Relatório 7 - Interferômetro de Michelson: Medida de λ e do Índice de Refração de Gases

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
Instituto de Física 
 
 
 
 
 
 
Davi Meneses 
Laryssa Ferro 
Mateus Gerolineto 
 
 
 
 
 
 
 
Interferômetro de Michelson: Medida de λ 
e do Índice de 
Refração de Gases 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia 
2020 
Resumo 
 
Neste trabalho utilizamos um interferômetro de Michelson para calcular o índice de refração do 
ar e o comprimento de onda de um laser de He-Ne. A luz que sai de uma fonte e passa pelo 
interferômetro de Michelson gera um padrão de interferência da forma de círculos concêntricos, 
ao girar o parafuso do micrometro a diferença de fase das luzes incidentes variam gerando 
interferências construtivas e destrutivas no centro do padrão de interferência. Realizando a 
contagem de 500 variações foi calculado o comprimento de onda do laser. Utilizando o aparato e 
uma cubeta com uma bomba de vácuo mediu-se o índice de refração do ar de acordo com a 
pressão. Ao fim do experimento chegamos ao valor do comprimento de onda 𝜆 =
(510 ± 4) 𝑛𝑚 e do índice de refração do ar 𝑛(1013,25 ) = 1,00027. 
 
Palavras-chaves: Comprimento de Onda, Índice de Refração, Laser 
 
1) Introdução 
O objetivo central deste experimento é medir o comprimento de onda de um laser 
de He-Ne e o índice de refração de gases usando o interferômetro de Michelson. 
 
1.1) Interferência de ondas 
O efeito de interferência é uma característica da natureza ondulatória associada à 
superposição das ondas. Thomas Young, em 1801 demonstrou esse efeito utilizando uma 
fonte puntiforme de luz F (Figura 1) para iluminar um anteparo opaco A, onde haviam dois 
buracos de alfinete P1 e P2 muito próximos entre si e observou o resultado sobre outro 
anteparo O, cada ponto P do qual é atingido por dois caminhos diferentes 1 (P1P) e 2 (P2P ). 
O experimento resulta em franjas brilhantes e escuras (franjas de interferência - Figura 2 ) 
ao invés da soma das iluminações dos dois orifícios 
 
Figura 1: Experimento de Young. 
 
 
Figura 2: Desenho original de Young sobre as franjas de interferência na superfície da 
água. 
Consideremos a superposição de duas ondas progressivas harmônicas de mesma 
frequência e que se propagam no mesmo sentido. Sejam: 
𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝐴1𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿1) (1) 
 
𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴2𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿2) (2) 
 
 A onda resultante é dada por: 
 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿) (3) 
 
𝐴2 = 𝐴1
2 + 𝐴2
2 (4) 
 
𝛿 = 𝛿1 − 𝛿2 (5) 
Para ondas de mesma frequência, a intensidade de cada onda é proporcional ao quadrado 
de sua amplitude, Ii α 𝐴𝑖
2com a mesma constante de proporcionalidade, de modo que, chamando 
de I1 e I2 as intensidades das componentes e I a da resultante, a Equação (4) resulta em: 
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2√𝐼1𝐼2 𝑐𝑜𝑠𝛿 (6) 
Portanto, a superposição de duas ondas harmônicas progressivas que se propagam na 
mesma direção e sentido é outra onda do mesmo tipo, mas a intensidade da resultante é dada pela 
Equação (6) que, por sua vez, geralmente é diferente da soma das intensidades das componentes, 
dependendo da diferença de fase entre elas. 
1.2 Interferômetro de Michelson 
A palavra laser é uma derivação das iniciais da expressão em inglês light amplification 
by stimulated emission of radiation (‘amplificação da luz pela emissão estimulada da radiação’). 
O laser é uma fonte de luz que produz um feixe de luz altamente coerente e quase totalmente 
monocromático em virtude da emissão cooperativa de diversos átomos. No interferômetro de 
Michelson, Figura 3, a luz do laser (S) é dividida em dois feixes por um espelho de vidro semi-
prateado num ângulo de 45°. Então estes feixes são refletidos por dois espelhos (P1 e P2) passando 
novamente através do espelho semi-prateado para produzir o fenômeno da interferência, cujo 
padrão é da forma de círculos concêntricos em um anteparo (D), conforme mostra a Figura 4. 
 
Figura 3: Esquema do interferômetro de Michelson 
 
Figura 4: Padrão de interferência. O padrão circular pode ser entendido através da Figura 
 
Figura 5: Demonstração da formação do padrãode interferência 
No esquema ilustrado pela Figura 5, o espelho real (P2) foi substituído por um espelho 
virtual (M2) formado pela reflexão no espelho semi-prateado. Assim, M2 é paralelo a M1 ≡ P1. 
Devido a várias reflexões, num interferômetro real podemos supor a fonte de luz como estando 
atrás do observador L e formando duas imagens L1 e L2 nos espelhos M1 e M2. Se d é a separação 
entre M1 e M2, as fontes virtuais estarão separadas de 2d. Pela Figura 5, a diferença de caminho 
é: 
∆𝑟 = 2𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 (7) 
Na interferência destrutiva devemos ter y = 0 na Equação (3). Ao fazermos y(∆r, 0) = 0, 
ou seja, sin(k∆r + 𝛿) = 0 em um instante de tempo fixo t (arbitrariamente escolhido como t = 0, 
sem perda de generalidade) encontramos: 
|𝛿| = 𝑘∆𝑟 =
2𝜋
𝜆
2𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 (8) 
Para um dado feixe que foi dividido em dois, a intensidade não é alterada, de tal sorte que temos, 
na Equação (6), I2 = I1, ou seja: 
𝐼 = 2𝐼1(1 + 𝑐𝑜𝑠𝛿) → 𝐼 = 4𝐼1𝑐𝑜𝑠
2(𝛿/2) (9) 
Onde I é a intensidade da onda resultante e I1 a intensidade do feixe original. Observamos 
que a intensidade I é máxima (interferência construtiva) para valores de 𝛿 que sejam múltiplos 
inteiros de 2𝜋, ou seja, pela Equação (8) temos a condição de interferência construtiva, 
2𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜆𝑚 , 𝑐𝑜𝑚 𝑚 ∈ 𝑁 (10) 
Isolando d da Equação (10) e como |cos𝜃| < 1, a menor distância dmin que pode ser medida com 
um interferômetro de Michelson ocorre para 𝜃 = 0° e m = 1, ou seja, 
𝑑𝑚𝑖𝑛 =
𝜆
2
 (11) 
1.3) Índice de refração de gases 
Uma das aplicações para o interferômetro de Michelson é a medição de índices de 
refração de gases através da pressão do gás que varia pelo intermédio de uma cubeta de 
comprimento s e é colocada no caminho do feixe do laser. A velocidade de propagação de um 
feixe de luz em um meio depende do índice de refração desse meio, o índice de refração do gás 
depende da pressão, assim a pressão influencia na propagação da luz no gás. O índice de refração 
n de um gás é linearmente dependente da pressão p a que ele está submetido: 
𝑛(𝑝) = 𝑛(0) +
∆𝑛
∆𝑝
𝑝 (12) 
Onde n(0) = 1, logo: 
∆𝑛
∆𝑝
=
𝑛(𝑝 + ∆𝑝) − 𝑛(𝑝)
∆𝑝
 (13) 
A velocidade da luz em um meio com índice de refração n é dada por v = c/n, onde c é a 
velocidade da luz no vácuo. Com isso, o tempo que uma frente de onda luminosa leva para 
percorrer uma certa distância d nesse meio é t = d/v = nd/c. O produto nd é denominado caminho 
ótico associado ao percurso. Assim, o caminho ótico para o feixe que passa pela cubeta de 
comprimento s é dado por: 
𝑥 = 𝑛(𝑝)𝑠 (14) 
Se a pressão no recipiente for variada de deltap, este caminho ótico sofrerá uma variação 
equivalente a: 
∆𝑥 = 𝑛(𝑝 + ∆𝑝)𝑠 − 𝑛(𝑝)𝑠 (15) 
Com uma pressão inicial ambiente p0 e diminuindo-se a pressão até um valor p, 
observasse que o padrão de interferência com o centro escuro, por exemplo, se repetirá N vezes, 
onde cada mudança de mínimo (escuro-claro-escuro) corresponde a variação de um comprimento 
de onda 𝜆 no caminho ótico. Assim, a variação do caminho ótico entre p e p + ∆p é dada por: 
∆𝑥 = [𝑁(𝑝) − 𝑁(𝑝 − ∆𝑝)𝑠] 𝜆 (16) 
Como o feixe de luz atravessa duas vezes a cubeta, igualando as Equações (15) e (16), a 
variação do índice de refração será dada por: 
𝑛(𝑝 + ∆𝑝) − 𝑛(𝑝) = [𝑁(𝑝) − 𝑁(𝑝 − ∆𝑝)𝑠] 
𝜆
2𝑠
 (17) 
ou pela Equação (13), 
∆𝑛
∆𝑝
= −
∆𝑁
∆𝑝
 
𝜆
2𝑠
 (18) 
Na qual quantidade ∆N/∆p pode ser determinada a partir do gráfico entre o número de 
variações do padrão de interferência versus a pressão: 
∆𝑁 = [
∆𝑁
∆𝑝
] ∆𝑝 (19) 
Assim, pode-se determinaro índice de refração n a partir das Equações (12) e (18). 
2) Procedimento Experimental 
2.1) Medida do comprimento de onda do laser 
O aparato experimental utilizado neste experimento é mostrado na figura 6. Consistindo 
de um interferômetro de Michelson, um laser de He-Ne, uma lente de 20 mm de foco, uma cubeta 
de 10mm comprimento, uma bomba de vácuo manual com manômetro e um anteparo. 
 
Figura 6: Aparato experimental utilizado na medida do comprimento de onda. 
Primeiramente o laser é ligado e estabilizado por cerca de 10 min. Caso dois pontos sejam 
observados, deve-se ajustar os espelhos do interferômetro girando os parafusos existentes atrás 
de cada espelho até que estes dois pontos coincidam. A posição da lente é ajustada entre o laser e 
o interferômetro para que os dois pontos no anteparo fiquem mais largos e um padrão de 
interferência na forma de circular seja observado no anteparo, por último reajuste cuidadosamente 
os parafusos atrás dos espelhos até que um padrão na forma de anéis concêntricos apareça no 
anteparo. 
Para medir o comprimento de onda, o parafuso do micrômetro deve ser girado para 
qualquer posição inicial (de preferência mais próxima do zero) na qual o centro do padrão de 
interferência no anteparo seja um círculo escuro. O parafuso deve ser agora girado sempre em um 
mesmo sentido e a contagem deve ser feita a cada vez que o centro do padrão de interferência 
ficar escuro (ou claro se você começar a contagem com ele claro), fazendo no mínimo 500 
contagens. 
Caso o ponto central do padrão de interferência se mova saindo de sua posição inicial, 
deve-se reajustar o mesmo girando os parafusos existentes atrás de um dos espelhos. A contagem 
neste caso deve ser reiniciada. A distância (d) percorrida pelo espelho deve ser lida no parafuso 
do micrometro e o resultado deve ser dividido por 10. Utilizando a equação (1) e o valor de d com 
m = número de contagens e θ = 0° para calcular o comprimento de onda do laser de He-Ne. 
 
2.2) Medida do índice de refração do ar 
Para determinar o índice de refração de gases é colocado uma cubeta de comprimento s 
para o caminho do feixe do laser, próxima ao espelho fixo. Ajustando o interferômetro e a lente 
para obter um padrão de círculos concêntricos. Iniciando da pressão ambiente (po = 1013,25 mbar) 
diminua a pressão usando a bomba de vácuo anotando o número de mínimos que chegam ao 
centro do padrão de interferência (número de períodos). Anotando em uma tabela o número de 
períodos (N) em função da pressão (p). Nota-se que o valor p que você está medindo o decréscimo 
sofrido pela pressão ambiente dentro da cubeta. Fazendo as medidas para N variando de 1 até 7. 
 
 
 
3) Resultados e Discussões 
3.1) Medida do comprimento de onda do laser 
Os valores obtidos para a distância percorrida pelo espelho até parafuso do micrometro, 
seguidamente divididos por 10, são: 
D1 = (0,1620 ±0,0005) mm 
D2 = (0,1535 ±0,0005) mm 
D3 = (0,1470 ±0,0005) mm 
D4 = (0,1670 ±0,0005) mm 
A média das distâncias é de (0,1574 ± 0,0005) mm. Utilizando m = 500. e aplicando a 
seguinte equação: 
2𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚 𝜆 
 Podemos calcular o Comprimento de onda do laser Hélio-neônio: 
2.0,1574.1 = 500. 𝜆 
𝜆 = (510 ± 4) 𝑛𝑚 
 
O laser hélio-neônio (He-Ne) possui um comprimento de onda de 632,8 nm, e a medida do 
comprimento de onda calculado fora muito próximo do valor real 
 
3.2) Medida do índice de refração do ar 
 
Utilizando uma cubeta (s) de 10mm comprimento, e adotando o comprimento de onda 
real do laser hélio-neônio (HeNe) de 632,8 nm. O úmero de períodos, chamado de N, varia de 1 
até 7. Vale ressaltar que existe a margem de erro de 10 mbar em todas a medidas de Decréscimo 
da pressão. A seguinte tabela Expõem os dados obtidos no experimento. 
 
Número de 
períodos 
Decréscimo 
da pressão 
(mbar) 
Decréscimo 
da pressão 
(mbar) 
Decréscimo 
da pressão 
(mbar) 
Decréscimo 
da pressão 
(mbar) 
Média do 
Decréscimo da 
pressão (mbar) 
1 117 120 120 119 119 
2 220 240 240 233 233,25 
3 337 341 360 346 346 
4 460 480 495 478 478,25 
5 578 595 600 591 591 
6 715 720 720 718 718,25 
7 822 840 825 829 829 
Tabela 1: Decréscimo da pressão obtidos, a média desses decréscimos e o período elativo. 
Aplica-se uma regressão linear utilizando o número de períodos no eixo das ordenadas e 
a média Decréscimo da pressão no eixo das abcissas. A equação referente a regressão é: 
∆𝑛
∆𝑝
= −
∆𝑁
∆𝑝
 
𝜆
2𝑠
 
Onde o coeficiente linear é assumido zero e a taxa de varição é o termo: −
∆𝑁
∆𝑝
 
 
Gráfico 1: Relação de Número de períodos por média do decrèscimo da pressão 
É obtido a partir da regressão linear: −
∆𝑁
∆𝑝
= 0,008431 (𝑚𝑏𝑎𝑟)−1 
Substituindo os valores para−
∆𝑁
∆𝑝
 , 𝜆 e sabendo que a distância s = 10 𝑚𝑚, na seguinte equação: 
 
∆𝑛
∆𝑝
= −
∆𝑁
∆𝑝
 
𝜆
2𝑠
 
∆𝑛
∆𝑝
= 0,008430948.
632,8.10−6
2.10
 
∆𝑛
∆𝑝
= 2,667.10−7 (𝑚𝑏𝑎𝑟)−1 
Utilizando a equação: 
𝑛(𝑝) = 𝑛(0) +
∆𝑛
∆𝑝
. 𝑝 
Onde o índice de refração 𝑛(0) = 1, em que a pressão ambiente (p) é de 1013,25 mbar, logo: 
𝑛(1013,25 ) = 1 + 2,667.10−7. 1013,25 
𝑛(1013,25 ) = 1,00027 
O índice de refração do arcalculado foi de 1,000267 a uma pressão de 1013,25 mbar. Um valor 
bastante próximo para o índice de refração real do ar, que na CNTP possui o valor de 1,00029. 
 
Conclusão 
O objetivo deste experimento é medir o comprimento de onda de um laser de He-Ne e o 
índice de refração de gases usando-se o interferômetro de Michelson. No qual fora obtido o valor 
𝜆 = (510 ± 4) 𝑛𝑚. Uma margem de erro de 19,41% em relação ao comprimento de onda real do 
laser hélio-neônio (He-Ne) de 632,8 nm. 
Na segunda parte do experimento é utilizada uma das várias aplicações do interferômetro 
de Michelson, a medida de índices de refração através da variação da pressão do gás. Medindo-
se o índice de refração de uma cubeta de comprimento s colocada no caminho do feixe do laser 
próxima ao espelho fixo, onde foi obtido um índice de refração de 1,000267 a uma pressão de 
1013,25 mbar. Possuindo um erro de 7,93% em relação ao valor tabelado de 1,00029 para o índice 
de refração do ar na CNTP. 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
N
ú
m
e
ro
 d
e
 p
e
rí
o
d
o
s
Média do Decréscimo da pressão (mbar)
 
Resolução das Questões Propostas: 
 
 1) O caminho ótico segue o princípio de Farmat, explicando aspectos que determinam a 
trajetória de um feixe luminoso "A trajetória percorrida pela luz ao propagar-se de um ponto a 
outro é tal que o tempo gasto para percorrê-la é estacionário a respeito das possíveis variações de 
trajetória.". Com o princípio de Fermat é possível deduzir a Lei de Snell. Já óptica geométrica se 
preocupa em analisar a trajetória da propagação da luz, por princípios da independência dos raios 
luminosos, da reversibilidade dos raios luminosos, da propagação retilínea dos raios luminosos. 
Ambas são focadas em explicar a trajetória de um feixe luminoso, mas cada uma foca em 
fenômenos diferentes. 
2) O raio laser é um tipo de radiação eletromagnética visível ao olho humano. Laser é 
uma palavra que é formada a partir das palavras light amplification by stimulated emission of 
radiation, que juntas significam “amplificação da luz por emissão estimulada por radiação”. O 
laser possui com ass principais características ser monocromático, coerente, direcional e de alta 
intensidade. 
 
3) A mistura dos gases hélio e neon, na proporção de aproximadamente 9: 1, contidos a 
baixa pressão em um envelope de vidro. A mistura de gases é principalmente de hélio, de modo 
que os átomos de hélio podem ser excitados. Os átomos de hélio excitados colidem com átomos 
de néon, levando alguns deles ao estado que irradia 632,8 nm. 
 
 
Figura 7: Diagrama esquemático de um laser de hélio-néon 
 
O mecanismo que produz inversão e amplificação de luz em um plasma de laser He-Ne 
se origina com a colisão inelásticade elétrons energéticos com átomos de hélio no estado 
fundamental na mistura de gases. Conforme mostrado no diagrama de nível de energia que 
acompanha, essas colisões excitam átomos de hélio do estado fundamental para estados excitados 
de alta energia, entre eles o 23S1 e 21S0 (acoplamento LS, ou Russell-Saunder, número frontal 2 
indica que um elétron excitado está n = 2 estado) são estados metaestáveis de longa duração. Por 
causa de uma quase coincidência fortuita entre os níveis de energia dos dois estados metaestáveis 
de He e os níveis de néon 5s2 e 4s2 (notação Paschen), as colisões entre esses átomos metastáveis 
de hélio e os átomos de néon do estado fundamental resultam em uma transferência seletiva e 
eficiente de energia de excitação do hélio ao néon. Este processo de transferência de energia de 
excitação é dado pelas equações de reação: 
 
He*(23S1) + Ne1S0 → He(1S0) + Ne*4s2 + ΔE, 
He*(21S) + Ne1S0 + ΔE → He(1S0) + Ne*5s2, 
 
Onde * representa um estado excitado, e ΔE é a pequena diferença de energia entre os 
estados de energia dos dois átomos, da ordem de 0,05 eV, ou 387 cm − 1, que é fornecida pela 
energia cinética. A transferência de energia de excitação aumenta muitas vezes a população dos 
níveis 4s2 e 5s2 de neon. Quando a população desses dois níveis superiores excede a do nível 
inferior correspondente, 3p4, ao qual eles estão opticamente conectados, a inversão populacional 
está presente. O meio torna-se capaz de amplificar a luz em uma banda estreita a 1,15 μm 
(correspondendo à transição 4s2 para 3p4) e em uma banda estreita a 632,8 nm (correspondendo 
à transição 5s2 para 3p4). O nível 3p4 é esvaziado de forma eficiente pela rápida degradação 
radiativa para o estado 3s, eventualmente atingindo o estado fundamental. 
 
Figura 8: Níveis de energia em um laser He-Ne. 
 
A etapa restante na utilização da amplificação óptica para criar um oscilador óptico é 
colocar espelhos altamente refletivos em cada extremidade do meio de amplificação para que uma 
onda em um modo espacial específico reflita sobre si mesma, ganhando mais potência em cada 
passagem do que é perdida devido a transmissão através dos espelhos e difração. Quando essas 
condições são atendidas para um ou mais modos longitudinais, a radiação nesses modos 
aumentará rapidamente até que ocorra a saturação de ganho, resultando em uma saída de feixe de 
laser contínua estável através do espelho frontal (normalmente 99% refletivo). 
 
4) O interferômetro de Michelson e outros tipos de interferômetros podem ser usados para 
medidas muito precisas de distâncias, empregando-se radiação monocromática com comprimento 
de onda conhecido. Discuta qual a vantagem da utilização de interferômetros para esse fim e, 
utilizando o valor do comprimento de onda do laser de He-Ne usado nesta prática, estime qual a 
menor distância que pode ser medida com um interferômetro de Michelson. 
O interferômetro pode ser utilizado para efetuar medidas de ângulos e distâncias 
aproveitando a interferência de ondas eletromagnéticas que ocorre quando estas interagem entre 
si. Este fenômeno das interferências que ocorrem devido à interação de ondas é aproveitado em 
instrumentos eletrônicos de medida. Um instrumento bastante conhecido se chama 
"interferômetro de Michelson". Este equipamento realiza a interação de ondas luminosas através 
da divisão de um feixe em duas séries de ondas. Isto se dá pela ação de um espelho parcialmente 
prateado, que de um lado reflete e de outro permite a passagem da luz. O feixe dividido em duas 
séries vai para outros espelhos totalmente refletores e em seguida é recomposto. 
A intensidade luminosa que resulta da interação entre as ondas, produz franjas brilhantes 
e escuras quando ocorre a soma e cancelamento. A visibilidade do padrão formado é proporcional 
à pureza espectral do raio luminoso. Quanto menor a amplitude de comprimentos de ondas 
presentes melhor a qualidade. O interferômetro de Michelson mede os comprimentos das 
trajetórias percorridas pelas duas ondas de luz com uma precisão maior do que um comprimento 
de onda. É utilizado na medição de precisão. 
Outro exemplo de interferómetro é o Fabri-Perot, neste existem dois espelhos paralelos 
onde a luz reflete muitas vezes. Devido à interação das muitas reflexões, poucos comprimentos 
de onda não se anulam. Isto permite uma seleção de certos comprimentos de onda pré-definidos. 
Este tipo de instrumento é utilizado como um filtro luminoso onde só é permitida a passagem de 
luz visível, por exemplo sendo o infravermelho filtrado pelo processo. 
 
 
Referências Bibliográficas 
Carvalho, J. F; Santana, R. C. Física Experimental V (Experimentos de Física Moderna). Goiânia, 
2020. (Apostila). 
Willet, C.S. (1974). An Introduction to Gas Lasers. Pergamon Press. pp. 407–411. 
White, A.D. (October 2011). "Recollections of the first continuous visible laser". Optics and 
Photonics News. Vol. 22 no. 10. p. 34–39. 
 
https://www.osa-opn.org/home/articles/volume_22/issue_10/features/recollections_of_the_first_continuous_visible_lase/