2018-1-AP1-AII-Gabarito

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A´lgebra II
AP1 - Gabarito
Questa˜o 1: (3,0 pontos) Considere o conjunto C das func¸o˜es reais cont´ınuas f : R −→ R
munido das operac¸o˜es
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f · g) (x) = f(x) · g(x)
(f ◦ g) (x) = f (g(x))
Apresente um contra-exemplo ou mostre que as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o falsas.
(a) (1,0 ponto) O conjunto A = (C,+, ◦) e´ um anel.
(b) (1,0 ponto) O conjunto das func¸o˜es reais cont´ınuas ı´mpares
I = {f ∈ C; f (−x) = −f(x),∀x ∈ R}
e´ um subanel de B = (C,+, ·)
(c) (1,0 ponto) O conjunto das func¸o˜es reais cont´ınuas pares
P = {f ∈ C; f (−x) = f(x), ∀x ∈ R}
e´ um ideal de B = (C,+, ·)
Soluc¸a˜o:
(a) FALSO
Por exemplo, para f(x) = x2, g(x) = x + 1 e h(x) = 3x tem-se que
(f ◦ (g + h)) (x) 6= ((f ◦ g) + (f ◦ h)) (x).
De fato,
(f ◦ (g + h)) (x) = f (4x + 1) = (4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1
e
((f ◦ g) + (f ◦ h)) (x) = ((x + 1)2 + (3x)2) = 10x2 + 2x + 1.
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(b) FALSO, pois na˜o e´ fechado para o produto:
(f · g) (−x) = f (−x) · g (−x) = (−f (x)) · (−g (x)) = f (x) · g (x) = (f · g) (x)
(c) FALSO
Por exemplo, para f(x) = x2 e g(x) = x, tem-se que f ∈ P , g ∈ C, mas
(f · g) (x) = x3 /∈ P
Questa˜o 2: (3,0 pontos) Dado um anel A, um elemento na˜o nulo a ∈ A e´ um divisor de
zero se existe b ∈ A na˜o nulo tal que a · b = 0
(a) (1,5 pontos) Mostre que se a e´ um divisor de zero enta˜o na˜o possui inverso em A.
(b) (1,5 ponto) Determine todos os divisores de zero em Z15
Soluc¸a˜o:
(a) Seja a um divisor de zero. Enta˜o, existe um elemento na˜o nulo b, tal que a · b = 0.
Se a possuir inverso a−1. teremos que
a−1 · a · b = a−1 · 0 =⇒ b = 0
contradizendo o fato de que b e´ na˜o nulo. Dessa forma, conclu´ımos que a na˜o possui inverso.
(b) Sabemos que os elementos invers´ıveis em Z15 sa˜o da forma a, onde mdc(a, 15) = 1.
Logo, pelo item (a), os candidatos a divisores de zero em Z15 sa˜o:
3, 5, 6, 9, 10 e 12.
Analisando cada caso
• 3 · 5 = 0
• 5 · 6 = 0
• 5 · 9 = 0
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• 3 · 10 = 0
• 5 · 12 = 0
Conclusa˜o: Os divisores de zero em Z15 sa˜o:
3, 5, 6, 9, 10 e 12.
Questa˜o 3: (2,0 pontos) Sejam K um corpo e a ∈ K. Mostre que a func¸a˜o ϕa : K −→ K
definida por
ϕa(x) = a · x · a−1
e´ um homomorfismo de ane´is.
Soluc¸a˜o:
• ϕa(x+y) = a · (x + y) ·a−1 = (a · x + a · y) ·a−1 = a ·x ·a−1 +a ·y ·a−1 = ϕa(x)+ϕa(y)
• ϕa(x·y) = a·(x · y)·a−1 = a·x·(a−1 · a)·y ·a−1 = (a · x · a−1)·(a · y · a−1) = ϕa(x)·ϕa(y)
Conclusa˜o: ϕa e´ um homomorfismo de ane´is.
Questa˜o 4: (2,0 pontos)
Seja p(x) = x3 + 3x2−6x−8 ∈ R[x]. Determine as ra´ızes de f(x) sabendo que elas esta˜o
em Progressa˜o Geome´trica de raza˜o −2.
Soluc¸a˜o: Sejam r1, r2 e r3 as ra´ızes de p(x). Como elas esta˜o em uma PG de raza˜o −2,
enta˜o sa˜o da forma
r1 = a, r2 = −2a e r3 = 4a, com a ∈ R
e, portanto,
p(x) = (x− a) (x + 2a) (x− 4a) = x3 − 3ax2 − 6a2x + 8a3.
Logo, segue da igualdade dos polinoˆmios que a = −1 e, portanto, as ra´ızes sa˜o −1, 2 e −4.
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