Modelagem de Sistemas Dinamicos - Tanques Interligados

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Universidade Federal de Santa Catarina
Florianópolis
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Automação e Sistemas
Modelagem de Sistemas Dinâmicos - DAS410074
Modelagem matemática de sistemas fluídicos: Sistema de nível de
líquido com interação
Robson Ferreira dos Santos Júnior
Professor: Nestor Roqueiro
Florianópolis/SC
2020
Sumário
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Problema Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 METODOLOGIA E DESENVOLVIMENTO . . . . . . . . . . . 3
2.1 Processos Não-lineares, Por que Linearizá-los? . . . . . . . . . . 3
2.2 Vantagens de de Linearizar um Sistema . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Representação em Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.1 Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.2 Variáveis de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.3 Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.4 Matrizes do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.4.1 Matriz A: Matriz de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.4.2 Matriz B: Matriz de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.4.3 Matriz C: Matriz de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.4.4 Matriz D: Matriz de Transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Modelagem do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Linearização do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Modelagem matemática em espaço de estados . . . . . . . . . 9
2.7 Modelagem computacional do modelo não-linear . . . . . . . . 12
3 RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Comparação entre modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
ANEXO A – CÓDIGO DE PLOTAGEM E COMPARAÇÃO
DE RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ANEXO B – DEFINIÇÃO DE VARIÁVEIS PARA SIMULAÇÃO 25
1 INTRODUÇÃO
Em processos industriais, há diversas maneiras de se movimentar recursos pela
planta. Um exemplo é a movimentação de fluidos entre de tanques e reservatórios.
Estes processos são muito comuns em no dia-a-dia de processos automatizados. Deslo-
camento de fluidos são, frequentemente, representados por equações diferenciais não-
lineares. No entanto, se determinada uma região de operação, tais equações podem
ser linearizadas ao redor deste ponto e o sistema modelado e estudado (OGATA;
SEVERO, 1998).
1.1 Problema Proposto
Objetivando a modelagem e estudo do comportamento de um sistema fluídico,
optou- se pela utilização de um sistema composto por dois tanques, conectados por um
tubo associado a uma válvula. A saída do sendo tanque é controlada por uma válvula
mas a mesma está aberta à atmosfera. A figura 1 mostra como é dada a disposição do
modelo.
Figura 1 – Modelo do sistema fluídico composto por dois tanques conectados
Fonte: Ogata e Severo (1998)
1.2 Objetivo
1.2.1 Objetivo Geral
Objetivando avaliar o aprendizado dos conceitos ofertados na disciplina de
Modelagem de Sistemas Dinâmicos, o presente trabalho tem por objetivo linearizar e
modelar matematicamente um sistema não-linear, realizar sua simulação computacional
e comparar o modelo matemático linearizado com o modelo computacional não-linear.
Após a realização das comparações, será gerado um relatório contendo os passos
adotados para a realização do que foi proposto.
1.2.2 Objetivos Específicos
Tendo em vista o trabalho proposto, serão seguidos os seguintes passos para a
elaboração e execução da atividade:
• Modelagem matemática do sistema proposto;
• Definir as variáveis de estado e suas faixas de variação;
• Caracterização do modelo para aplicações de controle e adequação para simula-
ção;
• Comparativo entre modelos matemáticos e o modelo não-linear simulado;
• Geração de um descritivo analítico e sistemático.
2 Metodologia e Desenvolvimento
2.1 Processos Não-lineares, Por que Linearizá-los?
Processos não- lineares são desafiadores e,em muitas ocasiões, são complexos e
demandam muito estudo e recursos para que sejam modelados e assim serem analisados,
controlados, simulados, etc. Por este motivo, modelos lineares uma opção para que
sejam determinadas as nuances do processo de forma mais rápida e com menos recursos
exigidos. A variável de interesse em um sistema linear, possui termos linearmente
dependentes, ou seja, cada termo tem uma parcela de contribuição na variável de
interesse, já sistemas não lineares não possuem essa contribuição de forma clara e
direta. Por este motivos, linearizar sistemas não-lineares é, quase sempre, o principal
objetivo para que possa ser desenvolvido um modelo, pois através da linearização,
pode- se estudar o efeito de cada entrada na saída do sistema, de forma independente.
2.2 Vantagens de de Linearizar um Sistema
Sistemas reais são, normalmente, não-lineares. Como dito acima, este tipo de
sistema são complexos. Sistemas lineares, por sua vez, são conhecido por terem seu
processo de análise menos complexo. Por este motivo existem inúmeras ferramentas
para que um processo seja analisado, seja ele no domínio do tempo ou da frequência. E
quando se a possibilidade de analisar a contribuição de cada entrada, separadamente,
em uma determinada saída, é possível encontrar funções de transferência que são
utilizadas para que possa ser entendida a dinâmica do sistema e à partir disso realizar
o desenvolvimento de um controlador capaz de executar sua função de forma efetiva.
2.3 Representação em Espaço de Estados
A modelagem em espaço de estados possui diversas vantagens, entre elas:
• Modelagem de sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas;
• Possibilita que controladores sejam projetados;
• Representa sistemas não-lineares;
• Representa sistemas que variam no tempo;
• Manipula sistemas com condições iniciais não nula de forma adequada.
Para que se entenda melhor o conceito abordado, deve- se conhecer os termos
que são utilizados em uma representação por espaço de estados.
2.3.1 Estado
Em sistemas dinâmicos, seu estado está relacionado com um conjunto específico
de valores de suas varáveis de estado.Se conhecermos os valores destas variáveis onde
t=0,juntamente com a entrada para t t0, pode- se determinar o comportamento de
todo o sistema.
2.3.2 Variáveis de Estado
As variáveis de estado são as variáveis que influenciam na dinâmica de um
sistema. Estas variáveis são responsáveis por determinar o estado de um sistema
em um determinado tempo. Em outras palavras, uma variável de estado é capas
de determinar o comportamento atual do sistema, uma vez que são conhecidas as
entradas para aquele determinado momento.
2.3.3 Espaço de Estados
Espaço de estados é o termo utilizado para descrever o conjunto de que pode
representar todos os estados possíveis de um sistema,ou seja, qualquer estado pode
ser representado por um ponto no espaço de estados.
2.3.4 Matrizes do Sistema
As matrizes do sistema são responsáveis por determinar o comportamento de
um sistema em um determinado instante. Podem ser descritas por:
[ẋ] = A · x + B · u
y = C · x + D · u
Cada uma dessas matrizes A,B,C e D possuem uma função, quando se falar
em determinar o estado de um sistema.
2.3.4.1 Matriz A: Matriz de Estado
A matriz de estado A é a matriz que armazena os coeficientes relacionados às
variáveis de estado, ou seja, todas as variáveis que possuem contribuição com na saída
do sistema. Lembrando que a parcela correspondente à entrada do sistema é explicita
em outra matriz.
2.3.4.2 Matriz B: Matriz de Entrada
Esta matriz tem por finalidade agruparas os coeficientes de contribuição de
cada entrada do sistema.
2.3.4.3 Matriz C: Matriz de Saída
De forma análoga à matriz de entrada, a matriz de saída está relacionada co a
saída do sistema.
2.3.4.4 Matriz D: Matriz de Transição
Esta matriz representa a relação direta entre entrada e saída. Na grande
maioria das vez não há relação direta da entrada com a saída, por este motivo a matriz
D é normalmente zero.
Obter- se representação em espaço de estados de um sistema, é uma ferramenta
para que técnicas de controle avançado sejam aplicadas em sistemas não-lineares que
podem ser linearizados.
2.4 Modelagem do Processo
Modelagem de sistemas não lineares, obedece princípios necessários para o
entendimento da dinâmica do sistema e a abordagem a ser utilizada para que a
modelagem seja feita. Entre estes princípios estão a abordagem do problema, Leis de
conservação e relações constitutivas, balanços de energia, entre outros. Pelo fato do
sistema escolhido para este trabalho ser um sistema mecânico, onde envolve dinâmica
de fluidos, deve- se obedecer o princípio do balanço de massa entre os tanques. Ou
seja, o sistema está em equilíbrio quando a vazão de entrada é igual à vazão de saída
e não há alteração nos níveis dos tanques. A equação 2.1 define como é equacionado o
volume em um tanque comum:
A · ∂h
∂t
= qin − (a · k
√
2 · g · h) (2.1)
Onde:
A = Área transversal do tanque;
∂h
∂t
= Variação da altura do nível no tempo;
qin= Fluxo de entrada;
a · k= coeficiente de vazão da válvula;
√
2 · g · h= diferença de pressão à jusante e montante da válvula.
A diferença de pressão à jusante e montante da válvula pode ser melhor
explicada pela seguinte equação:
√
∆P =
√
((2 · g · h) + Patm)− Patm
A equação se dá desta forma, pois em um sistema de apenas um tanque, onde a
saída está aberta para a atmosfera, tem- se apenas a influência da pressão atmosférica,
enquanto do outro lado da válvula tem- se a presença da pressão atmosférica e a
pressão exercida pela coluna de líquido presente no tanque. No entanto as pressões
atmosféricas se anulam, restando apenas a pressão exercida pela coluna de líquido,
neste caso.
Para o sistema composto por dois tanques conectados por uma válvula e um
tubo, o balanço de massa pode ser expresso pelo seguinte conjunto de equações:
A1 ·
∂h1
∂t
= a1 ·K1 − (a2 · k2
√
2 · g · (h1− h2)) (2.2)
A2 ·
∂h2
∂t
= (a2 · k2
√
2 · g · (h1− h2))− (a3 · k3
√
2 · g · h2) (2.3)
2.5 Linearização do modelo
Para realizar a linearização do modelo, primeiramente é estabelecido o ponto
de equilíbrio do sistema. Este ponto é conhecido, no caso dos tanques interconectados,
quando a vazão de entrada se iguala à vazão de saída e os níveis nos dois tanques
permanecem constantes. Quando este estado é atingido, as equações 2.4 e 2.5 são
expressas da seguinte forma:
0 = a10 ·K1 − (a2 · k2
√
2 · g · (h10 − h20)) (2.4)
0 = (a2 · k2
√
2 · g · (h10 − h20))− (a3 · k3
√
2 · g · h20) (2.5)
Onde os índices com valor 10 e 20 representam os valores no ponto de equilíbrio.
Feito isso, inicia- se o processo de linearização atravéz da aplicação da expansão
da Série de Taylor truncada, pois sabe- se que ao traçarmos uma reta tangente à
um ponto em uma curva e calcularmos a derivada deste ponto, é possivel obter a
linearização do sistema ao redor daquele ponto, quando a variação é muito pequena.
Fazendo uso deste mecanismo matemático, serám realizada a linearização das
partes não lineares do sistema, para que em seguida seja realizada a modelagem
matemática em espaço de estados.
A expansão da Série de Taylor pode ser descrita por:
f(x, y) = f(x + ∆x, y + ∆y) + ∂x
∂t
|x0, y0 ·∆x +
∂y
∂t
|x0, y0 ·∆y (2.6)
Normalmente a série de taylor possui mais termos, mas estes termos serão
multiplicados pelas variações ∆x e ∆y elevados ao grau do seu termo (1,2,3..., n) e
como no caso da linearização consideram- se variações muito pequenas ao redor do
ponto de equilíbrio, estes termos tendem a zero.
Aplicada a expansão da série de Taylor em ambas as equações, obtemos o
seguinte conjunto de equações lineares:
A1 ·
∂h1
∂t
= K1 ·∆a1 −
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
∆h1 +
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
∆h2 (2.7)
A2 ·
∂h2
∂t
= a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
∆h1 − (
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
+ a3 · k3
√
2 · g√
h20
)∆h2 (2.8)
Para que seja facilitado o entendimento, as equações 2.7 e 2.8 podem ser
reescritas da seguinte forma:
ḣ1 =
1
A1
(K1 ·∆a1 −
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
∆h1 +
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
∆h2) (2.9)
ḣ2 =
1
A2
( a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
∆h1 − (
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
+ a3 · k3
√
2 · g√
h20
)∆h2) (2.10)
2.6 Modelagem matemática em espaço de estados
Para que a modelagem em espaço de estados seja realizada, primeiramente
deve- se especificar as variáveis de estado, que por vez serão:
x1 = h1
x2 = h2
E suas respectivas derivadas:
ẋ1 = ḣ1
ẋ2 = ḣ2
A variável de saída e a variável de entrada também devem ser determinadas:
u = [a1] e y = [h2]
As equações de balanço de massa, podem agora ser reescritas utilizando-se as
variáveis de estado:
ẋ1 =
1
A1
(K1 · a1 −
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
x1 +
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
x2) (2.11)
ẋ2 =
1
A2
( a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
x1 − (
a2 · k2
√
2 · g
2 ·
√
h10 − h20
+ a3 · k3
√
2 · g√
h20
)x2) (2.12)
Estabelecidas todas as variáveis, pode-se escrever as matrizes de estado no
formato:
[ẋ] = A · x + B · u
y = C · x
A =
(− a2·k2√2·g2·A1·√h10−h20 ) ( a2·k2√2·g2·A1·√h10−h20 )
( a2·k2
√
2·g
2·A1·
√
h10−h20
) ( a2·k2
√
2·g
2·A1·
√
h10−h20
)− a3·k3
√
2·g√
h20
)

B =
K1A1
0

C=
[
0 1
]
Fazendo o uso das matrizes de estado acima, utiliza-se de recursos computacio-
nais para observarmos a dinâmica do sistema quando aplicado um determinado sinal
na entrada do modelo.
Com o uso do software MATLAB c© e sua ferramenta Simulink c©, fez- se
uso das matrizes de estado para simular o sistema linearizado e matematicamente
modelado em espaço de estados. A figura 2 representa como o conjunto de tanques foi
aplicado no ambiente de simulação.
Figura 2 – Estrutura do modelo em espaço de estados aplicado em ambiente de
simulação
2.7 Modelagem computacional do modelo não-linear
O modelo não-linear foi embarcado em ambiente de simulação também utili-
zando a ferramenta Simulink c© e sua estrutura pode ser observada na figura 3
Figura 3 – Estrutura do modelo não- linear implementado no Simulink c©
3 Resultados e Discussões
Para validar o modelo em espaço de estados e compará- lo com o modelo
simulado, foram realizados três ensaios, onde o degrau aplicado na entrada após o
sistema ter sido modelado em torno do ponto de equilíbrio aos 28 segundos, obteve-
se os seguintes resultados apresentados nas 4, 5 e 6.
Figura 4 – Resposta do modelo quando aplicada uma variação de 5% do valor inicial
do fluxo de entrada.
Figura 5 – Resposta do modelo quando aplicada uma variação de 10% do valor inicial
do fluxo de entrada.
Figura 6 – Resposta do modelo quando aplicada uma variação de 20% do valor inicial
do fluxo de entrada.
3.1 Comparação entre modelos
Para compararmos em qual das situações o modelo se comporta de forma
mais fiel, foram comparadas as respostas nos três cenários, e os resultados podem ser
observados nas 7, 8 e 9.
Para a variação de Erro de 5%, houve uma diferença de 3.1 x 10−3 m3/s no
fluxo de saída do tanque 2, quando comparado o modelo não- linear com o modelo
representado por espaço de estados.
Figura 7 – Erro entre a resposta do modelo linearizado e o modelo não-linear quando
aplicada uma variação de 5% do valor do fluxo de entrada.
Já Para a variação de fluxo correspondente a 10% a mais na entrada, houve
uma diferença de 3.1 x 10−3 m3/s no fluxo de saída do tanque 2, quando comparados
os modelos não- linear e o modelo representado por espaço de estados.
Para finalizar, com uma variação 20% a mais no fluxo de entrada, houve uma
diferença de 6.3 x 10−3 m3/s no fluxo de saída do tanque 2, quando comparadoo
modelo não- linear com o modelo representado por espaço de estados.
Figura 8 – Erro entre a resposta do modelo linearizado e o modelo não-linear quando
aplicada uma variação de 10% do valor do fluxo de entrada.
Figura 9 – Erro entre a resposta do modelo linearizado e o modelo não-linear quando
aplicada uma variação de 20% do valor do fluxo de entrada.
4 Conclusão
Tendo em vista os resultados obtidos com as simulações, conclui- se que o
modelo do sistema representado pelas matrizes de espaço de estados, retornam bons
resultados quando a variação na variável de entrada é pequena, ou seja, como o sistema
foi modelado para trabalhar em uma determinada região de operação, é esperado
que quanto mais longe daquela região o ponto de operação está, mais divergente do
esperado será a resposta do sistema.
Referências
OGATA, K.; SEVERO, B. Engenharia de controle moderno. [S.l.]: Prentice Hall do
Brasil, 1998.
ANEXO A – Código de plotagem e
comparação de resultados
15/08/20 23:36 C:\Users\robso\...\Trabalho_Modelagem.m 1 of 1
 
 
nivel_naolinear=altura1'; %Altura de Nível Modelo Fenomenológico não 
Linearizado
nivel_linear=altura2'; %Altura de Nível Modelo Matemático Linearizado 
com G(s)
t=0:0.1:60; %Definição do eixo do tempo
t2=30:0.05:60; %Definição do eixo do tempo - Nova origem
H0=nivel_naolinear(300); %Altura do nível no ponto de Equilíbrio
vetor1=ones(1,601); %Vetor de numeros 1 para criar deslocamento de 
origem 
vetorH0=H0.*vetor1; %Vetor com H0 em todas as posições
soma= vetorH0+nivel_linear; %Obtenção do valor real de nível tendo nova 
origem como referencia
 
figure(),
subplot(2,1,1)
plot (t,nivel_naolinear); %Plot Altura do Nível em resposta à ateração de 
Fluxo 1
hold on
plot (t2,soma,'--','linewidth',2); %Plot do modelo linearizado
plot(t,fluxoIn1,t,fluxoOut1);
xlabel('Tempo')
ylabel('Nivel do Tanque e Vazões de Entrada/ Saída')
legend({'Nivel do tanque modelo não linear', 'Nivel do tanque modelo 
linearizado','Fluxo de Entrada', 'Fluxo de Saida'},'Location', 'Southeast')
subplot(2,1,2)
plot(t2,soma,'r'), xlabel('Tempo'), ylabel('Nível'), axis([30 t2(end) 0.5 max
([soma])*1.2]);
hold on
plot (t,nivel_naolinear);
legend({'Nivel do tanque modelo não linear', 'Nivel do tanque modelo 
linearizado','Fluxo de Entrada', 'Fluxo de Saida'},'Location', 'Southeast')
 
 
ANEXO B – Definição de variáveis para
simulação
15/08/20 23:35 C:\Users\robs...\definicao_variaveis.m 1 of 1
 
A1=1; %Área do Tanque 1
A2=1; %Área do Tanque 1
a=0.4; %Área transversal da válvula de entrada
Cd=0.7;
a2=0.4; %Área transversal da válvula que interliga os tanques 1 e 2
Cd2=0.7;
a3=0.4; %Área transversal da válvula de saída do sistema
Cd3=0.7;
g=9.8; %Gravidade
h10=1.3 %Altura do nível do tanque 1 quando em equilíbrio
h20=0.6503 %Altura do nível do tanque 2 quando em equilíbrio
 
alfa = a2*Cd2*sqrt(2*g)
beta = a3*Cd3*sqrt(2*g)
 
A = [((-alfa)/2*A1*sqrt(h10-h20)) 0 (alfa/2*A1*sqrt(h10-h20)) 0;
 0 0 0 0;
 (alfa/2*A2*sqrt(h10-h20)) 0 ((-alfa)/2*A2*sqrt(h10-h20)+((-beta)/2*A2*sqrt
(h20))) 0;
 0 0 0 0] %Matriz A espaço de estados
B = [(Cd/A1);0;0;0] %Matriz B espaço de estados
C = [0,0,1,0] %Matriz C espaço de estados
D = [0,0,0,0] %Matriz D espaço de estados
 
	Sumário
	INTRODUÇÃO
	Problema Proposto
	Objetivo
	Objetivo Geral
	Objetivos Específicos
	Metodologia e Desenvolvimento
	Processos Não-lineares, Por que Linearizá-los?
	Vantagens de de Linearizar um Sistema
	Representação em Espaço de Estados
	Estado
	Variáveis de Estado
	Espaço de Estados
	Matrizes do Sistema
	Matriz A: Matriz de Estado
	Matriz B: Matriz de Entrada
	Matriz C: Matriz de Saída
	Matriz D: Matriz de Transição
	Modelagem do Processo
	Linearização do modelo
	Modelagem matemática em espaço de estados
	Modelagem computacional do modelo não-linear
	Resultados e Discussões
	Comparação entre modelos
	Conclusão
	Referências
	 Código de plotagem e comparação de resultados
	 Definição de variáveis para simulação