Matemática Básica16

Prévia do material em texto

Equações do 2º grau 
As equações do segundo grau são abordadas na história da 
matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos, 
hindus e chineses. 
O primeiro registro das equações polinomiais do 2º grau foi feita 
pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e 
resolviam equações de segundo grau por métodos 
semelhantes aos atuais ou pelo método de completar 
quadrados. 
Como as resoluções dos problemas eram interpretados 
geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. 
O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII. 
 
Equações do 2º grau 
Os Babilônios foram um povo da Antiguidade que viveu no 
Médio Oriente . 
Escreviam os símbolos numéricos com caracteres 
cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em 
placas de argila que depois eram cozidas . 
 
Equações do 2º grau 
As equações do 2 º grau ou equações quadráticas são da forma : 
ax² + bx + c = 0, 
em que a , b e c são números reais, com a diferente de zero . 
a é o coeficiente de x² 
b é o coeficiente de x 
c é o termo independente. 
 
Equações Completas do 2º grau 
Uma equação do 2 º grau é completa quando a , b e c são 
diferentes de zero . 
Exemplos: 
2 x² - 7 x + 5 = 0 (a = 2, b = - 7 , c = 5) 
3 x² + x + 2 = 0 (a = 3, b = 1, c = 2) 
 
Equações Incompletas do 2º grau 
Uma equação do segundo grau é incompleta se 
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0 . 
Na equação incompleta o coeficiente a ≠ 0 . 
Exemplos: 
4 x² + 6x = 0 (a = 4, b = 6, c = 0) 
- 3 x² - 9 = 0 (a = - 3 , b = 0, c = - 9) 
2 x² = 0 (a = 2, b = 0, c = 0) 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Resolver uma equação do 2 º grau significa determinar suas raízes . 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma 
equação, transforma - a numa sentença verdadeira . 
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina - se 
conjunto verdade ou conjunto solução . 
 
Resolução de Equações Incompletas 
1 ) Equações do tipo ax² = 0 : ( b = c = 0 ) 
Basta dividir toda a equação por a para obter : x² = 0 . 
Significando que a equação possui duas raízes iguais a zero . 
2 ) Equações do tipo ax² + bx = 0 : ( c = 0 ) 
Neste caso, fatoramos a equação para obter : x(ax + b) = 0 
A equação terá duas raízes : 
x' = 0 ou x" = - b/a . 
 
Resolução de Equações Incompletas 
3 ) Equações do tipo ax² + c = 0 : ( b = 0 ) 
Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o 
termo constante para o segundo membro para obter : 
x² = - c/a . 
Se - c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos 
números reais . 
Se - c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo 
valor absoluto ( módulo ) mas de sinais contrários . 
Resolução de Equações Completas 
b b2 4ac 
Fórmula Geral: x 
2a 
A Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele, mas pelo 
matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da 
publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio 
Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não 
tenha chegado até nós (nessas resoluções todos os cálculos 
eram expressos em palavras). 
No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à 
fórmula que dá as soluções da equação do segundo grau. 
Além de ser historicamente incorreto, esta nomenclatura não 
é usada em nenhum outro país. 
Fórmula de Bháskara 
Nome dado no Brasil à fórmula da equação do 2º grau em 
homenagem a Bháskara ou ... 
Bháskara II ou Bhaskaracharya – Bháskara o Professor: 
Astrônomo hindu que viveu entre 1114 e 1185. 
Chefe do observatório astronômico de Ujjain, na Índia, local 
onde já tinham trabalhado os astrônomos e matemáticos 
Varahamihira (505 - 587) e Brahmagupta (598 - 670). 
Bháskara I: (c. 600 - c. 680) 
Primeiro a escrever no sistema decimal indo-arábico usando 
um círculo para o zero. 
 
Resolução de Equações Completas 
Fórmula Geral : 
Delta ou Discriminante : 
O polinômio dentro da raiz da fórmula resolutiva ou geral é 
chamado de delta ou discriminante . 
Dessa forma, a fórmula geral pode ser escrita na forma : 
a 2 
ac 4 b b 
x 
2 
 
 
 
Fórmula de Bháskara 
De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas 
conclusões sobre a equação . 
Se ∆ > 0 , a equação terá duas raízes reais e distintas . 
Se ∆ = 0 , a equação terá duas raízes reais e iguais . 
Se ∆ < 0 , a equação terá duas raízes complexas . 
 
Resolução de Equações Completas 
Fórmula Geral : 
Relações entre os coeficientes e as raízes de uma 
equação do 2º grau: 
Soma das raízes (S) 
Produto das raízes ( P ) 
a 2 
4 ac b b 
x 
2 
 
 
Denominamos essas relações de relações de Girard . 
P = x ' . x" = c/a 
S = x ' + 
 
x" = - b/a 
 
Resolução de Equações Completas 
Fórmula Geral : 
Composição de uma equação do 2º grau, 
conhecidas as raízes 
a 2 
4 ac b b 
x 
2 
 
 
Denominamos essas relações de relações de Girard . 
x ² - Sx + P = 0 
Fórmula de Bháskara 
Não foi um único povo, nem uma única pessoa que inventou a 
fórmula da equação do 2º grau. Matemáticos de várias regiões do 
Velho Mundo, entre eles François Viéte, Thomas Harriot e René 
Descartes, acabaram deduzindo uma fórmula única, que tornou 
possível a resolução de qualquer equação do 2º grau, 
proporcionando assim aos estudantes de hoje conseguirem resolver 
em poucos minutos problemas que os mais brilhantes matemáticos 
da Antiguidade levavam meses para resolver! 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
OS NÚMEROS 5 E -5 SÃO DENOMINADOS SOLUÇÃO OU RAÍZES DA 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADA 
RAIZ OU SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA É 
O VALOR QUE, QUANDO ATRIBUÍDO À INCÓGNITA, TRANSFORMA A 
EQUAÇÃO EM UMA SENTENÇA VERDADEIRA. 
NOTE AINDA QUE A EQUAÇÃO X² = 25 PODE SER ESCRITA ASSIM: X² - 25 = 0 
VEJA COMO PODEMOS RESOLVÊ-LA: OBSERVE QUE AS RAÍZES 
ENCONTRADAS SÃO OPOSTAS. 
x² - 25 = 0 
 x = ± 5 Geralmente identificamos a primeira raiz por x’(lê-se 
x² - 25 + 25 = 0 + 25Adicionando + 25xis linha) e a segunda por x” (lêaos dois membros -
se xis duas linhas). 
 x² = 25 
Logo temos: 
De modo geral, uma equação do tipo 
x² = c, em que c ≥ 0, tem como 
 √x² = ± √25X’Extraindo= - 5 ou X”a raiz= +nos5dois membrosraízes √c e -√c 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
VEJA AINDA ESSA OUTRA EQUAÇÃO: 
AGORA OBSERVE COM ATENÇÃO: 
2X² - 18 = 0 RESOLVENDO-A TEMOS: QUAL É 
A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO X² + 36 = 0? 
 2X² - 18 + 18 = 0 + 18 Adicionando + 18 
RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: 2X² = 18 
2X² = 18 
X² + 36 = 0 
2 2 
X² + 36 - 36 = 0 - 36 Adicionando – 36 aos dois membrosX² = 9 
X² = - 36 √x² = ± √9 
√x² = ± √-36 Extraindo a raiz nosX1 =dois- 3 
oumembrosX2 = + 3 
X = √-36 Não existe no conjunto dos números reais, ou 
seja, não existe um número real cujo 
quadrado é um número negativo. 
aos dois membros 
Observe queDividindo os dois 
podemos indicar também 
membros por 2a primeira e a 
segunda raiz da equação por X1 
e X2, respectivamente. 
De modo geral, uma equação 
Extraindo a raiz nos dois 
do tipo ax² + c = 0, com a ≠ 0, 
membros pode ser 
transformada na equação ax² = 
- c, e esta em x² = - c . a 
Logo, ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS 
REAIS 
 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS : 
X² + 90 = 414 
Adicionando - 90 aos dois membros X² + 90 - 90 = 414 - 90 
X² = 324 
√ X² = ± √ 324 
X = ± 18 
X’ = - 18 ou X’’ = + 18 
Extraindo as raízes nos dois membros 
COMO A MEDIDA DO LADO DEVE SER UM 
NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS : 
O LADO DO QUADRADO 
MEDE 18 m. 
OBSERVE QUE A 
EQUAÇÃO X² + 90 = 414 
FOI REDUZIDA AO TIPO 
X² = C 
 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
RESOLVA O PROBLEMA : 
Jeny deseja construir dois 
pomares, uma na forma de 
um losango e o outro na 
forma de um paralelogramo 
conforme indicam as figuras 
ao lado : 
Admitindo que a diagonal 
maior do losango mede 3 x e 
a menor 2 x e queo 
paralelogramo mede de 
altura 2 x e sua base mede 
x + 5 . 
Para que Jeny construa esses pomares com áreas 
iguais, qual deve ser o valor de x? 
Para iniciarmos a resolução do problema 
devemos lembrar de como se calcula as áreas do 
losango e do paralelogramo . 
Área do losango : A = D . d 
2 
Área do Paralelogramo : A = B . h 
D= diagonal maior 
d = diagonal menor 
B = base 
h = altura 
VAMOS AGORA EQUACIONAR 
O PROBLEMA . 
 
 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
De modo geral, uma equação do tipo ax² + bx = 0 , 
quando fatorada, recai na equação x . ( ax + b) = 0 . 
ax² + bx = 0 = x . ( ax + b) = 0 
x’ = 0 
ax + b = 0 x’’ = - b , com a≠ 0 
a 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
AGORA VEJA QUE CURIOSO: 
Desenvolvendo o binômio do primeiro 
membro da equação (X + 1)² = 16 
temos: 
Observa que (x+1)² éAgoraum dosresolvam em 
seu produtos notáveis (quadradocaderno, com 
o auxílio da soma de dois donúmerosprofessor, 
a equação: quaisquer) e também pode(2x + 6)² 
= 36 ser resolvido de maneira 
 Logo 3 e prática– 5 são raízes das : quadrado do 
duas equações primeiro, mais duas vezesQuaiso são as raízes 
( X + 1)² = ( X + 1). ( X + 1) = 16 produto do primeiro dapeloequação dada? 
Verificação da equaçãosegundo, mais 
o quadrado do X² + 2X segundo- 
15. = 0 
 X² + 2X + 1 = 16 As raízes são 0 e -6 
3² + 2. 3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 0 
 Adicionando - 16 aos PARABÉNS!!!!!!!!! 
X² + 2X + 1 - 16 = 16 - 16 dois membros 
(-5)² + 2. (-5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 0 
X² + 2X - 15 = 0 
VAMOS VER OUTRO MODO DE RESOLVER
 A Assim a equação (X+1)² = 16 é igual EQUAÇÃO ( X + 1)² = 16 : a equação X² + 2X - 15 = 
0 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Problema envolvendo uma equação do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 : 
 x + 6 Como a área do terreno é O lado do quadrado mede x + 6, 
 de 81 m² temos: substituindo as raízes encontradas 
 
temos: 
Como a medida do 
x + 6 3+ 6 = 9 lado do quadrado ( x + 6)² = 81 deve ser um 
 -15 + 6 = - 9 número positivo, 
 Extraindo Petrusas
 raízesconclui: 
Sabendo que a área do terreno √( X + 6)² = ± √81 O quadradonos dois membrostem lados 
é de 81 m², qual é a medida dos medindo 9 metros. 
Petrúcio Filho desenhou a planta de um terreno em 
forma de um quadrado, conforme figura abaixo, e 
propôs o seguinte desafio a seu irmão Petrus: 
 As raízes da equação (x + 6)² = 81 
são 3 e – 15, mas apenas 3 satisfaz 
o problema: 
lados desse terreno? X + 6 = ± 9 
X + 6 - 6 = 9 - 6 
Lembre-se: para calcular a área de umX + quadrado6 = - 9bastaXelevar+ 6 - 6um= dos- 9 -
lados6 ao quadradoX = - 15. 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
OBSERVE ATENTAMENTE A MULTIPLICAÇÃO ABAIXO: Como ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab 
Observe que na expressão x² + ( a + b). x + ab 
( x + a ) . ( x + b ) Multiplicandoo coeficienteosdebinômiosx é 
dadotemospela:soma a + b e o 
terceiro termo que é independente da 
incógnitaFatorandox, é dado: colocandopelo 
produtoo afator.b 
x² + bx + ax + a.b comum em evidência 
Utilizando a observação acima, escreva a 
x² + ( a + b ) . x + ab expressão x² + 6x + 9 na forma fatorada. 
Podemos observar 
q
u
e
: 
C
o
m
o 
o 
X + 6 = 9 X = 3 Equacionando o problema: 
coeficiente de x da expressão x² + 
( a + b). x + ab é 
( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab dado pela soma a + b e o termo 
independente da incógnita x, é 
Dizemos que ( x + a ) . ( x + b ) dado pelo produto a.b , temos: 
é a forma fatorada da 
expressão x² + ( a + b). x + ab a + b = 6 e a . b = 9 
Fatorar significa escrever uma adição Calculando mentalmente algébrica 
na forma de uma multiplicação. encontramos: a = 3 e b = 3 Então: 
3 + 3 3 . 3 x² + 6x + 9 
( x + 3 ) . ( x + 3) 
Observe que x² + 6x + 
9 é um trinômio 
quadrado perfeito: x² 
+ 6x + 9 = ( x + 3)² 
VAMOS AGORA 
UTILIZAR ESSE 
MODO DE FATORAR 
PARA RESOLVER 
ALGUMAS 
EQUAÇOES DO 2º 
GRAU: 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Resolva a equação x² - 8x + 16 = 81: Observe que x² - 8x + 16 é um trinômio quadrado 
perfeito e tem a seguinte fatoração: ( x – 4 )² 
x² - 8x + 16 = 81 
Lembrem-se dos produtos notáveis: quadrado da 
Logo x² - 8x + 16 = ( x – 4 )² = 81 soma de dois números quaisquer e quadrado da 
diferença de dois números quaisquer: 
( x – 4 )² = 81 ( a + b )² = a² + 2ab + b² 
( a – b )² = a² - 2ab + b² 
√( X - 4)² = ± √81 Extraindo asLembreraízes nos-se também como esses produtos notáveis 
dois membros são fatorados de maneira prática: 
x – 4 = + 9 ou x – 4 = - 9 
x – 4 + 4 = + 9 + 4 x – 4 + 4 = - 9 + 4 √a² + 2ab + Adicionando√b²+ 4 aos dois membros 
VAMOS CONTINUAR 
 x’ = 13 x’’ = - 5 ( a + b )² 
RESOLVENDO EQUAÇÕES: 
Verificação: 
13² - 8 . 13 + 16 = 169 – 104 + 16 = 65 + 16 = 81 
(-5)² - 8.(-5) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Vamos agora resolver uma equação do 2º grau da forma ax² + bx + c = 0 
utilizando o Método de Completar Quadrados criado pelo matemático árabe 
Al-Khowarizmi. Dica: Para entender melhor esse método de 
Considere a equação x² + 6x + 8 = 0 completargeométricaquadradosverno sua
 interpretaçãosite 
x² + 6x + 8 = 0 x² + 
6x + 8 - 8 = 0 - 8 x² 
+ 6x = - 8 
x² + 6x + 9 = - 8 + 9 
( x + 3 )² = 1 
√( X + 3)² = ± √1 
http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.b
r /2014/08/o-metodo-de-completamento-
dequadrados.html 
Logo as 
raízes são: 
x’ = -2 ou 
x’’ = -4 
Adicionando – 8 aos 
dois membros 
Adicionando 9 aos
 dois membros para 
formar um Trinômio 
Quadrado Perfeito no 
primeiro membro 
Trinômio quadrado perfeito 
x + 3 = 
1 
 
x + 3 – 3 = 1 - 
3 
 
x = -2 
x + 3 = -1 
 
x + 3 – 3 = -1 - 
3 
 
x = -
4 
 
= - b ± √ ∆ 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
15 = (h – 1) . h Vamosfórmularesolverde um famosoa equaçãomatemáticoh² – h Hindu– 
30 =chamado0 utilizandoBhaskarauma. 
2 
ParaMultiplicandoresolverosadoisequaçãomembrosax²por+2bxe + c = 0, com 
15. 2 = (h – 1) . h . 2 a ≠simplificando0 usamos a fórmula de Bhaskara: 
2 
30 = (h – 1) . h 
Resolvendo 
a
s 
o
p
erações 
indicadasObservação: A 
expressão b² - 4ac
 representada 
Aplicandox = - ba±propriedade√ b² - 4.a.distributivac 
pela letra grega delta(∆) da multiplicação2.a em relação 
éachamada discriminante 
subtração) da equação 
que a = = - b ± √ ∆ 
30 = h² - h 
30 – 30 = h² – h – 30 h² 
– h – 30 = 0 
Equação do 2º grau completa 
ou 
x , em que ∆ = b² - 
4.a.c 
Adicionando – 30 aos dois membros 
2.a 
Uma condição para a existência de soluções reais é que o 
discriminante da equação seja maior ou igual a zero. Logo: 
∆ < 0, então a equação NÃO POSSUI RAIZ REAL 
∆ > 0, então a equação tem DUAS RAÍZES REAIS DIFERENTES 
∆ = 0, então a equação DUAS RAÍZES REAIS IGUAIS 
Inicialmente vamos calcular o valor de nosso 
discriminante (∆): 
∆ = b² - 4.a.c TEMOS 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA: 
h² – h – 30 = 0 Observex 1, b = -As1 eraízesc = - 30da equação são x’ = 6 
ou 
∆ = (-1)² - 4. 1 .(- 30) 
∆ = 1 + 120 = 121 
x” = - 
5 
2.a 
Como h representa a 
medida de 
x = - (-1) ± √121 uma 
altura,Substituindopor
 logoseush 
>respectivos0a., b e ∆ 
2.1 
Portanto,valoresa raiz -5 não é x = 
1 ± 11 Resolvendoconveniente. as 
Substituindo2os coeficientesASSIMoperações: a, 
indicadasb e 
Conclusão: O triângulo 
c por seus respectivos valores 
x’ = 1 + 11 x’ = 12 = 6 ABC tem 6 cm de altura 
Resolvendo2as operações2indicadas 
Observação: Faça a 
ou 
verificação em seu 
x’’ = 1 - 11 x’’ = = - 5 
∆ > 0, a equação possui DUAS RAÍZES DIFERENTES caderno. 
2 
 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Vamos agora resolver uma equação do 2 ª grau utilizando um método 
criado por um matemático Francês chamado Albert Girard 
Albert Girard( 1595 - 1632 ) demonstrou em seu livro Invention nouvelle em l’algèbra a 
relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação : 
1 ª Relação : SOMA DAS RAÍZES 2 ª Relação : PRODUTO DASRAÍZES 
X’ + X” = - b ou S = - b . 
a a 
Observação : Ver demonstração dessas relações no site http : //www . brasilescola . com/matematica/estudando - as - 
relacoes - girard . htm 
X’ . X” = c ou P = c . 
a a 
Observe que quando o a = 1 temos X’ + X” = - b e X’ . X” = C 
Vamos resolver a equação 2 x² - 10 x + 12 = 0 utilizando as relações 
de Girard : 
RESOLVENDO 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Na equação 2x² - 
10x + 12 = 0 temos a = 2, b = - 10 e c 
= 12 
Os números são 
2 e 3 
Assim as raízes são x’= 2 ou x”= 3 
x’ . x” = 12 .. 
 2 x’ . x” = 6.. 
Podemos encontrar 
as raízes da equação 
interpretando essas 
duas expressões 
Segundo Girard: As expressões nos mostram que 
existem dois números que 
somados dá 5 e multiplicados dá 6 x’ + x” = - b.... 
a x’ . x” = c .. a 
e 
QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS? 
Assim: 
PARABÉNS!!! x’ + x” = - (-10).... 
2 
x’ + x” = 5.. 
encontradas: x’ + x” = 5.. 
VERIFICAÇÃO: x’ . x” = 6.. 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Vamos resolver a equação x² + 8 x + 15 = 0 utilizando as relações de 
Girard : 
X’ + X” = - b .... 
a e 
X’ . X” = c . . 
a 
Assim : 
X’ + X” = - 8 .... 
1 X’ + X” = - 8 
X’ . X” = 15 . . 
1 X’ . X” = 15 
Na equação x² + 8 x + 15 = 0 temos a = 1 , b = 8 e c = 15 
As expressões nos mostram que 
existem dois números que somados 
dá - 8 e multiplicados dá 15 
QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS? 
Os números são - 3 e - 5 
Assim as raízes são x’= - 3 ou x”= - 5 
VERIFICAÇÃO : 
( - 3 ) ² + 8 . ( - 3 ) + 15 = 9 – 24 + 15 = 0 
( - 5 ² ) + 8 . ( - 5 ) + 15 = 25 – 40 + 15 = 0 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
ATIVIDADES DE FIXAÇÃO : 
1 ) Resolva as seguintes equações : 
a) x² - 225 = 0 
b) x² + 19 = 100 
c) 3 x² - 13 = 35 
2) Determine as raízes destas 
equações: 
a) x² - 8 x = 0 
b) 2 x² + 10 x = 0 
c) 3 t² - t = 0 
3 ) Determine os valores reais de x 
que verificam as equações : 
a) x ( + 3 ² ) = 64 
b) x ( - 5 ) ² = 121 
c) x ( + 11 ² ) = 324 
4 ) Resolva a equação x² - 10 x + 21 = 0 
utilizando : 
a) Fatoração 
b) Completamento de quadrado 
c) Fórmula de Bhaskara 
d) Relação de Girard 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
GABARITO DAS ATIVIDADES DE FIXAÇÃO : 
1 ) Escreva a equação de : 
a) x’= - 15 ou x”= 15 
b) x’= - 9 ou x”= 9 
c) x’= - 4 ou x”= 4 
2 ) Escreva a equação de : 
a) x’= 0 ou x”= 8 
b) x’= 0 ou x”= - 5 
c) t’= 0 ou t”= 1 \ 3 
3 ) Escreva a equação de : 
a) x’= 5 ou x”= - 11 
b) x’= 16 ou x”= - 6 
c) x’= 7 ou x”= - 29 
4 ) Escreva a equação de : 
x’= 3 ou x”= 7 
SUGESTÃO DE ATIVIDADE 
PESQUISA NA INTERNET: 
Pesquisar problemas em disciplina como Física, Química e Biologia 
que utilizem em suas resoluções equações do 2º grau como 
ferramenta. 
Observação: Os físicos estabelecem leis que podem determinar a 
altura h que um objeto atingi em cada instante t, e utilizam a fórmula 
h = vt – gt² , onde h = altura, v = velocidade inicial do corpo, 
2 
g = aceleração da gravidade e t = tempo decorrido. Considerando 
h= 20m, v = 25m/s e g= 10m/s² temos: 
20 = 25 – 10t² que simplificando é igual a t² – 5t + 4 = 0 
 2 EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Está lançado o desafio! Observe a imagem abaixo, leia atentamente as informações e 
tente descobrir a solução desse desafio. 
Você sabia que algumas praças e largos 
tiveram crucial importância no 
desenvolvimento da Cidade do Rio de 
Janeiro? Alguns deles tendo sua ocupação 
iniciada no início da colonização? São locais 
que chamam a atenção pelas suas atrações e 
possuem uma história distinta de menções 
como a Praça XV, Largo do Machado, Largo 
da Carioca, Largo do 
Boticário, Praça Tiradentes entre outros. 
Era uma praça retangular. Aumentaram 1 m em cada lado e a área aumentou 
15 m2. Escreva a expressão algébrica que representa a área antiga e a nova 
da praça. A área antiga mais 15 m2 é igual à área nova. Escreva também a 
equação correspondente a essa sentença. 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
A Planta Baixa é onde se especifica quase todo tipo de informação possível de um projeto, 
informações estas de construção, como locação da obra dentro do terreno e todo tipo de cota 
possível que mostre distâncias de largura e comprimento do ambiente . 
Fonte : htt p : //bi t . ly/Hblu l 8 
Observe a planta parcial de um 
escritório . As duas salas quadradas e 
o corredor retangular têm 40 m 2 de 
área . Cada sala tem x metros de 
largura e o corredor tem 1 metro de 
largura . Qual é a equação que 
representa a área total das duas 
salas e do corredor? 
Sala 1 Sala 2 
Que tal pesquisar outras aplicações das equações do 2º grau em nossa vida cotidiana? 
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
http://bit.ly/Hblul8
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Questão 1 : 
Assinale a alternativa que representa 
essa equação: 
a) x² + 2x = 5x - 8 
b) x² - x = 5x + 8 2 
c) 2x² + 2x = 5x - 8 
d) 2x² - 2 x = 5x + 8 
Uma das provas da Olimpíada de 
Matemática, na escola de Carlos, era 
criar uma situação que envolvesse o 
reconhecimento de uma equação do 2 º 
grau com uma incógnita . Veja, ao lado, 
como Carlos se saiu . 
X 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Administradas pela Secretaria Municipal de Meio Ambiente, as praças de Curitiba , capital do 
Estado do Paraná , possuem uma estrutura formada por playgrounds, ciclovias e, em algumas 
delas, quadras de esporte, equipamentos para ginástica e espaço para feiras volantes . Apesar 
de não serem criadas com tal finalidade, as praças são também caracterizadas como atrativos 
turísticos de Curitiba . 
Fonte : htt p : //bi t . ly/ H 7 tAL E 
Questão 2 : A área de uma praça quadrada é 144 m 2 . Quanto mede o lado 
dessa praça? 
a) – 12 m 
b) 8 m 
c) 12 m 
d) 14 m 
Fonte: http://bit.ly/H7tALE 
X 
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
http://bit.ly/H7tALE
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Você sabe o significa Vernissage? É um termo em francês que significa envernizamento. 
Normalmente utilizado para designar a pré-estreia de algo ou uma mostra privada que precede 
a abertura de uma exibição, geralmente de obras de arte. 
Atualmente, por motivos comerciais, é uma abertura para o mercado de obras de arte, 
compradores, vendedores e críticos. Fonte: http://bit.ly/adkvvx 
Questão 3: Patrícia comprou um quadro que tem forma retangular de 
dimensões externas 80 x 50 cm. A moldura tem largura x uniforme e a área 
da tela é 2.800 cm2. Qual das equações abaixo representa essa sentença? 
a) x² - 65x - 300 = 0 Sendo x a espessura da moldura: 80 cm 
A área interna é igual a 
b) x² + 65x - 300 = 0 (80 - 2x).( 50 - 2x ) 
(80 - 2 x).(50 - 2 x ) = 2800 
Xc) x² - 65x + 300 = 0 4000 - 160x - 100x + 4x² = 
2800 
d) 4x² - 65x + 300 = 0 4x² - 260 x + 1200 = 0 50 cm 
x² - 65x + 300 = 0 
Fonte: http://bit.ly/uiJlIN 
http://bit.ly/adkvvx
http://bit.ly/adkvvx
http://bit.ly/adkvvx
http://bit.ly/adkvvx
http://bit.ly/adkvvx
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Você sabe quais são os coeficientes de uma equação do 2º 
grau? 
....... Bons estudos!! 
Escreva no seu caderno, os coeficientes das seguintes 
equações do 2 º grau : 
a) x² + 8 x – 3 = 0 
b) x² + 5 x = 0 
c) x² – 7 = 0 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
A definição genérica de uma equação de 2 ° grau é : ax² + bx + c = 0 . 
Assista ao vídeo e busque a reposta para a seguinte pergunta : 
Conheça mais sobre: Equação do 2º grau:reconhecer uma equação . 
Responda a pergunta acima no seu caderno digital . 
Por que em uma equação do 2 ° 
grau, o coeficiente “a” tem que ser 
sempre diferente de 0 ( zero)? 
..... Vamos lá!! 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Questão 01 : Débora precisa selecionar entre as oito equações que 
estão no quadroabaixo, as que são do 2 º grau . Vamos ajudá - la! 
a) 1 , 3 e 7 
b) 1 , 4 e 6 
c) 3 , 4 e 8 
d) 3 , 6 e 7 x² 1) - 5 x + 6 = 0 5) 3x + 4 = 20 
2) 2x – 7 = 8 6) 4x² - 2 = 34 
3) x³ - x² = 10 7) 2x 4 – 0 = 8 
 6x² 4) - x = 0 8) 9x + 6 = 7x + 4 
Vamos lá Livia , quais as 
equações abaixo são do 2º grau? 
Fonte: http://bit.ly/HU8ID d 
Agora que você já estudou alguns conceitos sobre Equação do 2º grau: 
reconhecimento de uma equação , teste o que você aprendeu até aqui. 
X 
http://bit.ly/HU8IDd
http://bit.ly/HU8IDd
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Já ouviu falar em Geometria Espacial? É o estudo da geometria no espaço, em que estudamos 
as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos 
geométricos e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, 
cone, cilindro, esfera. Fonte: http://bit.ly/ICtjfY 
Questão 02: Para calcular o volume de um paralelepípedo retângulo (figura 
abaixo), devemos multiplicar suas três dimensões. Sabe-se que o volume do 
paralelepípedo da figura é 30 m3. Qual é a maior raiz da equação que 
representa o volume desse sólido? (simplifique a equação 
final) Os lados são: x , (x + 3), 3 Fonte: http://bit.ly/IbTEY8 a) 1 V = 3.x.(x + 3) = 
30 
3x² + 9x = 30 
Xb) 2 x² + 3x - 10 = 0 
 x' = (-3 + 7) / 2 = 2 x m 
c) 3 x'' = (-3 - 7) / 2 = -5 (não serve) 
http://bit.ly/ICtjfY
http://bit.ly/ICtjfY
http://bit.ly/ICtjfY
http://bit.ly/ICtjfY
http://bit.ly/ICtjfY
d) 9 Lados: x , (x + 3), 3 => 2 , 5 , 3 3 m 
 Maior valor de x = 2 (x + 3) m 
Maior dimensão = 5 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Você sabia que pedreiro é o profissional que constrói ou reveste muros, 
paredes, escadas, vigas, lajes, tetos, telhados, chaminés etc. 
em edifícios, infraestruturas de saneamento e outras obras de construção, geralmente 
orientado pelo engenheiro ou mestre de obras? Fonte: http://bit.ly/hffUtP 
Questão 03: Pedro quer revestir uma parede (quadrada) de 9 m² com 
exatos 400 azulejos. Sendo assim, pode-se afirmar que deverá comprar 
azulejos com medidas do lado igual a: 
Xa) 15 cm A = 9 m² 
b) 16 cm L² = 9 
L = √9 
http://bit.ly/hffUtP
c) 18 cm L = 3 m = 300 cm 
d) 20 cm Para colocar 400 azulejos, teremos que Fonte: http://bit.ly/I9KWoR 
colocar 20 azulejos na horizontal e 20 na vertical. 
Como a parede tem 3 m ou 300 cm, temos: 
300 cm ÷ 20 = 15 cm 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Questão 04 : A imagem abaixo representa, parcialmente, a planta da 
casa que Beatriz recebeu do governo através do PAC . Ela precisa 
descobrir o valor de x nessa figura . Sabendo que a área total da figura é 
27 m², pode - se afirmar que o valor de x é : 
a) 2 m 
b) 2,5 m 
c) 3 m 
d) 3,5 m 
x 
x 
x 
2 x Sala 
Cozinha 
Você sabe o que significa PAC? É o Programa de Aceleração do Crescimento , lançado 
em 28 de janeiro de 2007 . É um programa do governo federal brasileiro que engloba um 
conjunto de políticas econômicas que tem como objetivo acelerar o crescimento 
econômico do Brasil ,sendo uma de suas prioridades o investimento em infra - estrutura, em 
áreas como saneamento, habitação, transporte, energia e recursos hídricos, entre outros . 
Fonte : p htt : //bi t . ly / 9 LVA M 4 
X 
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
http://bit.ly/9LVAM4
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Resolver uma equação significa encontrar suas raízes (ou 
soluções). 
Um número é raiz de uma equação quando colocado no lugar 
da incógnita, a equação se transforma numa sentença 
verdadeira. 
....... Bons estudos! 
Calcule e registre em seu caderno, as raízes das seguintes 
equações do 2 º grau : 
a) x² – 4 = 0 
b) x² + 5 x + 6 = 0 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Questão 01 : Paula calculou a soma das raízes das equações 
A : x² + 5 x – 7 = 0 ; B : - x² - 2 x + 3 = 0 ; 
C : x² - 2 x + 2 = 0 e D : - 2 x² + 5 x – 4 = 0 . 
Pode - se afirmar que Paula achou a maior soma das raízes na equação : 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
A: x² + 5x – 0 7 = 
D: - 2 x² + 5x – 4 = 0 
C: x² - 2 x + 2 = 0 
B: - x² - x + 3 = 0 2 
Até aqui você trabalhou com: Equação do 2º grau: reconhecer uma equação . 
Teste seus conhecimentos, realizando as atividades abaixo. 
X 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Questão 02 : O que acontecerá se nosso amigo equilibrista despencar lá 
de cima? Segundo o cientista Galileu Galilei , se o equilibrista cair d 
metros em t segundos, teremos, aproximadamente, d = 5 t 2 . Descubra 
em quantos segundos o equilibrista chegará à rede que está 45 m 
abaixo dele . 
a) 1 s 
b) 2 s 
c) 3 s 
d) 4 s 
Grande Físico, Matemático e Astrônomo, Galileu Galilei nasceu na Itália, no ano de 1564 . 
Durante sua juventude ele escreveu obras sobre : Dante e Tasso . Ainda nesta fase, fez a 
descoberta da lei dos corpos e enunciou o princípio da Inércia . Aprenda mais em : p htt : //bi t . / ly 2 q K 2 U d 
Fonte: http://bit.ly/HFhJ3w 
X 
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
http://bit.ly/2qK2dU
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Um pouco de história da educação! Você sabia que na Grécia antiga as crianças eram 
educadas, mas de modo informal, sem divisão em séries, nem salas de aula? Já na Europa 
medieval o conhecimento ficava restrito aos membros da Igreja e a poucos nobres adultos. 
A palavra “escola” vem do grego scholé, que significa: acredite se quiser, “lugar do ócio”. 
Isso porque as pessoas iam à escola em seu tempo livre, para refletir. 
Questão 03: Os 40 alunos de uma classe sentam-se em n fileiras de 
carteiras, cada uma com n + 3 carteiras. Se não sobra carteira vazia, 
quantos alunos há em cada fileira? 
 Xa) 8 n(n+3) = 40 
b) 9 n² + 3n - 40 = 0 
c) 10 Δ = 3² - 4·1·(-40) = 9 + 160 = 169 
d) 11 √Δ = 13n 
n1 = -8 e n2 = 5 => n = 5 filas 
n + 3 = 5 + 3 = 8 alunos 
São 5 filas de carteiras cada uma com 
 8 carteiras, então 8 alunos em cada Fonte: http://bit.ly/HqzFiJ 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Questão 04 : “O Brasil envelhece” é o título do gráfico apresentado a seguir . 
Analise e pense a respeito das informações . Complete os valores do 
gráfico, resolvendo a equação x 2 / 4 – 5 x + 24 = 0 , cujas raízes são A e B . 
a) 4 e 6 
b) 6 e 8 
c) 8 e 10 
d) 8 e 12 
Fonte: IBGE 
X 
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Questão 05 : Joaquim comprou um terreno de formato quadrado de 289 m² 
em um condomínio fechado . O regimento do condomínio estabeleceu que 
cada proprietário é responsável pelo revestimento da calçada do seu 
terreno . Qual será o comprimento da calçada que Joaquim deverá 
construir, se o terreno não é de esquina? 
a) 15 m 
b) 16 m 
c) 16 , 5 m 
d) 17 m 
Você sabe o que é um Condomínio Fechado? Os condomínios fechados são uma 
forma de desenvolvimento imobiliário ou de comunidades residenciais em que o acesso 
de pessoas e de veículos é restrito . São normalmente caracterizados por serem 
compostos de poucas ruas ou edifícios residenciais, murados e munidos de amenidades . 
Confira em : htt p : //bi t . x ly/I 8 k i 3 
Fonte: http://bit.ly/HD1Ttq 
X 
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
http://bit.ly/Ix8ki3
 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
A seguir você será desafiado a utilizar os seus conhecimentos sobre Equação do 2 º grau : 
reconhecer uma equação, para resolver uma situação - problema .Um grupo de amigos organizou uma festa para comemorar o Natal . Como 
presente, todos escreveram e deram um belo cartão para cada participante 
da festa . Os cartões foram pendurados na Árvore de Natal . Se na árvore 
havia 182 cartões, quantas pessoas participaram da festa? 
Fonte: http://bit.ly/HmQv3n 
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Veja se você citou em seu resumo ao menos 5 dos 10 pontos apresentados abaixo. Se existirem 
alguns pontos diferentes, discuta com os seus colegas e verifique também as anotações deles. 
* Equações do 2º grau são da forma: ax² + bx + c = 0 com (a ≠ 0); 
* Utilizando equações do 2º grau, consigo descobrir o lado de um quadrado conhecendo 
sua área; 
* Em algumas situações, os termos b e c podem ser iguais a zero; 
* O termo a nunca pode ser igual a zero em uma equação do 2º grau; 
* Normalmente, a incógnita é representada pela letra x; 
* O termo a é o que caracteriza a equação do 2º grau; 
• Uma equação do 2º grau completa possui os coeficientes a, b e c diferentes de zero; 
• Caso, em uma equação do 2º grau, os coeficientes b e/ou c forem iguais a zero, ela é 
considerada uma equação do 2º grau incompleta; 
* Se o termo a for igual a zero, teremos uma equação de primeiro grau; 
• Podemos resolver diversas situações-problema com a equação do 2º grau.