produto vetorial e reta

Prévia do material em texto

FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS
TRABALHO DE ÁLGEBRA E GEOMETRIA ANALÍTICA
Pesquisa sobre: Produto vetorial, produto misto e estudo da reta.
São Paulo
2016
FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS
1º SEMESTRE DE ENGENHARIA CIVIL
TURMA A
MATUTINO
Pricilla Picolli, RA: 4981724
Professora: Me. Larissa Juliana Makarewicz 
São Paulo
2016
Sumário
1 – Produto vetorial...................................................................................4
2 – Produto misto......................................................................................6
3 – Estudo da reta.....................................................................................7
1. Produto vetorial
Produto vetorial
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.
u × v = 
Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.
u × v = = (-3,6,-3)
Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.
Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.
Propriedades do Produto Vetorial
(PV1) v × w = - w × v
(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w
(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)
(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0
(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j
(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos
Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)
O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
v × w = |v| |w| sen(t) U
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.
Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos:
|v × w| = |v| |w| sen(t)
e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:
sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)
sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].
Aplicações do Produto Vetorial
Área do paralelogramo: Consideremos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos.
O módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.
A(paralelogramo) = | v × w |
Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:
A(triângulo) = ½ | v × w |
 
2. Produto misto
Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante
[u,v,w] = u·(v×w) = 
Aplicações do Produto Misto
Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.
Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.
V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|
 
3. Estudo da reta
COMO DETERMINAR UMA RETA
Por um ponto passam infinitas retas.
Uma reta é definida por dois pontos.
COMO É A PROJEÇÃO DE UM SEGMENTO DE RETA
Raios ortogonais ao plano de projeção incidem sobre os pontos A e B determinando as projeções A1B1.
POSIÇÕES DE UM SEGMENTO DE RETA COM RELAÇÃO AO DIEDRO
11
1) Paralelo 
2) Paralelo e ortogonal
3) Paralelo e oblíquo
4) Oblíquo e ortogonal à LT
5) Oblíquo
GENERALIDADES SOBRE RETAS
Para fazer a projeção de uma reta, basta unir as projeções de dois de seus pontos. Na figura abaixo está representada uma reta r na qual tomamos dois de seus pontos A e B. 
A projeção horizontal r1 é segmento A1B1 que une as projeções horizontais A1B1 dos pontos A e B e a projeção vertical r2 é determinada pelas projeções verticais A2B2.
Girando o PH no sentido horário até coincidir com o PV obtemos a épura da reta r. 
Girando o PV no sentido anti-horário até coincidir com o PH também obtemos a épura.
             PONTOS NOTÁVEIS DA RETA 
Os pontos notáveis da reta são as suas intersecções com o PH e o PV. As intersecções da reta r com o PV e PH são dois pontos denominados: 
1. Traço vertical V
2. Traço horizontal H 
          TRAÇOS DE UMA RETA - COMO ENCONTRAR 
O modo de achar os quatro traços H1, H2, V1, e V2 de uma reta é muito simples. Se observarmos a figura acima veremos que o traço H, por exemplo, que, por pertencer à reta r, suas projeções H1 e H2 estão situadas em r1 e r2 respectivamente, e por pertencer ao PH, sua projeção vertical H2 está sobre a LT, logo, H2 deve estar sobre r2 e sobre a LT, assim, não pode ser outro ponto, senão a intersecção de r2 com a LT. Daí a regra: 
            "Para encontrar o traço horizontal de uma reta, se prolonga sua projeção vertical r2 até sua intersecção H2 com a LT e por este ponto se levanta uma perpendicular até sua interseção H1 com a outra projeção da reta." 
Podemos empregar um raciocínio análogo para o traço vertical:
            "Para encontrar o traço vertical de uma reta, se prolonga sua projeção horizontal r1 até sua intersecção V1 com a LT e por este ponto se levanta uma perpendicular até sua interseção V2 com a outra projeção da reta."
POSIÇÕES PARTICULARES DE UMA RETA   
Estudaremos agora as particularidades que apresentam as projeções de uma reta, segundo sua posição no espaço. 
Retas situadas em um plano horizontal 
Reta Horizontal ou Paralela ao PH 
Reta de Topo ou Perpendicular ao PV 
  Reta fronto-Horizontal ou paralela à LT 
Retas situadas em um plano perpendicular ao PH 
Reta Vertical ou Perpendicular ao PH
Reta Frontal ou Paralela ao PV
Reta de Perfil 
Reta que Passa pela LT
Reta situada em um plano oblíquo ao PH e PV 
Reta Qualquer 
Sites:
Página construída por Maria Bernardete Barison (Profa. do Depto. de Mat-UEL) "ESTUDO DA RETA" UEL. Disponível em http://www.uel.br/cce/mat/
geometrica/php/gd_t/gd_5t.php> Acesso em 09 de maio de 2016.
Construída por Ulysses Sodré. “Cônicas”, UEL. Disponível em < http://www.uel.br/projetos/matessencial/geometria/vetor3d/vetor3d.htm#vet11 > Acesso em 09 de maio de 2016.