Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I EXERCÍCIO PROGRAMADO 13 2o Semestre de 2020 Prof. Moisés Lima de Menezes Gabarito 1. Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez a face 3 em n jogadas de um dado não viciado? 2. O time X tem 2 3 de probabilidade de vencer sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, qual a probabilidade de ele vencer: a) exatamente 3 partidas? b) vencer ao menos uma partida? c) vencer mais da metade das partidas? 3. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 1 3 . Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de: a) acertar exatamente 2 tiros? b) não acertar nenhum tiro? 4. Uma variável aleatória X com distribuição binomial tem a função de distribuição acumulada dada por: FX(0) = 1 243 , FX(1) = 11 243 , FX(2) = 51 243 , FX(3) = 131 243 , FX(4) = 211 243 , FX(5) = 1. Determine: a) n , b) p , c) E(X) , d) V AR(X) , e) P (X ≥ 1) . 5. Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta algum defeito. Se tal suspeita é confirmada, determine a probabilidade que, numa amostra de 5 mesas, não haja nenhuma defeituosa. 6. Um vendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são devolvidos ao departamento de mecânica para corrigir defeitos de fabricação nos primeiros 25 dias depois da venda. De 11 carros vendidos num peŕıodo de 5 dias qual a probabilidade de que: a) todos voltem dentro de 25 dias para reparo; b) Só um não volte. 1 Soluções: 1. Quando lançamos um dado não viciado, cada uma das seis faces tem a mesma chance de ser mostrada, 1 6 . Assim, a probabilidade de sair a face 3 em um lançamento de uma dado não viciado é 1 6 . Logo: p = 1 6 ⇒ 1− p = 5 6 . Seja X a variável que conta o número de vezes qua a face 3 é mostrada em n lançamentos. Como cada lançamento é independente do outo, então X segue uma distribuição binomial de probabilidade. Assim, a probabilidade de a face 3 ser mostrada pelo menos uma vez será: P (pelo menos uma vez) = 1− P (nenhuma) = 1− P (X = 0) = 1− [( n 0 )( 1 6 )0( 5 6 )n] = 1− 1× 1× ( 5 6 )n = 1− ( 5 6 )n . 2. Seja X a varável que conta o número de vitórias do time X . Assim, seu próprio nome é uma variável aleatória. X segue distribuição binomial de probabilidade porque cada jogo tem probabilidade de vitória independente do outro. Em 5 jogos, temos n = 5 . a) P (X = 3) = ( 5 3 )( 2 3 )3( 1 3 )2 = 5! 2!3! × 8 27 × 1 9 = 5× 4 2 × 8 27× 9 = 160 486 = 80 243 . b) P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− [( 5 0 )( 2 3 )0( 1 3 )5] = 1− 1× 1× ( 1 3 )5 = 1− 1 35 = 1− 1 243 = 243− 1 243 = 242 243 . c) P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) =( 5 3 )( 2 3 )3( 1 3 )2 + ( 5 4 )( 2 3 )4( 1 3 )1 + ( 5 5 )( 2 3 )5( 1 3 )0 = Como vimos no item a), P (X = 3) = 80 243 . Logo: P (X ≥ 3) = 80 243 + 5× ( 2 3 )4 × 1 3 + 1× ( 2 3 )5 × 1 = 80 243 + 5× 24 35 + 25 35 = 80 243 + 80 243 + 32 243 = 192 243 = 64 81 . 2 3. São dados da questão: p = 1 3 , 1− p = 2 3 e n = 6 . a) Seja X o número de vezes que o atirador acerta o alvo. Estamos interessados em P (X = 2). P (X = 2) = ( 6 2 )( 1 3 )2( 2 3 )4 = 6! 2!4! × 1 9 × 16 81 = 6× 5× 4! 4!× 2 × 16 729 = 30 2 × 16 729 = 240 729 = 80 243 . b) Com a mesma variável X definida no item anterior, desejamos encontrar P (X = 0) . P (X = 0) = ( 6 0 )( 1 3 )0( 2 3 )6 = 1× 12 6 36 = 64 729 . 4. Podemos encontrar a distribuição de probabilidade desta variável através da função de distibuição. fX(0) = FX(0) = 1 243 , fX(1) = FX(1)− FX(0) = 11243 − 1 243 = 10 243 , fX(2) = FX(2)− FX(1) = 51243 − 11 243 , fX(3) = FX(3)− FX(2) = 131243 − 51 243 = 80 243 , fX(4) = FX(4)− FX(3) = 211243 − 131 243 = 80 243 , fX(5) = FX(5)− FX(4) = 1− 211243 = 243−211 243 = 32 243 . Assim: X 0 1 2 3 4 5 fX(x) 1 243 10 243 40 243 80 243 80 243 32 243 a) n = 5. (é o valor máximo que X pode assumir.) b) Temos que P (X = 0) = 1 243 . Como a distribuiçãoé binomial, então: P (X = 0) = ( n 0 ) p0 (1− p)n . Como n = 5 , então: P (X = 0) = ( 5 0 ) p0 (1− p)5 = 1× 1× (1− p)5 = (1− p)5 . 3 Mas P (X = 0) = 1 243 . Logo: 1 243 = (1− p)5 ⇒ ( 1 3 )5 = (1− p)5 ⇒ 1 3 = 1− p ⇒ p = 1− 1 3 ⇒ p = 3− 1 3 ⇓ p = 2 3 . c) E(X) = n× p = 5× 2 3 = 10 3 . d) V AR(X) = n× p× (1− p) = 10 3 × 1 3 = 10 9 . e) P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1) = 1− P (X = 0) = 1− 1 243 = 242 243 . 5. Temos os seguintes dados da questão: p = 0, 02 , 1− p = 0, 98 e n = 5 . Logo: P (X = 0) = ( 5 0 ) p0 (1− p)5 = 1× 1× (0, 98)5 = 0, 904. 6. Dados da questão: p = 0, 8 , 1− p = 0, 2 e n = 11 . a) P (X = 11) = ( 11 11 ) (0, 8)11(0, 2)0 = 1× (0, 8)11 × 1 = 0, 086. b) Temos que 20% dos carros não voltam. Assim, a probabilidade de só um não voltar será: P (X = 1) = ( 11 1 ) (0, 2)1(0, 8)10 = 11× 0, 2× (0, 8)10 = 11× 0, 2× 0, 107 = 0, 235. 4
Compartilhar