetor normal ao plano que contém r e s (uma vez que o vetor −→n é simultaneamente perpendicular
aos vetores diretor de r e s). Além disso, o ponto P = (1,−3,−2) pertence às duas retas e, portanto,
pertence ao plano. Logo, a equação do plano é
2(x− 1)− 2(y + 3) + 4(z + 2) = 0
e, portanto,
x− y + 2z = 0
Questão 5 (4 pontos): Determine a equação da reta de interseção dos planos
Ω : x− y + z − 3 = 0
Γ : x+ y + 2z + 4 = 0
Resposta: Observe inicialmente que o vetor −→n1 = (1,−1, 1) é um vetor normal ao plano Ω e o vetor−→n2 = (1, 1, 2) é um vetor normal ao plano Γ. Logo, o vetor
−→v = −→n1 ×−→n2 = (−3,−1, 2)
é um vetor diretor para a reta r de interseção entre os planos (uma vez que o vetor −→v é paralelo aos planos
Ω e Γ simultaneamente). Para obter um ponto da reta, podemos fazer z = 0 e obter o sistema de duas
equações {
x− y = 3
x+ y = −4
cuja solução é x = −1
2
e y = −7
2
. Logo, o ponto P =
(
−1
2
,−7
2
, 0
)
pertence à reta r e a equação de r é
r : x = −1
2
− 3α, y = −7
2
− α, z = 2α, α ∈ R
Questão 6 (3 pontos): Determine os valores de m e n para que a reta
r : x =
y + 3
2
=
z − 1
−2
seja perpendicular ao plano Ω : mx− ny + z − 4 = 0.
Resposta: Observe inicialmente que o vetor −→n = (m,−n, 1) é um vetor normal ao plano Ω e o ve-
tor −→v = (1, 2,−2) é um vetor diretor da reta r. Observe que r e Ω são perpendiculares quando os vetores
−→n e −→v forem paralelos, ou seja, quando
−→n ×−→v = −→0
Como −→n ×−→v = (2n− 2, 1 + 2m, 2m+ n), então queremos resolver o sistema
2n− 2 = 0
1 + 2m = 0
2m+ n = 0
cuja solução é
n = 1 e m = −1
2