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das A Gabarito utoatividades GEOMETRIA Centro Universitário Leonardo da Vinci Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040 Bairro Benedito - CEP 89130-000 I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000 Elaboração: Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI 2018 Prof.ª Márcia Vilma Aparecida Depiné Dalpiaz Prof.º Juliano Bona 3UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE GEOMETRIA UNIDADE 1 TÓPICO 1 1 Para saber se você entendeu o assunto estudado neste tópico, faça uma relação com cinco objetos do seu cotidiano que deem ideia de pontos, retas e planos. R.: A resposta desta atividade é pessoal, porém citam-se alguns objetos como sugestão: ● Ideia de ponto – a bolinha do dado indicando o número um, as bolinhas nas peças de um dominó, a luz do timer da TV, o ponto final de uma frase etc. ● Ideia de reta – o fio elétrico de um poste a outro, um fio de cabelo, a faixa branca do asfalto, as linhas da folha do caderno, um fio de arame da cerca etc. ● Ideia de plano – o piso da casa, a parede da sala, a tela da TV, uma folha A4, o vidro da janela etc. 2 Os axiomas ou postulados de Euclides estabelecem relações primitivas entre os entes geométricos. Acerca dessas relações, analise as sentenças e classifique V para verdadeiras e F para falsas. a) (V) Por um ponto passam infinitas retas. b) (V) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta. c) (V) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. d) (V) Por três pontos alinhados passa uma única reta. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) V – V – V – V. b) ( ) V – V – F – V. c) ( ) V – V – F – F. d) ( ) V – F – V – F. 3 Para as sentenças do exercício 2 justifique a condição de serem falsas. R.: Você ganhou um descanso, vá para a próxima questão. Não há sentenças falsas no exercício 2. 4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A 4 Complete as lacunas das sentenças a seguir: • Quatro pontos distintos podem determinar um PLANO. • Dados três pontos ALINHADOS sempre é possível traçar uma reta que contenha os três pontos. • Uma reta está totalmente contida em um plano quando tem DOIS pontos DISTINTOS deste plano. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) ponto – alinhados – dois – distintos. b) ( ) plano – quaisquer – três – alinhados. c) ( ) plano – alinhados – dois – distintos. d) ( ) ponto – alinhados – três – alinhados R.: Alternativa (C). 5 Sobre os axiomas de Euclides, analise as sentenças a seguir: I – Por dois pontos distintos passa uma reta. VERDADEIRO II – Três pontos distintos são sempre colineares. FALSO III – Três pontos distintos são sempre coplanares. VERDADEIRO IV – Quatro pontos distintos podem determinar duas retas.VERDADEIRO V – Três pontos coplanares são sempre colineares. FALSO Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) Somente afirmativa IV está correta. b) ( ) As afirmativas II e III estão corretas. c) (x) As afirmativas I, III e IV estão corretas. d) ( ) Somente a afirmativa V está correta. TÓPICO 2 1 Objetos com formato de prisma, como as embalagens de pizza, permitem verificar os conceitos de posições de retas etudados neste tópico. Assim, vamos observar a imagem com o olhar de geômetra, traçando retas suportes aos segmentos que definem com os lados da embalagem, e reponder aos questionamentos. 5UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A R.: Assumindo que o polígono é regular temos: a) As retas e estão em que posição relativa? Explique: R.: As duas retas são perpendiculares, pois são concorrentes, são retas suportes de lados não paralelos de um mesmo polígono e perpendiculares conforme a figura. b) As retas e são coplanares e paralelas? Por quê? R.: Sim, pois são lados opostos de um polígono regular com número de lados par. 6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A c) Identifique três exemplos de retas reversas. R.: , e d) Identifique três exemplos de retas perpendiculares. R.: e ; e ; e e) Há exemplos de retas coincidentes? Justifique. R.: Não. Como podemos observar em nossa imagem, o objeto é uma figura tridimensional, na qual não existem retas coincidentes, pois uma reta que, supostamente, está embaixo de outra, pode ser vista como pertencente a outro plano. 2 Segmentos de reta é a reunião de todos os pontos compreendidos entre dois pontos distintos. Partindo da definição de segmento de reta, analise as afirmações a seguir, e classifique V para verdadeiras ou F para falsas: a) (F) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares. b) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos. c) (F) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares. d) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes. e) (V) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos. f) (V) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) V – F – V – V – F – F. b) (x) F – F – F – F – V – V. c) ( ) V – F – V – F – V – V. d) ( ) V – F – V – V – V – F. 3 Explique por que toda reta perpendicular é concorrente mas, nem toda reta concorrente é perpendicular. R.: Ambas possuem um ponto comum, porém as perpendiculares devem ter o ângulo formado reto. 4 Nossa viagem pela geometria já vai continuar. Agora vamos refletir um pouco sobre os conceitos aprendidos até aqui. Para fazer esta síntese o convidamos a escrever um pequeno texto exemplificando 7UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A as diferentes maneiras que podemos visualizar estas estruturas geométricas no cotidiano. Vamos começar e você continua. Segmento de reta: parte de uma corda compreendida entre duas pessoas que estão disputando um cabo de guerra... R.: Essa é uma resposta pessoal. Caro(a) tutor(a) externo(a), aproveite para explorar as diferentes respostas possíveis. TÓPICO 3 1 Classifique cada afirmação a seguir em V para verdadeira ou F para falsa, de acordo com os estudos realizados neste tópico: (F) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice. (F) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos. (V) Dois ângulos suplementares são adjacentes. (F) Dois ângulos adjacentes são complementares. Agora assinale a alternativa correta: a) ( ) V - V - F - F. b) (x) F - F - V - F. c) ( ) F - V - F - V. d) ( ) F - V - V - F. 2 Se um ângulo mede 35º, então seu complemento mede: a) 65º b) 145º c) 45º d) 55º R.: 90° = 35°+ x ⇒ x = 55° (Alternativa D) 3 Escreva uma equação em cada situação para determinar as medidas dos ângulos: a) A medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento. R.: 60º 8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A b) A medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento. R.: 67,5º c) A medida do ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36º. R.: 360 d) A medida do ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º. R.: 300 4 Converta os seguintes ângulos em radianos: a)15º b)120º c)150º d)300º a) R.: b) R.: c) R.: d) R.: 5 Agora faça o oposto, transforme os radianos para graus: a) R.: º b) R.: º c) R.: º d) R.: º 9UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A 6 Calcule o complementar dos ângulos: a) 75º b) 15º c) 90º d) 22º32’ a) R.: º b) R.: º c) R.: º d) R.: 7 Calcule o suplemento dos ângulos: a) 155º45’ b) 120º c) 175º32’ d) 22º32’ a) R.: b) R.: º c) R.: d) R.: 8 Verifique se os ângulos são de fato opostos pelo vértice. 10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A TÓPICO 4 1 O esquema a seguir representa quatro estradas paralelas que são cortadas por três avenidas transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas avenidas e estradas estão indicadas (em km).Complete o esquema calculando com as distâncias faltantes. 11UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A Então: x = 10, y = 30 e z = 22,5 2 Dados quatro números a, b, c e d, dispostos em duas razões, dizemos que formam uma proporção se o produto dos meios for igual ao produto dos extremos, assim: . Verifique se as relações a seguir definem proporções. 3 As linhas que pautam a folha do caderno são paralelas (conforme figura). Trace duas retas transversais e com o auxílio de uma régua, meça a distância de uma linha a outra sobre a diagonal (estas medidas podem ser representadas por a, b, c e d). Agora, com o valor das medidas, calcule a proporcionalidade entre os segmentos. Se você quiser, pode medir linhas alternadas, não é necessário que as linhas sejam consecutivas. 12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A R.: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a oportunidade para socializar as diferentes respostas. 4 Calcule a constante de proporcionalidade entre as grandezas x e y indicadas nas tabelas. a) R.: ⇒ todas as proporções têm a constante equivalente a 0,5. b) R.: ⇒ todas as proporções têm a constante equivalente a 5. 5 Multiplique os meios pelos extremos das proporções, resolva a equação obtida e assinale a opção que contém o valor do x e da constante de proporcionalidade, respectivamente. a) (x) 3; 0,6 ( ) 2; 1,67 ( ) 3; 0,3 ( ) 1,5 ; 2,85 R.: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ e a proporção já está pronta b) ( ) 1,37; 11,62 ( ) 1,28; 9,62 (x) 1,36; 3,63 ( ) 1,34; 12,9 R.: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ e a proporção pode ser encontrada em qualquer lado da igualdade: 13UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A c) (x) -2; -0,7 ( ) -1; -1,7 ( ) 2; 0,7 ( ) -2; 1,7 R.: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ e a proporção já está pronta 6 O número de Ouro é um número irracional representado pela letra grega φ (fi) e vale, aproximadamente, 1,618. Segundo vários estudiosos da Beleza Áurea, o corpo humano tem padrões de beleza onde podemos verificar a secção áurea, que se trata de uma proporcionalidade áurea. Utilize uma fita métrica e verifique esta relação de proporcionalidade entre seus colegas. R.: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a oportunidade para socializar as diferentes respostas 14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A TÓPICO 5 1 Aplique o padrão das unidades de medidas estudadas para responder aos questionamentos: a) Quantos metros quadrados tem um quilômetro quadrado? R.: 1000 x 1000 = 1 000 000 m2. b) Quantos metros quadrados tem uma quadra de esportes com 100 m de medida lado? R.: 100 x 100 = 10 000 m2. c) Um litro tem quantos cm³? R.: 10 x 10 x 10 = 1 000 cm3. d) Quantos cm³ tem um mililitro? R.: 1 x 1 x 1 = 1 cm3. e) Quantos litros tem um m³? R.: 1 000 litros f) Quantos km têm em 864m? R.: 864 x 1 000 = 0,864 km. g) Quantos cm têm em 864m? R.: 864 x 100 = 86400 cm. 2 Desde o ano de 1911 ocorre, na cidade de Indianápolis (Estados Unidos), a famosa corrida 500 Milhas de Indianápolis, também chamada de Indianápolis 500 ou só Indy 500. Participam da prova 33 carros (grid) que percorrem 500 ____________ ou ____________ km. 15UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) Milhas 800. b) ( ) Pés – 805,5. c) ( ) Quilômetros – 803. d) (x) Milhas – 804,5. R.: 1 milha = 1,6093 km, assim: 500 x 1,609 = 804,5 km (alternativa D) 3 Complete, adequadamente, utilizando os símbolos (dm, km, hm, mm, cm, dam): 0,1 m = 1 ______________ 0,01 m = 1 _____________ 0,001 m = 1 ____________ 10 m = 1 ______________ 100 m = 1 _____________ 1000 m = 1____________ R.: 0,1 m = 0,1 x 10 = 1dm 0,01 m = 0,001 x 10 x 10 = 1 cm 0,001 m = 0,001 x 10 x 10 x 10 = 1 mm 10 m = 10 : 10 = 1 dam 100 m = 100 : 10 : 10 = 1 hm 1000 m = 1000 : 10 : 10 : 10 = 1km 4 Quantos centímetros cabem em: R.: a) 1 m = 1 x 10 x 10 = 100 cm b) 1 dm = 1 x 10 = 10 cm c) 1 km = 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000 cm 5 O romance Vinte Mil Léguas Submarinas, escrito por Júlio Verne, no século XIX, descreve uma fantástica viagem com um submarino chamado Nautilus movido apenas à eletricidade. Se mudássemos a unidade de medida utilizada por Júlio Verne para km, como seria o nome do filme? R.: 1 légua = 5,555m, assim: 20 000 x 5,555 = 111 100 km. 6 Que unidade de comprimento você usaria para medir: 16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A a) A largura do seu Caderno de Estudos? R.: cm b) A distância entre duas cidades? R.: km c) A altura de um prédio de 20 andares? R.: m 7 Baseando-se na questão anterior, escreva um texto abordando outras situações práticas onde utilizamos as unidades de medida linear, quadrática e cúbica. R.: Caro(a) tutor(a) externo(a)! Essa resposta é pessoal. Aproveite a oportunidade para socializar as diferentes respostas. UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Sobre a soma e a medida dos ângulos de um polígono, efetue os cálculos solicitados. Considere que todos os polígonos são regulares. a) A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo. R.: Si = 720º º º 17UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A b) A medida do ângulo interno e externo de um triângulo que possui os três lados iguais. R.: ai = 60º, ae = 120º c) A soma dos ângulos internos de um decágono. R.: Si = 1440º d) O número de diagonais que partem de cada vértice de um undecágono. R.: Fórmula geral: cada ponto tem n - 3 diagonais (Errata: não possui no caderno esta informação) Então 11- 3 = 7 diagonais e) A medida do ângulo interno do pentágono. R.: f) O número de diagonais de um octógono. R.: g) A medida do ângulo externo do pentágono. R.: 2 Encontre o valor de x e determine a medida dos ângulos de cada polígono a seguir. 18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A R.: Então os ângulos medem: 60,90,70 e 140 graus. 19UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A Os ângulos medem: 90, 105, 70, 137,5 e 137,5 graus. Os ângulos medem: 150, 120, 130, 90, 110 e 120 graus. 20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A Assim, os ângulos internos do pentágono medem: 90,120,120, 90 e 120. E os dois ângulos externos medem 60 graus. 3 Se o número de diagonais de um octógono é o quíntuplo do número de lados de um polígono, qual é o polígono? R.: 4 Sobre as propriedades dos polígonos, analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas. ( ) Todos os lados de um polígono qualquer têm a mesma medida. ( ) Um polígono côncavo é também não convexo. ( ) Os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida. ( ) A diagonal de um polígono é igual a razão do quadrado dos lados mais o triplo do lado por dois. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) V – F – V – V. b) ( ) V – V – F – V. c) (x) F – V – V – F. d) ( ) V – F – V – F. 5 Para determinar o número de lados de um polígono podemos utilizar a relação d = n - 3. Baseado nesta relação, calcule: a) O número de lados de um polígono que possui 25 diagonais partindo de cada vértice. R.: 21UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A b) O número de diagonais que parte de cada vértice de um polígono que possui 20 lados: R.: 6 Qual é o polígono? a) Cuja soma dos ângulos internos é igual a 1800º. R.: b) Cujo número de diagonais é o triplo do número de lados. R.: 7 (DOLCE; POMPEO, 2005). Podem os ângulos internos e externos de um polígono regular apresentar medidas iguais? Justifique sua resposta. R.: Sim. 22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A Com isso podemos concluir que nos quadriláteros, e somente neles, há a existência desta igualdade. TÓPICO 2 1 Analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas. ( ) Todopolígono tem mais de três lados. ( ) Um triângulo retângulo pode ser isósceles. ( ) Todo triangulo equilátero é isósceles. ( ) Um triângulo equilátero pode ser retângulo. ( ) Um triângulo escaleno pode ser isósceles. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: (x) F – V – V – V – F. ( ) V – V – F – V – V. ( ) F – F – V – F – V. ( ) V – V – V – F – F. 2 Complete as lacunas das sentenças: • Os triângulos com 3 lados iguais são ____________. • Os triângulos com 2 lados iguais são ____________. • Os triângulos com 3 lados diferentes são ____________. • Os triângulos com 3 ângulos iguais são ____________. • Os triângulos com 2 ângulos iguais são ____________. • Os triângulos com 3 ângulos diferentes são ____________. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: ( ) equiláteros – acutângulo – escalenos – obtusângulo – isósceles – retângulo. ( ) equiláteros – isósceles – escalenos – acutângulo – obtusângulo – retângulo. ( ) escalenos – equiláteros – isósceles – acutângulo – obtusângulo – retângulo. (x) equiláteros – isósceles – escalenos – equiláteros – isósceles – escalenos. 3 Os triângulos têm medidas pontos notáveis chamados de circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro. Sobre estes pontos, analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas. 23UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A ( ) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. ( ) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo. ( ) O baricentro é interno ao triângulo. ( ) O ortocentro é interno ao triângulo. ( ) O circuncentro é interno ao triângulo. ( ) O incentro é interno ao triângulo. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: ( ) V – F – V – V – F – F. ( ) V – V – F – V – V – V. (x) V – V – V – F – F – V. ( ) V – F – V – F – V – F. 4 Determine “x” em cada um dos triângulos: 24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A R.: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°, com isso podemos descobrir cada um dos itens. a) 50 + 30 + x = 180 então x = 100° b) 30 + 90 + x = 180 então x = 60° c) 50 + 65 + x = 180 então x = 65° d) 60 + 75 + x = 180 então x = 45° 5 Vamos utilizar materiais de desenho? Você precisará de uma régua e um transferidor. a) Desenhe três triângulos, um obtusângulo, outro retângulo e o último acutângulo. Meça os ângulos com o transferidor e calcule a soma deles. O que você pode concluir? R.: Independente do triângulo, a soma interna é sempre 180º b) Desenhe um triângulo com medidas de lados 3, 4 e 5 centímetros, respectivamente. Qual é a medida dos ângulos? Qual é o tipo de triângulo quanto aos lados e aos ângulos? R.: 90º e os outros dois, aproximadamente, 53º e 37º. Triângulo retângulo. c) Desenhe três triângulos: um escaleno retângulo, um isósceles retângulo e escaleno obtusângulo. É possível construir um triângulo equilátero e obtusângulo? R.: Não. Para ser equilátero, deve possuir somente ângulos de 60º. d) Desenhe dois triângulos: um escaleno acutângulo e um isósceles acutângulo. É possível construir um triângulo equilátero e acutângulo? R.:Sim, todo triângulo equilátero é acutângulo pelo motivo mencionado acima. Seguem alguns links de vídeos que podem ajudar na compreensão do assunto: <https://www.youtube.com/watch?v=VEEP2McXtos> <https://www.youtube.com/watch?v=JQPVJapETzE> <https://www.youtube.com/watch?v=Mg0DvpDQ4gQ> 25UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A 6 Verifique a condição de existência de cada triângulo, conforme medidas indicadas nas sentenças. Após a análise de possibilidade de existência ou não, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas. ( ) 3 cm, 5 cm e 7 cm. ( ) 15 cm, 8 cm e 8 cm. ( ) 3 cm, 2 cm e 7 cm. ( ) 7 m, 3,9 m e 3,7 m. ( ) 3,7 cm, 9,1 cm e 8,4 cm. ( ) 6 cm, 17,5 cm e 10 cm. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) V – F – V – V – F – F. b) (x) V – V – F – V – V – F. c) ( ) V – V – V – F – F – V. d) ( ) V – F – V – F – V – F. TÓPICO 3 1 Os triângulos da figura a seguir são semelhantes, mas estão em posições diferentes. Sabemos que triângulos semelhantes têm medidas proporcionais. Com base nisso, calcule as medidas x e y. 26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A 2 Num triângulo retângulo, como são chamados: a) Os lados que formam o ângulo reto? R.: Catetos. b) O lado oposto ao ângulo reto? R.: Hipotenusa. 3 Se o perímetro de um triângulo equilátero mede 75 cm, quanto mede cada um de seus lados? R.: Lembre-se: o triângulo equilátero tem três lados iguais. Perímetro = soma dos lados. 75 ÷ 3 = 25 cm 4 Se o perímetro de um triângulo isósceles mede 100 m e a base mede 40 m, quanto mede cada um dos outros lados? R.: Lembre-se: o triângulo isósceles tem dois lados iguais. 100 – 40 = 60 ÷ 2 = 30 cm 5 Encontre o perímetro do triângulo ABC em cada um dos seguintes casos: a) Um triângulo equilátero ABC com AB = x + 2y; AC = 2x – y e BC = x + y + 3. R.: 45. b) Um triângulo isósceles ABC de base BC, com AB = 2x + 3; AC = 3x – 3 e BC = x + 3. R.: 39. 27UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A 6 No ABC, o ângulo A = 70º, AC = 3 m e AB = 5 m; em outro XYZ, o ângulo Y = 70º, YZ = 5 m e XY = 3 m. Justifique a semelhança entre os dois triângulos e diga quais os ângulos e lados congruentes. R.: São semelhantes por LAL, com: AB ≡ YZ; ^^ YA ≡ ; AC ≡ YX. 7 Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. TÓPICO 4 1 Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Explique isso. R.: Sim, é possível, quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do círculo. Assim, teremos um segmento que é um semicírculo e poderíamos ter um setor com essa área. 2 Em que caso um setor circular é um semicírculo? R.: Quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do círculo. 28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A 4 Justifique por que o diâmetro é a maior corda da circunferência. R.: Porque é a corda que passa pelo centro da circunferência, onde a distância entre os dois extremos é maior. 5 Escreva um pequeno texto, pode ser em tópicos, especificando de que forma se podem explorar os conceitos vistos neste tópico com situações do dia a dia. Faça uma pesquisa, seja criativo. Lembre-se: “Não basta saber, é preciso saber fazer”. R.: Esta é uma resposta pessoal. TÓPICO 5 1 Pense num paralelogramo com as medidas da base e da altura, respectivamente indicados por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do primeiro paralelogramo, qual será a relação entre as áreas dos dois paralelogramos? R.: Sugestão: para entender melhor a situação, construa um paralelogramo. 3 Numa mesa circular, uma pessoa fica bem acomodada ocupando cerca de 70 cm da borda deste móvel. Quanto maior o número de pessoas, maior deverá ser o diâmetro desta mesa. Para acomodar confortavelmente 4 pessoas, qual deverá ser a circunferência da mesa? Você é capaz de resolver este problema? R.: Para acomodar 4 pessoas, a circunferência da mesa deverá ter 280 cm, portanto o diâmetro da circunferência será de 89,17 cm, aproximadamente. 29UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A 1º – A = b . h = bh 2º – A = 2b . 2h = 4bh A área do segundo é o quádruplo da área do primeiro. 2 Calcule a área de um losango que possui suas diagonais medindo 10 cm e 16 cm (em centímetros quadrados). R.: 3 Um dos lados deum retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm (em centímetros quadrados)? 4 Calcule a área de um triângulo retângulo que possui como medida de sua hipotenusa e de um dos seus catetos, respectivamente, 10 cm e 8 cm (resposta em centímetros quadrados). 30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A 5 A figura a seguir representa as dimensões de uma sala que vai ser assoalhada com tábuas de 20 cm de largura por 3,5 m de comprimento. Quantas tábuas são necessárias? R.: A área da sala é de 49 m². A área de uma tábua é de 0,7 m², então são necessárias 70 tábuas para assoalhar a sala. 6 Para refazer o jardim de sua residência, o Sr. Júlio resolveu comprar blocos de grama para colocar entre as árvores e as flores. A grama é vendida em blocos que medem 50 cm x 30 cm. Quantos blocos, no mínimo, o Sr. Júlio deve comprar para cobrir uma área de 165 m2? R.: 1600 ÷ 1500 = 1.100 blocos Serão necessários 1.100 blocos de grama com as dimensões descritas. 7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho da malha tem um cm de lado e portanto, 1 cm2 de área. Com base nestes dados, calcule a área da região limitada pela linha escura. R.: Cada quadradinho tem 1 cm² de área. Existem 14 quadradinhos inteiros (1). Considerando duas semicircunferências com 1 cm de raio, temos uma área de: (2). 31UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A 2 - 1,57 = 0,43 cm2 (3). Então: fazendo 1 + 2 + 3 temos: 14 + 1,57 + 0,43 = 16cm2. 16 cm2 8 A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa? R.: hip² = cat² + cat² hip² = 7² + 7² hip² = 49 + 49 hip² = 98 hip = 7 = lado do quadrado (m) Área do triângulo = = = = 24,5 m² Área do quadrado = = m² Área frontal = área do triângulo + área do quadrado = 24,5 + 98 = 122,5 m²] 9 ABC é um triângulo retângulo com ângulo reto em C. Se m(AB) = 15 cm e m(BC) = 9 cm, qual é a área do quadrado de lado AC? 32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A R.: Determinar m(AC): hip² = cat² + cat² 15² = 9² + cat² 225 = 81 + cat² 225 – 81 = cat² 144 = cat² 12 = cat cat = 12 cm Área do quadrado de lado m(AC) = . TÓPICO 6 1 Em uma cidade, há um terreno abandonado. Esse terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas bases medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. João amarrou seu cavalo, ponto P, a uma corda de 12 m de comprimento, para pastar. De acordo com a figura ao lado, calcule a área (em metros quadrados) de pasto que o cavalo não pode comer. R.: Primeiro calculamos a área do trapézio: 450 m2. 33UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A Agora ¼ da circunferência de raio 12: aproximadamente 113 cm2. Finalmente fazemos a diferença entre as duas áreas: 450 - 113 = 337 cm2 é a área que ele não pode comer. 2 No semicírculo ao lado temos BC = 10 cm e AB = 8 cm. Qual o valor aproximado, em centímetros quadrados, da área sombreada, sabendo-se que o triângulo ABC é um triângulo retângulo? R.: Calculamos a superfície do triângulo ABC inscrito na semicircunferência: 24 cm2. a² = b² + c² 10² = 8² + c² 100 = 64 + c² 36 = c² c = 6 Sendo assim, a área do triângulo retângulo Calculamos a área de ½ círculo: 39,25 cm2. Finalmente, fazemos a diferença entre as duas áreas: 39,25 -24 = 15,25 cm² é a área da superfície sombreada. 3 Calcule a área da sacada de um apartamento apresentada na figura ao lado. 34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A R.: Calculamos a área da circunferência e lembre-se que temos 2/4 de circunferência com 1,5 m de raio. Então: 3,5 cm2. Um retângulo de 3 x 1,5 = 4,5 m2. Então, somam-se as áreas 3,53 + 4,5 = 8,03. Assim a área da sacada é aproximadamente 8 m2. 4 O comprimento da linha do Equador da Terra tem aproximadamente 40.000 km. Qual é o raio da Terra? R.: C= 2 r 40000 = 2 . 3,14 . r 40000 = 6,28 r r = 6369,43 Aproximadamente 6.369 km. 5 Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia. R.: , assim dividimos o total por 6 = 706,5 ÷ 6 = 117,75 Cada fatia tem 117,75 cm2. 6 Num círculo de raio r = 10 cm, calcule: a) o comprimento de um arco com α = 45º. b) a área de um setor circular com α = 60º. c) a área de um setor circular com α = 120º. R.: a) Primeiro encontramos o valor da circunferência: C = 2 r C = 2.3,14.10 C = 62,80 35UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A Então, multiplica-se pelo ângulo correspondente e divide-se por 360. C = 62,80 *45 / 360 = 7,85 cm 7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho tem uma unidade quadrada de área. Encontre a área da superfície contornada pela linha escura. R.: Cada quadrinho tem uma unidade quadrada de área. Então, a figura tem 16 cm2. UNIDADE 3 TÓPICO 1 1 Sobre a mesa da figura há dois livros apoiados em diferentes posições. Vamos analisar duas situações: 36 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A a) Qual é a posição dos planos da capa e contracapa do livro B em relação à mesa? R.: Planos paralelos Planos paralelos coincidentes b) Qual é a posição dos planos da capa, da contracapa e de uma das folhas de dentro, tomados dois a dois, em relação ao plano da mesa? R.: Planos secantes perpendiculares 2 Uma bola de futebol é um poliedro que possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Com base nestas informações, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas. ( ) O número de arestas deste poliedro equivale a 180. ( ) Este poliedro apresenta 60 vértices. ( ) A bola apresenta 32 faces. ( ) Este poliedro classifica-se como um sólido de Platão. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) V – V – V – F. b) ( ) F – F – V – V. c) ( ) F – V – V – F. d) (x) F – V – V – F. e) ( ) V – F – F – V 3 Joana ganhou um par de brincos no formato de uma pirâmide de base quadrada, que sabemos ser um poliedro o número de vértices 37UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A e de faces é cinco. Aplique a relação de Euler e calcule o número de arestas do par de brincos. R.: V = 5 F = 5 A= ? F + V = A +2 5 + 5 = A + 2 10 = A + 2 A = 8 O brinco possui 8 arestas. 4 Classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as falsas: a) (V) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas. b) (V) Duas retas ou são coplanares ou são reversas. c) (F) Duas retas distintas determinam um plano. d) (V) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. e) (V) Duas retas não coplanares são reversas. 5 Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro? R.: F + V = A + 2 F + V = 10 + 2 F + V = 12 Como o número de faces e vértices são os mesmos 12 dividido por 2 esse poliedro tem 6 faces. 6 Em nossos estudos vimos que entre dois planos são possíveis quatro posições relativas no espaço. Sobre estas posições, classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as falsas: 38 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) NC, NC, C, C, NC. b) ( ) C, NC, NC, C, C. c) (x) C, NC, C, C, NC. d) ( ) C, NC, C, NC, NC. e) ( ) NC, NC, C, C, NC. 9 Em matemática precisamos tomar cuidado com o inverso das afirmações, por exemplo: todo poliedro é um sólido geométrico, mas nem todo sólido geométrico é um poliedro. Neste sentido, classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as falsas: a) (V) Planos secantes são dois planos distintos que se interceptam. b) (F) Dois planos se interceptam num único ponto. c) (V) Dois planos concorrentes no espaço são planos cuja intersecção é uma reta. d) (F) Dois planosconcorrentes formam um triedro. e) (V) Planos paralelos no espaço são planos que não têm interseção. 7 Um plano é determinado por: a) (x) Uma reta e um ponto não pertencente a ela. b) ( ) Uma reta e um ponto a ela pertencente. c) ( ) Três pontos. d) ( ) Duas retas quaisquer. e) ( ) Uma reta apenas. 8 Classifique os poliedros em convexos (C) e não convexos (NC): 39UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A ( ) Todo poliedro convexo é um sólido geométrico. ( ) Todo sólido geométrico é de Platão. ( ) Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico. ( ) Todo poliedro convexo é euleriano. ( ) Todo poliedro euleriano é de Platão. ( ) Todo poliedro de Platão é euleriano. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) ( ) V – V – V – F – V – V. b) ( ) F – F – V – V – V – F. c) ( ) F – V – V – F – V – F. d) ( ) F – V – V – F – F – V. e) (x) V – F – V – V – F – V. 10 Com a intenção de formar um ângulo poliédrico tomaram-se algumas faces poligonais cujas medidas que formarão o ângulo poliédrico são conhecidas conforme a seguir. Todas as construções são possíveis? Justifique suas respostas. a) 70º 80º e 130º: 70 + 80 +130 = 280º < 360º. A construção é possível, pois a soma dos ângulos é menor que 360º. b) 90º, 120º e 150º: 90 + 120 + 150 = 360º. A construção NÃO é possível, pois a soma dos ângulos é 360º. c) 70º, 80º, 90º e 100º: 70 + 80 + 90+ 100 = 340º < 360º. A construção é possível, pois a soma dos ângulos é menor que 360º. 11 Quantas faces, no máximo, de um polígono que tem os ângulos internos de 50º, podem ser utilizadas para formar um ângulo poliédrico? R.: A soma dos ângulos deve ser menor que 360º, portanto: 360 / 50 = 12, porém 12 faces totalizaria 360º, como a soma deve ser menor que 360º, temos que o maior número de faces é igual a 11. Resposta: 11 faces 12 Sobre poliedro é correto afirmar: a) ( ) O número de faces é o dobro do número de arestas. b) ( ) O menor número possível de faces de um poliedro é três. 40 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A c) ( ) Todo poliedro tem 8 vértices. d) ( ) Um octaedro tem 12 faces. e) (x) Uma aresta é a intersecção de duas faces. 13 Determine: a) O poliedro convexo que tem 6 vértices e 12 arestas. b) O número de vértices de dodecaedro que tem 20 arestas. c) O número de faces de um poliedro convexo que tem 15 arestas e 8 vértices. d) Determine o número de arestas e o número de vértices de um icosaedro regular. R.: a) F+V = A +2 F + 6 = 12 + 2 F = 8 8 Faces: Octaedro b) F+V = A+2 12 + V = 20 +2 V = 10 10 Vértices c) F+V = A+2 F+8 = 15 +2 F = 9 9 Faces d) icosaedro = 20 faces F+V = A + 2 20 + V = 30 +2 V = 12 12 vértices 30 arestas 41UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A TÓPICO 2 1 Uma pequena indústria de artesanatos pretende fabricar caixas (papelão) decorativas de dois modelos. Uma em forma de um paralelepípedo retangular e outra, em forma de cubo, ambas com a mesma capacidade. As dimensões do paralelepípedo equivalem a base de 15 cm e 20 cm, altura de 5 cm. Fundo e Tampa Papelão gasto na caixa cúbica: 11,5 * 11,5 = 132,25 * 6= 793,50 Papelão gasto na caixa retangular: 300 + 300 + 75 +75 + 100 + 100 = 950 Assim: 950 – 793,50 = 156,50 cm² Para sabermos as medidas do cubo 42 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A Com relação a estas caixas, analise as seguintes sentenças: I – Na caixa cúbica serão gastos 132 cm² de papelão. II – A capacidade da caixa em forma de paralelepípedo equivale a 1 500 cm³. III – As dimensões da caixa cúbica são de aproximadamente 11,5 cm. IV – Na caixa em forma de paralelepípedo serão gastos aproximadamente 163,4 cm² a mais de papelão do que na caixa cúbica. Agora, assinale a alternativa CORRETA: a) (x) Somente as afirmativas II e III está correta. b) ( ) As afirmativas II, III e IV estão corretas. c) ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas. d) ( ) Somente a afirmativa I está correta. TÓPICO 3 Um grupo de casais foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma pirâmide regular hexagonal, cuja aresta da base media 1 m. Depois de montada, o ar em seu interior ocupava um volume de Associe os itens, utilizando o código a seguir: R.: (I) O apótema da base da barraca. (III) A área da base da barraca. (II) A altura da pirâmide da barraca. 43UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A TÓPICO 4 1 O que é um cilindro equilátero? R.: Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado e, portanto, apresenta g = h = 2r, ou seja, o diâmetro da base é igual à altura. 2 Um restaurante costuma usar grandes panelas em dias de muito movimento. Para encher de água uma dessas panelas, o cozinheiro utiliza latas (ou galões) de 18 litros. Quantos desses galões são necessários para encher completamente uma panela cilíndrica, de 60 cm de diâmetro e 50 cm de altura? (Use π = 3,14) R.: Como cada galão tem 18 litros 141,3 / 18 =7,85, são necessários, aproximadamente, 8 galões de água. 3 Qual é o volume da grafite de um lápis de 17 cm de comprimento, se a grafite tem 2 mm de diâmetro? (Use π = 3,14). R.: O volume da grafite é, aproximadamente, 0,53 cm3. Lembrando que precisamos trabalhar com medidas equivalentes, ou seja, cm em cm, mm em mm, m em m. 4 Para fazer 1m³ de concreto, gastam-se 9 sacos de cimento. Um prédio está apoiado sobre 12 colunas cilíndricas de concreto, cada uma com 5 m de altura e 40 cm de diâmetro da base. Quantos sacos de cimento foram gastos na construção destas colunas? (Use π = 3,14). R.: Assim, se para 1 m³ foram utilizados 9 sacos de cimento, para 7,54 m³ serão usado 67,86 sacos de cimento, aproximadamente 68 sacos para construir as colunas. 44 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A 5 Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro interior e 70 dm de profundidade. Quantos litros de água o vaso pode conter, aproximadamente? (Use π = 3,14). 6 Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas: uma de raio r, cheia até a altura h. Outra de raio e cheia até altura 2h. A primeira é vendida por R$ 3,00 e a segunda é vendida por R$ 1,60. Qual é a embalagem mais vantajosa para o consumidor? A primeira embalagem é mais vantajosa para o consumidor, pois o volume da primeira em relação à segunda é o dobro, já o valor não, pois a segunda lata custaria 3,20 para obtermos a mesma quantidade. 7 Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo. 45UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A 8 A figura indica o tambor cilíndrico de um aquecedor solar com capacidade de 1.570 litros. Sabendo que 1.000 litros de água ocupam um volume de 1 m³ e adotado π = 3,14, determine a medida do raio r do cilindro. 46 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A TÓPICO 5 Dois reservatórios, um cilíndrico e outro cônico, de mesma altura e mesmo raio, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas com mesma vazão. O reservatório cilíndrico levou 5 horas e meia para ficar completamente cheio. Qual é o tempo necessário para que isto ocorra com o reservatório cônico? a) (x) 1 hora e 50 minutos. b) ( ) 2 horas. c) ( ) 1 hora. d) ( ) 2 horas e 15 minutos. R.: Como a vazão é a mesma para o cilindro e o cone e o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro, podemos constatar que para encher todo o cilindro o tempo gasto foi 5 horas e 30 minutos, então, 1/3 desse valor é 1 hora e 50 minutos. TÓPICO 6 1 Qual a quantidade de chumbo necessária para a confecção de 100 bolinhas esféricas, maciças, de 1 cm de diâmetro cada uma? Cada esfera tem um volume de 0,523 cm³ e para 100 = 52,33 cm³de chumbo. 2 O diâmetro da Lua é, aproximadamente, ¼ do diâmetro da Terra. Determine o volume da Lua. R.: Lembre-se de que a Circunferência da Terra é de 40.000 km. 47UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES G E O M E T R I A 3 Numa indústria química, deseja-se instalar um reservatório esférico para armazenar determinado gás. A capacidade do reservatório deve ser de 33,5 m³. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse reservatório? R.: O raio deve ter, aproximadamente, 2 metros de comprimento. 4 Uma fábrica de suco confeccionou suas embalagens em dois formatos: uma esférica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. Sabendo que as duas embalagens têm a mesma altura e a mesma largura, calcule seus volumes. 48 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD G E O M E T R I A 5 Num recipiente de forma cilíndrica, com 4 cm de raio da base, há água até certa altura. Calcule a elevação do nível da água quando mergulhamos ali uma esfera de aço com 2 cm de diâmetro. 6 Considere uma laranja como uma esfera com 6 cm de raio. Se a dividirmos em doze gomos (cunhas esféricas) praticamente iguais, qual será o volume de cada gomo? 7 Qual é o comprimento aproximado de um meridiano terrestre? R.: Considerando a Terra uma esfera perfeita, um meridiano é um círculo máximo que passa pelos polos, portanto, seu comprimento tem a mesma medida do equador, aproximadamente, 40.000 km. 8 Qual é o volume da esfera, cujo raio mede 3cm? 9 Qual é a área da superfície esférica, cujo raio mede 3 m?
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