3 GRÁFICO - PAPEL MILIMETRADO

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GRÁFICOS EM PAPEL MILIMETRADO 
 
 
Gráficos são linhas desenhadas a partir de escalas sobre eixos ortogonais e 
que mostram o comportamento de uma grandeza (efeito) em relação à outra 
(causa). A grandeza representada em cada eixo recebe o nome de variável. 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo horizontal recebe o nome de abscissa e nele marcamos a variável 
independente, isto é, aquela que nós manipulamos (causa). 
 
No eixo vertical, ordenada, marcamos a variável dependente, isto é, a 
resposta de um sistema de manipulação (efeito). 
 
Os gráficos permitem uma visualização do comportamento de uma variável 
(ou grandeza) em relação à outra. 
 
ESCALA é uma linha, isto é, um eixo, com marcas sob as quais se indicam 
os valores ordenados de uma grandeza. 
 
A distância entre duas marcas consecutivas é chamada de passo. A 
diferença entre dois valores consecutivos da grandeza chama-se degrau. 
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A distância de ao longo da linha da escala, de uma marca ao ponto de 
referência, pode ser dada por uma função da grandeza a ser representada, 
ou seja, 
 
L = f (G) 
 
 
ESCALA LINEAR 
 
Uma escala é linear quando a função f(G) que a define é uma função do 1o 
grau, 
 
L = m G + lo 
 
 
onde lo dá a posição da marca em que a grandeza assume o valor zero; m é 
o módulo de escala, ou seja, mostra a correspondência entre a grandeza e o 
comprimento no papel (na escala) e G valor da grandeza. 
 
Aplicando a equação ao ponto de referência 
 
 
 L = m G + lo 
 
→ 0 = m Go + lo, m = - m Go 
 
→ L = m G – m Go ou, 
 
→ L = m (G - Go) 
 
Equação de uma escala linear, L é uma função linear de (G - Go). 
 
Se a origem da escala coincide com o referencial, Go = 0 
 
→ L = m G e m = L/G 
 
Onde L é o comprimento a ser utilizado no papel e G o valor máximo da 
grandeza. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
Dado os pontos (Tabela) a seguir, 
 
 1 2 3 4 5 6 
P (cmHg) 72,5 74,9 75,9 77,2 78,5 80,4 
t (oC) 30,0 38,0 42,3 48,0 54,0 61,0 
 
 
a) Trace o gráfico de P x t em papel milimetrado. Utilize o passo de 20,0 
mm para ambas as escalas e calcule os degraus das duas escalas. 
b) Qual deve ser o tipo de função que descreve Y x X? 
c) Determine os parâmetros da função Y (X). 
 
 
Solução: Técnicas de construção de gráficos 
 
Cálculo dos módulos de escala e degrau 
 
Antes de iniciarmos os cálculos dos módulos de escala, faremos algumas 
considerações. 
 
Eixo X: 
 
Equação da escala: L = m(G – Go); sejam os valores inicial e final da 
grandeza do eixo X: 
 
________________________________ 
30,0 30,5 61,0 
 
Se o valor da primeira grandeza, 30,0oC, estiver na “primeira metade” da 
escala, nós incluímos a origem da escala, ou seja, Go = 0. Então, para este 
caso, Go = 0, pois 30,0oC está na “primeira metade” da nossa escala. Daí, 
 
L = m G; façamos Lx = 150,0 mm (comprimento arbitrário). Logo, 
 
150,0 mm = m.61,0oC , m = 2,47 mm/oC; isto quer dizer que a cada 2,47 mm 
de comprimento da nossa escala corresponde a 1,0 grau Celcius de 
temperatura. 
 
Melhores módulos de escala: 1.10n; 2.10n; 5.10n. Então, 
 
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m = 2,0mm/oC, ou seja, a cada 2,0 mm de comprimento da nossa escala 
corresponde a 1,0 grau Celcius de temperatura. 
 
Cálculo do degrau 
 
Da equação da escala, L = m.G, teremos: 20,0 mm = 2,0 mm/oC. D. daí, D = 
10,0oC. Isto quer dizer que a cada 20,0 mm de comprimento da nossa escala 
do eixo X, a partir da origem, colocamos/marcamos 10,0oC. 
 
Calculemos agora as diversas distâncias (pontos) a partir da origem da 
nossa escala do eixo dos X (temperaturas): 
 
Temos que L = m.G, então, 
 
L1x = mx .G1x = 2,0mm/oC .30,0 oC = 60,0 mm 
L2x = mx .G2x = 2,0mm/oC .38,0 oC = 76,0 mm 
L3x = mx .G3x = 2,0mm/oC .42,3 oC = 84,6 mm 
L4x = mx .G4x = 2,0mm/oC .48,0 oC = 96,0 mm 
L5x = mx.G5x = 2,0mm/oC .54,0 oC = 108,0 mm 
L6x = mx .G6x = 2,0mm/oC .61,0 oC =122,0 mm 
 
Módulos de escala e degrau do Eixo Y: 
 
Equação da escala: L = m(G – Go); sejam os valores inicial e final da 
grandeza do eixo Y: 
 
________________________________ 
72,5 40,2 80,4 
 
Se o valor da primeira grandeza, 72,5 cmHg, estiver na “primeira metade” da 
escala, nós incluímos a origem da escala, ou seja, Go = 0. Então, para este 
caso, não incluiremos a origem, pois o primeiro ponto, 72,5 cmHg está na 
“segunda metade” da nossa escala. Daí, 
 
L = m (G - Go), e, fazendo L = 100,0 mm (arbitrário), 
 
m = 100,0 mm / (80,4 – 72,5)cmHg; logo, m = 12,6 mm/cmHg = 10,0 
mm/cm/Hg (de acordo com os melhores módulos de escala: 1.10n; 2.10n; 
5.10n) 
 
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Calculemos agora as diversas distâncias (pontos) a partir da origem da 
nossa escala do eixo dos Y (pressões): 
 
 
Temos que LY = mY (GY - GoY), então, 
 
L1Y = mY (G1Y - GoY)= 10,0 mm/cmHg (72,5 – 72,5) = 0,0 mm. 
 
Para evitarmos este primeiro ponto seja zero (o que não está errado), 
façamos com que Goy seja um pouco inferior a 72,5 cmHg, por exemplo, 70,0 
cmHg. Então, m = 100,0 mm/ (80,4 – 70,0)cmHg = 9,1743 mm/cmHg = 10,0 
mm/cmHg (de acordo com os melhores módulos de escala: 1.10n; 2.10n; 
5.10n), o que significa dizer que a cada 10,0 mm de comprimento da nossa 
escala corresponde a 1,0 centímetro de mercúrio de pressão. 
 
Cálculo do degrau 
 
Da equação da escala, L = m.G, teremos: 20,0 mm = 10,0 mm/cmHg . D. 
daí, D = 2,0 mm/cmHg. Isto quer dizer que a cada 20,0 mm de comprimento 
da nossa escala do eixos dos Y, a partir da origem (70,0 cmHg) 
colocamos/marcamos 2,0 cmHg. 
 
Calculemos agora as diversas distâncias (pontos) a partir da origem da 
nossa escala do eixo dos Y (pressões): 
 
Temos que LY = mY (GY - GoY), então, 
 
L1y= mY (G1y- GoY)= 10,0 mm/cmHg (72,5 – 70,0) cmHg = 25,0 mm. 
L2y= mY (G2Y - GoY)= 10,0 mm/cmHg (74,9 – 70,0) cmHg= 49,0 mm. 
L3y= mY (G3Y - GoY)= 10,0 mm/cmHg (75,9 – 70,0) cmHg = 59,0 mm. 
L4y= mY (G4Y - GoY)= 10,0 mm/cmHg (77,2 – 70,0) cmHg = 72,0 mm. 
L5y= mY (G5Y - GoY)= 10,0 mm/cmHg (78,5 – 70,0) cmHg = 85,0 mm. 
L6y= mY (G6Y - GoY)= 10,0 mm/cmHg (80,4 – 70,0) cmHg = 104,0 mm. 
 
Após graduados os eixos, iremos localizar os pontos (x;y) no papel 
milimetrado. A partir dos pares ordenados (x;y) podemos localiza-los e traçar 
um pequeno círculo em torno de cada um, simbolizando desta forma a 
incerteza na sua posição. O gráfico é então obtido através da linha que mais 
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se ajusta aos pontos, ou seja, o gráfico é obtido tomando-se o maior número 
de pontos possíveis, como nos mostra, a seguir, o gráfico deste exemplo. 
 
a) Gráfico 
 
b) A função é do tipo P = at + b 
 
c) Os parâmetros da função são os coeficientes a (coeficiente angular) e 
b (coeficiente linear). 
 
a = ΔP/Δt = P2 – P1 / t2 – t1 . 
 
Tomemos então os pontos P2 (pertencentes à reta, não os pontos que 
encontramos para a construção do gráfico, pois esses pontos são passíveis 
de erros) de coordenadas (135,0;120,0) e P1 de coordenadas (55,0;20,0); 
esses pontos são bem afastados entre si, a fim de que os erros relativos das 
leituras sejam pequenos. Então, 
 
a = ΔP/Δt = P2 – P1 / t2 – t1 = [(120,0 – 20,0) /10,0] / [(135,0 – 55,0) /2,0] 
 
Observação: dividimos as coordenadas dos pontos 1 e 2 pelos seus 
respectivos módulos de escala, pois ao construirmos o presente gráfico 
multiplicamos os valores das distâncias pelos respectivos módulos. Então, 
 
a = 0,250 
 
A fim de encontrarmos o parâmetro b, escolhemos o ponto 1 ou o ponto 2 e 
o substituímos na função, ou seja, tomando o ponto 1 (55,0;20,0), teremos, 
 
P = at + b 20,0/10 + 70,0 = 0,25.55,0/2,0+b 
 
 b = 65,1 
 
Daí, a nossa equação será: 
 
 P = 0,250.t + 65,1 
 
Observação: somamos o valor 70,0 ao valor de P1 na função, pelo fato de 
termos atribuído o valor de GoY = 70,0 cmHg (deslocamos o eixo dos Y, 
ordenadas, em 70,0 cmHg).