Slides - Matemática Discreta V

Prévia do material em texto

Aula 5
• Contagem (Combinatória)
– Combinações simples
– Exercícios
• Exemplo
– Conjunto com 5 estudantes { Ana, Bruno, Carlos, Diana, Edna }
A. Montar chapa (Presidente, Vice-presidente, Secretário) para o grêmio
• Seleção sem repetição
• A ordem influi: ABC é uma chapa; BAC é outra chapa
• Solução: arranjos de 5 tomados 3
Combinações Simples
Resp.: �
3
5
= 5 × 4 × 3 = �� chapas distintas
• Exemplo
– Conjunto com 5 estudantes { Ana, Bruno, Carlos, Diana, Edna }
B. Selecionar 3 alunos para representar a faculdade em uma gincana de 
Matemática Discreta. Quantas equipes podem ser formadas?
• Seleção sem repetição
• A ordem NÃO influi: ABC e BAC são a mesma equipe.
• Solução: combinações de 5 tomados 3 
Combinações Simples
Notação: 	
�
 ou 	 �, 
• Exemplo
– E = { A, B, C, D, E }. Selecionar uma equipe com 3 alunos.
Vamos enumerar os 60 arranjos:
Combinações Simples
Com ABC: Com ABD: Com ABE:
ABE
AEB 
BAE
BEA
EAB
EBA
3! arranjos
Com ACD:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
6 arranjos
ABD
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
6 arranjos
Com ACE:
Com BCD:
Com BCE:
Com BDE:
Com CDE:
Com ADE:
Cada combinação “está relacionada” 
a um grupo de 3! arranjos contendo 
os mesmos alunos.
Número de combinações (grupos):
60 / 3!
• Exemplo
– E = { A, B, C, D, E }. Selecionar uma equipe com 3 alunos.
Vamos dividir os 60 arranjos em grupos de 3! arranjos (grupos com 
os mesmos alunos). Quantos grupos (combinações) existem?
Resp.:
Combinações Simples
C
3
5
 = 
�
�
�
�!
= 
��
�
= 10 combinações 
• Exemplo
– E = { A, B, C, D, E }. Selecionar uma equipe com 3 alunos.
Vamos calcular de outra forma?
Resp.:
Combinações Simples
C
3
5
 = 
�
�
�
�!
= 
�!
�! 
⋅
�
�! 
= 
�×�× �! 
� ⋅ �! 
= 
��
�
= 10 combinações 
• Caso geral
– n objetos distintos
– Selecionar r objetos, sem repetição
– A ordem NÃO influi
– Combinações de n tomados r
Combinações Simples
C
�
�
 = 
�
�
�
�!
= 
�!
(�!")! ⋅ "!
• Exemplo
28) De um grupo de 5 pessoas, quantas equipes com 3 componentes podem ser 
formadas?
Resp.: já utilizamos a fórmula
Combinações Simples
C
3
5
 = 
�
�
�
�!
= 
�!
�! ⋅ �!
= 
�×�× �! 
� ⋅ �! 
= 
��
�
= 10 combinações 
• Exemplo
29) De um grupo de 11 homens e 8 mulheres, queremos formar um júri com 4 
membros. De quantas formas distintas o júri pode ser formado?
Resp.:
Combinações Simples
C
4
19
 =
�&!
��! ⋅�!
= 
�&×�'×�(×��× ��! 
� ⋅ � ⋅ � ⋅ ��! 
= 19 × 6 × 17 × 2 combinações 
Obs.: nas Notas de Aula as simplificações foram diferentes
• Exemplo
30) Grupo de 11 homens e 8 mulheres, júri com 4 membros. De quantas formas 
distintas o júri pode ser formado somente com membros do mesmo sexo?
Resp.:
Combinações Simples
C
4
11
 = 
��!
(! ⋅�!
+ 
'!
�! ⋅�!
= 
��×��×&×'× (! 
� ⋅ � ⋅ � ⋅ (! 
+
'×(×�×�× �! 
� ⋅ � ⋅ � ⋅ �! 
= 11 × 10 × 3
C
4
8
+
+ 7 × 2 × 5 combinações 
• Exemplo
31) Grupo de 11 homens e 8 mulheres, júri com 4 membros. De quantas formas 
distintas o júri pode ser formado contendo metade de cada sexo?
Resp.:
Combinações Simples
C
2
11
 = 
11!
9! ⋅ 2!
×
8!
6! ⋅ 2!
= 
��×��× &! 
� ⋅ &! 
×
'×(× �! 
� ⋅ �! 
= 11 × 5
C
2
8
×
 × 4 × 7 combinações 
• Exemplo
32) Grupo de 11 homens e 8 mulheres, júri com 4 membros. De quantas formas 
distintas o júri pode ser formado contendo mais homens do que mulheres?
Resp.:
Combinações Simples
C
3
11
 = 
��!
'! ⋅�!
 ×
'!
(! ⋅�!
= 
��×��×&× '! 
� ⋅ � ⋅ '! 
×
'× (! 
� ⋅ (! 
C
1
8
×
= 11 × 5 × 3 × 8 + 11 × 10 × 3 combinações 
C
4
11
 = 
11!
7! ⋅ 4!
= 11 × 10 × 3C
0
8
×
ou
• Vamos trabalhar?
33) Gisele tem 12 amigos, mas ela só pode convidar 6 deles para a sua festa. De 
quantas formas distintas ele pode formar a lista de convidados?
34) Imagine que, dentre os 12 amigos de Gisele, 2 não se falam, e ela não pode 
convidar ambos. De quantas formas distintas ele pode formar a lista de 
convidados sem que ambos estejam presentes?
35) Imagine que exista um casal entre os 12 amigos de Gisele, e ela não pode 
convidar um deles apenas. De quantas formas distintas ele pode formar a 
lista de convidados com esta restrição?
Combinações Simples
Contagem
• Exercícios - AVA
– MATERIAL DIDÁTICO
• Notas de Aula MatDisc – Exercícios 33) a 35)
– ATIVIDADES
• Exercícios MatDisc - Contagem; 29) a 47)
– MIDIATECA
• Exercícios de Arranjos, Combinações e Permutações; 9) a 33)
Obrigado!