Trigonometria_ITA - Lista 17

Prévia do material em texto

TRIGONOMETRIA NO ITA 
 
 
 
O Instituto Tecnológico de Aeronáutica — ITA — é uma escola de engenharia 
mundialmente conhecida. 
Com o mesmo zelo com que trata seus excelentes cursos (Engenharia 
Aeronáutica, Engenharia Mecânica Aeronáutica, Engenharia de Infra-
Estrutura Aeronáutica, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação), 
trata seu vestibular, que é realizado em 4 dias: 
1º- dia: FÍSICA, com 20 questões de múltipla escolha e 10 questões dissertativas. 
2º- dia: PORTUGUÊS, com 20 questões de múltipla escolha e uma redação, e INGLÊS, com 20 questões de 
múltipla escolha. 
3º- dia: MATEMÁTICA, com 20 questões de múltipla escolha e 10 questões dissertativas. 
4º- dia: QUÍMICA, com 20 questões de múltipla escolha e 10 questões dissertativas. 
Cada prova tem duração de 4 horas. 
A nota da prova de Inglês, embora seja eliminatória, não entra na classificação final. 
Em Matemática, Física e Química, as questões de múltipla escolha equivalem a 50% do valor da prova, e a 
parte dissertativa, aos outros 50%. 
Na prova de Português, as questões de múltipla escolha equivalem a 60% do valor da prova, e a Redação, a 
40%. É eliminado o candidato que tirar ZERO na Redação. 
Só é corrigida a parte dissertativa das provas dos 650 melhores classificados nas questões de múltipla 
escolha. 
Serão considerados aprovados nos exames de escolaridade os candidatos que obtiverem nota igual ou 
superior a 40 (na escala de 0 a 100) e média igual ou superior a 50 (na escala de 0 a 100). 
A nota final é a média aritmética das provas de Matemática, Física, Química e Português. 
 
NOTAÇÕES 
{ }…N�= 0,1, 2, 3, 
R�: conjunto dos números reais 
C�: conjunto dos números complexos 
[ ] { }∈ ≤ ≤Ra,b a b= x : x 
( ) ] [ { }∞ = ∞ = ∈ < < ∞Ra, + a, + a +x : x 
{ }\ = ∈ ∉A B A Bx : x 
CA : complementar do conjunto A 
( )P A : coleção de todos os subconjuntos de A 
( )n A : número de elementos do conjunto finito A 
AB: segmento de reta unindo os pontos A e B 
trA : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A 
−2i: unidade imaginária i = 1 
∈Cz : módulo do número z 
( ) ∈CRe z : parte real do número z 
( ) ∈CIm z : parte imaginária do número z 
( )Rm x nM : conjunto das matrizes reais m x n 
tA : transposta da matriz A 
detA : determinante da matriz A 
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares 
 
 
 
 
 
TTrriiggoonnoommeettrriiaa nnoo IITTAA ((11995588 –– 22001100)) 
 
[Questão 1] (1958) Demonstrar que se A, B, C são ângulos de um triângulo não retângulo, então: 
⋅ ⋅tgA+ tgB+ tgC= tgA tgB tgC. 
É verdadeira essa fórmula no caso de um triângulo retângulo? Justifique a resposta. 
 
[Questão 2] (1959) Assinale e demonstre as alternativas verdadeiras: 
(1) Para todo x tal que ⋅ ≠
1
senx cosx
2
, tem-se 
 
π 
 
  − ⋅
2 1tg x+ +1=
14
senx cosx
2
 
(2) <senx+seny 0 sempre que 
π
< < πx
2
, 
π
− < <y 0
2
 e − πx y> . 
 
[Questão 3] (1960) Determinar o (s) erro (s) na dedução abaixo. 
Seja 
π
< <0 x
2
; nessa hipótese <cosx secx e multiplicando ambos os membros por −senx tgx obtemos 
( ) ( )⋅ − < ⋅ −cosx senx tgx secx sex tgx ou ⋅ − < − ⋅senx cosx senx tgx tgx secx 
para ox = 45 teremos: 
− < −
1 2 2
1
2 2 2
 e sucessivamente 
− < −
2 1
2
2 2
 
<
2 1
2 2
 
<2 1 
 
[Questão 4] (1961) Um observador está num ponto B, a 2 km a leste de um ponto A, quando um avião passa 
por sobre a cabeça do observador em B. Nesse instante, o avião é visto do ponto A, sob um ângulo de 60º 
(contado a partir do horizonte do observador). Dez segundos depois, o aparelho que voava horizontalmente, 
é observado de A, na direção sul, sob o ângulo de 45º (contado a partir do horizonte do observador). Achar a 
velocidade média do avião nesse intervalo de tempo. 
 
[Questão 5] (1962) Deduzir as expressões: 
 
⋅
2
a
2 tg
2sena=
a
1+ tg
2
 e 
− 2
2
a
1 tg
2cosa=
a
1+ tg
2
 
[Questão 6] (1962) Qual o valor de tga, se 
7
sena=
3
? 
 
[Questão 7] (1962) Calcular ocos165 
 
[Questão 8] (1963) Calcular osen105 
 
[Questão 9] (1964) Se < <o o90 a 180 , qual o sinal de tga+cotga? 
[Questão 10] (1964) Se 
1
tga= 2
2
, qual o valor de cotga? 
[Questão 11] (1964) Calcular: 2 2sen a+cos a. 
 
[Questão 12] (1964) Reduzir ao primeiro quadrante: ( )− osen 150 . 
 
 
[Questão 13] (1964) Resolver a equação: senx= 0 . 
[Questão 8] (1964) Transformar em produto a expressão: senx+sen3x 
 
[Questão 8] (1965) A equação trigonométrica −2cos x 5cosx+6= 0 
 
a) Tem solução real 
b) Não tem solução real 
c) Tem solução entre 0 e 
π
4
 
[Questão 16] (1966) O 5º termo do desenvolvimento de 
 
 
 
8
sent
+cost
2cost
 é: 
a) ⋅ 4
35
sen t
8
 
b) ⋅ ⋅3 27 sen t cos t 
c) ⋅
5
2
7 sen t
4 cos t
 
 
[Questão 17] (1966) A desigualdade ≥senx seny (x e y quaisquer) implica em que: 
a) ≥x y 
b) ≤x y 
c) Nem a nem b 
 
 
[Questão 18] (1966) Dados o seno e o cosseno de um arco x, 
 
a) O arco fica determinado 
b) O arco fica determinado a menos de um múltiplo de π2 . 
c) O arco fica determinado a menos do sinal. 
 
[Questão 19] (1966) A equação tgx = x para 
π π
≤ ≤
3
x
2 2
 
a) Tem só uma solução 
b) Não tem nenhuma solução 
c) Tem mais do que uma solução 
 
[Questão 20] (1967) Sendo senx=1 
a) −sen2x= 2 
b) sen2x= 0 
c) −sen2x= 1 
d) sen2x=1 
e) sen2x= 2 
 
 
[Questão 21] (1967) Transformando 12º em radianos obtemos: 
a) 
π
rad
15
 
b) 
π
15
rad 
c) 
π
rad
30
 
d) 
π2
rad
15
 
e) 12 rad 
 
 
 
 
 
[Questão 22] (1967) 2Sen x é igual a: 
a) ( )1 1+cos2x
2
 
b) ( )−1 1 cos2x
2
 
c) ( )1 1+sen2x
2
 
d) ( )1 1+sen2x
2
 
e) ⋅
1
senx cosx
2
 
 
 
[Questão 23] (1967) Senx é igual a: 
a) 
2
x
2tg
2
x
1+ tg
2
 
b) 
− 2
2
x
1 tg
2
x
1+ tg
2
 
c) 
− 2
x
2tg
2
x
1 tg
2
 
d) 
−1 cosx
±
2
 
e) ⋅
x x
sen cos
2 2
 
 
 
[Questão 24] (1967) o osen14 +sen18 é igual a: 
 
a) − ⋅o o2sen2 cos16 
b) ⋅o o2sen2 cos16 
c) ⋅o o2sen16 cos2 
d) − ⋅o o2sen16 cos2 
e) ⋅o o2cos16 sen2 
 
 
[Questão 25] (1968) A função x= arcseny é univocamente determinada para: 
a) ≤ ≤ π0 x 
b) < ≤ π0 x 2 
c) −π ≤ ≤ πx 
d) ≤ ≤ π0 x 2k , k =1, 2, 3, … 
e) 
π π
− ≤ ≤x
2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
[Questão 26] (1968) Se ≠ −m 1, 
−m 1
y= arcsen
m+1
 é igual a: 
a) 
−m 1
arccos
m+1
 
b) 
2
m
arctg
1+m
 
c) 
2 m
arccos
m+1
 
d) 
 − −     
2
m 1
arcsen 1
m+1
 
e) n.r.a 
 
[Questão 27] (1968) Quais os valores de x que satisfazem a equação −
x
cosx cos = 2
2
? 
a) 
π π
− ≤ ≤x
2 2
 
b) ⋅ π ∈Zx= k , k 
c) ( )π ⋅π ∈Zx= k , k+1 k 
d) ( ) ⋅ π ∈Zx= k+1 2 , k 
e) ( ) ⋅ π ∈Zx= 2k+1 2 , k 
 
 
[Questão 28] (1968) Para que valores do número real a, podemos garantir que existe sen2x , sabendo que 
−4 4cos x sen x= a 
 
a) >a 1 
b) ≤a 0 
c) ≤ ≤0 a 1 
d) ≤ ≤
1
a 1
2
 
e) ≤ ≤
1
0 a
2
 
 
[Questão 29] (1968) Seja ⋅= log tgxy a com < <0 a 1, onde uln indica o logaritmo neperiano de u. Então, 
 
a) 
π π
< ≤ π < ≤ π
3
x ou x 2
2 2
 
b) 
π π
≤ ≤ π ≤ ≤
3
0 x ou x
2 2
 
c) 
π π
< ≤ π ≤ ≤
5
0 x ou x
4 4
 
d) 
π π
< ≤ π ≤ ≤
5
0 x ou x
4 4
 
e) 
π
< ≤
3
0 x
2
 
[Questão 30] (1969) Para que valores de t, o sistema: 
+ = π

+ =
2
x y
senx seny logt
 admite solução? 
a) < <0 t 10 
b) < < π0 t 10 
c) < < 20 t 10 
d) ≤ ≤0,1 t 10 
e) em nenhum dos intervalos indicados acima. 
 
[Questão 20] (1969) A equação − =2
3x 3x
sen cos a
2 2
 tem solução para valores de a. Assinale um dos itens 
abaixo que lhe parecer correto. 
a) < <
7
1 a
4
 
b) − < <
5
2 a
4
 
c) − < <
1
1 a
4
 
d) < <
3
1 a
2
 
e) em nenhum dos intervalos acima. 
 
[Questão 32] (1969) Consideremos a equação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + −=
2 22 7cos x cosx logb 8 logb 2 logb
tga cot ga onde 
π π
< <a
4 2
, a 
fixado, >b 0 e bln indica o logaritmo neperiano de b. A equação acima tem solução em x se: 
 
a) <0 logb 
b) − < <
1
logb 2
7
 
c) − <<
1
2 logb
7
 
d) − ≤ ≤2 logb 1 
e) − < <
1 1
logb
6 6
 
 
[Questão 33] (1971) Consideremos a equação: 
 ( ) ( )− − =  
2
log senx log senx 6 0 
A(s) solução (ões) da equação acima é dado por: 
a) ( ) ( )= =2x arcsen e ou x arcsen 3 
b) 
   = =   
   
1 1
x arcsen ou x arcsen
2 3
 
c) ( ) ( )= =2x arctg e ou x arccos 3 
d) 
 =  
 2
1
x arcsen
e
 
e) n.d.a 
 
[Questão 34] Dada a equação ( ) =log cosx tgx , as soluções desta equação em x satisfazem a relação: 
a) 
π
< ≤ π
3
x 2
2
 
b) 
π
< <0 x
2
 
c) < < π0 x 
d) 
π π
− < <x
2 2
 
e) n.d.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Questão 35] (1971) A igualdade =
cosx x
cos
2 2
 é verificada: 
a) para qualquer valor de x 
b) para qualquer valor de 
⋅ π
≠
n
x
2
 onde = ± ± ±n 0, 1, 2, 3,... 
c) para 
 −
>  
 
1 3
x 2arccos
2
 
d) para nenhum valor de x 
e) ( )> −o ox 2arccos cos60 cos30 
 
[Questão 36] (1971) A equação ( ){ } ( ){ }⋅ =sen cosx cos cosx 1 é satisfeita para: 
a) 
π
=x
4
 
b) =x 0 
c) nenhum valor de x 
d) todos os valores de x 
e) todos os valores de x pertencentes ao 3o quadrante 
 
[Questão 37] (1971) Seja n um número inteiro, >n 1, e 
π ∈ 
 
x 0,
2
. Qual afirmação abaixo é sempre 
verdadeira? 
a) ( )− ≥ − ⋅n1 senx 1 n senx 
b) ( )− ≥ − ⋅n1 senx 1 n senx , para apenas n par 
c) ( )− ≤ − ⋅n1 senx 1 n senx 
d) ( )− ≤ − ⋅n1 senx 1 n cosx 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 38] (1971) Seja 
π ∈ 
 
x 0,
2
. Qual das afirmações é verdadeira? 
a) + ≤
senx cosx
1
cosx senx
 
b) + ≤
senx cosx
2
cosx senx
 
c) + ≥
senx cosx
2
cosx senx
 
d) + =
senx cosx
2
cosx senx
 
e) n.d.a 
 
 
 
[Questão 39] (1972) O ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 10 horas e 15 minutos é: 
a) o142 30' 
b) o142 40' 
c) o142 
d) o141 30' 
e) n.d.a 
 
 
 
 
 
 
[Questão 40] (1972) Assinale uma solução para a equação trigonométrica ⋅ + =3 senx cosx 3 . 
a) 
π
= π−x 2k
6
 
b) 
π
= π+x 2k
6
 
c) 
π
= π−x 2k
2
 
d) 
π
= π+x 2k
2
 
e) n.d.a 
 
[Questão 41] (1972) Seja a equação ( ) ( ) ( ) ( )+ − − −
−
− + − =logx 1 logx 1 logx 3 logx 4
657
sena
3 3 3 3 log
e
. 
Sabe-se que logx é a maior raiz da equação − − =2r 4r 5 0 . (Logx é o logaritmo neperiano de x). O valor de a 
para que a equação seja verificada é: 
a) 
π
=
3
a
2
 
b) =
2
a arcsen
2
 
c) =
2
a arcsen
2
 
d) =
3
1
a arcsen
e
 
e) n.d.a 
 
[Questão 42] (1972) Seja θ = >
b
arcsen , com a b
a
. Então θ2 vale: 
a) 
 θ = ⋅ 
 
b
2 arc 2 sen
a
 
b) θ =
2b
2 arcsen
a
 
c) 
 
θ =  
− 2 2
2a
2 arcsen
b a
 
d) 
 −
θ =  
 
 
2 2
2
2b b a
2 arcsen
a
 
e) n.d.a 
 
[Questão 43] (1972) Quais condições devem ser satisfazer a e k para que a seguinte igualdade tenha sentido? 
 ( ) =elog seca k 
a) 
π π
− < < ≥a , k 0
2 2
 
b) 
π π
− < < <a , k 0
2 2
 
c) 
π π
− < < >a , k 0
2 2
 
d) 
π π
< < ≥
3
x , k 0
2 2
 
e) n.d.a 
 
 
 
[Questão 44] (1972) Consideremos a função ( ) ( )
∞
=
=∑ n
n 1
S x senx , onde 
π
< <0 x
2
. Para que valores de x 
 
 ( )≤ ≤10 S x 20 ? 
a) ≤ ≤
9 19
arcsen x arcsen
10 10
 
b) ≤ ≤
10 20
arcsen x arcsen
9 19
 
c) ≤ ≤
10 20
arcsen x arcsen
11 21
 
d) ≤ ≤
2 3
arcsen x arcsen
2 2
 
e) n.d.a 
 
[Questão 45] (1972) Quais os valores de α de modo que o sistema 
 
( ) ( )
( )
( )
α − + − α =

α + =
 + α + =
sen 1 x 2y sen z 0
3sen y 4z 0
3x 7sen y 6z 0
 
Admite soluções não triviais? 
a) α = ⋅π = ± ±n , n 0, 1, 2,... 
b) 
π
α = ⋅π+ = ± ±n , n 0, 1, 2,...
3
 
c) 
π
α = ⋅π+ = ± ±n , n 0, 1, 2,...
2
 
d) não há valores de α 
e) n.d.a 
 
[Questão 46] (1972) Para todo α e β , β <1, a expressão ( )α + βtg arctg arcsen é igual a; 
a) 
β+α −β
−
α ⋅β− −β
2
2
1
1
 
b) 
α −β
α ⋅β− −β21
 
c) 
α +β
α ⋅β− −β21
 
d) 
( )α −β ⋅ −β
−
α ⋅β−
21
1
 
e) n.d.a 
 
[Questão 47] (1972) Seja a equação 
 ( ) ( ) = − + ⋅ 
2
3tg3x 3 logk 4log k 2 tgx 
( )= elogk log k 
Para que valores de k, a equação dada admite solução? 
a) < ≤
1
30 k e 
b) < ≤
2
30 k e 
c) −< ≤ 10 k e 
d) < ≤
7
30 k e 
e) n.d.a 
 
[Questão 48] (1973) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O 
comandante, quando o navio está em A, observa um farol em L, e calcula o ângulo oLAC 30=ˆ . Após navegar 4 
milhas até B, verifica o ângulo o LBC 75=ˆ . Quantas milhas separam o farol do ponto B? 
 
a) 4 
b) 2 2 
c) 
8
3
 
d) 
2
2
 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 49] (1973) Seja a equação ( )e elog m senx cosx log m± = . Quais as condições sobre m para que a 
equação dada admita solução? 
a) 
   > = + π ≠ ≠ + π   
   
1 1
m 0 se x 2k ; m 1 se x 2k
2 2
 
b) 
   ≠ = + π ≥ ≠ ≠ + π   
   
1 1
m 0 se x 2k ; m 0 e m e se x 2k
2 2
 
c) 
   > = + π ≥ ≠ + π   
   
1 1
m e se x 2k ; m 1 se x 2k
2 2
 
d) 
   > − ≠ = + π ≠ ≠ + π   
   
1 1 1
m e m 0 se x 2k ; m 0 se x 2k
e 2 2
 
e) n.d.a 
 
[Questão 50] (1973) Eliminando θ nas equações 
 
⋅ θ + ⋅ θ = θ
⋅ θ − ⋅ θ = θ >
x sen y cos 2asen
x cos y sen acos , a 0
 
temos: 
a) ( ) ( ) ( )+ − − = +
2 2
2
3 3x y x y 2a x y 
b) ( ) ( ) ( )+ + − = + ⋅2 2x y x y x y a 
c) ( ) ( )+ + − =
22 2
33 3x y x y 2a 
d) impossível eliminar θ 
e) n.d.a 
 
[Questão 51] (1973) Seja a equação 
 ( ) ( ) ⋅ = − + ⋅ 
2
e e3 tg3x 3 log t 4 log t 2 tgx , ≠ ⋅πx n 
Quais as condições sobre t para que a equação acima admita solução? 
a) < < < < >
1 7
3 3
1
0 t ou e t e ou t e
e
 
b) ≤ < < <
1 3
3 2e t e ou 0 t e 
c) < ≤ >
21
34
1
e t e ou t
e
 
d) > ≠t 0 e t 1 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 52] (1974) O valor da expressão 
θ
=
− θ2
2tg
x
1 tg
 quando θ = −
3
cos
7
 e θ <tg 0 , é: 
a) 
4 10
31
 
 
b) −
2 10
3
 
c) 
2 10
15
 
d) 
3 10
7
 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 53] (1974) 
 −
 + 
2
1 tgx
1 tgx
vale: 
a) 
− ⋅
+
1 2 sen2x
1 sen2x
 
b) 
+ ⋅
−
1 2 sen2x
1 sen2x
 
c) 
+
−
1 sen2x
1 sen2x
 
d) 
−
+
1 sen2x
1 sen2x
 
e) n.d.a 
 
[Questão 54] (1975) Sabendo-se que 
−
= > >
+
m n
senx , m 0 e n 0
m n
 podemos afirmar que 
π − 
 
x
tg
4 2
 é igual a: 
a) 
n
m
 
b) 
m
n
 
c) −
n
1
m
 
d) 
n
m
 
e) n.d.a 
 
[Questão 55] (1975) Admitindo-se que o polinômio ( ) ( ) ( )= − ⋅ + ⋅ + −25 3 2 2P x y tgu y tgu y sec u tg u é divisível 
pelo polinômio ( ) = + −2 2Q x y cot g u cossec u , onde π < < πu
2
, podemos assegurar que: 
a) tgu é um número irracional negativo 
b) = −cossecu secu 
c) 
π
=
2
u
3
 
d) tgu é um número tal que − < <1 tgu 0 
e) n.d.a 
 
 
 
 
 
[Questão 56] (1975) Seja ( ) ( ) ( )= + + +3 1 3 2 3 3S log tgx log tgx log tgx ... onde 
π
=1x
3
 e ( )+ =n 1 nx arctg tgx , 
=n 2, 3,... 
Nestas condições podemos assegurar que: 
a) ( )= + + +3 1 2 3S log tgx tgx tgx ... 
b) = −S 1 
 
c) =S 2 
d) =S 1 
e) n.d.a 
 
[Questão 57] (1976) A inequação ( )− + + <24sen x 2 1 2 senx 2 0 tem uma solução x, tal que: 
a) < <o o45 x 60 
b) < <o o0 x 30 
c) < <o o35 x 45 
d) < <o o60 x 75 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 58] (1976) Resolvendo a equação 
 ( ) ( ) ( ) ( )⋅ − ⋅ ⋅ − =2 x x x 2 x3 sen e 2 3 sen e cos e 3cos e 0 
obteremos 
a) 
π
= ⋅π± =xe k , k 0,1, 2,...
4
 
b) 
 
= ⋅π ± ⋅π = 
 
e
3
x log 2k , k 0,1, 2,...
2
 
c) 
π
= ⋅π+ =xe k , k 0,1, 2,...
3
 
d) 
π = ⋅π − = 
 
e
k
x log , k 0,1, 2,...
2 6
 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 59] (1976) A respeito do produto 
 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )= + ⋅ + ⋅ +P sen bx cossec bx cos bx sec bx tg bx cot g bx 
Podemos afirmar que: 
a) P é positivo, para todo x real e >b 0 
b) P pode ser negativo ou positivo, dependendo da escolha de x e b em R 
c) P é negativo para = ⋅πx k e <b 0 , quando =k 0,1, 2,... 
d) P é positivo, quando 
⋅ π
≠
k
bx
2
, para todo = ± ±k 0, 1, 2,... 
e) n.d.a 
 
[Questão 60] (1977) Seja 
⋅ π  = ∈ ≠ =  
  
R� e
n
D x /x log , n 1, 2, 3,...
2
. Com respeito à função →Rf :D , definida 
por ( )
( )
( )
( )
( )= −
x x
x x
sen 3e cos 3e
f x
sen e cos e
, podemos afirmar que: 
a) ( ) =f x 2 para todo x em D 
b) ( ) =f x 3 para todo x em D 
c) ( ) = 3f x e para todo x em D 
d) ( )f x não é constante em D 
e) n.d.a 
 
[Questão 61] (1977) Resolvendo a equação 
π π   − − + =   
   
e etg 2log x tg log x 0
6 3
 
temos: 
a) 
π
= + ⋅π =x k , k 0,1, 2, 3,...
3
 
 
b) 
π
= ± ⋅π =6x e k , k 0,1, 2, 3,... 
c) 
π
= ± ⋅π =logx k , k 0,1, 2, 3,...
6
 
d) 
π
= ± ⋅π =2x e 2k , k 1, 2, 3,... 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 62] (1977) Considere um triangulo ABC cujos ângulos internos ˆˆ ˆA, B e C verificam a relação 
 
 +
=  
 
ˆB̂ CˆsenA tg
2
 
Então podemos afirmar que: 
a) Com esses dados do problema, não podemos determinar  nem B̂ e nem Ĉ 
b) 
π π
= + =
5ˆˆ ˆA e B C
6 6
 
c) Um deles é reto 
d) 
π π π
= = =
5ˆˆ ˆA , B , C
3 4 12
 
e) n.d.a 
 
[Questão 63] (1978) Seja ( )f x uma função real de variável real. Se para todo x no domínio de f temos 
( ) ( )= −f x f x , dizemos que a função é par; se, no entanto, temos ( ) ( )= − −f x f x , dizemos que a função é 
ímpar. Com respeito à função 
 ( )  = + + 
2
eg x log senx 1 sen x , 
podemos afirmar que: 
a) está definida apenas para ≥x 0 
b) é uma função que não é nem par nem ímpar 
c) é uma função par 
d) é uma função ímpar 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 64] (1978) Seja a uma constante real. Eliminando θ das equações abaixo: 
 
⋅ θ + ⋅ θ = ⋅ θ

⋅ θ− ⋅ θ = ⋅ θ
x sen y cos 2a sen2
x cos y sen a cos2
 
a) ( ) ( )+ + − =
22 2
33 3x y x y 2a 
b) ( ) ( )− − + =
22 2
33 3x y x y 2a 
c) ( ) ( )+ + − =
22 2
33 3x y y x a 
d) ( ) ( )+ + − =
2
2 2 3
3 3
a
x y x y
2
 
e) n.d.a 
 
 
 
[Questão 65] (1979) Se a e b são ângulos complementares, 
π
< <0 a
2
, 
π
< <0 b
2
 e 
+
=
−
sena senb
3
sena senb
, então 
( )  + 
 
3a
sen cos 3b
5
 é igual a: 
a) 3 
 
b) 
3
3
 
c) 2 
d) 
2
2
 
e) n.d.a 
 
[Questão 66] (1980) Sobre a função ( ) = 2f x sen x , podemos afirmar que: 
a) É uma função periódica de período π4 
b) É uma função periódica de período π2 
c) É uma função periódica de período π 
d) É uma função periódica onde o período pertence ao intervalo aberto ( )π π, 2 
e) n.d.a 
 
 
[Questão 67] (1980) No intervalo π < < πx 2 , quais são os valores de k que satisfazem a inequação 
 ( ) >senxelog k 1? 
a) Para todo >k e 
b) Para todo >k 2 
c) Para todo >k 1 
d) Para todo < <1 k e 
e) Para todo < <0 k e 
 
[Questão 68] (1980) Seja ( ) ( )= + π⋅ +f t 4 3cos t 4 a função definida em R . Sobre esta função qual das 
alternativas abaixo é correta? 
a) ( )f t é função par 
b) ( )f t é função ímpar 
c) o maior valor que ( )f t assume é 9 
d) o menor valor que ( )f t assume é −3 
e) o menor valor que ( )f t assume é − 1
2
 
 
[Questão 69] (1981) Denotemos por R o conjunto dos números reais. Seja →R Rg: , uma função não nula 
que satisfaça, para todo x e y reais, a relação 
 ( ) ( )
 
=  
 
2g x
f x sen
a
, ≠a 0 
então podemos garantir que; 
a) f é periódica com período π⋅a 
b) para =a n (n natural), temos: ( ) ( )=   f n 2sen g 1 
c) Se ( ) ≠g 1 0 , então ( ) ( )=g 1 g 0 
d) Se ( ) = π⋅g T a, então T é o período de f 
e) Se ( ) = πg T 2 , então T é o período de f 
 
 
 
 
 
[Questão 70] (1981) Se R denota o conjunto dos números reais e ( )a,b o intervalo aberto { }∈ < <R a bx : x 
seja 
π → 
 
Rf : 0,
2
 definida por ( ) = +2 2f x sec x cossec x 
Se 
π α∈ 
 
0,
2
 tal que α =
a
tg
b
, então ( )αf é igual a: 
 
a) 
+a b
2
 
b) +2 2
1
a b
2
 
c) 
−
⋅
2 2a b
a b
 
d) 
+
⋅
2 2a b
a b
 
e) n.d.a 
 
[Questão 71] (1982) A função [ ]π  →  
f : 0, 0,1
4
 definida por: ( )  = + ⋅ ⋅ 
 
x
f x 1 tgx tg cosx
2
 é uma função: 
a) constante 
b) sobrejetora e ímpar 
c) injetora e ímpar 
d) injetora e par 
e) sobrejetora e par 
 
 
[Questão 72] (1982) Considere o sistema 
 
− = ⋅ θ

− = θ
2x 1 3 sen
x 2 cos
 
para x e θ reais. Se restringirmos θ ao intervalo 
π 
  
0,
2
, então: 
a) o sistema não possuirá solução 
b) o sistema possuirá apenas uma solução ( )θ1 1x , 
c) o sistema possuirá duas soluções ( )θ1 1x , e ( )θ2 2x , , de modo que + =1 2
40
x x
13
 
d) o sistema possuirá duas soluções ( )θ1 1x , e ( )θ2 2x , , de modo que θ + θ =1 2
17
sen sen
12
 
e) o sistema possuirá duas soluções ( )θ1 1x , e ( )θ2 2x , , de modo que θ ⋅ θ =1 2
1
cos cos
2
 
 
[Questão 73] (1983) Dadas as funções ( ) =2 2xf x log x e ( ) = − +2g x 2sen x 3senx 1 definidas para >x 0 e 
≠
1
x
2
, o conjunto: 
a) 
π π π
−π −π − π
 
=  
 
5
2 6 6 5A 4 , 4 , 4 
b) 
π π π
−π −π − π
 
=  
 
5
2 6 6 5A 4 , 4 , 4 
c) { }−π −π − π= 2 6 6 5A 4 , 4 , 4 
d) 
π π π
−π −π − π
 
=  
 
2 2 5
2 6 6 5A 4 , 4 , 4 
e) 
π π π
−π −π − π
 
=  
 
5
2 6 6 5A 2 , 4 , 2 
 
[Questão 74] (1983) Dado o polinômio P definido por ( ) ( )= θ− θ⋅ + θ ⋅2 2P x sen tg x sec x , os valores de θ no 
intervalo [ ]π0, 2 tais que P admita somente raízes reais são: 
a) 
π
≤ θ ≤0
2
 
 
b) 
π π
< θ < π π < θ<
3
ou
2 2
 
c) 
π π
π ≤ θ < < θ≤ π
3 3
ou 2
2 2
 
d) 
π
≤ θ ≤0
3
 
e) 
π π
≤ θ <
3
2 2
 
 
[Questão 75] (1983) S solução da equação: 
 
π
+ =
+
x
arctgx arctg
x 1 4
 
Definida no conjunto dos reais diferentes de −1 é: 
a) 1 
b) 
1
2
 
c) 
1
e 1
2
 
d) 2 
e) 2 e 1 
 
[Questão 76] (1983) Dados A, B e C ângulos internos de um triângulo, tais que + ≠ π2B C e 
π π π   α∈ ∪ π   
   
4 5 5
, , 2
3 3 3
, o sistema: 
 
α −  + =    

α − − + =    
C
senA senB sen
2
C
cosA cosB cos
2
 
admite como solução: 
a) 
α α π π
= π− = − =
2 2
A , B e C
2 2 3 3
 
b) 
α α
= π− = =A , B e C 0
2 2
 
c) 
π α π α
= = = −
2
A , B e C
3 2 3 2
 
d) 
α π α π
= π− = = −
2 2
A , B e C
2 3 2 3
 
e) 
α α
= π = = −A , B e C
2 2
 
 
[Questão 77] (1983) Seja a um número real tal que 
π
≠ + ⋅πa k
2
, onde ∈Zk . Se ( )0 0x , y é solução do sistema 
 
( ) ( )
( ) ( )
+ =

+ =
2seca x 3tga y 2cosa
2tga x 3sec y 0
 
a) + = −0 0x y 3 2sena 
b) 
  − = + 
 
2
2 2
0 0
3 4
x y cos a 2
2 9
 
c) − =0 0x y 0 
d) + =0 0x y 0 
e) 
  − = 
 
2
2 2
0 0
3 4
x y cos a
2 9
 
 
 
[Questão 78] (1984) Sendo ( ) ( ) = + + + 
2 2 2 2z cos arctg a b arccotg a b , podemos afirmar que: 
a) =z 0 
b) =z 1 
c) =
3
z
2
 
d) ( )= +2 2z cos a b , se + ≤2 2a b 1 
e) impossível determinar o valor de z 
 
[Questão 79] (1986) Seja ∈Ra , < <0 a 1 e f a função real de variável real definida por: 
 ( )
( )−
=
π + π +
2
1
x 2 2a a
f x
cos2 x 4cos x 3
 
a) ( )−∞ − ∩ ⊂Z, 2 A 
b)  = − ∩  ZA 2, 2 
c) ( )− ⊂2, 2 A 
d) { }∈ ∉ ≥ ⊂R� Zx /x e x 2 A 
e)  ⊂ − A 2, 2 
 
[Questão 80] (1986) Os valores de 
π
≠ + ⋅πx k
2
, ∈Zk e de ∈Nn para os quais a igualdade 
 ( )
( ) ( )
−
=
 
⋅ − ⋅ = 
− − 
∑
n
n i
i n
i 1
n 1 255
secx tagx
i secx tagx secx tagx
 
se verifica são: 
a) 
π π ∀ ∈ ∈ − = 
 
Rx , x , e n 5
2 2
 
b) 
π
∀ ∈ ≠ + ⋅π ∈ ∀ ∈R Z Nx , x k , k e n
2
 
c) 
π π
∀ ∈ ≠ + ⋅π ≠ + ⋅π ∈ =R Zx , x k , x k , k e n 6
2 4
 
d) 
π
∀ ∈ ≠ + ⋅π ∈ =R Zx , x k , k e n 8
2
 
e) não existe ∈Nn tal que a igualdade seja verdadeira 
 
Nota: 
 
 
 
n
i
= combinação de n elementos tomados i a i 
 
[Questão 81] (1986) Seja k uma constante real e considere a equação em x 
 
+
=
21 x
arcsen k
2x
, sendo ≠x 0 
Então podemos afirmar que: 
a) Para cada ∈Rk , a equação admite uma única solução 
b) Para cada ∈Rk , a equação admite duas soluções 
c) Para cada ∈Rk , a equação admite uma infinidade de soluções 
d) Não existe ∈Rk , tal que a equação admita solução 
e) Existe ∈Zk , tal que a equação admite uma única solução 
[Questão 82] (1986) Seja ∈Rx , e A a matriz definida por 
 
π  + +    =
 π −  
  
x
1 senx sen
4 2
A
x 1
cos
4 2 2
 
 
Se S é o conjunto dos x tais que A é umamatriz inversível, então podemos afirmar que: 
a) S é vazio 
b) 
⋅ π = ∈ 
 
Z
k
S , k
2
 
c) [ ]= πS 0, 2 
d) { }= ⋅π ∈ZS k , k 
e) 
π π = −  
S ,
2 2
 
 
 
[Questão 83] (1987) Seja N o número de soluções reais da equação 
 = + ⋅senx 2 3 i 
Então, temos: 
a) >N 50 
b) =N zero 
c) =N 2 
d) =N 1 
e) > <N 2 ou N 10 
 
[Questão 84] (1987) O número de raízes reais da equação 
 + + + + =2 4 6 8 10sen x sen x sen x sen x sen x 5 
é: 
a) um número maior do que 12 
b) zero 
c) 2 
d) 10 
e) 1 
 
[Questão 85] (1987) O valor de >x 0 que satisfaz a equação 
 
π
=x tg
12
 
é: 
a) =x 4 3 
b) = −x 5 4 3 
c) = −x 7 3 
d) = −x 7 4 3 
e) = −x 9 4 3 
 
[Questão 86] (1987) Se − = ≠4 4cos x sen x a 0 , então cos8x vale: 
a) 2a 
b) a 
c) 4a 
d) zero 
e) +a 4 
 
 
 
[Questão 87] (1987) Seja a um número real não nulo, satisfazendo − ≤ ≤1 a 1. Se dois ângulos de um triângulo 
são dados por arcsena e 
1
arcsec
a
, então o seno trigonométrico do terceiro ângulo desse triângulo é igual a: 
a)
1
2
 
b) 
1
3
 
 
c) 
3
2
 
d) 1 
e) 
2
2
 
 
[Questão 88] (1987) Suponha x e y números reais, tais que: 
 
( )
( ) ( )
 − =

⋅ =
tg x y 3
tgx tgy 1
 
Calcule o módulo do número = +S tgx tgy 
 
[Questão 89] (1988) Sejam as matrizes 
 
π π π π   
   
= =   
π π   π π
      
2 2
sen cos sec cos
2 4 5 5
A e B
2
tg sen cos cot g
5 2
 
Se =a detA e =b detB então o número complexo + ⋅a b i tem módulo igual a: 
a) 1 
b) 
π π
+
2 2
sen cos
5 5
 
c) 4 
d) 2 2 
e) 0 
 
[Questão 90] (1988) A pergunta “Existe x real tal que os números + −x x xe , 1 e , 1 e são as tangentes dos 
ângulos internos de um triângulo?” admite a seguinte resposta: 
a) Não existe x real nestas condições 
b) Todos x real, ≥x 1, satisfaz estas condições 
c) Todos x real, ≤ −x 1, satisfaz estas condições 
d) Todos x real, − < <1 x 1, satisfaz estas condições 
e) Apenas x inteiro par satisfaz estas condições 
 
[Questão 91] (1988) O conjunto imagem da função [ ] [ ]→ πf : 0,1 0, definida por 
 ( ) −= 3x 1f x arccos
2
 
é: 
a) 
π π 
 
 
2
0, ,
4 3
 
b) [ ]π0, 
c) 
π π 
 
 
3
,
4 4
 
d) 
π 
 
 
2
0,
3
 
e) 
π 
  
0,
2
 
[Questão 92] (1988) Sobre a equação tgx cot gx 2 sen6x+ = ⋅ podemos afirmar: 
a) Apresenta uma raiz no intervalo 
π
< <0 x
4
 
b) Apresenta duas raízes no intervalo 
π
< <0 x
2
 
c) Apresenta uma raiz no intervalo 
π
< < πx
2
 
 
d) Apresenta uma raiz no intervalo 
π
π < <
3
x
2
 
e) Não apresenta raízes reais 
 
[Questão 93] (1988) Seja a equação 
 ⋅ − ⋅ =3 3
1
sen x cosx senx cos x
m
 
onde m é um número real não nulo. 
Podemos afirmar que: 
a) A equação admite solução qualquer que seja m, ≠m 0 
b) Se <m 4 esta equação não apresenta solução real 
c) Se >m 1 esta equação não apresenta solução real 
d) Se >m 2 esta equação sempre apresenta solução real 
e) Se <m 4 esta equação não apresenta solução real 
 
 
[Questão 94] (1988) A respeito da solução da equação 
 + =senx 3cosx 2 , ≤ ≤ π0 x 2 
podemos afirmar que: 
a) Existe apenas uma solução no primeiro quadrante 
b) Existe apenas uma solução no segundo terceiro quadrante 
c) Existe apenas uma solução no terceiro quadrante 
d) Existe apenas uma solução no quarto quadrante 
e) Existem duas soluções no intervalo ≤ < π0 x 2 
 
 
[Questão 95] (1989) Os valores de α , < α < π0 e 
π
α ≠
2
, para os quais a função →R Rf : dada por 
( ) = − − α2 2f x 4x 4x tg 
assume seu valor mínimo igual a − 4, são: 
a) 
π π3
e
4 4
 
b) 
π π2
e
5 5
 
c) 
π π2
e
3 3
 
d) 
π π2
e
7 7
 
e) 
π π2 3
e
5 5
 
 
 
 
 
 
[Questão 96] (1989) Considerando que a imagem da função arcsen é o intervalo 
π π −  
,
2 2
 e = −i 1, 
podemos garantir que 
+ ⋅
− ⋅
1 x i
arcsen
1 x i
 está definida: 
a) apenas para =x 0 e vale 
π
2
 
b) para todo ∈Rx e vale 
π
2
 
c) apenas para ∈Rx tal que <x 1 e seu valor depende do valor de x 
d) apenas para ∈Rx tal que ≥x 1 e seu valor depende do valor de x 
 
e) apenas para ∈Rx tal que ≤ −x 1 e seu valor depende do valor de x 
 
[Questão 97] (1989) Se ( ) =tg 2A 5 , então π π   + − −   
   
tg A tg A
4 4
 é igual a: 
a) −
40
21
 
b) −2 
c) 5 
d) 8 
e) 10 
 
[Questão 98] (1989) Escreva o desenvolvimento do binômio ( )− m3 6tg x cossec x , onde m é um número 
inteiro maior que zero, em termos de potências inteiras de senx e cosx . Para determinados valores do 
expoente, este desenvolvimento possuirá uma parcela P, que não conterá a função senx . Seja m o menor 
valor para o qual isso ocorre. Então = −
64
P
9
 quando x for igual a: 
a) 
π
= + ⋅πx 2k , k int eiro
3
 
b) 
π
= ± + ⋅πx k , k int eiro
3
 
c) 
π
= + ⋅πx k , k int eiro
4
 
d) 
π
= ± + ⋅πx 2k , k int eiro
6
 
e) Não existe x satisfazendo a igualdade desejada 
 
[Questão 99] (1989) Sabendo-se que x e y são reais, tais que 
π
+ =
3
x y
4
, verifique a matriz 
 
+ 
 + 
2tgx 1 tgx
1 tgy tgy
 
é ou não inversível. 
 
[Questão 100] (1990) O conjunto das soluções reais da equação ( ) ( )=2 2ln sen x ln sen x é dado por: 
a) 
π ∈ = + ⋅π ∈ 
 
R� Zx : x k , k
2
 
b) 
π ∈ = π+ ⋅ ∈ 
 
R� Zx : x k , k
2
 
c) { }∈ = ⋅π ∈R� Zx : x 2k , k 
d) { }∈ − < <R�x : 1 x 1 
e) { }∈ ≥R�x : x 0 
 
 
[Questão 101] (1990) Sejam os números reais α e x onde 
π
< α <0
2
 e ≠x 0 . Se no desenvolvimento de 
( ) ( ) α + α 
 
8
1
cos x sen
x
 o termo independente de x vale 
35
8
, então o valor de α é: 
a) 
π
6
 
b) 
π
3
 
c) 
π
12
 
 
d) 
π
4
 
e) n.d.a 
 
[Questão 102] (1990) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere = +2x a tgt 1 e = −2 2 2 2y b sec t b onde 
π
≤ <0 t
2
. Então uma relação entre x e y é dada por: 
a) ( )= − ≥2by x 1 , x a
a
 
b) ( )= − ≥
2
2
4
b
y x 1 , x 1
a
 
c) ( )= − ∀ ∈R22
b
y x 1 , x
a
 
d) ( )= − − ≥22
b
y x 1 , x 1
a
 
e) ( )= − ≤
2
2
4
b
y x 1 , x 1
a
 
 
[Questão 103] (1990) Sabendo-se que θ é um ângulo tal que ( ) ( )θ− = θ+o o2sen 60 cos 60 então θtg é um 
número da forma +a b 3 onde: 
a) a e b são reais negativos 
b) a e b são inteiros 
c) + =a b 1 
d) a e b são pares 
e) + =2 2a b 1 
 
 
[Questão 104] (1990) Considere a matriz 
 
 
=  
 3
senx 2
A
log 10 2senx
 
onde x é real. Então podemos afirmar que: 
a) A é inversível apenas para >x 0 
b) A é inversível apenas para =x 0 
c) A é inversível para qualquer x 
d) A é inversível apenas para x da forma ( )+ ⋅π2k 1 , k inteiro 
e) A é inversível apenas para x da forma ⋅ π2k , k inteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Questão 105] (1991) Se ∈Ra com >a 0 e 
−
+
a 1
arcsen
a 1
 está no primeiro quadrante, então o valor de 
 
− 
+ + 
a 1 1
tg arcsen arctg
a 1 2 a
 
é: 
a) 
+a 1
2 a
 
b) 
+
a a
3a 1
 
 
c) 
+
2a a
3a 1
 
d) 
+
2a
3a 1
 
e) n.d.a 
 
[Questão 106] (1991) Sejam a e b constantes reais positivas. Para que a equação 
( ) ( )+ − − − + =3 2cos x a 1 cos x a b cosx b 0 
tenha duas raízes reais distintas no intervalo 
π 
  
0,
2
 devemos ter: 
a) < < −0 b a 1 
b) < < +0 b a 1 
c) < < +0 b a 2 
d) + < < +a 1 b a 2 
e) n.d.a 
 
[Questão 107] (1992) Seja 
1 log2
2 log2 log3
α = ⋅
−
. O conjunto solução da desigualdade senx
2
2
3
α
 ≤  
 
 no intervalo 
[ )0, 2π é: 
a) 
2
0, , 2
3 3
π π   ∪ π     
 
b) 
7 11
0, , 2
6 6
π π   ∪ π     
 
c) 
4 5
0, , 2
3 3
π π   ∪ π     
 
d) 
5
0, , 2
6 6
π π   ∪ π     
 
e) n.d.a 
 
[Questão 108] (1992) Sabendo-se que x e y são ângulos do primeiro quadrante tais que 
5
cosx
6
= e 
4
cosy
5
= , então se x yα = − e 
2
2
2
1 tg
T sen
1 tg
− α
= + α
+ α
, temos: 
a) α está no 4o quadrante e 
2
T
3
= 
b) α está no 1o quadrante e 
2
T
3
= 
c) α está no 1o quadrante e 
2 11
T
3 10
= + 
d) α está no 4o quadrante e 
2 11
T
3 10
= − 
e) n.d.a 
 
[Questão 109] (1993) O conjunto das soluções daequação sen5x cos3x= contém o seguinte conjunto: 
a) k , k
16 5
π π + ∈ 
 
Z 
b) k , k
16 3
π π + ∈ 
 
Z 
c) k , k
4 3
π π + ∈ 
 
Z 
d) k , k
4 2
π π + ∈ 
 
Z 
 
e) 2k , k
4
π + π ∈ 
 
Z 
 
[Questão 110] (1994) A expressão trigonométrica 
 
( ) ( )
2
2 22 2
1 4tg x
1 tg2xcos x sen x
−
−−
 
para x 0,
2
π ∈  
, x
4
π
≠ é igual a: 
a) ( )sen 2x 
b) ( )cos 2x 
c) 1 
d) 0 
e) ( )sec x 
 
[Questão 111] (1995) A expressão 
sen
1 cos
θ
+ θ
, 0< θ < π , é idêntica a: 
a) sec
2
θ
 
b) cosec
2
θ
 
c) cot g
2
θ
 
d) tg
2
θ
 
e) cos
2
θ
 
 
[Questão 112] (1995) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis 
em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo 0,
4
π θ∈ 
 
, atinge a torre a uma altura h. Se o 
segundo, disparado sob um ângulo 2θ , antinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será: 
a) 
2
2 2
2hd
H
d h
=
−
 
b) 
2
2
2hd
H
d h
=
+
 
c) 
2
2
2hd
H
d h
=
−
 
d) 
2
2 2
2hd
H
d h
=
+
 
e) 
2
2
hd
H
d h
=
+
 
 
[Questão 113] (1996) Seja ,
4 4
π π ∈ −  
a um número real dado. A solução ( )0 0x , y do sistema de equações 
 
( ) ( )
( ) ( )
sena x cosa y tga
cosa x sena y 1
− = −

+ = −
 
é tal que: 
a) 0 0x y tga⋅ = 
b) 0 0x y seca⋅ = − 
c) 0 0x y 0⋅ = 
d) 20 0x y sen a⋅ = 
 
e) 0 0x y sena⋅ = 
 
[Questão 113] (1996) Seja α um número real tal que ( )2 1 2α > + e considere a equação 2x x 1 0−α +α + = . 
Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois ângulos internos de um triângulo, 
então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale: 
a) o30 
b) o45 
c) o60 
d) o135 
e) o120 
 
[Questão 114] (1996) Seja 0,
2
π α∈  
, tal que 
 sen cos mα + α = 
 
Então, o valor de 
3 3
sen2
y
sen cos
α
=
α + α
 será: 
a) 
( )
( )
2
2
2 m 1
m 4 m
−
−
 
b) 
( )
( )
2
2
2 m 1
m 4 m
+
+
 
c) 
( )
( )
2
2
2 m 1
m 3 m
−
−
 
d) 
( )
( )
2
2
2 m 1
m 3 m
−
+
 
e) 
( )
( )
2
2
2 m 1
m 3 m
+
−
 
 
[Questão 115] (1997) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2m. Sejam α e β , 
respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em 2cm ) igual a: 
a) 22sen cotg sen2α⋅ β+ α 
b) 22sen tg sen2α⋅ β− α 
c) 22cos tg sen2α ⋅ β + α 
d) 22cos tg sen2α ⋅ β + α 
e) 22sen tg cos2α ⋅ β − α 
 
 
 
 
 
[Questão 116] (1998) Seja f : →R R a função definida por 
 ( )f x 2sen2x cos2x= − . 
Então: 
a) f é ímpar e periódica de período π 
b) f é par e periódica de período 
2
π
 
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período π 
d) f não é par e é periódica de período 
4
π
 
e) f não é ímpar e não é periódica 
 
 
[Questão 117] (1998) O valor de 
 10 8 2 6 4 4 6 2 8 10tg x 5tg x sec x 10tg sec x 10tg x sec x 5tg x sec x sec x− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − 
para todo x 0,
2
π ∈  
, é: 
a) 1 
b) 
2
2
sec x
1 sen x
−
+
 
c) secx tgx− + 
d) 1− 
e) zero 
 
[Questão 118] (1998) A soma das raízes da equação 
 3tgx 3sen2x cos2x 0− + = 
que pertencem ao intervalo [ ]0, 2π , é: 
a) 
17
4
π
 
b) 
16
3
π
 
c) 
15
4
π
 
d) 
14
3
π
 
e) 
13
4
π
 
 
[Questão 119] (1999) Se x 0,
2
π ∈  
 é tal que 4
4
1
tg x 4
cos x
= + , então o valor de sen2x cos4x+ é: 
a) 
15
4
 
b) 
15
8
 
c) 
3 5
8
 
d) 
1
2
 
e) 1 
 
 
 
 
 
 
[Questão 120] (1999) Seja a∈R com 0 a
2
π
< < . A expressão 
 
3 3
sen a sen a sen a
4 4 2
π π π      + + − ⋅ −            
 
é idêntica a: 
a) 
2
2
2cot g a
1 cot g a+
 
b) 
2
2cot ga
1 cot g a+
 
 
c) 
2
2
1 cot g a+
 
d) 
1 3cot ga
2
+
 
e) 
1 2cot ga
1 cot ga
+
+
 
 
[Questão 121] (1999) A soma de todos os valores de [ [a 0, 2∈ π que tornam o sistema 
 ( )
( )2 2 2
x y z 0
xsena ycosa z 2sena cosa 0
xsen a ycos a z 1 3sen a 2sen2a 0
 + + =

+ + + =

+ + + + =
 
possível e indeterminado é: 
a) 5π 
b) 4π 
c) 3π 
d) 2π 
e) π 
 
[Questão 122] (2000) Sejam f, g : →R Rdefinidas por 
3 3cos5xf(x) x e g(x) 10= = . 
Podemos afirmar que: 
a) f é injetora e par e g é ímpar 
b) g é sobrejetora e g f � é par 
c) f é bijetora e g f � é ímpar 
d) g é par e g f � é ímpar 
e) f é ímpar e g f � é par 
 
[Questão 122] (2000) Considere f : →R Rdefinida por 
 ( ) xf x 2sen3x cos
2
− π = −  
 
 
Sobre f podemos afirmar que: 
a) é uma função par 
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4π 
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 
4
3
π
 
d) é uma função periódica de período fundamental 2π 
e) não é par, não é ímpar e não é periódica 
 
 
 
 
 
 
[Questão 123] (2000) Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo Âmede 5 cm. Sabendo que 
 
3
 arccos
5
= e 
2
Ĉ arcsen
5
= 
então a área do triângulo ABC é igual a: 
a) 2
5
cm
2
 
b) 212 cm 
c) 215 cm 
d) 22 5 cm 
 
e) 2
25
cm
2
 
[Questão 124] (2000) Para x no intervalo 0,
2
π 
  
, o conjunto de todas as soluções da inequação 
 ( )sen 2x sen 3x 0
2
π − − > 
 
 
é o intervalo 
a) x
10 2
π π
< < 
b) x
12 4
π π
< < 
c) x
6 3
π π
< < 
d) x
4 2
π π
< < 
e) x
4 3
π π
< < 
 
[Questão 125] (2001) Sendo α e β os ângulos agudos de um triangulo retângulo, e sabendo que 
2sen 2 2cos2 0β− β = , 
então senα é igual a: 
a) 
2
2
 
b) 
4 2
2
 
c) 
4 2
8
 
d) 
4 2
4
 
e) zero 
 
[Questão 126] (2002) Sejam f e g duas funções definidas por 
 ( ) ( )3senx 1f x 2 −= e ( )
23sen x 1
1
g x
2
−
 =  
 
, x∈R . 
A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a: 
a) 0 
b) 
1
4
− 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
 
e) 1 
 
[Questão 127] (2002) Seja ( )f : P→R R dada por 
 ( ) { }f x y ; seny<x= ∈R� . 
Se A é tal que ( )f x , x A= ∀ ∈R , então: 
a) [ ]A 1,1= − 
b) [ )A a, , a 1= ∞ ∀ > 
c) [ )A a, , a 1= ∞ ∀ ≥ 
d) [ )A a, , a 1= ∞ ∀ < − 
 
e) ( ]A a, , a 1= ∞ ∀ ≤ − 
 
[Questão 128] (2002) Se x, y e x são os ângulos internos de um triângulo ABC e 
seny senz
senx
cosy cosz
+
=
+
, prove 
que o triângulo ABC é retângulo. 
 
[Questão 129] (2003) Para todo x∈R , a expressão ( ) ( )
2 2
cos 2x sen 2x senx⋅ ⋅       é igual a: 
a) ( ) ( ) ( )42 sen 2x sen 5x sen 7x− + +   
b) ( ) ( )42 2senx sen 7x sen 9x− + −   
c) ( ) ( ) ( )42 sen 2x sen 3x sen 7x− − − +   
d) ( ) ( )42 senx 2sen 3x sen 5x− − + +   
e) ( ) ( )42 senx sen 3x sen 5x− + +   
 
[Questão 129] (2003) Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo 
,
2 2
π π −  
 e [ ]0, π , respectivamente. Co respeito à função 
 [ ] 3f : 1,1 ,
2 2
π π − → −  
, ( )f x arcsenx arccosx= + 
temos que: 
a) f é não-crescente e ímpar 
b) f não é par nem ímpar 
c) f é sobrejetora 
d) f é injetora 
e) f é constante 
 
[Questão 129] (2003) Encontre todos os valores de a ,
2 2
π π ∈ −  
 para os quais a equação na variável real x, 
 
x xe e
arctg 2 1 arctg 2 1 a
2 2
   
− + + − − =   
   
 
Admite solução. 
 
[Questão 130] (2004) Considerando as funções [ ] p parcsen : 1, 1 ,
2 2
 − + → −  
 e [ ] [ ]arcsen : 1, 1 0,p− + → , 
assinale o valor de 
3 4
cos arcsen arccos
5 5
 + 
 
: 
a) 
6
25
 b) 
7
25
 c) 
1
3
 d) 
2
5
 e) 
5
12
 
 
 
 
 
[Questão 131] (2004) O conjunto de todos os valores de α , ,
2 2
π π α∈ −  
, tais que as soluções da equação 
(em x) 4 24x 48x tg 0− + α = são todos reais, é: 
a) , 0
3
π −  
 
b) ,
4 4
π π −  
 
c) ,
6 6
π π −  
 
 
d) 0,
3
π 
  
 
e) ,
12 3
π π 
  
 
 
[Questão 132] (2004) Prove que, se os ângulos internos , eα β γ de um triângulo satisfazem a equação 
 ( ) ( ) ( )sen 3 sen 3 sen 3α + β + γ 
Então, pelos menos, um dos três ângulos , ouα β γ é igual a o60 . 
 
[Questão 133] (2005) O intervalo I⊂R que contém todas as soluções da inequação1 x 1 x
arctan arctan
2 2 6
+ − π
+ ≥ 
é: 
a) [ ]1, 4− 
b) [ ]3,1− 
c) [ ]2, 3− 
d) [ ]0, 5 
e) [ ]4, 6 
 
[Questão 134] (2005) Obtenha todos os pares ( )x, y , com [ ]x, y 0, 2∈ π , tais que 
 
( ) ( ) 1sen x y sen x y
2
senx seny 1
+ + − =
+ =
 
 
[Questão 135] (2006) Seja f : →R R definida por ( )f x 77 sen 5 x
6
π  = ⋅ +    
 e seja ( ){ }B x : f x 0= ∈ =R . Se 
m é o maior elemento de ( )B , 0∩ −∞ e n é o menor elemento de ( )B 0,∩ +∞ , então m n+ é igual a: 
a) 
2
15
π
 
b) 
15
π
 
c) 
30
π
− 
d) 
15
π
− 
e) 
2
15
π
− 
 
 
 
 
[Questão 136] (2006) O conjunto solução de ( )( )2 2tg x 1 1 cot g x 4− − = , kx , k
2
⋅ π
≠ ∈Z , é: 
a) 
k
, k
3 4
π ⋅π + ∈ 
 
Z 
b) 
k
, k
4 4
π ⋅π + ∈ 
 
Z 
c) 
k
, k
6 4
π ⋅π + ∈ 
 
Z 
d) 
k
, k
8 4
π ⋅π + ∈ 
 
Z 
 
e) 
k
, k
12 4
π ⋅π + ∈ 
 
Z 
 
[Questão 137] (2006) Determine para quais valores de x ,
2 2
π π ∈ − 
 
 vale a desigualdade 
 ( ) ( )2 2cosx cosxlog 4sen x 1 log 4 sec x 2− − − > 
 
[Questão 138] (2007) Seja x um número real no intervalo 0 x
2
π
< < . Assinale a opção que indica o 
comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade 
 ( )21 x 1tg x 3 cos sec x 0
2 2 2 2
π   − − − ≥   
   
 
a) 
2
π
 
b) 
3
π
 
c) 
4
π
 
d) 
6
π
 
e) 
12
π
 
 
 
 
[Questão 139] (2008) Sendo ,
2 2
π π −  
 o contradomínio da função arcoseno e [ ]0, π o contradomínio da 
função arcocosseno
3 4
cos arcsen arccos
5 5
 + 
 
, assinale o valor de: 
a) 
1
12
 
b) 
7
25
 
c) 
4
15
 
d) 
1
15
 
e) 
1
2 5
 
 
 
 
[Questão 140] (2008) O conjunto imagem e o período de ( ) ( )2f x 2sen 3x sen 6x 1= + − são, respectivamente, 
a) [ ]3, 3 e 2− π 
b) [ ] 22, 2 e
3
π
− 
c) 2, 2 e
3
π −  
d) [ ]1, 3 e
3
π
− 
e) [ ] 21, 3 e
3
π
− 
 
 
[Questão 141] (2008) A soma de todas as soluções distintas da equação 
 cos3x 2cos6x cos9x 0+ + = 
que estão no intervalo 0 x 2≤ ≤ π , é igual a: 
a) 2π 
b) 
23
12
π 
c) 
9
6
π 
d) 
7
6
π 
e) 
13
12
π 
 
[Questão 142] (2008) Determine todos os valores de ,
2 2
π π α∈ −  
 tais que a equação (em x) 
 4 24x 2 3x tg 0− + α = 
admita apenas raízes reais simples. 
 
[Questão 143] (2009) Considere o triângulo ABC de lados a BC,b AC e c AB= = = e ângulos 
ˆˆ ˆCAB, ABC e BCAα = β = γ = . 
Sabendo-se que a equação 2 2 2x 2bxcos b a 0− α + − = admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que: 
a) o90α = 
b) o60β = 
c) o90γ = 
d) O triangulo é retângulo apenas se o45α = 
e) O triangulo é retângulo 
 
[Questão 144] (2009) A expressão 
 
2
2
11 x
2 sen x cot g x tg
2 2
x
1 tg
2
  + π +    
+
 
é equivalente a: 
a) 2cosx sen x cot gx − ⋅  
b) [ ]senx cosx t gx+ ⋅ 
c) 2 2cos x senx cot g x − ⋅  
d) 21 cot g x senx − ⋅  
e) [ ]21 cot g x senx cosx + ⋅ +  
 
[Questão 145] (2009) Sabendo que 2
1 1
tg x
6 2
 + π = 
 
 para algum 
1
x 0,
2
 ∈ π  
, determine senx . 
 
 
[Questão 146] (2010) A equação em x, 
 ( )
x
x
2x
e
arctg e 2 arccot g
e 1 4
  π
+ − = − 
, 
a) admite infinitas soluções, todas positivas 
b) admite uma única solução, e esta é positiva 
c) admite três soluções que se encontram no intervalo 
5 3
,
2 2
 −  
 
d) admite apenas soluções negativas 
 
e) não admite solução 
 
[Questão 147] (2010) O valor da soma 
6
n
n 1
2
sen
3=
α 
 
 
∑ , para todo α∈R , é igual a: 
a) 
1
cos cos
2 729
α   − α    
 
b) 
1
sen sen
2 243 729
α α    −        
 
c) cos cos
243 729
α α   −   
   
 
d) 
1
cos cos
2 729 243
α α    −        
 
e) cos cos
729
α  − α 
 
 
 
[Questão 148] (2010) Se os números reais α e β , com 
4
3
π
α +β = , 0≤ α ≤β , maximizam a soma 
sen senα + β então α é igual a: 
a) 
3
3
π
 
b) 
2
3
π
 
c) 
3
5
π
 
d) 
5
8
π
 
e) 
7
12
π
 
 
[Questão 149] (2010) Considere a equação ( )2 2 x x3 2cos x 1 tg 6tg 0
2 2
 − + − = 
 
 
a) Determine todas as soluções x no intervalo [ [0, π 
b) Para as soluções encontradas em a), determine cot gx