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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Métodos Determinísticos II 2o Semestre de 2020 Avaliação a Distância 1 - AD1 GABARITO Questão 1: [4,0 pts] Considere as seguintes funções f :R→R e g :R→R, definidas abaixo: f (x) = 0, se x < 0 x2, se 06 x 6 1 0, se x > 1 e g (x) = 1, se x < 0 2x, se 06 x 6 1 1, se x > 1 . Determine o que se pede em cada um dos itens a seguir. Justifique todas as suas respostas. a) Encontre a lei de formação de f ◦ g . b) Encontre o domínio de f ◦ g . c) Esboce o gráfico de f ◦ g . d) Responda: f ◦ g é uma função inversível? Justifique. Solução: a) Se x < 0, então ( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (1) = 12 = 1. Se 0 6 x 6 1, então ( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (2x). Assim, para 0 6 x 6 1 2 , temos 0 6 2x 6 1. Logo, neste caso, ( f ◦ g )(x) = (2x)2 = 4x2; Além disso, para 1 2 < x 6 1, temos 2x > 1, donde ( f ◦ g )(x) = 0. Se x > 1, então ( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (1) = 12 = 1. Dessa forma, a lei de formação de f ◦ g é dada por: ( f ◦ g )(x) = 1, se x < 0 4x2, se 06 x 6 1 2 0, se 1 2 < x 6 1 1, se x > 1 . b) Como f ◦ g está definida para todo número real, temos que Dom( f ◦ g ) =R. c) Gáfico de f ◦ g : d) A função f ◦ g não é inversível, pois não é injetiva. Questão 2: [1,0 pto] Sendo f : [0,1) → [0,1) uma função definida por f (x) = xp 1+x2 , encontre a função inversa de f . Solução: Seja g = f −1 : [0,1) → [0,1). Para encontrar a lei de formação de g , denotaremos y = f (x) = xp 1+x2 . Assim, y = xp 1+x2 ⇔ y2 = x 2 1+x2 ⇔ y 2(1+x2)−x2 = 0 ⇔ y2 + (y2 −1)x2 = 0 ⇔ x2 = −y 2 y2 −1 ⇔ x 2 = y 2 1− y2 . Como x ∈ [0,1) e y ∈ [0,1), segue que p x2 = |x| = x, √ y2 = |y | = y e 1− y2 > 0. Dessa forma, x2 = y 2 1− y2 ⇔ x = y√ 1− y2 . Portanto, fazendo x = g (y) = f −1(y), temos que lei de formação da função inversa de f é dada por g (y) = y√ 1− y2 . Ou ainda, trocando y por x em g , podemos escrever g (x) = xp 1−x2 . Questão 3 [1,5 pto] Resolva a inequação ln(x2 −2x −2) ≤ 0. Solução: Para que a expressão ln(x2 −2x −2) ≤ 0 faça sentido, primeiro devemos observar a condição de existência do logaritmo, que no caso é dada por x2 −2x −2 > 0. Mas x2 −2x −2 > 0 ⇔ x < 1−p3 ou x > 1+p3. Dessa forma, para que exista o logaritmo dado, devemos ter x ∈ (−∞,1−p3)∪ (1+p3,+∞). Aplicando a função exponencial de base e a ambos os membros da desigualdade l n(x2 − 2x − 2) ≤ 0, obtemos: ln(x2−2x−2) ≤ 0 ⇔ e l n(x2−2x−2) ≤ e0 ⇔ x2−2x−2 ≤ 1 ⇔ x2−2x−3 ≤ 0 ⇔ (x+1)(x−3) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3. (Observe que o sinal da desigualdade se mantém porque a função exp(x) = ex é crescente.) Portanto, para que a desigualdade seja satisfeita, devemos ter x ∈ [−1,3]. Fazendo a interseção entre os conjuntos obtidos, segue que a solução da inequação é dada pelo conjunto S = {x ∈R;−1 ≤ x < 1−p3 ou 1+p3 < x ≤ 3}= [−1,1−p3)∪ (1+p3,3]. Questão 4: [2,0 pts] Suponha que a empresa A receba uma proposta para prestar serviços, por 45 dias, para a empresa B. Indique qual das seguintes formas de pagamento é a mais vantajosa para a empresa A receber: (i) Vinte trilhões de reais de uma vez, ao final dos 45 dias de serviços prestados; ou (ii) Um centavo de real no primeiro dia, dois centavos de real no segundo dia, quatro centavos de real no terceiro dia, oito centavos de real no quarto dia e assim por diante, até completar os 45 dias de serviço. 2 Justifique sua resposta utilizando apenas exponenciais e/ou logaritmos (não utilize progressões geométri- cas). Solução: Para saber qual proposta é a mais vantajosa, precisamos comparar o total de centavos a serem pagos na opção (i), com o total de centavos que serão pagos na opção (ii) ao final dos 45 dias de serviço. Como 1 real = 100 centavos = 102 centavos, concluímos que o total de centavos oferecido pela proposta (i) é dado por: 20 trilhões de reais = 20×1012 reais = 20×1012 ×102 centavos = 2×1015 centavos. Calculemos agora o total de centavos pagos na proposta (ii). Neste caso, a função que representa o valor do pagamento no n-ésimo dia de serviço é dada por f (n) = 2n−1. Assim, ao final dos 45 dias, a empresa A terá recebido, de acordo com a proposta (ii), um total de (244 + 243 +·· ·+22 +2+1) centavos. Para calcular essa soma, basta utilizar o seguinte produto notável: an −bn = (a −b)(an−1 +an−2b +an−3b2 +·· ·+abn−2 +bn−1), no qual a = 2, b = 1 e n = 45. Dessa forma, (244 +243 +·· ·+22 +2+1)(2−1) = (245 −1) ⇔ 244 +243 +·· ·+22 +2+1 = 245 −1. Portanto, o total que a proposta (ii) oferece é o pagamento de 245 −1 centavos ao final dos 45 dias. Como 1 ¿ 245 (isto é, 1 é um valor desprezível perto de 245), basta compararmos 2 × 1015 com 245. Para isso, utilizaremos o logaritmo de base decimal: vamos reescrever 245 e 2×1015 como potências de base 10 e a comparação dos expoentes nos fornecerá qual desses números é o maior. Assim, 10x = 2×1015 log(10x ) = log(2×1015) x = log(2)+ log(1015) x = log(2)+15 x ∼= 0,3+15 = 15,3 e 10y = 245 log(10y ) = log(245) y = 45× log(2) y ∼= 45×0,3 = 13,5 . Portanto, 2×1015 ∼= 1015,3 e 245 ∼= 1013,5. Como 13,5 < 15,3, segue que 245 < 2×1015, donde concluímos que a proposta (i) é a mais vantajosa para a empresa A. Questão 5: [1,5 pts] Calcule os limites abaixo. a) lim x→7 p x +2−3 x −7 b) lim x→2 3 p x − 3p2 x −2 c) lim x→1 x3 −1 x2 −1 Solução: a) lim x→7 p x +2−3 x −7 = limx→7 p x +2−3 x −7 · p x +2+3p x +2+3 = limx→7 x −7 (x −7)(px +2+3) = limx→7 1p x +2+3 = 1 6 . b) lim x→2 3 p x − 3p2 x −2 = limx→2 3 p x − 3p2 ( 3 p x − 3p2)( 3 p x2 + 3px 3p2+ 3 p 22) = lim x→2 1 3 p x2 + 3px 3p2+ 3 p 22 = 1 3 3 p 4 . c) lim x→1 x3 −1 x2 −1 = limx→1 (x −1)(x2 +x +1) (x −1)(x +1) = limx→1 x2 +x +1 x +1 = 3 2 . 3
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