DIMENSIONAMENTO_DE_P_DISCIPLINA_ENGENHAR

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DIMENSIONAMENTO DE P
 
DISCIPLINA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Alana Marques 
Luana Lopes 
Murilo Poll 
Romildo Ferreira 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES
GRUPO 4 
: Projeto de Estruturas de Concreto Armado II 
PALMAS - TO 
2017 
 
ILARES 
Estruturas de Concreto Armado II - 2017/1 
Alana Marques 
Luana Lopes 
Murilo Poll 
Romildo Ferreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE PILARES - GRUPO 4 
Memorial apresentado como requisito parcial 
para obtenção de nota na disciplina curricular 
Projeto de Estruturas de Concreto Armado II do 
curso de Engenharia Civil do CEULP/ULBRA. 
Orientado por Professor Roldão Pimentel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PALMAS - TO 
2017 
2 
1 INTRODUÇÃO 
Pilares são “Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que 
as forças normais de compressão são preponderantes.” (NBR 6118/20141, item 14.4.1.2). 
Pilares-parede são “Elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente 
dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos 
por uma ou mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas 
superfícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção 
transversal do elemento estrutural.” (item 14.4.2.4). 
Dimensionar e detalhar os pilares do térreo de uma biblioteca em Palmas, 
representados na figura abaixo (medidas em metro), submetidos ao esforço normal e momento 
fletor. Para o dimensionamento, considerar: resistência do concreto igual a 25 MPa, hlaje = 
11cm, bviga = 15cm,aço CA 50, brita 1, c = 2,5cm. As paredes são de alvenaria acabada de 
tijolos furados (γ = 1300kgf/m3) com altura de 2,8m e espessura de 15cm, que estão 
representadas em linhas tracejadas. O revestimento do piso será em granito. Para o pré-
dimensionamento dos pilares, considerar hmenor = 19 cm, carga igual a 1000 kgf/m² por 
pavimento, taxa de armadura 2% máxima, pavimento tipo com dez repetições, altura de piso a 
piso igual a 4,2 metros e altura das vigas igual a 50 centímetros. 
Obs.: 
1. Considerar alvenaria sobre todas as vigas; 
2. Cada grupo deverá dimensionar no mínimo três pilares, conforme tabela abaixo; 
3. No trabalho deverá conter todo o memorial de cálculo (área de influência, 
carregamento, etc.). 
Somos o grupo 04: P1, P8 e P11. 
 
3 
GRUPO 04: P1, P8 e P11. 
 
Figura 1-Projeto para dimensionamento sem escala 
 
Fonte das autoras(es). 
 
 
2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
Inicia-se o pré-dimensionamento dos pilares estimando-se sua carga através do 
processo das áreas de influência. Este processo consiste em dividir a área total do pavimento 
em áreas de influência, relativas a cada pilar e, a partir daí, estimar a carga que eles irão 
absorver. 
4 
A área de influência de cada pilar pode ser obtida dividindo-se as distâncias entre seus 
eixos em intervalos que variam entre 0,45l e 0,55l, dependendo da posição do pilar na 
estrutura, conforme o critério da figura abaixo: 
 
 0,45l: pilar de extremidade e de canto, na direção da sua menor dimensão; 
 0,55l: complementos dos vãos do caso anterior; 
 0,50l: pilar de extremidade e de canto, na direção da sua maior dimensão. 
 
No caso de edifícios com balanço, considera-se a área do balanço acrescida das 
respectivas áreas das lajes adjacentes, tomando-se, na direção do balanço, largura igual a 
0,50l, sendo l o vão adjacente ao balanço. 
 
Dimensões encontradas a partir da área de influência: 
 
�� 
� � �(� + 0,7)
���
 
 
Sendo: 
 α = ao coeficiente de majoração da carga 
 A = área de influência de cada pilar 
 P = carga uniformemente distribuída na laje 7 a 15kN/m2 
 n = número de repetições de pavimento tipo 
 0,7 = coeficiente de cobertura (retira, se for o caso) 
Tensão ideal de cálculo: 
 
5 
σid = (0,85*fcd + ρ*σsd) 
Sendo: 
 ρ = taxa geométrica de armadura 
 σsd= tensão no aço relativo à deformação específica 0,002 
 
α = γ f * αo 
Sendo: 
 γ f = 1,4 
 αo = coeficiente de majoração da carga em função da redução das situações de flexão 
composta normal/oblíqua em uma situação de compressão centrada. 
 
Pilares αo 
Intermediário 1,285 
Extremidade 1,570 
Canto 1,785 
 
 
Figura 2-Planta com área para pré-dimensionamento do pilar sem escala 
 
Fonte das autoras(es). 
 
6 
2.1 PILAR 1 (CANTO) 
α(P1) = γ f * αo = 1,4*1,785 = 2,5; 
 
σs(0,002)=21000x0,002=42 kN/cm²; 
fck(C25)=25 MPa = 2,5 kN/cm²; 
fcd(C25)=2,5/1,4 = 1,786 kN cm²; 
 
σid= 0,85x1,786+42x2%=2,3579 kN/cm²; 
 
Ac(P1)=
�,���,������(��� �,�)
�,����
=492,4 cm². 
 
Hb(cm)=19; 
Ha(cm)=
���,�
��
 = 25,9≈30. 
P1 (19x30) cm. 
 
2.2 PILAR 8 (EXTREMIDADE) 
α(P8) = = 1,4*1,570 = 2,2; 
 
σs(0,002)=21000x0,002=42 kN/cm²; 
fck(C25)=25 MPa = 2,5 kN/cm²; 
fcd(C25)=2,5/1,4 = 1,786 kN cm²; 
 
σid= 0,85x1,786+42x2%=2,3579 kN/cm²; 
 
Ac(P8)=
�,����,������(��� �,�)
�,����
 = 2425,0 cm². 
 
Hb(cm)=19; 
Ha(cm)=
����,�
��
 = 127,6≈130. 
7 
Ha /Hb=127,6/19=6,7 "O fator determinante é de pilar parede, será aumentado em Hb 
para que se tenha um fator menor que 5. Neste caso 
����
��
 = 110. 
Hb2(cm)=23; 
Ha2(cm)=
����,�
��
 = 105,4≈110. 
P8 (23x110) cm. 
 
 
2.3 PILAR 11 (EXTREMIDADE) 
α(P11) = = 1,4*1,570 = 2,2; 
 
σs(0,002)=21000x0,002=42 kN/cm²; 
fck(C25)=25 MPa = 2,5 kN/cm²; 
fcd(C25)=2,5/1,4 = 1,786 kN cm²; 
 
σid= 0,85x1,786+42x2%=2,3579 kN/cm²; 
 
Ac(P11)=
�,����,������(��� �,�)
�,����
=2262,3 cm². 
 
Hb(cm)=19; 
Ha(cm)=
����,�
��
 = 119,1≈120. 
Ha /Hb=119,1/19=6,3 "O fator determinante é de pilar parede, será aumentado em Hb 
para que se tenha um fator menor que 5. Neste caso 
����,�
��
 = 105. 
Hb2(cm)=22; 
Ha2(cm)=
����,�
��
 = 102,8≈105. 
P11 (22x105) cm. 
 
 
8 
3 DIMENSIONAMENTO 
As construções de concreto armado são constituídas por elementos estruturais segundo 
MARIANO (2015), destes destacam-se por serem comuns em construções de edifícios, o 
conjunto: laje, viga e pilar. 
A laje pode ser caracterizada por (ser) uma superfície plana, sujeito principalmente a 
ações normais a seu plano. As principais funções são de servir de piso, cobertura nas 
construções civis e transmitir as ações perpendiculares para as vigas ou (diretamente aos) 
pilares. 
As atribuições das vigas são de resistir à flexão por esforços oriundos das lajes, de 
outras vigas, e algumas vezes de pilares. Também podem esta a esforço de compressão, torção 
e cisalhamento. 
De acordo com a norma (ABNT NBR 6118, 2014), pilares são elementos lineares 
(retos) dispostos na vertical com a capacidade de resistir aos esforços normais de 
compreensão. A referida norma condiciona estabelece parâmetros para dimensionamento 
destes elementos estruturais supracitados. 
3.1 ÁREAS DE INFLUÊNCIA E CARREGAMENTO DA PROBLEMÁTICA 
λ = 
����� ���� �� ����
����� ���� �� ����
 
Lajes armadas em uma direção: λ > 2 
Lajes armadas em duas direções (em cruz): λ ≤ 2. 
 
L1: 
λ1 = 5/1,5 = 3,33 (Uma direção) 
 
L2: 
λ2 = 5/4 = 1,25 (Em cruz) 
 
L3: 
λ3 = 5/3,5 = 1,43 (Em cruz) 
 
L4: 
λ4 = 5/5 = 1,00 (Em cruz) 
9 
L05: 
λ5 = 5/3,5 = 1,43 (Em cruz) 
 
L06: 
λ6 = 5/3,5 = 1,43 (Em cruz) 
 
L07: 
λ7 = 6/5,83 =1,03 (Em cruz) 
 
L08: 
λ8 = 6/4,25 = 1,41 (Em cruz) 
 
L09: 
λ9 = 6/4,25 = 1,41 (Em cruz) 
 
L10: 
λ10 = 6/5,33 = 1,13 (Em cruz) 
 
L11: 
λ11 = 6/4 = 1,50 (Em cruz) 
 
L12: 
λ12 = 6/3,5 = 1,71 (Em cruz) 
 
L13: 
λ13 = 6/5 = 1,20 (Em cruz) 
 
L14: 
λ14 = 6/3,5 = 1,71 (Em cruz) 
 
10 
L15: 
λ15 = 6/3,5 = 1,71 (Em cruz) 
 
Apresentado anteriormente, será possível realizar as áreas de influencia da laje que 
descarregam na viga, no caso de laje armada em uma só direção, a distribuição de cargas 
acontece apenas sobre as vigas do vão maior. 
 
Para determinar a carga sobre a viga, toma-se a quantidade depositada em um metro 
linear de viga. Para isso, toma-se uma faixa da laje com um metrode largura. A carga sobre 
essa faixa é determinada multiplicando-se a área dessa faixa pela carga por metro quadrado 
sobre a laje. 
 
 
qfaixa = qlaje (kN/m²) x 1 (m) x l (m) 
Como metade da carga sobre essa faixa vai para cada uma das vigas, tem-se: 
qfaixa = (qlaje (kN/m²) x 1 (m) x l (m)) / 2 
 
No caso das lajes armadas em cruz o procedimento de cálculo adotado pela NBR 
6118:2014 é o processo das áreas.Conforme o item 14.7.6.1 da norma, permite-se calcular as 
reações de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribuído 
considerando-se, para cada apoio, carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, 
traçando-se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de: 
 45° entre dois apoios do mesmo tipo; 
11 
 60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado; 
 90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for 
livre. 
Na tabela 1 esta disposto os carregamentos das lajes. 
Tabela 1-Carregamento na laje 
Lajes Acab. Carga h PP γ(esp) Base h Comp. PP Carga 
N° Rev. Gran. Biblioteca Laje Laje Alv. Alv. Alv. Alv. Alv. Final 
 
kgf/m² kgf/m² (m) kgf/m² kgf/m³ (m) (m) (m) kgf/m² kgf/m² 
01 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
02 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 4,00 109,20 1134,20 
03 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
04 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 3,50 76,44 1101,44 
05 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
06 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
07 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
08 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
09 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
10 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
11 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
12 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 3,50 91,00 1116,00 
13 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
14 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 3,50 91,00 1116,00 
15 150 600 0,11 275 1300 0,15 2,80 0,00 0,00 1025,00 
Fonte das autoras(es). 
 
Logo na figura 3 apresentam-se as áreas necessárias para o dimensionamento de 
carregamento dos pilares 1, 8 e 11. 
12 
Figura 3-Disposição de áreas de influência sem escala 
 
Fonte das autoras(es). 
 
Com base nessa figura, as reações de apoio por unidade de largura serão dadas por: 
v=
� .�
�
 
 
Onde: 
 p = carga total uniformemente distribuída; 
 l = vão em estudo; 
 v = reação de apoio do vão em estudo; 
 A = área em estudo; 
 
As reações assim obtidas são consideradas uniformemente distribuídas nas vigas de 
apoio, o que representa uma simplificação de cálculo. A carga atuante em vigas é determinada 
através do peso do volume de um metro linear de viga. Assim: 
13 
 
Volume (m³) = 1(m) . b(m) . h(m) 
Carga linear da viga depende da base e altura da viga: 
qViga = 1(m) . b(m) . h(m) . 25 (kN/m³) 
qViga = (b . h . 25) (kN/m) 
qViga = (b . h . 2500) (kgf/m) 
 
As paredes depositam cargas linearmente sobre as vigas. Para obter essa carga calcula-
se o produto do volume de uma faixa de alvenaria de 1 metro de largura pelo peso especifico 
do material. 
 
qAlvenaria = (b . h . (peso específico do material)) (kN/m) 
Para o tijolo furado: 
qAlvenaria = (b . h . 13) (kN/m) 
qAlvenaria = (b . h . 1300) (kgf/m) 
 
3.2 CÁLCULO 
3.2.1 CALCULO PILAR 1 
O carregamento no pilar 1 foi resumido conforme tabela na viga 1 e viga 2 a seguir: 
Carregamento na viga 1 apresentado na tabela a seguir. 
VIGA 01 – EM X 
TRECHO= 01 02 '03-A '03-B 04 05 
Área do Trecho (m²)=
Distância VÃO 
Área TT Laje (m²) =
comp. ALV na Laje (m)=
carga ALV na Laje (kgf/m²)=
carga Usual (kgf/m²)=
carga Revest.(kgf/m²)=
carga LAJE TT (kgf/m²)=
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)=
contribuição Viga Final (kgf/m)=
Carregamento final (kN/m)=
 
Posteriormente foi utilizado o Ftool como facilitador para obtenção do esforço normal 
e momento nos nós, conforme apresentado a seguir.
Carregamento e momento fletor.
O pilar 1 na direção X tem uma reação de 34,7
 
Carregamento na viga 2
Área do Trecho (m²)=
Laje = 02 03 01 04 
Área do Trecho (m²)= 2,93 1,77 7,50 3,61 
Distância VÃO (m)= 4,15 3,65 5,15 5,15 
Área TT Laje (m²) = 20 17,5 7,5 25 
hlaje (m)= 0,11 0,11 0,11 0,11 
pplaje (kgf/m²)= 275 275 275 275 
comp. ALV na Laje (m)= 4 0 0 5 
arga ALV na Laje (kgf/m²)= 109,2 0 0 109,2 
carga Usual (kgf/m²)= 600 600 600 600 
carga Revest.(kgf/m²)= 150 150 150 150 
carga LAJE TT (kgf/m²)= 1134,2 1025 1025 1134,2 
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 800,77 497,05 1492,72 795,04 
Viga Final (kgf/m)= 733,5 733,5 733,5 0 
Carregamento final (kN/m)= 15,34 12,31 22,26 7,95 
Posteriormente foi utilizado o Ftool como facilitador para obtenção do esforço normal 
e momento nos nós, conforme apresentado a seguir. 
e momento fletor. 
na direção X tem uma reação de 34,7 kN. 
Carregamento na viga 2 na tabela a seguir. 
Viga 02 – EM Y 
Trecho= 01 02 
LAJE = 11 07 
Área do Trecho (m²)= 5,86 5,20 
14 
 05 06 
 1,77 2,24 
 3,65 3,65 
 17,5 17,5 
 0,11 0,11 
 275 275 
 0 3,5 
 0 109,2 
 600 600 
 150 150 
 1025 1134,2 
 497,05 696,06 
 733,5 733,5 
 12,31 14,3 
Posteriormente foi utilizado o Ftool como facilitador para obtenção do esforço normal 
 
03 
02 
4,39 
comp. ALV na Laje (m)=
carga ALV na Laje (kgf/m²)=
carga Usual (kgf/m²)=
carga Revest.(kgf/m²)=
carga LAJE TT (kgf/m²)=
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)=
contribuição Viga Final (kgf/m)=
Carregamento final (kN/m)=
 
Esforço normal e momento fletor.
No pilar 1 na direção Y com esforço normal de 40,5 
 
3.2.1.1 Dimensionamento P 0
Pilar 1 
Seção (cm)=19x30 
Piso a Piso (m)=4,2 
pppilar=0,19x0,30x4,20*25=6,0 kN;
Carga (kN)=(34,7+40,5
h Viga (m)=0,5; 
l0 (m)=4,2-0,5=3,7; 
lex (m)=3,7+0,19=3,89
ley (m)=3,7+0,3=4,0. 
Distância VÃO (m)= 6,15 6,15 
Área TT Laje (m²) = 24,00 34,98 
hlaje (m)= 0,11 0,11 
pplaje (kgf/m²)= 275,00 275,00 
comp. ALV na Laje (m)= 0,00 0,00 
carga ALV na Laje (kgf/m²)= 0,00 0,00 
carga Usual (kgf/m²)= 600,00 600,00 
carga Revest.(kgf/m²)= 150,00 150,00 
carga LAJE TT (kgf/m²)= 1025,00 1025,00 1134,20
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 976,67 866,67 
contribuição Viga Final (kgf/m)= 733,50 733,50 
Carregamento final (kN/m)= 17,10 16,00 
momento fletor. 
ão Y com esforço normal de 40,5 kN. 
Dimensionamento P 01 (canto) 
=0,19x0,30x4,20*25=6,0 kN; 
40,5+6)x10,7=868,8; 
3,89; 
15 
5,15 
20,00 
0,11 
275,00 
4,00 
109,20 
600,00 
150,00 
1134,20 
966,82 
733,50 
17,00 
 
16 
 
3.2.1.2 Momentos 
O maior lado do pilar foi disposto na direção Y para melhorar a estabilidade. 
Figura 4- em kN.m 
 
Fonte do autor. 
 
Determinação de momento A e B 
MA = MB em X=11,1 em X; 
MA=MB =22,7 em Y; 
 
O restante do dimensionamento foi conforme os passos a seguir: 
 
1° Passo: Força normal adimensional v (Ni): 
v =
1,4 1,0 868,8 kN
(0,19 0,30)m �
�� ���
�,�
kN/m �
= 1,2 
 
2° Passo: Índice de esbeltez: 
Na direção X Na direção Y 
le≤ �
4,20m
 3,70 + 0,19 = 3,89m
� 
λx = 3,46
3,89
0,19
= 70,8 ≈ 71 
 
Como: 35 < λ ≤ 90 - Considera-se Pilar 
medianamente esbelto na direção X. 
le≤ �
4,20m
 3,70 + 0,30 = 4,00m
� 
λy = 3,46
4,00
0,30
= 46,1 ≈ 47 
 
Como: 35 < λ ≤ 90 - Considera-se Pilar 
medianamente esbelto na direção Y. 
 
 
17 
3° Passo: Excentricidades de 1° Ordem: 
Excentricidades Iniciais: 
Na direção X Na direção Y 
No topo igual base/pé: 
eix=
11,1 kN.m
868,8 kN
= 0,0128 m 
No topo igual base/pé: 
eiy=
22,7 kN.m
868,8 kN
= 0,0261 m 
 
Excentricidades Acidentais: 
Na direção X Na direção Y 
eax= 0,015 + 0,03 0,19 = 0,0207m 
Max = 868,8x0,0207 = 17,98 kNm 
eay= 0,015 + 0,03x0,30 = 0,0240m 
May = 868,8 0,0240 = 20,85 kNm 
 
Excentricidades de Centro: 
Na direção X Na direção Y 
Como MA (11,1) < Max (17,98): 
αb = 1; 
Mc = MA = 11,1 kNm . 
 
Como: Mc (11,1) < Max (17,98), a 
excentricidade será: 
e1cx=eax= 0,0207 m 
Como MA (22,7) ≥ May (20,85): 
αb = 0,6 0,4
22,7
22,7
= 0,2 ≥ 0,4 
αb = 0,4 
Mc = 0,4 22,7 = 9,08 kN.m 
 
Como: Mc (9,08) < May (20,85), a 
excentricidade será: 
e1cy= eay= 0,0240 m 
 
4° Passo: Valor-limite do índice de esbeltez (λ1): 
Na direção X Na direção Y 
λ1 =
25 + 12,5 �
�,����
�,��
�
1
= 26,4 ≈ 27 
λ1 (27)<λx(71) "Considerar 2° ordem" 
λ1 =
25 + 12,5 �
�,����
�,��
�
0,4
= 65 
λ1(65) >λy(47) "Desprezar 2° ordem" 
 
λ1 ≥ λ → não considera-se o efeito local de 2ª ordem na direção considerada 
λ1 < λ → considera-se o efeito local de 2ª ordem na direção considerada 
 
18 
5° Passo: Excentricidades de 2° Ordem: 
Excentricidades de Centro 
Na direção X: Na direção X: 
Curvatura na seção crítica (1/r): 
 
1
r
=
0,005
0,19 (1,2 + 0,5)
= 0,0155 
 
1
r
≤
0,005
0,19
= 0,026 "ok" 
 
Excentricidade de 2ª Ordem: 
e2x =
3,89�
10
0,0155 = 0,023 m 
Curvatura na seção crítica (1/r): 
 
1
r
=
0,005
0,3 (1,2 + 0,5)
= 0,0098 
 
1
r
≤
0,005
0,3
= 0,017 "ok" 
 
Excentricidade de 2ª Ordem: 
e2x = 0 m 
 
 
6° Passo: Verificação das Seções 
Excentricidades (m) Utilização na verificação 
��� 0,0128 
Seção de Base/Pé 
��� 0,0261 
��� 0,0128 
Seção de Topo 
��� 0,0261 
��� 0,0207 
��� 0,0240 
��� 0,0207 
Seção Central 
��� 0,0240 
��� 0,023 
��� 0,000 
 
 
19 
a) Verificação do topo que equivale a base: 
Situação de Projeto 
Situação de Cálculo 1 
a) ex = 0,0207 m; 
b) ey = 0,0261 m. 
 
Situação de Cálculo 2 
a) ex = 0,0128 m; 
b) ey = 0,0261 m. 
 
b) Verificação da seção de centro: 
Situação de Projeto 
Situação de Cálculo 1 
a) ex = 0,0437 m; 
b) ey = 0,0240 m. 
 
Situação de Cálculo 2 
a) ex = 0,0207 m; 
b) ey = 0,0240 m; 
 
6.1) Verificação adotada: 
ex=0,0437; 
ey=0,0240. 
 
6.2) Obtendo Md (x e y) 
�1 = ��� = 1,2� �
0,0437
0,19
� = 0,27; 
�2 = ��� = 1,2� �
0,0240
0,30
� = 0,10. 
Após o cálculo de μ1e μ2, com as excentricidades de cálculo (pior situação). 
Utilizando o ábaco en roseta para flexion esviada de (Montoya, Meseguer & Morán) 
conferido na figura a seguir. Este ábaco foi obtido em consulta ao livro HORMIGÓN 
ARMADO 14ª Edición basada en la EHE ajustada al código modelo y al eurocódigo - Los 
20 
autores Pedro Jiménez Montoya, Álvaro García Meseguer e Francisco Morán Cabré. Este 
ábaco em particular faz parte de um determinado arranjo estabelecidos pelos autores, a 
utilização do modelo em especifico faz jus a necessidade de atender ao requerimento do 
orientador Roldão Pimentel. 
Figura 5-Ábaco adotado 
 
Fonte Montoya, Meseguer & Morán 
 
O ábaco adotado faz a determinação de distribuição média de aço para todas as 
direções, em outras palavras sendo arranjos do lado a e b do pilar. Observou-se que o mesmo 
traz o parâmetro de fyk (resistência característica do aço com minoração) de 400 N/mm² que 
equivale a 40 kN/cm², um pouco abaixo do utilizado em sala de aula. 
Com o ábaco em questão e também com o par μ1e μ2 e v, determina-se a taxa 
mecânica (ω): 
Para realizar os cálculos restantes foi necessário fazer o desenho do ábaco adotado em 
software de modelagem vetorial (Corel-Draw) foi realizado também um comparativo com o 
ábaco repassado no site conecta do Ceulp/Ulbra constatou-se, ser, o mesmo ábaco, e preciso o 
suficiente para continuar o dimensionamento, apresenta-se na figura a seguir (vê ábaco em 
folha A3 no item anexos). 
 
21 
Figura 6-Ábaco adota redesenhado 
 
Fonte Montoya, Meseguer & Morán 
 
 
22 
v=1,2 
�1 = 0,27; 
�2 = 0,10. 
 
 
 
ω(1,2) = 1,0; 
para v = 1,20; ω = 1,0. 
 
A armadura é calculada pela expressão: 
fcd= 25/14 = 1,786 kN/cm²; 
fyk= 40 kN/cm² "conforme ábaco" 
23 
As = 1,0 (19 30)
1,786
40
= 25,45 cm � 
Adotar:14 L 16,0 mm As = 28,00 cm � 
 
8° Passo: Detalhamento 
a) Limites da Armadura Longitudinal: 
 
�
�,������,���,�
��,��
= 4,19
�,�
���
(19 30) = 2,85
� ≤ As = 28,0 cm � ≤
8
100
(19 30) = 45,60 (ok) 
 
l= �
≥ 10mm
≤
�������
�
≈ 20 mm
� (0k) 
 
Sl=
30 �
��
�
x1,6 + 2 0,5 + 2 2,5�
��
�
1
= 2,1 cm 
 
 
 
 
� 2 cm
1,0 Øm áx = 1,6 cm
� ≤ Sl≤ �
40cm
2 19 = 38cm (ok)
� 
 
� Espera 
16,0 mm 70 cm 
 
 
24 
b) Armaduras Transversais: 
 
t≥ �
5mm "ok"
1
4
x16 mm = 4 mm
� 
 
 
sT ≤ �
19 cm
12xØL = 12x1,6 = 19,2 cm (ok)
20 cm
� 
 
n° estribos=
420
19
+ 1 = 24 estribos 
 
Estribos contra flambagem (gancho): 
 
 
 
Smáx = 20Øt = 20*0,5 cm = 10 cm 
Gancho a cada 10 cm 
n° ganchos = 1 x n° de estribos 
 
 
25 
 
26 
3.2.2 CALCULO PILAR 8 
Necessário realização das vigas V 4, 8, 9, 10 e 11, para fazer o pilar 8. Foi necessário 
fazer o dimensionamento de carregamento de V 9, 10 e 11 para fazer a viga 8 então segue as 
determinações a seguir. 
Viga 9 
VIGA 09 – EM Y 
TRECHO= '01-A '02-B 
LAJE = 07 08 
Área do Trecho (m²)= 9,00 8,23 
Distância VÃO (m)= 6,15 6,15 
Área TT Laje (m²) = 34,98 25,50 
'hLAJE (m)= 0,11 0,11 
'pp LAJE (kgf/m²)= 275,00 275,00 
'comp. ALV na Laje (m)= 0,00 0,00 
'carga ALV na Laje (kgf/m²)= 0,00 0,00 
'carga Usual (kgf/m²)= 600,00 600,00 
'carga Revest.(kgf/m²)= 150,00 150,00 
'carga LAJE TT (kgf/m²)= 1025,00 1025,00 
'contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 1500,00 1371,67 
'contribuição Viga Final (kgf/m)= 733,50 0,00 
CARREGAMENTO FINAL (KN/m)= 22,34 13,72 
 
Carregamento e reações. 
 
 
O valor de 110,9 kN vai ser considerada na Viga 8. 
 
Viga 10 
'comp. ALV na Laje (m)=
'carga ALV na Laje (kgf/m²)=
'carga Usual (kgf/m²)=
'carga Revest.(kgf/m²)=
'carga LAJE TT (kgf/m²)=
'contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)=
'contribuição Viga Final (kgf/m)=
CARREGAMENTO FINAL (KN/m)=
 
 
Carregamento e reações.
 
O valor de 106,9 kN será 
 
VIGA 10 – EM Y 
TRECHO= '01-A 
LAJE = 08 
Área do Trecho (m²)= 8,23 
Distância VÃO (m)= 6,15 
Área TT Laje (m²) = 25,50 
'hLAJE (m)= 0,11 
'pp LAJE (kgf/m²)= 275,00 
'comp. ALV na Laje (m)= 0,00 
'carga ALV na Laje (kgf/m²)= 0,00 
'carga Usual (kgf/m²)= 600,00 
'carga Revest.(kgf/m²)= 150,00 
'carga LAJE TT (kgf/m²)= 1025,00 
'contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 1371,67 
'contribuição Viga Final (kgf/m)= 733,50 
CARREGAMENTO FINAL (KN/m)= 21,05 
Carregamento e reações. 
O valor de 106,9 kN será considerado um ponto especifico na viga 8. 
 
27 
'02-B 
09 
8,23 
6,15 
25,50 
0,11 
275,00 
0,00 
0,00 
600,00 
150,00 
1025,00 
1371,67 
0,00 
13,72 
 
 
Viga 11 
'carga ALV na Laje (kgf/m²)=
'contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)=
'contribuição Viga Final (kgf/m)=
CARREGAMENTO FINAL (KN/m)=
 
 
Carregamentos e reações
 
O valor de 110,9 será considerado na viga 8.
 
VIGA 11 – EM Y 
TRECHO= '01-A '02
LAJE = 09 
Área do Trecho (m²)= 8,23 9,00
Distância VÃO (m)= 6,15 6,15
Área TT Laje (m²) = 25,50 31,95
'hLAJE (m)= 0,11 0,11
'pp LAJE (kgf/m²)= 275,00 275,00
'comp. ALV na Laje (m)= 0,00 0,00
'carga ALV na Laje (kgf/m²)= 0,00 0,00
'carga Usual (kgf/m²)= 600,00 600,00
'carga Revest.(kgf/m²)= 150,00 150,00
'carga LAJE TT (kgf/m²)= 1025,00 1025,00
'contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 1371,67 1500,00
'contribuição Viga Final (kgf/m)= 733,50 0,00
CARREGAMENTO FINAL (KN/m)= 21,05 15,00
Carregamentos e reações 
O valor de 110,9 será considerado na viga 8. 
 
28 
'02-B 
10 
9,00 
6,15 
31,95 
0,11 
275,00 
0,00 
0,00 
600,00 
150,00 
1025,00 
1500,00 
0,00 
15,00 
 
29 
Para realizar o dimensionamento da viga 8 foi utilizado 3 etapas devido a dificuldade 
de obter tantas informações de uma viga continua como esta. 
Viga 8 
VIGA 08 – EM X_(EM)CIMA ORDENADA DETERMINANTE PARA O TERMO VIGA 08 – EM X-FINAL 
Trecho (CIMA) determinante = A1 B12 C23 D34 E45 
LAJE = 02 03 04 05 06 
Área do Trecho (m²) = 5,07 3,06 6,25 3,06 3,88 
Distância VÃO (m) = 4,15 3,65 5,15 3,65 3,65 
Área TT Laje (m²) = 20,00 17,50 7,50 25,00 17,50 
hlaje (m) = 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 
pplaje (kgf/m²) = 275,00 275,00 275,00 275,00 275,00 
comp. ALV na Laje (m) = 4,00 0,00 5,000,00 3,50 
carga ALV na Laje (kgf/m²) = 109,20 0,00 364,00 0,00 109,20 
carga Usual (kgf/m²) = 600,00 600,00 600,00 600,00 600,00 
carga Revest.(kgf/m²) = 150,00 150,00 150,00 150,00 150,00 
'carga LAJE TT (kgf/m²) = 1134,20 1025,00 1389,00 1025,00 1134,20 
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m) = 1385,64 859,32 1685,68 859,32 1205,67 
contribuição Viga Final (kgf/m) = 733,50 733,50 733,50 733,50 733,50 
Carregamento final (EM)CIMA (kN/m) = 21,19 15,93 24,19 15,93 19,39 
 
 
VIGA 08 – EM X_EMBAIXO ORDENADA DETERMINANTE PARA O TERMO VIGA 08 – EM X-FINAL 
TRECHO (BAIXO) DETERMINANTE= 1AB 2BC 3CD 4DE 
LAJE = 07 08 09 10 
Área do Trecho (m²)= 10,39 4,52 4,52 8,88 
Distância VÃO (m)= 5,98 4,40 4,40 5,47 
Área TT Laje (m²) = 34,98 25,50 25,50 31,95 
hlaje (m)= 0,11 0,11 0,11 0,11 
pplaje (kgf/m²)= 275,00 275,00 275,00 275,00 
comp. ALV na Laje (m)= 0,00 0,00 0,00 0,00 
carga ALV na Laje (kgf/m²)= 0,00 0,00 0,00 0,00 
carga Usual (kgf/m²)= 600,00 600,00 600,00 600,00 
carga Revestimento(kgf/m²)= 150,00 150,00 150,00 150,00 
carga LAJE TT (kgf/m²)= 1025,00 1025,00 1025,00 1025,00 
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 1780,89 1052,95 1052,95 1663,99 
contribuição Viga Final (kgf/m)= 0,00 0,00 0,00 0,00 
Carregamento final EMBAIXO (kN/m)= 17,81 10,53 10,53 16,64 
 
 
Por fim, a determinação final dos carregamentos nos trechos:
VIGA 08 – EM X_FINAL DISTRIBUIÇÃO DOS CARREGAMENTOS NOS TRECHOS
Distância VÃO (m)=
Carregamento final (k
 
 
Carregamento final e reações Viga 8
 
Com esses valores ficou definido o carregamento do pilar 
 
 
Por fim, a determinação final dos carregamentos nos trechos: 
EM X_FINAL DISTRIBUIÇÃO DOS CARREGAMENTOS NOS TRECHOS 
TRECHO= 1A 1B 2B 2C 3C 
Distância VÃO (m)= 4,15 1,83 1,82 2,58 2,57 
arregamento final (kN/m)= 39,00 33,74 26,46 34,72 34,72 
 
Carregamento final e reações Viga 8 
Com esses valores ficou definido o carregamento do pilar 8 em X de 181,4 kN
 
30 
3D 4D 4E 
1,83 1,82 3,65 
26,46 32,57 36,03 
 
 
8 em X de 181,4 kN. 
Determinação de carregamento na 
Área do Trecho (m²)=
Distância VÃO (m)=
Área TT Laje (m²) =
comp. ALV na Laje (m)=
carga ALV na Laje (kgf/m²)=
carga Usual
carga Revest.(kgf/m²)=
carga LAJE TT (kgf/m²)=
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)=
contribuição Viga Final (kgf/m)=
Carregamento final (kN/m)=
 
Carregamento e reações
No pilar 8 a reação normal é de 94,5 kN.
 
3.2.2.1 Dimensionamento P 08
Pilar 8 
Seção=23x110 
Piso a Piso (m)=4,2 
pppilar=0,23x1,10x4,20*25=26,6 kN;
Carga (kN)= (26,6+181,4+94,5)x10,7 = 3236,8
h Viga (m)=0,5; 
Determinação de carregamento na Viga 3 
VIGA 03 – EM Y 
TRECHO= '01-A '02-B 
LAJE = 02 03 
Área do Trecho (m²)= 7,61 6,33 
Distância VÃO (m)= 5,15 5,15 
Área TT Laje (m²) = 20,00 17,50 
hlaje (m)= 0,11 0,11 
pplaje (kgf/m²)= 275,00 275,00 
comp. ALV na Laje (m)= 4,00 0,00 
carga ALV na Laje (kgf/m²)= 109,20 0,00 
carga Usual (kgf/m²)= 600,00 600,00 
carga Revest.(kgf/m²)= 150,00 150,00 
carga LAJE TT (kgf/m²)= 1134,20 1025,00 
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 1675,97 1259,85 
contribuição Viga Final (kgf/m)= 733,50 0,00 
Carregamento final (kN/m)= 24,09 12,60 
Carregamento e reações na Viga 3: 
reação normal é de 94,5 kN. 
Dimensionamento P 08 (extremidade) 
=0,23x1,10x4,20*25=26,6 kN; 
Carga (kN)= (26,6+181,4+94,5)x10,7 = 3236,8 
31 
 
32 
l0 (m)=3,7 
lex (m)=3,93 
ley (m)=4,2 
 
3.2.2.2 Momentos 
O maior lado do pilar foi disposto na direção Y para melhorar a estabilidade. 
Figura 7- em kN.m 
 
Fonte do autor. 
 
Determinação de momento A e B na direção Y. 
MA Em Y=35,7 
MB Em Y=35,7 
O restante do dimensionamento foi conforme os passos a seguir: 
 
1° Passo: Força normal adimensional v (Ni): 
v =
1,4x1,0x3236,8 kN
(0,23 1,10)m �x
������
�,�
kN/m �
= 1,0 
 
2° Passo: Índice de esbeltez: 
Na direção X Na direção Y 
lex≤ �
4,20m
 3,70 + 0,23 = 3,93m
� 
λx = 3,46x
3,93
0,23
= 59,12 ≈ 60 
 
Como: 35 < λ ≤ 90 - Considera-se Pilar 
medianamente esbelto na direção X. 
ley≤ �
4,20m
 3,70 + 1,10 = 4,80m
� 
λy = 3,46x
4,20
1,10
= 13,2 ≈ 14 
 
Como: λ < 35 - Considera-se Pilar curto 
na direção Y. 
 
33 
3° Passo: Excentricidades de 1° Ordem: 
Excentricidades Iniciais: 
Na direção X Na direção Y 
No topo igual base/pé: 
eix=
0 kN.m
3236,8 kN
= 0,0 m 
No topo igual base/pé: 
eiy=
35,7 kN.m
3236,8 kN
= 0,011 m 
 
Excentricidades Acidentais: 
Na direção X Na direção Y 
eax= 0,015 + 0,03 0,23 = 0,0219m 
Max = 3236,8x0,0219 = 70,89 kNm 
eay= 0,015 + 0,03x1,10 = 0,0480m 
May = 3236,8 0,0480 = 155,4 kNm 
 
Excentricidades de Centro: 
Na direção X Na direção Y 
Como MA (0) < Max (70,9): 
αb = 1; 
Mc = MA = 0,0 kNm . 
 
Como: Mc (0,0) < Max (70,9), a 
excentricidade será: 
e1cx= eax= 0,0219 m 
Como MA (35,7) < May (155,4): 
αb = 1 
Mc = 35,7 kN.m 
 
Como: Mc (35,7) < May (155,4), a 
excentricidade será: 
e1cy= eay= 0,0480 m 
 
4° Passo: Valor-limite do índice de esbeltez (λ1): 
Na direção X Na direção Y 
λ1 =
25 + 12,5 �
�,����
�,��
�
1
= 26,2 ≈ 27 
λ1 (27)<λx(71) "Considerar 2° ordem" 
λ1 =
25 + 12,5 �
�,����
�,��
�
1
= 25,6 ≈ 26 
λ1(26) >λy(14) "Desprezar 2° ordem" 
 
λ1 ≥ λ → não considera-se o efeito local de 2ª ordem na direção considerada 
λ1 < λ → considera-se o efeito local de 2ª ordem na direção considerada 
 
34 
5° Passo: Excentricidades de 2° Ordem: 
Excentricidades de Centro 
Na direção X: Na direção X: 
Curvatura na seção crítica (1/r): 
 
1
r
=
0,005
0,23 (1,0 + 0,5)
= 0,0145 
 
1
r
≤
0,005
0,23
= 0,022 "ok" 
 
Excentricidade de 2ª Ordem: 
e2x =
3,93�
10
0,0145 = 0,022 m 
Curvatura na seção crítica (1/r): 
 
1
r
=
0,005
1,1 (1,0 + 0,5)
= 0,003 
 
1
r
≤
0,005
1,1
= 0,005 "ok" 
 
Excentricidade de 2ª Ordem: 
e2x = 0 m 
 
 
6° Passo: Verificação das Seções 
Excentricidades (m) Utilização na verificação 
��� 0,0000 
Seção de Base/Pé 
��� 0,0110 
��� 0,0000 
Seção de Topo 
��� 0,0110 
��� 0,0219 
��� 0,0480 
��� 0,0219 
Seção Central 
��� 0,0480 
��� 0,0220 
��� 0,0000 
 
 
35 
a) Verificação do topo que equivale a base: 
Situação de Projeto 
Situação de Cálculo 1 
a) ex = 0,0219 m; 
b) ey = 0,0110 m. 
 
Situação de Cálculo 2 
a) ex = 0,0000 m; 
b) ey = 0,0480 m. 
 
b) Verificação da seção de centro: 
Situação de Projeto 
Situação de Cálculo 1 
a) ex = 0,0439 m; 
b) ey = 0,0480 m. 
 
Situação de Cálculo 2 
a) ex = 0,0219 m; 
b) ey = 0,0480 m; 
 
6.1) Verificação adotada: 
ex=0,0439; 
ey=0,0480. 
 
6.2) Obtendo Md (x e y) 
μ1 = Mdx = 1,0x� 
0,0439
0,23
 � = 0,19; 
μ2 = Mdy = 1,0x� 
0,0480
1,10
 � = 0,04. 
 
 
 
36 
v=1,0 
�1 = 0,19; 
�2 = 0,04. 
 
 
 
ω(1,0) = 0,75; 
para v = 1,0; ω = 0,75. 
 
A armadura é calculada pela expressão: 
fcd= 25/14 = 1,786 kN/cm²; 
fyk= 40 kN/cm² "conforme ábaco" 
37 
As = 0,75 (23x110)
1,786
40
= 84,72 cm � 
Adotar:44 L 16,0 mm As = 88,00 cm � 
 
8° Passo: Detalhamento 
c) Limites da Armadura Longitudinal: 
 
�
�,�������,���,�
��,��
= 15,63
�,�
���
(23 110) = 12,65
� ≤ As = 88,0 cm � ≤
8
100
(23 110) = 202,4 (ok) 
 
l= �
≥ 10mm
≤
23x10mm
8
≈ 25 mm
� "ok" 
 
Sl=
110 �
��
�
x1,6 + 2 0,5 + 2 2,5�
��
�
1
= 3,3 cm 
 
 
 
 
� 2 cm
1,0 Øm áx = 1,6 cm
� ≤ Sl≤ �
40 cm (ok)
2 23 = 46 cm
� 
 
� Espera 
16,0 mm 70 cm 
 
 
38 
d) Armaduras Transversais: 
 
t≥ �
5mm "ok"
1
4
x16 mm = 4 mm
� 
 
 
sT ≤ �
23 cm
12xØL = 12x1,6 = 19,2 cm "ok"
20 cm
� 
 
n° estribos=
420
19
+ 1 = 24 estribos 
 
Estribos contra flambagem (gancho): 
 
 
 
Smáx = 20Øt = 20*0,5 cm = 10 cm 
Gancho a cada 10 cm 
n° ganchos = 4 x n° de estribos 
 
 
39 
 
 
 
3.2.3 CALCULO PILAR 11
Para realizar o dimensionamento do pilar 11 é necessários as vigas 8 e 6, logo que a 
viga 8 já foi dimensionada será apresentada as reações na figura a seguir.
 
Carregamento final e reações Viga 8
 
Com esses valores ficou definido o carregamentodo pilar 11 em X de 164,5 kN.
 
 
CALCULO PILAR 11 
Para realizar o dimensionamento do pilar 11 é necessários as vigas 8 e 6, logo que a 
já foi dimensionada será apresentada as reações na figura a seguir. 
Carregamento final e reações Viga 8 
Com esses valores ficou definido o carregamento do pilar 11 em X de 164,5 kN.
 
40 
Para realizar o dimensionamento do pilar 11 é necessários as vigas 8 e 6, logo que a 
 
Com esses valores ficou definido o carregamento do pilar 11 em X de 164,5 kN. 
Determinação de carregamento na Viga 6
comp. ALV na Laje (m)=
carga ALV na Laje (kgf/m²)=
carga Revestimento(kgf/m²)=
carga LAJE TT (kgf/m²)=
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)=
contribuição Viga Final (kgf/m)=
Carregamento final (kN/m)=
 
Carregamento e reações na Viga 6:
No pilar 11 a reação normal é de 9
 
3.2.3.1 Dimensionamento P 11
Pilar 11 
Seção=22x105 
Piso a Piso (m)=4,2 
pppilar=0,22x1,05x4,20*25=2
Carga (kN)= (24,3+164,5
h Viga (m)=0,5; 
Determinação de carregamento na Viga 6 
VIGA 06 – EM Y 
TRECHO= '01-A '02-B 
LAJE = 05 06 
Área do Trecho (m²)= 6,33 7,21 
Distância VÃO (m)= 5,15 5,15 
Área TT Laje (m²) = 17,50 17,50 
hlaje (m)= 0,11 0,11 
pplaje (kgf/m²)= 275,00 275,00 
comp. ALV na Laje (m)= 0,00 3,50 
carga ALV na Laje (kgf/m²)= 0,00 109,20 
carga Usual (kgf/m²)= 600,00 600,00 
carga Revestimento(kgf/m²)= 150,00 150,00 
carga LAJE TT (kgf/m²)= 1025,00 1134,20 
contribuição LAJE na Viga Final (kgf/m)= 1259,85 1587,88 
contribuição Viga Final (kgf/m)= 733,50 0,00 
Carregamento final (kN/m)= 19,93 15,88 
Carregamento e reações na Viga 6: 
reação normal é de 92,2 kN. 
Dimensionamento P 11 (extremidade) 
x4,20*25=24,3 kN; 
164,5+92,2)x10,7 = 3006,7 
41 
 
42 
l0 (m)=3,7 
lex (m)=3,92 
ley (m)=4,2 
 
3.2.3.2 Momentos 
O maior lado do pilar foi disposto na direção Y para melhorar a estabilidade. 
Figura 8- em kN.m 
 
Fonte do autor. 
 
Determinação de momento A e B na direção Y. 
MA Em Y=38,8 
MB Em Y=38,8 
O restante do dimensionamento foi conforme os passos a seguir: 
 
1° Passo: Força normal adimensional v (Ni): 
v =
1,4x1,0x3006,7 kN
(0,22 1,05)m �x
������
�,�
kN/m �
= 1,02 
 
2° Passo: Índice de esbeltez: 
Na direção X Na direção Y 
lex≤ �
4,20m
 3,70 + 0,22 = 3,92m
� 
λx = 3,46x
3,92
0,22
= 61,65 ≈ 62 
 
Como: 35 < λ ≤ 90 - Considera-se Pilar 
medianamente esbelto na direção X. 
ley≤ �
4,20m
 3,70 + 1,05 = 4,75m
� 
λy = 3,46x
4,20
1,05
= 13,84 ≈ 14 
 
Como: λ < 35 - Considera-se Pilar curto 
na direção Y. 
 
43 
3° Passo: Excentricidades de 1° Ordem: 
Excentricidades Iniciais: 
Na direção X Na direção Y 
No topo igual base/pé: 
eix=
0 kN.m
3006,7 kN
= 0,0 m 
No topo igual base/pé: 
eiy=
38,8 kN.m
3006,7 kN
= 0,0129 m 
 
Excentricidades Acidentais: 
Na direção X Na direção Y 
eax= 0,015 + 0,03 0,22 = 0,0216m 
Max = 3006,7x0,0216 = 64,94 kNm 
eay= 0,015 + 0,03x1,05 = 0,0465m 
May = 3006,7 0,0465 = 139,8 kNm 
 
Excentricidades de Centro: 
Na direção X Na direção Y 
Como MA (0) < Max (64,9): 
αb = 1; 
Mc = MA = 0,0 kNm . 
 
Como: Mc (0,0) < Max (64,9), a 
excentricidade será: 
e1cx= eax= 0,0216 m 
Como MA (38,8) < May (139,8): 
αb = 1 
Mc = 38,8 kN.m 
 
Como: Mc (38,8) < May (139,8), a 
excentricidade será: 
e1cy = eay = 0,0465 m 
 
4° Passo: Valor-limite do índice de esbeltez (λ1): 
Na direção X Na direção Y 
λ1 =
25 + 12,5 �
0,0216
0,22
�
1
= 26,2 ≈ 27 
λ1 (27)<λx(65) "Considerar 2° ordem" 
λ1 =
25 + 12,5 �
0,0465
1,05
�
1
= 25,6 ≈ 26 
λ1(26) >λy(14) "Desprezar 2° ordem" 
 
λ1 ≥ λ → não considera-se o efeito local de 2ª ordem na direção considerada 
λ1 < λ → considera-se o efeito local de 2ª ordem na direção considerada 
 
44 
5° Passo: Excentricidades de 2° Ordem: 
Excentricidades de Centro 
Na direção X: Na direção X: 
Curvatura na seção crítica (1/r): 
 
1
r
=
0,005
0,22 (1,02 + 0,5)
= 0,0149 
 
1
r
≤
0,005
0,22
= 0,023 "ok" 
 
Excentricidade de 2ª Ordem: 
e2x =
3,922
10
0,0149 = 0,023 m 
Curvatura na seção crítica (1/r): 
 
1
r
=
0,005
1,05 (1,02 + 0,5)
= 0,0031 
 
1
r
≤
0,005
1,05
= 0,005 "ok" 
 
Excentricidade de 2ª Ordem: 
e2x = 0 m 
 
 
6° Passo: Verificação das Seções 
Excentricidades (m) Utilização na verificação 
��� 0,0000 
Seção de Base/Pé 
��� 0,0129 
��� 0,0000 
Seção de Topo 
��� 0,0129 
��� 0,0216 
��� 0,0465 
��� 0,0216 
Seção Central 
��� 0,0465 
��� 0,0230 
��� 0,0000 
 
 
45 
a) Verificação do topo que equivale a base: 
Situação de Projeto 
Situação de Cálculo 1 
a) ex = 0,0216 m; 
b) ey = 0,0129 m. 
 
Situação de Cálculo 2 
a) ex = 0,0000 m; 
b) ey = 0,0465 m. 
 
b) Verificação da seção de centro: 
Situação de Projeto 
Situação de Cálculo 1 
a) ex = 0,0446 m; 
b) ey = 0,0465 m. 
 
Situação de Cálculo 2 
a) ex = 0,0216 m; 
b) ey = 0,0465 m; 
 
6.1) Verificação adotada: 
ex=0,0446; 
ey=0,0465. 
 
6.2) Obtendo Md (x e y) 
μ1 = Mdx = 1,02x � 
0,0446
0,22
 � = 0,21; 
μ2 = Mdy = 1,02x � 
0,0465
1,05
 � = 0,05. 
 
 
 
46 
v=1,02 "Será necessário encontrar os valores para v=1,0 e v=1,2 e interpolar ". 
�1 = 0,21; 
�2 = 0,05. 
 
Vd=1,0: 
 
 
 
ω(1,0) = 0,84; 
 
 
47 
Vd=1,2: 
 
 
ω(1,2) = 1,0; 
 
para v = 1,0; ω = 0,75; 
para v = 1,2; ω = 1,0. 
 
1,2�1,0
1,0� 0,75
=
1,2�1,02
1,0� � �����
: 
 
ω cálculo = 0,78. 
 
 
48 
A armadura é calculada pela expressão: 
fcd= 25/14 = 1,786 kN/cm²; 
fyk= 40 kN/cm² "conforme ábaco" 
As = 0,78x(22x105)
1,786
40
= 80,45 cm2 
Adotar:26 L 20,0 mm As = 81,90 cm2 
 
8° Passo: Detalhamento 
a) Limites da Armadura Longitudinal: 
�
0,15x3006,7x1,4
43,48
= 14,52
0,5
100
(22 105) = 11,55
� ≤ As = 81,9 cm2 ≤
8
100
x(22x105) = 184,8 "ok" 
 
l = �
≥ 10mm
≤
22x10mm
8
≈ 25 mm
� "ok" 
 
Sl =
105 �
26
2
x2,0 + 2 0,5 + 2 2,5�
26
2
1
= 6,1 cm 
 
 
 
� 2 cm
1,0 Ømáx = 2,0 cm
� ≤ Sl ≤ �
40 cm (ok)
2 22 = 44 cm
� 
 
� Espera 
20,0 mm 80 cm 
 
49 
b) Armaduras Transversais: 
 
t ≥ �
5mm "ok"
1
4
x16 mm = 4 mm
� 
 
 
sT ≤ �
22 cm
12xØL = 12x2,0 = 24,0 cm
20 cm "ok"
� 
 
n° estribos =
420
20
+ 1 = 22 estribos 
 
Estribos contra flambagem (gancho): 
 
 
 
Smáx = 20Øt = 20*0,5 cm = 10 cm 
Gancho a cada 10 cm 
n° ganchos = 3 x n° de estribos 
 
 
50 
 
 
 
51 
4 ANEXOS ÁBACO 
 
 
52 
REFERÊNCIAS 
[1] REBELLO, Yopanan Conrado Pereira. Estruturas de aço, concreto e madeira: atendimento 
da expectativa dimensional. São Paulo: Zigurate Editora, 2005. 
 
[2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT, Rio de Janeiro. NBR 
6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1978. 
 
[3] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de 
estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
 
 
[4] Consulta ao ábaco. ÁBACO A -16 Pinheiro et al. (1994) – EESC – USP. Por José Samuel 
Giongo – USP – EESC – SET. Concreto Armado: Projeto de pilares segundo a NBR 
6118:2014.