MAPA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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a) Determine as dimensões do celeiro para que sua área seja máxima. 
Perímetro (P) é o valor encontrado quando se soma os quatro lados de um retângulo 
𝑦 
 
𝑥 𝑥 
 
𝑦 
 
𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 
80 = 2𝑥 + 2𝑦 (/2) 
𝑥 + 𝑦 = 40 
𝑦 = 40 − 𝑥 
 
Área do retângulo, base vezes altura 
𝐴 = 𝑥. 𝑦 
𝐴 = 𝑥. (40 − 𝑥) 
𝐴 = 40𝑥 − 𝑥2 
𝐴 = 0 ( 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜) 
 
Ponto crítico da função 
𝐴 = 40𝑥 − 𝑥2 
𝑓′(𝑥) = 40 − 2𝑥(1ª 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎) 
𝑓′′(𝑥) => 40 − 2𝑥 = 0 
𝑓′′(𝑥) = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 (2ª 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎) 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 
 
Achando y 
𝑦 = 40 − 𝑥 
𝑦 = 40 − 20 
𝑦 = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
 
Área máxima 
𝐴 = 𝑥. 𝑦 
𝐴 = 20.20 => 40 𝑚2 
 
b) Marter têm todos os materiais para a construção de celeiro com área máxima, 
exceto os tijolos de 6 furos, que pretende utilizar. Em média, para cada metro quadrado 
de parede fechada, usa-se 35 unidades do tijolo. Determine a quantidade de tijolos, 
aproximadamente, que ele irá usar para fechar as paredes do celeiro. Uma informação 
importante é que as paredes terão 4 metros de altura, o celeiro terá uma janela retangular 
de dimensões 2m por 1,5m e ainda uma porta, também retangular de 4m por 2,5m. 
(Desconsidere as colunas e toda a parte de concreto usada) 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
Á𝑟𝑒𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 20.4 => 80𝑚
2 
Á𝑟𝑒𝑎4 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 4 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 𝑥 80𝑚
2 => 320𝑚2 
Á𝑟𝑒𝑎𝑗𝑎𝑛𝑒𝑙𝑎 = 2.1,5 => 3𝑚
2 
Á𝑟𝑒𝑎𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 = 4.2,5 => 10𝑚
2 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 320𝑚2 − 3𝑚2 − 10𝑚2 => 307𝑚2 
 
Calculo da quantidade de tijolos 
𝑇𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 = 307𝑋35 => 10745 𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 
 
c) Faça um orçamento para saber o valor que o Marter irá gastar com esses tijolos (pode 
ser pela internet ou loja física, mas o orçamento deve estar em anexo ao template do 
MAPA). É recomendável comprar 10% a mais de material devido as percas. 
10745 𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 + 10% = 11819,5 arredondando 11820 tijolos 
Produto Entrega Preço Quantidade Total 
Tijolo 6 furos A calcular R$0,47 11820 R$5.555,40 
 
 
 
d) Silver, o único pedreiro da região onde Marter mora, cobra R$ 150,00 o metro 
quadrado de mão de obra para a construção do celeiro. Como ele irá construir o celeiro 
de área máxima, qual será o valor da mão de obra se for contratar Silver? 
Área total do celeiro é 400m2 x R$150,00 = R$60.000,00 
e) Marter irá levar energia elétrica ao celeiro. Ele pretende estender um cabo de força da 
casa ao celeiro, à margem do rio, que tem 40 metros de largura. O cabo, em algum 
momento deverá atravessar o rio, suspenso por postes de madeira, que ele tem de forma 
abundante na propriedade. O eletricista cobra 10% a mais na mão de obra para “passar” 
o cabo por cima do rio, considerando o preço que ele cobra em terra. Se o eletricista 
cobra, de mão de obra, R$ 10,00 o metro instalado em terra, determine o custo mínimo 
que Master pode ter para levar a energia da sua casa ao celeiro. Para isso, fazer um 
orçamento no modelo do item (c). Ele irá usar fiação de 10mm flexível*. Desconsiderar 
as percas nesse caso. (*Em termos de energia esse cabo não é recomendado para esse 
serviço, mas como é fácil de encontrar, usarmos ele para o MAPA.) 
O celeiro deverá ficar na margem oposta, a 2000 metros rio abaixo, da casa até 
atravessar o rio 40 metros, totalizando 2040 metros de fio flexível 10 mm 
8 rolos de fio com 5 metros (40 metros) e 20 rolos com 100 metros (2000 metros) 
 
 
Custo da mão de obra 
2000 metros por terra x R$10,00 =20000 reais 
40 metros sobre o rio x R$11,00 = 440 reais 
 
Total do custo 
R$15419,44 (fio) +R$20440 (mão de obra) = 35859,44 reais