Cointegração em Economia e Finanças

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Cointegração:
Introdução e Um Exemplo Simples
· Afinal o que é uma cointegração? Quando estudamos raiz unitária vimos que muitas séries em economia e finanças são integradas de ordem , Estudaremos casos onde e são , mas existe uma combinação linear que é . Este seria um exemplo clássico de cointegração. Veremos uma definição formal e mais geral, adiante.
· Relações de cointegração são entendidas como relações lineares que mantêm duas ou mais variáveis "amarradas", embora possa haver desvios no curto prazo. Em geral se a relação é , ou seja, se dá pra ver "no olho" mesmo:
· Exemplos de Cointegração em economia e finanças: a princípio, cointegração deveria ser muito incomum, mas em economia/finanças existem muitas razões para acontecer:
· Se o consumo gravita em torno de um certo percentual da renda: pode ser estacionário
· Se o preço de uma empresa é proporcional aos dividendos pode ser estacionário.
· 
· Preço de bens substitutos em produção e/ou demanda: gasolina e diesel, aluguel e custo de financiamento de imóvel, preços de diferentes tipos de transporte.
· Um Exemplo Simples: Considere o seguinte DGP
e . Claramente Y2t ∼ I(1) e Y1t ∼ I(1) pois ∆Y1t tem estrutura MA(1), como podemos ver abaixo 
Ainda assim, notem que a combinação é !
Além disso, podemos reescrever o sistema acima como
ou de forma compacta como 
Note que o determinante de é zero, pois
como veremos no futuro, esta é uma condição necessária para que a cointegração exista. Note ainda que não poderíamos escrever esse modelo como um var em diferenças!
Cointegração – Definição
· Definição de Cointegração: Segundo Engle e Granger (1987), um vetor aleatório é dito cointegrado de ordem , e denotaremos por , se
· Cada elemento é integrado de ordem 
· Existe um vetor não-nulo tal que com .
Observações: 
1. é conhecido como vetor de cointegração (VC).
2. Todos os elementos de tem que ter a mesma ordem de integração.
3. O caso mais comum é , ou seja, as séries são mas existe ao menos uma combinação linear que é .
· O papel da Normalização: claramente, se então, por definição, existe não-nulo tal que . Mas se , então para qualquer .
· O VC não é único. De fato, qualquer múltiplo (não-nulo) de um VC também é um VC.
· Portanto, é comum normalizar um VC fazendo sua primeira entrada igual a , ou seja, .
Observações:
1. Assume-se que a primeira entrada não é zero 
2. Se for zero, poderíamos excluir este elemento do vetor Yt e a cointegração continuaria a existir.
· Relação entre cointegração e raízes unitárias: voltemos para o caso onde é . Note que, como é estacionário, podemos escrever como 
onde e com média nula. Como é estacionário, sabemos pela decomposição de Wold que ele pode ser escrito na forma , ou seja:
onde . Assim, fazendo substituições recursivas temos
· Condições para garantir Cointegração: com um pouco de álgebra (bem chata, tem no Hamilton pag 534 e no 18.1.6) chegamos em 
onde . Assim, temos que para qualquer vetor 
Portanto, será se, e somente se,
· Quantas relações de Cointegração são possíveis? 
· A primeira condição () é trivialmente satisfeita quando não há constante no modelo da primeira diferença ().
· Como o vetor para ser um vetor de cointegração deve ser não-nulo, sabemos que a segunda condição () é satisfeita somente quando o determinante de é nulo.
· Para variáveis pode existir no máximo relações de cointegração independentes (prova chatinha, mas consiste em mostrar que se tivermos vetores de cointegrações LI então a serie original sera estacionaria, pois qualquer combinação linear dela é estacionaria).
· O posto da matriz está intimamente ligado ao número de relações de cointegração do vetor n-dimensional .
Teste Engle-Granger
· Como saber se existe uma relação de cointegração? Uma ideia simples seria estimar por MQO um modelo do tipo 
E testar a presença de raiz unitária em ? Algumas questões:
· Lembrem-se que todos elementos de precisam ser . A estimação por MQO é consistente nesse caso? Se sim, para quê?
· Obviamente, não observamos mas se o estimador de MQO for consistente também será um estimador consistente. Podemos testar em ?
· Caso haja mais de uma relação de cointegração, o que estamos estimando?
· Teste em cima de estimativas: como fica o nível de significância disso no final?
· MQO e exatamente uma Relação de Cointegração: sob a hipótese nula que existe exatamente uma relação de cointegração, temos que existe um tal que . Normalizando e incluindo uma constante para garantir um erro com média zero temos que
Faz sentido minimizar a soma dos quadrados de ? Parece que sim, pois, se, caso contrário diverge pois seria (regressão espúria).
· MQO e mais de uma Relação de Cointegração: Neste caso o que estamos estimando por MQO. 
Lembre-se que se e são dois VC, então também é um VC. Assim, a combinação linear dos VC que minimiza o quadrado dos erros é o parâmetro populacional estimado pelo estimador de MQO!
· MQO e a Regressão Espúria: E caso não haja tal que , ou seja, não há relação de cointegração. O que estamos estimando por MQO?
Na verdade, NADA! Não existe parâmetro populacional no qual o estimador de MQO converge em probabilidade. De fato, é possível mostrar que o estimador diverge . Neste caso, temos os clássicos (suspeitos) resultados espúrios, e o resíduo será uma série .
· Resumindo: Sabemos que o estimador de MQO será consistente para um VC com tanto que haja ao menos uma relação de cointegração (Sob estamos salvos!) Assim, obtemos os resíduos (consistente) 
Podemos fazer um teste de raiz unitária em como ADF mas precisamos de valores críticos (tabelas) ajustadas pelo fato de estarmos usando uma série estimada (e não observada).
· Teste de cointegração Engle & Granger: Testando a hipótese nula de cointegração, protocolo ainda muito usado quando se tem séries que são suspeitas de cointegrar:
· Passo 1: Utilizar os testes de raiz unitária para ter certeza que as séries são .
· Passo 2: Sob a hipótese nula, existe tal que . MQO é consistente, então podemos estimar um modelo linear (com constante)
· Às vezes e são mas tem drift diferente. Nesse caso não pode ser estacionário mas pode. De novo, e podem ser estimados por MQO.
· Passo 3: Utilizar os testes de raiz unitária nos resíduos do passo 2 e verificar se são (hipótese nula) ou usando valores críticos ajustados (Engle e Granger (1987)).