Plano de Aula Carol - Volume de poliedros

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ
Faculdade de Educação da Baixa Fluminense - FEBF
Curso: Licenciatura em Matemática
 Carolina Lima dos Santos 
 Matrícula: 201510197611
Plano de aula Estágio IV
Volume dos Poliedros
- Sólidos Geométricos
 	É uma região do espaço limitada por uma superfície fechada. E há dois tipos de sólidos geométricos: Os poliedros e os não poliedros. 
- Poliedros 
 	É um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de polígonos planos chamados faces. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices.
Exemplos: 
- Volume
 	A noção de volume de um sólido está relacionada ao espaço por ele ocupado. 
O volume de um sólido é um número real positivo associado aos sólidos de forma que:
· sólidos congruentes têm volumes iguais.
· se um sólido S é a reunião de dois sólidos S1 e S2 que não têm pontos internos comuns, então o volume de S é a soma dos volumes de S1 e S2.
Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³), mas temos as conversões de unidades e a unidade de medida padrão de capacidade é o litro.
- Cubo
Mostrar aplicação no Geogebra
Então para calcular o volume de um cubo, fazemos Ab.h ou então a³
- Paralelepipedo
Mostrar aplicação no Geogebra
Então para calcular o volume de um cubo, fazemos Ab.h 
 	Para seguir na determinação do volume precisamos de uma ferramenta adicional que nos ajudará, reduzindo os argumentos na obtenção das fórmulas para alguns sólidos: o Princípio de Cavalieri. E antes de enunciar o Princípio de Cavalieri podemos usar uma pilha de cartas de baralho para formar um bloco retangular. Podemos também inclinar esse bloco obliquamente e transformar o bloco retângulo em oblíquo ou, pode-se moldar sólidos de formatos bem diferentes. O estudante, nessas comparações, pode perceber a ideia que esse princípio traz, onde o volume de alguns sólidos mais diferentes pode ser calculado comparando-os com o volume de sólidos mais simples de mesma base e de mesma altura, porém mais fáceis de serem calculados. 
Essa é a intuição que conduz o Princípio de Cavalieri. Cada carta, são fatias de mesma área que estão na mesma altura nos três sólidos, portanto, formam sólidos diferentes, mas com mesmo volume. 
- Princípio de Cavalieri
Dados dois sólidos geométricos A e B de mesma altura e áreas das bases, que, por sua vez, estão contidas no mesmo plano α. Os sólidos A e B têm o mesmo volume se qualquer plano β, paralelo a α, determinar duas secções transversais com áreas iguais. 
Dessa maneira, o princípio de Cavalieri pode ser usado também para sólidos completamente diferentes, mas que possuem mesma altura, bases com áreas iguais e que qualquer corte realizado nos dois por um mesmo plano resulte em figuras com áreas iguais. 
- Prisma 
 	Como todo prisma é formado por duas figuras paralelas e iguais chamadas bases e por arestas paralelas e iguais, que ligam essas bases, o seu volume pode ser facilmente calculado pelo Princípio de Cavalieri usando, para comparação nas congruências das áreas das bases, o bloco retangular do qual já sabemos calcular o volume.
 	Assim, seja um prisma P de altura h, possuindo como base um polígono de área A contida em um plano horizontal α. Contamos com um bloco retangular com base em α, com altura h onde sua base seja um retângulo de área A. Supondo um plano paralelo a α, corte os prismas em secções de áreas A1 no prisma P e A2 no bloco retangular. Como sabemos que A2 é congruente a A, e as secções têm áreas iguais então A1 = A = A2. Pelo Princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm mesmo volume. Como o volume V do bloco retangular é dado por V = Ab.h, o volume do prisma é também o produto da área da base pela altura. Vprisma = Ab.h
Então vemos que podemos calcular o volume de um prisma qualquer através da formula v= Ab.h
- PIRÂMIDE 
Vamos partir de um cubo, e de um mesmo vértice traçar as diagonais de cada face e a diagonal do cubo. Logo o cubo vai ser dividido em 3 pirâmides, e as três pirâmides são idênticas, logo elas têm o mesmo volume. Como o volume do cubo é Ab.h, o volume de cada pirâmide de base quadrada será 
A partir de material concreto provamos também que o volume de uma pirâmide triangular é um terço do produto da área da base pela altura.
T2 e T3 tem a mesma área da base e mesma altura. Logo, seus volumes são iguais. 
T1 e T2 tem a mesma área da base e mesma altura. Logo, seus volumes são iguais. 
- Uma pirâmide qualquer pode ser dividida em pirâmides triangulares, onde a base dessa pirâmide é dividida em triângulos justapostos por meio de diagonais e definindo cada plano de divisão da pirâmide por uma dessas diagonais da base e pelo vértice da pirâmide 
Supondo que a pirâmide tenha altura h e a área da base A, foi dividida em n triângulos de áreas A1, A2, ..., An Como o volume da pirâmide é a soma dos volumes das pirâmides triangulares, temos que o volume é: V = 1/3A1h + 1/3A2h + ... + 1/3Anh = 1/3 (A1 + A2 + ... + An)h = 1/3 Ah.
 Assim, fica estabelecido que o volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura. V = 
Exercícios
1)Os papiros mostram que os egípcios antigos possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída por volta de 2560 a.C., tem uma altura aproximada de 140 metros e sua base é um quadrado com lados medindo aproximadamente 230 metros. Logo, o volume da pirâmide de Quéops é de aproximadamente (em milhões de metros cúbicos):
a) 1,2
b) 2,5
c) 5
d) 7,5
e) 15
2)Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade. Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários:
a) 40 min
b) 240 min 
c) 400 min
d) 480 min
V= a.b.c
V= 8 . 5 . 1,2
V= 48 metros cúbicos
II) 1 metro cubico ------- 1000 litro
48 metros cubicos --- Y
y= 48000 litros
III) 2 litros ----------- 1 segundo 
48000 litros --------- T
2T = 48000
T = 24000 segundos
1 minuto --- 60 s
z minutos -- 24000 
z = 400 min 
Referências:
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/principio-cavalieri.htm
https://www.infoescola.com/matematica/volume-de-solidos-geometricos/exercicios/
http://blogmatematicarlos.blogspot.com/2013/12/volume-paralelepipedo.html
http://sequeciast229.blogspot.com/p/solidos-geometricos.html