Revisão de matrizes_determinantes_SL

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Revisão de Álgebra Linear - Profa Ana Paula Chiaradia
MATRIZES
Definição: Conjunto de números, funções, etc... dispostos numa forma retangular (ou
quadrada). Neste curso, só iremos usar números reais.
Notação: Use [ ] ou ( ).
NUNCA use | |, pois significa determinantes, como iremos ver na aula seguinte.
Exemplo:
A 
1 4
4 0
3 2
3x2
B 
8
2
1
3x1
C 
7 0 1
34 2 0,6
2,7 1 0
D  3 E  5 1
A matriz A é retangular 3x2, ou seja, possui 3 linhas e 2 colunas.
A matriz B é uma matriz-coluna 3x1, ou seja, possui 3 linhas e 1 coluna.
A matriz C é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linhas e ___ colunas.
A matriz D é uma matriz quadrada ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ coluna.
A matriz E é uma matriz-linha ___x___, ou seja, possui ___ linha e ___ colunas.
De uma forma geral, uma matriz Amxn tem m linhas e n colunas, sendo m e n as suas
dimensões e sua representação genérica é a seguinte:
A 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn
mxn
Usamos as palavras "tamanho" ou "dimensão" ou "ordem" para dizer quantas linhas e
colunas uma matriz possui. Use-se letra maiúscula para representá-la:
A  aij mxn ou aij .com i  1, , m e j  1, ,n m,n  
Cada elemento da matriz A é representada pela mesma letra em minúsculo e é seguido de
dois números subscritos, sendo o primeiro deles o número da linha onde o elemento se encontra
e o segundo o número da coluna, ou seja, o elemento a23 encontra-se na segunda linha e terceira
coluna.
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Exercício 1: Dadas as matrizes:
A 
1 5 8 0
2 3 1 4
2 6 4 2
B 
5 4 5 2
0 5 3 1
2 7 0 2
C 
2 3 1 4 5 2 1
1 2 6 5 1 9 2
0 3 3 5 4 0 4
3 4 3 6 9 1 6
D 
4 2 1 3 4
6 7 8 9 10
2 5 1 3 5
3 1 0 1 6
4 3 8 4 2
a) Determine a ordem de cada matriz acima.
b) Determine os elementos c45,c16,c37,d51,d45,a34,a12,b32 e b23.
Vetores: é um caso especial de matrizes, onde uma das dimensões é unitária (igual a 1).
Exemplo: Neste caso, B 
8
2
1
3x1
é um matriz coluna e E  5 1
1x2
é um matriz
linha.
Matrizes Especiais
Matriz nula: é a matriz de qualquer tamanho com todos os seus elementos iguais a zero.
Exemplo:A 
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3x5
Um elemento qualquer de uma matriz nula é dado por aij  0 para todos i e j.
Obs: Usa-se a notação A  0 para matriz nula. Não confundir com o número zero!!!
Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
Neste caso, diz-se que a matriz é de ordem n, onde n é o número de linhas e colunas da matriz.
Exemplo: A 
7 0 1
34 2 0,6
2,7 1 0
3x3
.Neste exemplo a matriz A é de ordem 3.
Os elementos a11,a22,a33, . . . ,ann constituem a diagonal principal de uma matriz quadrada.
Exemplo: Marque os elementos da diagonal principal: A 
7 4 1
9 3 6
5 1 0
3x3
.
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Se A é uma matriz quadrada, então Traço é soma dos elementos da diagonal principal, isto é,
a11  a22  a33 . . .ann. O traço não está definido se a matriz A não for quadrada.
Notação: trA  a11  a22  a33 . . .ann 
k1
n
 akk  número real.
Exemplo: Do exemplo acima: trA  7  3  0  10.
Exercício 2: Encontre o traço da matriz B 
1 2 3
5 6 8
0 1 3
.
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui todos os elementos fora da diagonal
principal nulos.
Exemplo:A 
7 0 0
0 2 0
0 0 3
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz diagonal é dado por: aij 
0 se i  j
d se i  j
onde d  R.
Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui todos os seus elementos não-nulos
iguais a 1. É geralmente denotada pela letra I.
Exemplo: Matriz identidade de ordem 3: I3 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz identidade é dado por: aij 
0 se i  j
1 se i  j
para
i  1, . . . ,n e j  1, . . . ,n.
Exercício 3: Escreva as matrizes identidade de ordem 2 , 4 e 5.
I2  I4  I5 
Matriz transposta: a matriz transposta relativa a matriz Amxn é definida através da seguinte
relação:
aij  ajiT, para todo i e todo j.
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Exemplo.: Seja a matriz A 
1 5 8 0
2 3 1 4
2 6 4 2
, então sua transposta será AT 
1 2 2
5 3 6
8 1 4
0 4 2
.
Propriedade: ATT  A
Exercício 4: Usando as matrizes do exercício 1, determine:
a) Os elementos da diagonal principal da matriz D.
b) O traço da matriz de D.
c) BT
d) CT
Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujos elementos obedecem a seguinte relação:
aij  aji, isto é, AT  A.
Exemplo: A matriz A 
7 1 4
1 2 5
4 5 3
3x3
é simétrica, pois A  AT.Verifique encontrando a
matriz transposta de A, AT  .
Propriedade: AT é simétrica.
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Matriz anti-simétrica: a matriz anti-simétrica relativa a matriz Anxn é definida através da
seguinte relação:
aji 
aijT para i  j
0 para i  j
isto é,
A  AT.
Exemplo: Seja a matriz A 
0 1 4
1 0 5
4 5 0
3x3
é uma matriz anti-simétrica.
Observe que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica devem ser
todos nulos. Por quê???
Exercícios 5: Quais das matrizes são simétricas ou anti-simétricas ou nenhuma das duas?
Por quê?
A 
3 4
4 1
B 
3 4
4 0
C 
4 3 0
3 5 2
0 2 1
D 
0 0 1
0 0 2
1 2 0
E 
0 3 6
3 0 7
6 7 0
Matriz triangular Inferior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima da
diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular inferior.
Exemplo: A 
7 0 0
5 2 0
8 7 4
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz triangular inferior é dado por: aij 
0 se i  j
d se i  j
onde
d  R.
Matriz triangular Superior: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da
diagonal principal são zeros é chamada de matriz triangular superior.
Exemplo: B 
7 4 3
0 2 6
0 0 4
3x3
Um elemento qualquer de uma matriz superior é dado por: bij 
0 se i  j
d se i  j
onde d  R.
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Propriedades:
1. A transposta de um matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior.
Exemplo:
2 0 0
3 5 0
4 1 6
T

2 3 4
0 5 1
0 0 6
2. A transposta de um matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior.
Exemplo:
2 3 1
0 2 6
0 0 5
T

2 0 0
3 2 0
1 6 5
3. O produto de duas matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular inferior.
Exemplo:
2 0 0
3 5 0
4 1 6
3 0 0
2 4 0
2 7 1

6 0 0
19 20 0
2 38 6
4. O produto de duas matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior.
Exemplo:
2 3 1
0 2 6
0 0 5
3 5 1
0 2 3
0 0 4

6 4 7
0 4 18
0 0 20
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Operações com Matrizes
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se aij  bij, elemento por elemento.
Exemplo:
3
5
1
 3 5 1
3 4 6
1 2 3

3 4 6
1 2 3
0 0 0
Exemplo: Se A  B e A 
3 x  2
5 2
e B 
3 4
5 2
, então x  6.
Exercício 6: Dadas as matrizes A 
2 1
3 x  3
e B 
2 1
3 5
. Qual o valor de x para
que A  B?
Exercício 7: Calcule os valores de x ,y e z para que as matrizes A e B sejam iguais.
A 
x2  5x 7 8
2 y2 1
e B 
6 z 8
2 9 1
É possível que a matriz C 
x2  5x 7
2 y2
seja igual a matriz A para algum valor de x e de
y? Justique a sua resposta.
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Soma e Subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A e B só será possível se as duas matrizes tiverem a mesma
dimensão e é definida como c ij  aij  bij, onde C é matriz obtida da soma das matrizes A e B. A
subtração de duas matrizes A e B é definida de modo análogo, onde c ij  aij  bij.
Exemplo: Considere as matrizes A 
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6
e B 
4 3 5 1
2 2 0 1
3 2 4 5
.Calcule
A  B e A  B.
A  B 
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6

4 3 5 1
2 2 0 1
3 2 4 5

2 4 5 4
1 2 2 3
8 0 3 11
A  B 
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6

4 3 5 1
2 2 0 1
3 2 4 5

6 2 5 2
3 2 2 5
2 4 11 1
A  A 
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6

2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 76

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 03x4
Obs: Matrizes de dimensões diferentes não podem ser somadas ou subtraídas.
Propriedades:
Sejam A, B e C matrizes de mesma ordem.
1) (A  B)  C  A  (B  C) (associativa)
2) A  B  B  A (comutativa)
3) A  0  0  A  A (0 é a matriz nula e elemento neutro da adição)
4) A-A  0
5) A  BT  AT  BT
6) trA  B  trA  trB
7) Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer,
então:
A  B é simétrica.
Exemplo:
3 5 1
5 6 2
1 2 1

2 2 4
2 3 5
4 5 7

5 7 3
7 9 3
3 3 8
Exercício 8: Dadas as matrizes A 
2 3
3 5
0 1
e B 
4 6
1 8
9 3
. Calcule A  B , A  B,
A  BT e AT  BT.
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Multiplicação por uma constante
Multiplicar uma matriz por uma constante (k) implica em multiplicar todos os elementos da
matriz pela constante, isto é, um elemento qualquer da matriz C  k  A será c ij  k  aij para todo i
e j.
Exemplo: Seja a matriz A 
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6
.Calcule 2A, 12 A e A.
2A  2 
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6

4 2 0 6
2 0 4 8
10 4 14 12
1
2 A 
1
2 
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6

1 12 0
3
2
 12 0 1 2
5
2 1
7
2 3
A  
2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6

2 1 0 3
1 0 2 4
5 2 7 6
Exercício 9: Dadas as matrizes A 
2 3
3 5
0 1
e B 
4 6
1 8
9 3
. Calcule 2A  3B e 13 A  2B.
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Multiplicação de matrizes
Para multiplicar duas matrizes é sempre necessário que o número de colunas da primeira
matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz resultante do produto de duas
matrizes terá sempre o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas
da segunda matriz, ou seja, a multiplicação Amxn.Bnxp terá como resultado uma matriz Cmxp. A
multiplicação de matrizes é definida como sendo:
Amxn  Bnxp  Cmxp
Um elemento qualquer da matriz resultante C é dado por: c ij 
k1
n
 aik  bkj, para i  1, . . . ,m e
j  1, . . . ,p.
Exemplo: Dadas as matrizes A 
1 6
5 0
8 7
e B 
1 3 5 8
9 7 6 5
.
Qual é a dimensão da matriz C, onde C  A  B?
Qual é a dimensão da matriz D, onde D  B  A?
Então, só será possível encontrar a matriz C, que será:
C  A  B 
1 6
5 0
8 7

1 3 5 8
9 7 6 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Obs: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A  B  B  A, em geral.
Propriedades
Sejam A e B matrizes de mesma ordem e  um escalar.
1)   A  B    A    B
2)     A      A
3) A    B    A  B
4)     A    A    A
5) k  AT  k  AT, para k uma constante real.
6) Se A e B são matrizes simétricas de mesma ordem e se k é um constante real qualquer,
então
k  A é simétrica.
7) trk  A  k  trA
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Multiplicação de matriz por vetor
Esta operação segue a mesma regra da multiplicação de matrizes, uma vez que um vetor é
um caso particular de uma matriz e dá como resultado uma matriz.
Multiplicação de vetores
É feita de maneira análoga a multiplicação de matrizes. No caso da multiplicação de um vetor
linha por um vetor coluna, o resultado será um número.
Propriedades:
Sejam  e  dois números reais e A, B, C matrizes ( ou vetores) de ordem que permitam
realizar as operações.
1) A  B  C  A  B  C (associativa)
2) A  B  C  A  B  A  C (distributiva à esquerda)
3) A  B  C  A  C  B  C (distributiva à direita)
4) I  A  A  I  A (I é matriz identidade e elemento neutro)
5)     A    A    A
6) A  B  0 para A  0 e B  0 (0 é a matriz nula)
Exemplo:
1 1
1 1
1 1
1 1

0 0
0 0
7) A  0  0  A  0
8) O produto de matrizes triangulares inferiores é superior.
9) O produto de matrizes triangulares superiores é inferior.
10) A  BT  BT  AT
11) Se AB  AC com A  0, não implica que B  C, isto é, não vale a lei do cancelamento.
Exemplo: Sejam A 
1 2
3 6
, B 
3 8
2 3
e C 
5 2
1 3
. Verifique que AB  AC,
apesar de B  C.
12) Não é verdade, em geral, que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
13) O produto de uma matriz e sua transposta é uma matriz simétrica, isto é, AT  A e A  AT
são simétricas.
Potenciação
Se A é uma matriz quadrada, definimos:
A0  I
A1  A
A2  A  A

An 
n vezes
A  A  A  A, com n  0
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Exemplo: Seja A 
2 5
1 3
. Calcule A2.
Está completamente errado fazer:A2 
22 52
12 32

4 25
1 9
Maneira correta de realizar a potenciação:
A2 
2 5
1 3
2 5
1 3

4  5 10  15
2  3 5  9

9 5
1 14
Propriedades
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e r e s números inteiros, então:
1) Ar  As  Ars
2) Ars  Ars
Exercício 10: Sejam as matrizes A 
1 2 3
2 1 1
, B 
2 0 1
3 0 1
, C 
1
2
4
e
D  2 1
Encontre:
a) A  B
b) A  C
c) B  C
d) C  D
e) D  A
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f) D  B
g) A
h) D
i) 2A  3B
j)CT  AT
Exercício 11: Sejam as matrizes A 
2 1
1 0
e B 
0 2
2 0
.
Encontre:
a) AT  BT
b) BT  AT
c) A2
d) B2
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e) AB
f) A  BA  B
Exercícios de Fixação
1. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens:
A4x5 B4x5 C5x2 D4x2 E5x4
Determine qual das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão
definidas, dê a ordem da matriz resultante.
a) B  A b) A  C  D c) A  E  B
d) A  B  B e) E  A  B f) E  A  C
g) ET  A h) AT  E  D
Resp:não é possível fazer: a, c, d, g, b) 4x2 e) 5x5 f) 5x2 h) 5x2
2. Considere as matrizes:
A 
3 0
1 2
1 1
, B 
4 1
0 2
, C 
1 4 2
3 1 5
, D 
1 5 2
1 0 1
3 2 4
, E 
6 1 3
1 1 2
4 1 3
Calcule (quando possível)
a) D  E b) D  E c) 5  A d)7C
e) 2  B  C f) 4  E  2  D g) 3  D  2  E h) A  A
i) trD j) trD  3  E k) 4  tr7  B l) trA
m) 2AT  C n) 12 C
T  14 A o) D
TET  EDT p) BTCCT  ATA
q) B2
Resp: . não é possível fazer: e, L
Resp: a)
7 6 5
2 1 3
7 3 7
, b)
5 4 1
0 1 1
1 1 1
c)
15 0
5 10
5 5
d)
7 28 14
21 7 35
f)
22 6 8
2 4 6
10 0 4
g)
39 21 24
9 6 15
33 12 30
h) matriz nula i) 5 j) 25 k) 168
15
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m)
7 2 4
3 5 7
n)
 14
3
2
9
4 0
3
4
9
4
o) matriz nula p)
40 72
26 42
q)
16 6
0 4
16
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Exercícios de Aplicação
1. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial,
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Resp: 146 526 260 158 388
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8,5,1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Resp:
492
528
465
c) Qual o custo total do material empregado?
Resp: 11736
2. Existem três marcas de automóveis disponíveis no mercado: A, B,e C. O termo aij da matriz
A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j,
quando comprar um carro novo.
De
A
B
C
Para
A. . . B. . . C. .
0,7 0,2 0, 1
0,3 0,5 0, 2
0,4 0,4 0, 2
Os termos da diagonal dão a probabilidade aii de se comprar um carro novo de mesma
marca.
A2 representa as probabilidades de se mudar de uma marca para outra depois de duas
compras. Calcule A2 e interprete.
Resp:
0.7 0.2 0. 1
0.3 0.5 0. 2
0.4 0.4 0. 2
2

0.59 0.28 0. 13
0.44 0.39 0. 17
0.48 0.36 0. 16
17
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AvaliaçãoDiversificada
Teoria dos Grafos
Existem várias situações nas quais é importante poder modelar o inter-relacionamento entre
um conjunto finito de objetos. Por exemplo, poderíamos querer descrever vários tipos de rede
(estradas ligando cidades, rotas aéreas ligando cidades, conexões de comunicação ligando
satélites etc). ou relações entre grupos ou indivíduos (relações de amizade em uma sociedade,
relações caçador-caça em um ecossistema, relações de dominância em um esporte, etc). Grafos
são usados para modelagens de tais redes e relacionamentos, e matrizes são uma ferramenta
muito útil para o estudo deles.
Aqui veremos de maneira simplificada e somente uma pequena introdução. Para um pouco
mais de detalhes, consulte o livro de Álgebra Linear, autor David Poole, páginas 210 a 214.
Aqui não iremos desenhar um grafo, somente fazer a relação com uma matriz.
Definição: A matriz de um grafo, A  aij, é chamada de matriz de vértices e seus elementos
são definidos por:
aij 
1 se existir uma relação de i para j
0 se não existir relação de i para j
Definição: A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j com
um único intermediário.
Definição: A matriz A3 representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j com
dois intermediários.
Definição: A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j com
n  1 intermediários.
Exemplo: Sejam A a matriz dos vértices A 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
e
18
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A2  c ij  onde A2 
1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1
.
O elemento c13  a11a13  a12a23  a13a33  a14a43  a15a53  0.1  1.1  1.0  1.1  1.0  2
significa que existe dois caminhos possíveis para ir de 1 para 3 com umo único intermediário:
Primeiro caminho saindo de 1 para 3 e passando por 2, que está representado pelo termo
a12a23 de c13.
Segundo caminho saindo de 1 para 3 e passando por 4, que está representado pelo termo
a14a43 de c13.
Obs: Os termos nulos em An significam que não há relação entre os termos i e j.
Os termos iguais a 1 em An significam que só há um único caminho para ir de i para j com um
único intermediário.
Os termos maiores que 1 em em An significa que m caminhos para ir de i para j com n  1
intermediários.
Definição: A  A2 representa o número total de caminhos para ir de i para j diretamente e
com um intermediário. A  A2  A3 representa o número total de caminhos para ir de i para j
diretamente e com 1 e 2 intermediários.
Obs: Se a matriz A for simétrica significa que há relação de ida e volta entre i e j.
Exercício:
Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas.
Estabelecemos que aij  1, na matriz abaixo, significa que a estação i pode transmitir diretamente à
estação j, aij  0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a
diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.
A 
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
Qual seria o significado da matriz A2  A  A?
Seja A2  c ij . Calculemos o elemento c42 
k1
5
 a4k  ak2  0  0  1  0  0  1.
Note que a única parcela não nula veio de a43  a32  1  1. Isto significa que a estação 4
19
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transmite para a estação 2 através de uma retransmissão pela estação 3, embora não exista uma
transmissão direta de 4 para 2.
20
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a) Calcule A2. Resp:
0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
2

1 1 2 3 1
0 2 2 2 2
1 0 2 1 1
0 1 0 2 0
0 0 1 0 1
b) Qual o significado de c13  2?
c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a
afirmação: "A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a
outra como uma única retransmissão".
d) Qual o significado das matrizes A  A2,A3 e A  A2  A3?
e) Se A fosse simétrica, o que significaria?
Gabarito
10.
a)
1 2 4
5 1 0
b)
15
4
c)
6
1
d)
2 1
4 2
8 4
e) 0 3 7 f)
7 0 1
g)
1 2 3
2 1 1
h) 2 1 i)
8 4 3
5 2 5
j) 15 4
11 a)
2 4
0 2
b)
2 0
4 2
c)
1 6
2 3
d)
5 2
2 1
e)
4 0
0 4
21
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DETERMINANTES
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde:
A 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
nxn
é denotado por detA ou |A|, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica
dos n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna
de A multiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra :
“Seja o produto escrito na seguinte forma: a1i  a2j  a3k . . . (n termos).
Se a seqüência dos índices i , j, k é um permutação par em relação a 1,2, 3, . . . . ,n, então o
produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1”.
Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüência
i, j,k. . .n.
Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2:
A 
a11 a12
a21 a22
2x2
será definido pelo produto:
detA 
a11 a12
a21 a22
 a11  a22  a12  a21
E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3:
A 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3x3
será definido pelo produto:
detA 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 a11a22a33  a21a32a13  a31a23a12  a13a22a31  a23a32a11  a33a21a12
Quando |A| 0, a matriz A é dita singular.
22
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Exercício 1: Calcule os determinates:
1.
3 4
1 3
 2.
5 1
0 3

3.
3 1 2
4 5 6
0 1 0

4.
1 0 1
2 5 0
1 2 2

Propriedades
As seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes:
1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos;
Exemplo:
2 6 7
0 0 0
5 4 8

4 3 0
5 9 0
1 10 0

2. O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i,
isto é,
detA  detAT.
Exemplo: Seja a matriz A 
1 3 2
1 0 3
4 3 2
com detA 
1 3 2
1 0 3
4 3 2

Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é,
calculando a matriz transposta de A:
AT 
1 1 4
3 0 3
2 3 2
. Então, o determinante de AT 
1 1 4
3 0 3
2 3 2

23
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3. O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou se
uma coluna é permutada com outra coluna;
Exemplo: Seja a matriz A 
1 3 2
1 0 3
4 3 2
. Trocando a linha 2 com a linha 3, temos
B 
1 3 2
4 3 2
1 0 3
. Então,
o determinante de B 
1 3 2
4 3 2
1 0 3
  27
4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante
fica também multiplicado por este número;
Exemplo: Seja a matriz A 
1 3 2
1 0 3
4 3 2
Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B 
1 3 2
2 0 6
4 3 2
e
1 3 2
2 0 6
4 3 2
 2  detA
Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C 
1 3 6
1 0 9
4 3 6
e
1 3 6
1 0 9
4 3 6
 3  detA 
Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos:
D 
2 6 4
2 0 6
8 6 4
, então o detD  2  2  2  detA 
24
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De uma forma geral, detk  A  kn  detA, onde k é uma constante real.
25
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5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ou
proporcionais entre si;
Exemplo:
2 4 2
3 0 3
2 7 2

1 2 3
3 2 7
2 4 6

Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais
6. Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, então
detA é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, detA  a11  a22 . . . ann.
Exemplo:
2 3 5
0 2 7
0 0 1

3 0 0
5 2 0
8 9 4

3 0 0
0 2 0
0 0 4

7. O determinanteda matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, detIn  1.
Exemplo:
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

8. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os
respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número.
Exemplo: Seja a matriz A 
1 3 2
1 0 3
4 3 2
.Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais
o três vezes a linha 1, isto é, L2  L2  3  L1, temos:
1 3 2
2 9 9
4 3 2
. Então,
1 3 2
2 9 9
4 3 2

26
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9.detA  B  detA  detB, em geral.
Exemplo: Sejam as matrizes A 
3 2
4 5
e B 
0 1
3 5
Calcule
detA 
3 2
4 5
 detB 
0 1
3 5

A  B 
3 2
4 5

0 1
3 5
 detA  B 
10. detA  B  detA  detB  detBA
Exemplo: Sejam as matrizes A 
3 2
4 5
e B 
0 1
3 5
, as matrizes do exemplo
anterior.
Calcule
A  B 
3 2
4 5

0 1
3 5

detA  B 
11) detAn  detAn
Exemplo: Seja a matrizes A 
3 2
4 5
.
Calcule
3 2
4 5
Calcule A2 
3 2
4 5
3 2
4 5
e detA2  e detA2 
Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique a
propriedade utilizada.
1.
1 1 1
3 0 2
2 2 2

27
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2.
3 1 0
0 2 5
0 0 4

3.
0 0 1
0 5 2
3 1 4

4.
2 3 4
1 3 2
1 5 2

5.
1 2 3
0 4 1
1 6 4

6.
4 1 3
2 0 2
5 4 1

7.
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1

8.
0 2 0 0
3 0 0 0
0 0 0 4
0 0 1 0

9.
1 0 1 0
0 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1

28
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Menores: O menor de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
determinante da submatriz Mij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta
matriz.
Notação: |Mij |.
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A 
4 1 2
3 0 5
6 1 7
. O menor do elemento a21 é o
determinante da submatriz M21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é,
|M21 | 
1 2
1 7
  9.
Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz.
Cofatores: O cofator de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo
o "menor com sinal" de aij e é dado pela seguinte relação:
Cofaij  1 ij  |Mij|
Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cofa21  121  |M21| 19  9.
Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos
elementos da matriz original, ou seja:
Se A 
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
nxn
, então a matriz dos cofatores é dada por:
CofA 
cofa11 cofa12 . . . cofa1n
cofa21 cofa22 . . . cofa2n
. . . . . . . . . . . .
cofan1 cofan2 . . . cofann
nxn
Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja,
AdjA  CofAT.
29
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Exemplo: A matriz dos cofatores de A 
4 1 2
3 0 5
6 1 7
. é
Exemplo: E a matriz adjunta de A 
4 1 2
3 0 5
6 1 7
é:
Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função de
cofatores, mediante uma das seguintes expressões:
|A| 
k1
n
 aikcofaik,desenvolvendo através da linha i,ou
|A| 
k1
n
 akjcofakj,desenvolvendo através da coluna j.
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A 
2 3 5
6 7 5
1 10 11
.
O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por:
detA  2  111 
7 5
10 11
 6  121 
3 5
10 11
 1  131 
3 5
7 5

O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por:
30
Profª Ana Paula Chiaradia - UNESP
detA  6  121 
3 5
10 11
 7  122 
2 5
1 11
 5  123 
2 3
1 10

Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será o
mesmo:
det
2 3 5
6 7 5
1 10 11
 136
DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número
de zeros.
Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça
conveniente.
1.
5 2 2
1 1 2
3 0 0

2.
1 1 1
2 0 1
3 2 1

3.
4 1 3
2 2 4
1 1 0

4.
cos sen tg
0 cos sen
0 sen cos

(lembrando que cos2  sen2  1)
5.
1 1 0 3
2 5 2 6
0 1 0 0
1 4 2 1

6.
2 0 3 1
1 0 2 2
0 1 1 4
2 0 1 3

Resp: 1) 6 2) 7 3) -12 4) cos 5) 4 6) 8
31
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Exercícios de Fixação
1. Calcule os determinantes:
a)
a b 0
0 a b
a 0 b
b)
0 a 0
b c d
0 e 0
c)
0 0 0 a
0 0 b c
0 d e f
g h i j
d)
1 0 0
0 cos sen
0 sen cos
Respostas: 1) ab2  a2b b 0 c) abdg d 1
2. Resolva a equação
x 5 7
0 x  1 6
0 0 2x  1
 0. Resp; x  0 ou x  1 ou x  ½.
3. Encontre os determinantes, assumindo que
a b c
d e f
g h i
 4.
a)
2a 2b 2c
d e f
g h i
b)
3a b 2c
3d e 2f
3g h 2i
c)
d e f
a b c
g h i
d)
a  g b  h c  i
d e f
g h i
e)
2c b a
2f e d
2i h g
Resp: a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8
32
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Exercícios de aplicação
1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos:
a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4)
b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6)
c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2)
Resp: a) 28 b) 8 c) 7
2. Calcule a área do triângulo de vértices:
a) (0,0), (3,4), (-2,3)
b) (2,-1), (3,3), (-2,5)
c) (-3,-1), (1,4), (3,-2)
Resp: a) 17/2 b) 11 c) 17
3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices:
a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0)
b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1)
Resp: a) 22 b) 15
4) Determine a equação da reta que passa pelos pontos dados:
a) (2,0) e (0,3)
b) (2,3) e (-1,0)
c) (1,2) e (4,3)
d) (-2,1) e (4,3)
Resp: a) y  3-3x/2 b) y 1x c) yx/35/3 d) y-5/3-4x/3
33
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MATRIZ INVERSA
Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se detA  0, então existe uma
matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :
A  B  B  A  I (I é a matriz identidade)
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B  A1.
Logo, temos:
A  A1  A1  A  I
Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.
Se detA  0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.
Cálculo da Matriz Inversa
A matriz inversa é calculada pela seguinte relação:
A1  1
detA
AdjA.
Exemplo: Calculando a matriz inversa de A 
2 3 5
6 7 5
1 10 11
Calculando-se o determinante da matriz A:
2 3 5
6 7 5
1 10 11
 136
A matriz de cofatores é calculada como sendo: CofA 
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta:
34
Profª Ana Paula Chiaradia - UNESP
AdjA  CofAT 
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Com isso temos:
A1  1
detA
AdjA  1136
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .

27
136
1
8 
5
34
 61136
1
8
5
34
53
136 
1
8 
1
34
.
Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal
principal são todos não-nulos.
Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:
a) A 
3 1
1 1
b)
6 3
2 1
Propriedades
1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
3) Se A  B é inversível, então A  B1  B1  A1.
4) A é inversível, então A11  A.
5) An  A1n 
n fatores
A1  A1  A1.
5) An é inversível e An1  A1n para n  0,1, 2, . . .
6) Para qualquer k constante real, a matriz k.A é inversível e k  A1  1k A
1.
7) Se A é uma matriz inversível, então AT também é inversível e AT1  A1T.
8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A1 é simétrica.
9) Se A é uma matriz inversível, então A  AT e AT  A são também inversível.
10) detA1  1
detA
, se detA  0.
35
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Exercício 2: Seja A 
4 7
1 2
. Calcule:
a) A3
b) A3
c) A2  2  A  I, onde I é a matriz identidade
36
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Exercício de Fixação
1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível:
a) A 
3
4
3
5
5
6
2
3
Resp:é singular
b)
2
2  2
2 2 2
Resp:
1
5 2
1
5 2
 25 2
1
10 2
c)
cos sen
sen cos
Resp:
cos sen
sen cos
2. Mostre que a matriz
1 0 0
0 cos sen
0 sen cos
é inversível para todos os valores de . Em
seguida, encontre a sua inversa. Resp:
1 0 0
0 cos sen
0 sen cos
.
3. Dada A 
2 1
1 1
. Calcule:a) A2 b) A2 c) A2  3  A  I
Resp: a)
5 3
3 2
b)
2 3
3 5
c) matriz nula
4. Dadas as matrizes A 
2 3
1 1
e B 
2 0
4 1
. Calcule:
a) A  B1 b) A  BT c) A  A1  I d) 2  B1
Resp: a)
1
2
3
2
3 8
b)
16 6
3 1
c) 0 d)
1
4 0
1 12
37
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Exercício de aplicação
Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos
associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que a nossa mensagem seja "PUXA VIDA". Podemos formar uma matriz 3x3
assim:
P U X
A  V
I D A
, que usando a correspondência numérica fica .
15 20 23
1 0 21
9 4 1
 M
Agora seja C uma matriz qualquer 3x3 inversível, por exemplo: C 
1 0 1
1 3 1
0 1 1
.
Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo
M  C 
15 20 23
1 0 21
9 4 1
1 0 1
1 3 1
0 1 1

5 83 58
1 21 22
5 13 14
Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números -5 83 58 1 21 22 5
13 14). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa
MC.C1  M) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada a matriz chave para
o código.
a) Você recebeu a mensagem: -12 48 23 -2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma chave,
traduza a mensagem.
b) Aconteceu que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda você substituir a
matriz chave por C 
1 1 1
1 1 0
0 0 2
. Você transmite a mensagem "CRETINO" a ele (codificada,
naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar sua mensagem?
c) Escolha uma outra matriz-chave que dê para codificar palavras até 9 letras. Codifique e
descodifique à vontade!
38
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Equações matriciais
Exercício 1: Ache X, dadas A 
1 2
3 4
e B 
1 0
1 1
.
1) X  2A  3B  0
2) 2X  A  B
3) 2A  2B  3X
4) 2A  B  X  3X  A
39
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Exercício 2: Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais
que as operações indicadas estão definidas)
1) ABX  C
2) CAXT  C
3) AX2C  AXBC
4) ADX  ABC
5) DXT  DC
40
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6) ABCX2D2  ABCXD
7) D1XD  AC
8) CX  2B  3B
Exercício de Fixação
Resolva a seguinte equação matricial em X (assuma que as matrizes são tais que as
operações indicadas estão definidas)
1) XA2  A1
2). AXB  BA2
3). A1X1  AB2A1
4) ABXA1B1  I  A
5) A1BX1  A1B32
Resp: 1) X  A3 2) X  A1BA2B1 3) X  AB2 4) X  AB1BA  A 5)
X  B4AB3
41
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42
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Sistemas de Equações Lineares
Equação Linear
Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da
forma:
a1  x  a2  y  b
onde a1, a2 e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas. Uma equação desta
forma é chamada de equação linear nas variáveis x e y. De forma geral, uma equação linear nas n
variáveis x1, x2, ..., xm como uma equação que pode ser expressa na forma:
a1  x1  a2  x2   am  xm  b
onde a1, a2, ..., am e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas
vezes, chamadas incógnitas.
Exemplo: São equações lineares:
x  3y  7
y  12 x  3z  1
x1  2x2  3x3  2 x4  33
Não são equações lineares:
x  3 y  5
3x  2y  z  xz  4
y  senx
Exercício 1:Quais das seguintes equações são lineares:
1. x1  5x2  2 x4  1
2. x1  3x2  x2x3  2
3. x1  7x2  3x3
4. x1
2  2x2  3x3  5
5. x1
3
5  2x2  x3  4
6. x1  2 x2  34 x3  0
Exercício 2: Sabendo que k é uma constante, quais das seguintes equações são lineares?
1. x1  2x2  3x3  senk
2. kx1  2k x2  9
3. 2kx1  7x2  x3  0
Sistemas de equações lineares
Um sistema de n equações lineares e m incógnitas tem a seguinte representação algébrica:
43
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a11  x1  a12  x2   a1m  xm  b1
a21  x1  a22  x2   a2m  xm  b2

an1  x1  an2  x2   anm  xm  bn
onde aij são coeficientes conhecidos, bi são constantes dadas e x j são as incógnitas do
sistema.
Uma equação genérica i do sistema poderia ser representada usando a notação 
(somatório) da seguinte maneira:



n
j
ijij bxa
1
Para se representar todas as equações do sistema, basta fazer:



n
j
ijij miparabxa
1
,,2,1 
Deseja-se agora, representar o sistema usando notação matricial. Pode-se reescrevê-lo da
seguinte maneira:


















































n
m
nm
m
m
nn b
b
b
x
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a


2
1
2
1
2
2
22
12
1
1
21
11
Definindo-se os vetores:




















































nnm
m
m
m
nn b
b
b
b
a
a
a
A
a
a
a
A
a
a
a
A

2
1
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma:
A1  x1  A2  x2 . . . .Am  xm  b.
Finalmente se definirmos a matriz A e o vetor x na forma:


























mnmnn
m
m
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A





2
1
21
22221
11211
44
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podemos representar o sistema matricialmente como:
A  x  B
ou seja,
 
B
n
x
m
A
nmnn
m
m
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa






































  




2
1
2
1
21
22221
11211
Nesta notação matricial. A é denominada matriz de coeficientes, x é denominado matriz das
variáveis e B é denominado matriz dos termos independentes.
Exemplo: Seja o sistema de equações lineares
3  x1  4  x2  2  x3  0
4  x1  2  x2  1
2  x2  x3  3
2  x1  3  x3  2
. Este sistema
tem 4 equações e 3 incógnitas.
Na forma matricial, tem-se:
A
3 4 2
4 2 0
0 2 1
2 0 3
4x3 X

x1
x2
x3
3x1

B
0
1
3
2
Matriz Aumentada: A matriz aumentada é obtida pela adjunção de b a A como a última
coluna.
 













nnmnn
m
m
baaa
baaa
baaa
bA





21
222221
111211
Exemplo: Usando o último exemplo, a matriz aumentada deste sistema fica:
3 4 2 0
4 2 0 1
0 2 1 3
2 0 3 2
4x4
45
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Exercício 3: Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações
lineares:
a)
3x  2y  1
4x  5y  3
7x  3y  2
b)
2x  4z  1
3x  y  4z  7
6x  y  z  0
c)
x1  2x 2  x4  x5  1
3x2  x3  x5  2
x3  7x4  1
d)
x1  1
x2  2
x3  3
Exercício 4: Encontre o sistema de equaçõe lineares correspondendo à matriz aumentada:
a)
2 0 0
3 4 0
0 1 1
b)
3 0 2 5
7 1 4 3
0 2 1 7
c)
7 2 1 3 5
1 2 4 0 1
d)
1 0 0 0 7
0 1 0 0 2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
Tipo de sistemas
Um sistema de equações lineares (SEL) tem solução quando existem valores para
x1,x2, . . . ,xn que sastifazem, simultaneamente, todas as equações do sistema.
46
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Quanto a existência de soluções:
Sistema Impossível (SI): Um sistema de equações que não possui solução
Sistema Possível (SP): Se existir pelo menosuma solução do sistema, dizemos que ele é
possível.
Obs: Todo sistema de equações lineares tem ou nenhuma solução, ou exatamente uma, ou
então uma infinidade de soluções.
Quanto ao número de soluções:
Um sistem possível pode ter um única solução ou infinitas soluções. Quando possui uma
única solução, dizemos que o sistema é possível e determinado(SPD). E quando possuir infinitas
soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI).
Pode ser classificado de acordo com a matriz B:
Sistema Homogêneo: Um sistema linear é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula,
isto é, bj  0 para qualquer j.
a11  x1  a12  x2   a1m  xm  0
a21  x1  a22  x2   a2m  xm  0

an1  x1  an2  x2   anm  xm  0
Se pelo ao menos um bj  0, então o sistema é dito não-homogêneo.
O sistema homogêneo sempre tem solução, pois têm x1  0,x2  0, . . . ,xn  0 sempre como
uma solução. Esta solução é chamada de solução trivial ou solução nula; se há outras soluções
estas soluções são chamadas não-triviais.
Como um sistema linear homogêneo sempre tem solução trivial, só existem duas
possibilidades para suas soluções:
- O sistema tem somente a solução trivial;
- O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial.
O sistema homogêneo tem infinitas soluções sempre que o sistema tiver mais incógnitas que
equações.
Exercício 5: Classifique os sistemas abaixo em relação a matriz B:
a)
3x  2y  1
4x  5y  3
7x  3y  2
47
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b)
2x  4z  0
3x  y  4z  0
6x  y  z  0
c)
x1  2x 2  x4  x5  0
3x2  x3  x5  0
x3  7x4  1
d)
x1  x2  0
x1  x2  0
x1  x2  x3  0
Resolver um SEL
Resolver um SEL é encontrar a solução deste sistema, isto é, encontrar os valores das
incógnitas que sastifaçam, simultaneamente, todas as equaçõe do sistema. Lembrando que nem
todo sistema tem solução.
A partir de agora, veremos alguns métodos que nos permitirá resolver o SEL. Mas antes
disto, veremos as operações que podemos realizar para encontrar uma solução.
Operações Elementares
O método básico de resolver um sistema de equações lineares é substituir o sistema dado
por um sistema novo que tem o mesmo conjunto-solução, mas que é mais simples de resolver.
Este sistema novo é geralmente obtido numa sucessão de passos aplicando a matriz aumentada
os seguintes três tipos de operações para eliminar sistematicamente as incógnitas:
- Multiplicar uma linha inteira por uma constante. (Li  k  Li, onde ké um constante real  0);
Exemplo:























8200
17431
10422
17431
8200
10422
32 LL
- Trocar duas linhas entre si.(Li  Lj);
Exemplo:
2 2 4 10
0 4 4 24
0 0 2 8
4
2
2 2 4 10
0 1 1 6
0 0 1 4
2
2
3
3
  
 































L
L
L
L
- Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha (Lj  Lj  k  Li, onde ké um constante
real  0);
48
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Exemplo:





















17431
8200
10422
2
17431
9311
10422
212 LLL
Estas três operações são chamadas operações elementares sobre linhas.
Matriz escalonada: Uma matriz está na forma escalonada reduzida por linhas, ou
simplesmente, forma escalonada reduzida, se:
1. Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não –nulo da linha é um 1,
chamado de pivô.
2. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas
inferiores da matriz.
3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem somente de zeros, o pivô da linha
inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior.
4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nos demais elementos.
Dizemos que uma matriz que tem as 3 primeiras propriedades está na forma escalonada
por linhas, ou simplesmente, em forma escalonada.Assim, uma matriz em forma escalonada
reduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada, mas não reciprocamente.
Observe que uma matriz na forma escalonada tem zeros abaixo do pivô, enquanto que uma
matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima do pivô.
Exemplo: Matrizes estão na forma escalonada as matrizes A, C, D e na forma escalonada
reduzida as matrizes B, C, D.
A 
1 2 0 4
0 1 0 7
0 0 1 1
B 
0 0
0 0
C 
0 1 2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
D 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Exemplo: Matrizes que não estão na forma escalonada:
A 
1 0 0 4
0 0 0 7
0 0 1 1
B 
1 0
0 2
C 
0 1 2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 2 0
0 0 0 0 0
D 
1 0 0
0 0 0
0 0 1
49