gabarito - livro eco eng

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Carlos Patricio Samanez
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m
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n
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Este livro tem como principal objetivo abordar, de maneira analítica, intuitiva
e didática, as diversas técnicas da engenharia econômica, dando ênfase
àquelas que tratam da incerteza e do risco na avaliação dos projetos de
investimento de capital.
Nele, Carlos Patricio Samanez mantém a mesma técnica de ensino/
aprendizagem que o consagrou como autor de finanças: aborda o conteúdo
por meio de grande quantidade de exemplos de aplicação e diagramas ilus-
trativos, aliando teoria e prática e facilitando a fixação dos conceitos e o
aprendizado.
Destinada a graduandos e pós-graduandos em engenharia de produção,
administração,economia e ciências contábeis, esta obra também é ideal para
alunos de cursos de análise e avaliação de projetos de investimento e
administração de risco, bem como para economistas, engenheiros, adminis-
tradores, contadores e outros profissionais.
www.prenhall.com/samanez_br
O site de apoio oferece manual de soluções para professores.
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5
25
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 1 
1 Engenharia econômica 
CAPÍTULO 1 
Resolução dos exercícios propostos 
1. Dados: P = $18.000; S = $83.743, i = 15% a.m. n = ? 
 
Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro 
implícito: 
n
n
n
 S P 1 i
$83.743 $18.000 1 0,15
 4,65239 1,15
 
meses 11 
1,15 log
4,65239 log
n 1,15 logn4,65239 log :logaritmos aplicando 
 
 
2. Dados: i = 5% a.m.; P2 = ? (data focal = 3 meses) 
 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento: 
3 prestações P = $3.500 1 prestação P2 
n = 1, 2, 3 meses n = 3 meses 
 Por equivalência de capitais: 
2
2 2P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 P $11.033,75 
 
 
3. Dados: i= 20% a.m.; E = ? (data focal = valor presente) 
 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista): 
E + 2 prestações P = $80 P2 = $140 
n = 0, 1, 2 meses 
Por equivalência de capitais: 
1 2
$80 $80
$140 E + E $17,78
1,2 1,2
 
 
 
4. Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473); P = $83.000; i = 10% a.a.; n= ? 
 
n n
S = P 1 i $110.473 $83.000 (1,10) 
log 1,331
aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1 ,10 n 3 anos
log 1,1
 
 
 
5. Dados: i = 10% a.m.; P3 = ?; (data focal = valor presente) 
 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $360.000 E = 0,2 x P = $72.000; P2 = $180.000; P3 
n = 0, 1, 2 meses 
Por equivalência de capitais: 
 
 2 
2 Manual de soluções 
3
3
1 2
$180.000 P
$360.000 $72.000 + P = $150.4 80
(1,10) (1,10)
 
 
 
6. Dados: J = $25.000; i = 13% a.m.; n = 6 meses; P = ? 
n
6
Juros = S – P = P 1 i 1
$25.000 = P (1,13) 1
P = $23.106,39
 
 
 
7. Dados: P = $50.000; S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000); S2 = $53.060,40 ($51.000 + 
$2.060,40); n2 = n + 2; n = ?; i = ? 
a) 
n
n
n 2
2
$51.000 $50.000 (1+i)
S P 1 i
$53.060, 40 $50.000 (1+i) (1+i)
$53.060, 40
(1+i) i 2% a.m
$51.000
 
 
 
b) aplicando logaritm os: log 1,02 n log 1,02 n 1 m ês 
 
 
 
8. Dados: i1 = 2% a.m.; i2 = 1,5% a.m.; P1 – P2 = $10.000; J1 – J2 = $6.700; n = 24 
meses; P1 = ?; 
P2 = ? 
n
1 2 1 – 2 1 2
24 24
1 2
1 2
2 1
S P 1 i J – J = S S - P – P
$6.700 = P 1, 02 P 1, 015 $10.000
P = P + $10.000 
P = $3.440,52 P = $13.440,52
 
 
 
9. Dados: n1 = 40 dias; n2 = 32 dias; P1 = $2.400; P2 = $1.800; J1 – J2 = $100; i1 = 5% 
a.m.; i2 = ? 
n
1 2 1 2 1 2
40 30 32 30
2
30
32
2 2
S P 1 i J – J = S – S – P – P
$100 = $2.400 1, 05 $1.800 1 i $600
$1.861,32
i = 1 i = 3,19% a.m .
$1.800
 
 
 
10. Dados: n1 = 6 meses; n2 = 3 meses; P2 = S1 – J1/2; J2 = $18,42; i1 = 15% a.a.; P1 = ? 
n n
3 12
2 2 
S P 1 i J = S P = P 1 i 1
$18,42 = P (1,15) 1 P = $518,03
 
 
Por outro lado, 
 
 3 
3 Engenharia econômica 
1 1n n
2 1 1 2 1 1 1
6 12 6 12
1
1 
P = S – J /2 P = P 1+i 0, 5 1+i 1
$518,03 = P 1,15 0, 5 1,15 1 
P = $500
 
 
 
11. Dados: n = 4 meses; S = $850,85; P– J = $549,15; i = ?; P = ? 
n 4
S P 1 i $850, 85 P 1 i 
 
Por outro lado, 
n 4
4
4
P - J = P 2 1+i $549,15 = P 2 1+i
Logo, 
$850,85
$549,15 = 2 1+i
1+i
i = 5% a.m . P= $700
 
 
 
12. Dados: n1 = 50 dias; n2 = 3 meses; P2 = P1 – J1; J2 = $44,02; i = 3% a.m.; P1 = ? 
2n 3
2 2 2 2J P 1 i 1 $44, 02 P 1, 03 1 P = $474,73 
 
Por outro lado, 
1n 50 30
2 1 1 1 1
1 
P = P – J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,03
P = $500
 
 
 
13. Dados: n = n1+ n2; n1 = 10 meses; n2 = 11 meses; i1 = 2% a.m.; i2 = 3% a.m.; i= ? 
Por equivalência de capitais, 
1 2n n n
1 2
10 11 21
P(1+i ) (1+i ) P(1+i)
1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m. 
 
 
 
14. Dados: P1 = 2 × P2; J1 = $400; P1 + J2 = $1.032,91; i = 4% a.m.; P1 = ?; P2 = ?; n = ? 
 
a) 
n
n n
2
2
S P 1 i
$200
$400 = 2 P 1, 04 1 1, 04 1
P
 
 
 
Por outro lado, 
n
1 – 2 1 2 1 2
n n
2 2 2 2
n
2 2 
1 
S P 1 i J J = S – S – P - P
$400 – $1.032,91 + 2 P = 2 P 1, 04 P 1, 04 P
$1.032, 91 P 1, 04 1 P = $416,46
P = $832,91
 
 
b) aplicando logaritm os: log 1,48 n log 1,04 n 10 m eses 
 
 4 
4 Manual de soluções 
 
 
15. Dados: P1 = $1.000; P2 = $227,27; J1 – J2 = $100; i = 20% a.a.; n1 = n2/2; n1 = ?; n2 
= ? 
1 1
1
1 2
n
1 – 2 1 2 1 – 2
n 2 n
n
 
S P 1 i J J = S – S – P P
$100 = $1.000 1, 20 $227,27 1, 20 $772,73
1, 20 1, 20 n = 1 ano n = 2 anos
 
 
 
16. Dados: n1 = 50 dias; n2 = 1 ano; J2 = $12.342,82; P2 = P1 – J1 + $10.000; i = 3% a.m.; 
P1 = ? 
2n 12
2 2 2 2 J P 1 i 1 $12.342, 82 P 1, 03 1 P = $28.990 
 
Por outro lado, 
1n 50 30
2 – 1 1 1 1
1
P $10.000 = P – J = P 2 1+i $18.990 = P 2 1,03
P = $20.000
 
 
 
17. Dados: i1 = 5% a.m.; n1 = 3 meses; i2 = 4% a.m; n2 = 10 meses; 2 × P1 = P2; J1 + J2 = 
$11.181,14; P1 = ?; P2 = ? 
n
1 2 1 2 1 2
3 10
1
1 2
S P 1 i J + J = S + S – P + P
$11.181,14 = P 1, 05 2 1, 04 3
P = $10.000 P = $20.000
 
Valor total dos empréstimos = $10.000 + $20.000 = $30.000 
 
 
18. Dados: i1 = 5% a.m.; i2 = 10% a.m; P1 = 3 × P2; S1 = S2; n = ? 
n
n n n
2 2
S P 1 i
 3 P 1, 05 P 1,10 1, 04762 3
 
 
aplicando logaritm os: log 3 n log 1,047 62 n 23, 6159 m eses = 23 m eses e 18 dias 
 
 
19. Dados: i = 3% a.m.; n1 = 30 dias; n2 = 60 dias; n3 = 90 dias; D1 = $2.000; D2 = 
$1.000; D3 = $3.000; P = $6.000, n = ?; (data focal = valor presente) 
Por equivalência de capitais, 
n
2 3n 30 1
$6.000 $2.000 $1.000 $3.000
 (1 ,03) 6, 7581
(1,03) (1,03) 1,03 1,03
 
 
aplicando logaritm os: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias 
 
 
20. Dados: i = 3% a.m.; n1 = 8 meses; n2 = 7 meses; P1 = $10.000; D = $20.000; n = 8 
meses; P2 = ? (data focal = 1 mês) 
Por equivalência de capitais, 
 
 5 
5 Engenharia econômica 
1
1 2
n – 1
1
2 2
7
D
 P (1+i) + P
(1 + i)
$20.000
 $10.000 (1,03) + P P = $5.961,83
(1,03)
 
 
 
21. Dados: i1 = 5% a.m.; i2 = 4% a.m.; n1 = 24 dias; P1 = $10.000; S2 = $1.102,50; P2 = 
S1; n2 = ? 
n
24 30
1 1 2 
S P 1 i
 S $10.000 1, 05 S P = $10.398,04
 
 
Por outro lado, 
2 – 2n 24 30 n – 24
2S $1.102, 50 $1.039,80 1, 04 1, 04 5, 7925 
 
2 –aplicando logaritmos: log 5,7925 n 24 log 1,04 n 69 dias
Dias adicionais: 69 – 60 = 9 dias a ma is
 
 
 
22. Dados: i1 = 6% a.t.; i2 = 2% a.m.; P1 = $4.000– P2; S1 = S2; n = 8 meses; P1= ?; P2 = 
? 
n
8 3 8
2 2 2 1 
S P 1 i
 $4.000 P 1, 06 P 1, 02 P = $1.996,69 P = $2.003,0 4
 
 
 
23. Dados: i = 12% a.t.; n= 2 meses; P = $5.000; J = ? 
n
2 3
J P 1 i 1
 J $5.000 1,12 1 J $392, 40
 
 
 
24. Dados: j = 60% a.a.; m = 1. 
k m
a
360
a
12
a
4
a
j
(1 + i ) = 1+
k
0,60
a) D iária (k=360) i = 1+ – 1 = 82,12% a.a .
360
0,60
b) M ensal (k=12) i = 1+ – 1 = 79,59% a.a.
12
0,60
c) T rim estral (k=4) i = 1+ – 1 = 74,90% a .a.
4
d) S
2
a
0,60
em estral (k=2) i = 1+ – 1 = 69,00% a.a.
225. Dados: ia = 40% a.a.; m = 1. 
 
 6 
6 Manual de soluções 
k m
1 k m
a a
1 12
1 4
1 2
j
(1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
a) M ensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a.
b) T rim estral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a.
c) Sem estral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a.a.
 
 
 
 
26. Dados: P = $13.000; S = $23.000; m = 7/12; k = 12; j = ? % a.a. 
k m 1 k m
1 12 7 12
j S
S = P 1+ j = 1 ×k
k P
$23.000
j = 1 ×12= 101,90% a.a .
$13.000
 
 
 
27. Dados: P = $18.000; S = $36.204,48; j = 180% a.a.; k = 12; m = ? anos. 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
1,80
$36.204, 48 $18.000 1+ 1,15 2, 011
12
 
 
aplicando logaritmos: log 2,011 = 12 × m × log 1,15 m = 5 meses 
 
 
28. a) Dados: j = 120% a.a.; k = 12; m = 2/12 anos; i = ? 
k m
a
2 4 12 360
a s t m d
j
(1 + i ) = 1+
k
(1 + i ) = (1 + i ) = (1 + i ) = (1 + i ) = (1 + i )
 
 
12 2 12
1,20
i = 1+ 1 21%
12
 
 
b) Dados: j = 120% a.a.; k = 2; m = 18/12 anos; i = ? 
2 18 12
1,20
i = 1+ 1 309,60%
2
 
 
c) Dados: ib = 10% a.b.; k = 12; m = 1 ano; j = ? % a.a. 
k m
6 6 k m
a b b
6 12 1
j
(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 × k
k
j = (1,10) 1 × 12 j = 58,57% a.a.
 
 
d) Dados: is = 15% a.s.; k = 4; m = 1 ano; j = ? % a.a. 
 
 7 
7 Engenharia econômica 
k m
2 2 k m
a s s
2 4 1
j
(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 × k
k
j = (1,15) 1 × 4 j = 28,95% a.a.
 
 
e) Dados: j = 24% a.a.; k = 360; m = 41/360 anos; i = ? 
 
 
 
 
 
29. Dados: P = $10.000; S = $13.685,69; j = 48% a.a.; k = 12; m = ? anos. 
k m
12 m
12 m
j
S = P 1+
k
0,48
$13.685, 69 $10.000 1+ 1,04 1, 368
12
 
 
aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m = 8 meses 
 
 
30. Dados: j = 6% a.a.; k = 12; m =1 ano; ia = ? 
k m
a
12
a
j
(1 + i ) = 1+
k
0,06
i = 1+ 1 6,1678%
12
 
 
 
31. Dados: S1 = $10.000; S2 = $15.735,19; j1 = 24% a.a.; j1 = 48% a.a.; k1 = 2; k2 = 4; P 
= ?; m = ? anos. 
 
a) 
k m
m
2
m
j
S = P 1+
k
0,24 $10.000
$10.000 P 1+ P
2 1, 2544
 
 
Por outro lado, 
k m
m
4
m
j
S = P 1+
k
0,48
$15.735,19 P 1+ 1, 2544 1, 5735
4
 
 
b) aplicando logaritmos: log 1,5735 m log 1,2544 m = 2 anos P = $6.355,18 
 
 
32. Dados: P = $75.000; S = $155.712; j = 22% a.a.; k = 2; m= ? 
360 41 360
0,24
i = 1+ 1 2,77 %
360
 
 8 
8 Manual de soluções 
k m
2 m
2 m
j
S = P 1+
k
0,22
$155.712 $75.000 1+ 2,076 1,11
2
' 
 
aplicando logaritmos: log 2,076 = 2 × m × log 1,11 m = 42 meses 
 
 
33. Dados: P1 = $8.000; P2 = $33.800,80; j1 = 20% a.a.; j1 = 10% a.a.; k1 = 4; k2 = 2; J1 = 
J2; 
m = ? anos. 
k m
m m
4 2
m
2
j
J = P 1+ P
k
0,20 0,10
$8.000 1+ $8.000 $33.800,80 1+ $33.800, 80
4 2
1,05 3, 2251
 
 
aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m = 12 anos 
 
 
34. Dados: P = $12.600; j = 22% a.a.; k1 = 2; k2 = 4; k3 = 6; m1 = 1 ano; m2 = 1 ano; m3 = 
1 ano; 
S = ? 
k m
2 4 6
j
S = P 1+
k
0,22 0,22 0,22
S $12.600 1+ 1+ 1+ S $23.870, 48
2 4 6
 
 
 
35. Dados: P1 = (3/4) × P; P2 = (1/4) × P; J1 – J2 = $4.726,04; j1 = 20% a.a.; k1 = 2; j2 = 
12% a.s.; k2 = 2; m = 4 anos = 8 semestres; P = ? 
k m
1 – 2 1 2 1 – 2
2 4 2 8
j
S P 1 J J = S – S – P P
k
3 0, 2 1 0,12 1
$4.726,04 = P 1 1 P = $10.000
4 2 4 2 2
 
 
 
36. Dados: J1 – J2 = $12.252; j = 12% a.a.; k1 = 12; k2 = 2; m = 4 anos; P = ? 
k m
1 2 1 2 1 2
12 4 2 4
j
S P 1 J – J = S – S – P – P
k
0,12 0,12
$12.252 = P 1 1 P = $666.666,56
12 2
 
 
 
37. Dados: P1 – P2 = $10.000; J1 – J2 = $6.741; j1 = 20% a.a.; k1 = 2; j2 = 18% a.a.; k2 = 
4; 
 
 9 
9 Engenharia econômica 
m = 2 anos; P1 = ?; P2 = ? 
k m
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
2 2 
2 1 
j
S P 1 J - J = S - S - P - P
k
0,20 0,18
$6.741 = P + $10.000 1 – P 1 $10.000
2 4
P = $50.000,73 P = $60.000,73
 
 
 
38. Dados: j1 = 5,5% a.a.; k1 = 2; i2 = 4% a.a.; m1 = 5 anos; n2 = 10 anos; n = 15 anos; i = 
? 
k m
n
2 5
10 15 15
j
S = P 1+ P 1+i
k
0,055
1 + 1 + 0,04 1 + i 1 + i 1, 9416 i = 4,5226% a.a.
2
 
 
 
39. Dados: P1 = $20.000; P2 = J1; j1 = 18% a.a.; j2 = 12% a.a.; k1 = 2; k2 = 4; m1 = 4 anos; 
m2 = 15/12 anos; J2 = ? 
k m
2 4
2 1 2 
j
equação para calcular os juros: J = P 1 + 1
k
0,18
 P = J = $20.000 1 + 1 P = $19.851,25
2
 
 
Por outro lado, 
4 15 12
2 2 
0,12
J = $19.851,25 1+ 1 J = $3.161,79
4
 
 
 
40. Dados: J1 = $2.294,08; S2 = $9,903,85; j1 = 24% a.a.; k1 = 2; j2 = 48% a.a.; k2 = 4; 
P1 = P2 = P = ?; m = ? 
k×m
2×m
2×m
j
J = P 1+ – 1
k
0,24 $2.294,08
$2.294,08 = P 1+ – 1 1,12 = 1
2 P
 
 
Por outro lado, 
k×m
2
2×m
2
j
J = P 1+ –1
k
0,48
$9.903,85 = P 1+
4
$2.294,08
$9.903,85 = P 1
P
$2.294,08 P
$9.903,85 = $2.294,08 2 P = $4.000
P $2.294,08
 
 
 10 
10 Manual de soluções 
 
aplicando logaritmos: log 1,5735 = 2 × m × log 1,12 m = 2 anos 
 
 
41. Dados: P1 – P2 = $100; J1 – J2 = $1.404,57; j1 = 28% a.a.; k1 = 4; j2 = 12% a.s.; k2 = 
6; m1 = 4 anos; m2 = 4 semestres; P = P1+ P2 = ?; 
k m
1 2 1 2 1 2
4 4 6 4
2 2 
2 1 
j
S P 1 J – J = S – S – P – P
k
0,28 0,12
$1.404,57 = P + $100 1 – P 1 $100
4 6
P = $900 P = $1.000 P = $1.900
 
 
 
42. Dados: j1 = 24% a.a.; j2 = 36% a.s.; k1 =12; k2 =2; P = $4.000; m1 = 3 meses; m2 = 8 
meses; J = ? 
 
k m
3 2
j
J P 1+ P
k
0,24 0,36
J $4.000 1+ 1+ 1 J $1.910,50
12 2
 
 
 
43. Dados: P1 = $8.000; P2 = $4.000; J1 – J2 = $1.404,57; j1 = 18% a.s.; k1 = 3; j2 = 18% 
a.t.; k2 = 3; m1 = 4 semestres; m2 = ? 
2
2
k m
1 2 1 2 1 2
3 4 3 m
 
3 m
j
S P 1 J – J = S – S – P – P
k
0,18 0,18
$4.048,79 = $8.000 1 – $4.000 1 $4.000
3 3
1, 06 2, 012
 
 
aplicando logaritmos: log 2,012 = 3 × m × log 1,06 m = 4 trimestres = 1 ano 
 
 
44. Dados: j = 20% a.a.; k = 4; i = 5% a.a.; n = 8 anos; m = ? 
 
k×m
n
4×m
4×m8
j
(1 + i) = 1+
k
0,2
(1,05) = 1+ 1, 477 1,05
4
 
 
aplicando logaritmos: log 1,477 = 4 × m × log 1,05 m = 2 anos 
 
 
45. Dados: k = 2; i = 8% a.a.; n = 4 anos; m = 2 anos; j = ? 
 
 
 11 
11 Engenharia econômica 
k×m
n
2×2
4
j
(1 + i) = 1+
k
j
(1,08) = 1+ j 16% a.a .
2
 
 
 
46. Dados: n = 12; R = $7.932,64; P = $43.000; i = ? 
 
 Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi: 
2
n+1n R
onde: h 1 
P
 P principal 
 R valor da prestação poste cipada
 n núm ero de prestações.
 
 
2 2
n+1 12+1n R 12 7.932,64
h 1= 1=0,130048298
P 43.000
 
12 n-1 h 12 12-1 0,130048298
i=h 0,130048298 0,15
12-2 n-1 h 12-2 12-1 0,130048298
 
 
 Aproximação por meio de interpolação linear: 
Pelo princípio de equivalência de capitais, podemos montar a equação de valor 
igualando o valor à vista ao valor presente do fluxo de pagamentos da alternativa 
compra parcelada: 
 
12 i% 12 i%
$43.000
$43.000 $7.932, 64 5,42064
$7.932, 64
a a
 
O fator pode ser aproximado por meio de uma interpolação linear, de modo a 
estimar a incógnita i. Podemos começar calculando o fator 
12 i%
a para diversos valores 
de taxas de juros e, a seguir, efetuar a interpolação linear: 
 
 Taxa de juros aproximada: 
i% 12
12
1 i 1
1 i i
 
5, 4206 5, 30693
i 15, 5% 15,5% 14, 5% 15% a.m .
5, 53824 5, 30693
 
14,5% 5,53834 
15,5% 5,30693 
 
Nas tabelas financeiras do apêndice deste livro, pode-se observar que o fator 
42064,5
i% 12
a corresponde a uma taxa de juros de 15%. 
 
 
para n i 3 
12 n-1 h
i=h 
12-2 n-1 h
 
 12 
12 Manual de soluções 
47. Dados: P = $2.300; i = 8% a.m.; R = $278,98; n = ? 
n
n
 
n 5% n
O valor da aplicação inicial deverá ser igual ao valor presente das prestaçõe s m ensais: 
1 ,08 1
 P R $2.300 $278,98 (1 ,08) 2,937193624
1,08 0,08
Aplic
a
log (2,937193624) 
ando logaritm os: n 14 prestações m ensais 
log (1,08)
 
 
 
48. Dados: n = 13; R = $15.793,91; P = $132.000; i = ?Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi: 
2
n+1n R
onde: h 1 
P
 P principal 
 R valor da prestação poste cipada
 n núm ero de prestações.
 
 
2 2
n+1 13+1n R 13 15.793,91
h 1 = 1 = 0,065144281
P 132.000
 
12 n – 1 h 12 13 – 1 0,065144281
i = h 0,065144281 0, 07
12 – 2 n – 1 h 12-2 13 – 1 0,065144281
 
 
 
49. Dados: P = $330; E = $49,50; i = 5% a.m.; n = 8; R = ? 
a) prestação postecipada: 
n i%
8
8 5%
8
Financiam ento efetivo 
R
P – E $330 – $49,50 $280,5
R = $43,40
6,463211,05 1
1,05 0,05
a
a
 
 
 
b) prestação antecipada: 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento 
menos a entrada e menos a primeira prestação paga no ato): 
para n i 3 
12 n-1 h
i=h 
12-2 n-1 h
 
 13 
13 Engenharia econômica 
n – 1 i%
7 5%
7
7
Financiam ento efetivo
R
$330 – $49,50 – R
R
$280,5 R
R
1,05 1
1,05 0,05
$280,5 R
R R = $41,33 
5,78637
a
a
 
 
 
50. Dados: S = $400.000; i = 36,05% a.m.; R = $9.651,05; n = ? 
n
n
 
n i%
1,3605 1
 S R $400.000 $9.651,05 1 ,3605 346,9543814
0,3605
log (346,954381) 
Aplicando logaritm os: n 19 depósitos m en sais
log (1,3605)
S
 
 
 
51. Dados: P = $375; i = 8% a.m.; n = 12; R = ? 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento 
menos a primeira prestação paga no ato): 
n – 1 i%
11 8%
11
11
Financiam ento efetivo
R
$375 – R
R
$375-R
R
1,08 1
1,08 0,08
$375-R
R R = $46,07
7,138964258
a
a
 
 
 
52. Dados: n =11; R$150.000; P = $1.000.000; i = ? 
 
a) postecipadas: 
 Cálculo do i pelo método de Baily-Lenzi: 
para n i 3 
12 n-1 h
i=h 
12-2 n-1 h
 
 14 
14 Manual de soluções 
2
n+1n R
onde: h 1 
P
 P principal 
 R valor da prestação poste cipada
 n núm ero de prestações.
 
 
2 2
n+1 11+1n R 11 150.000
h 1= 1=0,087044503
P 1.000.000
 
12 n – 1 h 12 11–1 0,087044503
i=h 0,087044503 9,4377% a.a.
12 – 2 n – 1 h 12-2 11–1 0,087044503
 
 
b) antecipada: 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento 
menos a primeira prestação paga no ato): 
n – 1 i%
10 i%
10 i%
Financiam ento efetivo
R
$1.000.000 - $150.000
$150.000 5,66667
Por aproxim ações ou pelo m étodo de Bayli-Lenzi: i 11,9291% a.a.
a
a
a
 
Aplicando a fórmula de Baily-Lenzi: 
 
 
53. Dados: P = $15.000; i = 3% a.m.; R = $885,71; n = ? 
n
n
 
n 5% n
O valor à vista deverá ser igual ao valor presente das prestações m ensais: 
1 ,03 1
 P R $15.000 $885,71 (1 ,03) 2,03279
1,03 0,03
Aplicando logaritm os:
a
log (2,03279) 
 n 24 prestações m ensais 
log (1,03)
 
 
 
54. Dados: P = $50.000; i = 7% a.m.; R = $8.391,83; n = 6; E = ? 
6
6
O valor à vista deverá ser igual ao valor presente dos pagamentos:
1,07 1
 $50.000 E $8.391,83 E $50.000 - $8.391,83 4,76654 = $10.000 
1,07 0,07
 
a.m. %93,11
108791,09212
108791,0912
108791,0
h1n212
h1n12
h=i
108791,01
850.000
000.50101
1
efetivo ntoFinanciame
R n
=h 
1 + 10
2
1 +n 
2
 
 15 
15 Engenharia econômica 
 
 
55. Dados: P = $14.000; E = $6.000; i = 6% a.m.; n = 20; R = ? 
 
a) prestação postecipada: 
n i%
20
20 6%
20
Financiam ento 
R
P – E $14.000 $6.000 $8.000
R = $697,48
11, 469921,06 1
1,06 0,06
a
a
 
 
b) prestação antecipada: 
As prestações são calculadas em base ao financiamento efetivo (financiamento 
menos a primeira prestação paga no ato e menos a entrada): 
n-1 i%
19
19
Financiam ento efetivo
R
$14.000 $6.000 R
R
1,06 1
1,06 0,06
$8.000 R
R R =$658
11,15812
a
 
 
 
56. Dados: P = $40.000; E = $8.000; i = 3% a.m.; n = 18; c = 3; R = ? 
 
a) prestação antecipada com carência: 
n i%
c-1 2
18
18 3%
18
Financiam ento capitalizado c-1 m eses 
R
P-E (1+i) $40.000 $8.000 (1, 03) $33.948, 80
R =$2.468,37
13, 753511,03 1
1,03 0,03
a
a
 
 
 
57. 
 
o
13
n i%
o
 C apital acum ulado no 13 m ês: 
1 ,04 1
 S R $120 = $1.995, 22
0,04
O capital acum ulado no 13 m ês será resga tado em três saques:
 
S
3 4%
$1.995, 22 $1.995, 22
 R = = = 718,98 
 2, 77509 a
 
 
 
58. Dados: P = valor à vista; Entrada (E) = 0,20 × (1,25P) = 0,25P; R = 0,80 × 
(1,25P)/6 = 01,16667P; n = 6; i =? 
 
 16 
16 Manual de soluções 
6 i%
 
6 i% 6 i%
V alor à vista = Entrada + V alor presente das prestações
 P = 0,25P + 0,16667
 1 = 0,25 + 0,16667 4, 5000
a
a a
 
 
Por aproximações ou por interpolação linear: i = 8,8950% a.m. 
 
 Pela fórmula de Baily-Lenzi: 
financiamento efetivo =P – Entrada = P – 0,25P = 0,75P
prestação (R) = 0,16667P; n = 6; i = ? 
 
 
22
6+1n+1n R 6 0,16667
h = 1 1 0,085667362
Financiam ento efetivo 0,75
12 n – 1 h 12 5 0,085667362
i = h 0,085667362 8, 8950% a.m .
12-2 n – 1 h 12 2 5 0,085667362 
 
 
 
59. 
 
4 10% 10 15%
8 10% 8 12
valor presente das prestações:
$13.500 $13.500
=$66.000
(1,10) (1,10)
$13.500 3,16987 $13.500 5, 018769
=$66.000 5, 33493
2,14359 3,13843
$352.105,13 $19.963, 34 $21.588, 31 $39 3.656
a a
a
o 5
, 78
Pagam ento único no 5 m ês : $393.656, 78 (1,10 ) $633.988,18
 
 
 
60. 
 
12 4%
C 1
12 4%
4 1
Pelo princípio de equivalência de capita is:
 valor à vista = valor presente dos p agam entos
0,10P
 P = E+
(1, 04)
0,10P
 P = E+
(1, 04)
 
a
a
0,10P 9, 38507
 P = E+
1,124864
 P = E+ 0, 83433P E = P – 0, 83433P = 0,1657P
 
 
A entrada representa 16,57% do valor à vista. As prestações são antecipadas, ou 
seja, a primeira é paga logo ao término do período de carência. 
 
 
61. 
 
 17 
17 Engenharia econômica 
 
7 15%
1
1 7 15%
Pelo princípio de equivalência de capita is:
 valor do financiam ento = valor presente dos pagam entos
$159.748,88 
 $380.000 = 
(1,15)
$159.748,88 
(1,15)
$380
c
c
a
a
1$159.748,88 4,16042
1, 74901 (1,15) 1, 74901
.000 $380.000
Aplicando logaritm os:
Log 1, 74901 
1 Log 1,15 = Log 1, 74901 1 5
Log 1,15
A carência é de cinco m eses. As prestaçõ es são antecipadas, sendo 
c
c c
a prim eira paga logo ao térm ino do período 
de carência.
 
 
 
62. a) Capital a ser aplicado hoje: 
 
65,045.17$
1(1,08)
$8.000
 
1i)(1
S
P
5k 
b) Custo capitalizado do canal de irrigação: 
65,045.57$65,045.17$000.40$PCF 
 
 
63. a) Capital a ser aplicado hoje: 
 
64,520.6$
1(1,01)
$15.000
 
1i)(1
S
P
120k 
b) Custo capitalizado do canal de irrigação: 
64,520.36$64,520.6$$000.0$3PCF 
 
 
64. Passarela de madeira: 
a) Capital a ser aplicado hoje: 
 
65,940.20$
1(1,06)
$4.000
 
1i)(1
S
P
3k 
b) Custo capitalizado: 
65,940.30$65,940.20$000.10$PCF 
 
Passarela de aço: 
a) Capital a ser aplicado hoje: 
 
26,336.14$
1(1,06)
$6.000
 
1i)(1
S
P
6k 
b) Custo capitalizado: 
26,336.34$26,336.14$000.0$2PCF 
 
 
 18 
18 Manual de soluções 
Deve ser selecionada a passarela de madeira, pois tem o menor custo 
capitalizado. 
 
 
 
65. 
– m
0
valor discreto equivalente a um a quant ía uniform em ente distribuída:
1 – e
 P = Q 
m
valor da quantía uniform em ente distribu ída:
 
0
– m
– 0 ,09531 1
P
 Q onde: ln(1,10) 0, 095 31 m 1
1 – e
 
m
$1.450 $1.450
 prim eiro valo r: Q $1.520, 20
0, 9538241 – e
0, 09531 1
 
e
$235.980
 segundo valor: Q $ 247.404, 26
0,953824
$45.789.000
 terceiro valo r: Q $48.005.736, 05
0, 953824 
 
 
66. 
 
– m
0
valor discreto equivalente a um valor uniform em ente distribuído:
1– e
 P = Q onde: ln(1,15) 0,139762 m 1 
m
 
 
e
– 0 ,139762 1
0
0
1 – e
 prim eiro valor: P $2.000 $2.000 0, 933264 $1.866, 53
0,139762 1
 segundo valor: P $324.000 0, 933264 $302.377, 52
 0 terceiro valor: P $1.289.000 0, 933264 $1.202.977, 23
 
 
 
 
 19 
19 Engenharia econômica 
67. 
1/12
m
taxa efetiva m ensal equivalente à taxa efetiva de 42,5761% a.a.: 
 i (1, 425761) 1 0, 03 3% a.m .
valor da m ensalidade discreta antecip ada, equivalente à receita líquida m en
– m – 0,0295588 ×1
sal de fluxo uniform ente distribuído:
1 – e 1 – e
 Q $500.000 $500.000 0, 985365 $492.6 82, 58 
m 0, 0295588 1
 onde: ln(1, 03) 0, 0295588 me 1 
 A fórm ula transform a os valores em reg im e de fluxo uniform e para valores disc retos no início do ano 
respectivo. O u seja, em fluxos antecipa dados discretos.
valor presente de um a série de 96
95
95
 receitas m ensais antecipadas de $49 2.682,58 cada:
(1,03) 1
 P $492.682,58 $492.682,58 $15.924.809 , 35
(1,03) 0, 03
 
 
 
 
 
68. 
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,10) 0, 09531018 
valor da anuidade d iscreta antecipad a, equivalente aos custos de m anutenção de fluxo unif
– m – 0 ,09531018 1
orm ente distribuído:
1 – e 1 – e
 Q $4.500 $4.500 0, 95382352 $4.292, 2 1 
m 0, 09531018 1
 m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) 
A fórm ula transform a os valores em regim e de flux o uniform e para valores discretos no início do ano 
respectivo. O u seja, em fluxos antecipa dos discretos.
valor presente de um a série de 15 anu idades discr
14
14
etas antecipadas de $4.292,21 cada:
(1,15) 1
 P $4.292, 21 $4.292, 21 $35.911, 55
(1,15) 0,15
 
 
 
 
 
 20 
20 Manual de soluções 
69. 
taxa contínua anual equivalente à taxa e fetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,10) 0, 09531018 
valor das anuidades discretas antecipad as, equivalentes aos lucros líquidos d e fluxo uniform en
– m
– 0 ,09531018 1
te distribuído:
1 – e
 Q 
m
1– e
 $5 $5 0, 95382352 $4, 7691 
0, 09531018 1
1
 $6
– 0 ,09531018 1
– 0 ,09531018 1
– 0 ,09531018 
 – e
$6 0, 95382352 $5, 7229 
0, 09531018 1
1 – e
 $5 $5 0, 95382352 $4, 7691 
0, 09531018 1
1– e
 $3
 1
– 0 ,09531018 1
– 0 ,09531018 1
$3 0, 95382352 $2, 8615 
0, 09531018 1
1– e
 $4 $4 0, 95382352 $3, 8153 
0, 09531018 1
1 – e
 $2
0, 09531018 1
$2 0, 95382352 $1, 9077 
 m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) 
 
A fórm ula transform a os valores em regim e de fluxo uniform e para valores discretos no início do ano 
respectivo. O u seja, em fluxos antecipados discretos.
valor presente da série de c inco anu
2 3 4 5
idades discretas antecipadas:
$5, 7229 $4, 7691 $2, 8615 $3, 8153 $1, 9077 
 P $4, 7691 $19,8535
1,10 (1,10) (1,10) (1,10) (1,10)
 
 
 
 
70. 
 
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,12) 0,11332869
valor das anuidades discretas antecipadas, equivalentes aos custos de fluxo uniform ente d
– m – 0 ,113328698 1
istribuído:
1 – e 1– e
 FAT O R D E AJU ST E 0,94541692 
m 0,11332869 1
 
 
(milhões) 
Ano Custo 
operacional 
anula em fluxo 
uniforme (a) 
Custo operacional anual 
discreto equivalente 
antecipado 
 0,94541692 (a)(b) 
Fator de desconto: 
(1,12)Ano-1 
(c) 
Valor presente dos custos 
discretos anuais 
equivalentes 
(d) = (b)/ (c) 
1 3 2,83625 1,00000 2,83625 
2 5 4,72708 1,12000 4,22061 
3 7 6,61792 1,25440 5,27576 
 
 21 
21 Engenharia econômica 
4 9 8,50875 1,40493 6,05636 
5 11 10,39959 1,57352 6,60913 
6 13 12,29042 1,76234 6,97391 
7 15 14,18125 1,97382 7,18466 
8 17 16,07209 2,21068 7,27020 
9 19 17,96292 2,47596 7,25492 
10 21 19,85376 2,77308 7,15946 
 Soma: 60,84127 
 
71. 
taxa contínua anual equivalente à taxa efetiva de 10% a.a.: 
 ln(1,14) 0,131028262
valor da anuidade discreta antecipad a, equivalente aos custos de m anutenção de fluxo uni
– m – 0 ,131028262 1
form ente distribuído:
1 – e 1 – e
 Q $200.000 $200.000 0, 937255942 $187.451,19 
m 0,131028262 1
 m 1 (porque cada anuidade corresponde a um ano) 
valor presente de um a série de anuidades discretas antecipadas de duração indeterm inada:
$187.451,19
 P $187.451,19 $1.526.388, 25
0,14
 
 
 
CAPÍTULO 2 
Resolução dos exercícios propostos 
 
1. a) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
2
2
2
700 1.200
– 100 0
(1 T IR ) (1 T IR )
100(1 T IR ) 700(1 T IR ) – 1.200 0
fazendo X (1 T IR ) e m ultiplicando por ( – 1):
100X 700X 1.200 0
+ - =
+ +
- + + + =
= +
- + =
 
 
Resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c = 0: 
22
– (– 700) (– 700) 4 (100) (1.200)– b b 4ac 700 100
X = 
2a 2 100 200
Logo: X 4 e X 3.
Assim : T IR X 1 4 1 300% 
 T IR X 1 3 1 200%
± - ´ ´± - ±
= =
´
= =
= - = - =
= - = - =
 
 
b) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
 
 22 
22 Manual de soluções 
2
2
2
200 150
100- 0
(1 TIR) (1 TIR )
100(1 TIR) 200(1 TIR)+150 0
fazendo X (1 TIR) 
100X 200X 150 0
 
 
Resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c = 0: 
22
– (– 200) (– 200) 4 (100) (150)– b b 4ac
X= 1 0, 5 
2a 2 100
Logo: X 1 0, 5
Assim: T IR X 1 0, 5
± - ´ ´± -
= = ± -
´
= ± -
= - = ± -
 
 
A TIR encontrada representa números imaginários, sem nenhum sentido na 
análise econômica de alternativas de investimento. 
 
c) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
2
2
2
400 1000
400+ 0
(1 T IR) (1 T IR )
400(1 T IR) 400(1 T IR)-1000 0
fazendo X (1 T IR) 
400X 400X -1000 0
 
 
Resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c = 0: 
22 -(400) (400) 4 (400) ( 1000)– b b 4ac 400 1326, 65
X= 
2a 2 400 800
 
logo: X 1,1583 e X 2,1583.
Assim : T IR X 1 1,1583 1 15,83%
 
 
O valor negativo é descartado. 
 
d) Podemos encontrar a TIR resolvendo a seguinte equação: 
2
2
2
700 600
-200 0
(1 TIR) (1 TIR )
200(1 TIR) 700(1 TIR)-600 0
fazendo X (1 TIR) e multiplicando por (-1 ):
200X 700X 600 0
 
 
Resolvendo a equação quadrática do tipo aX
2 
+ bX + c = 0: 
22 – (– 700) (-700) 4 (200) (600)– b b 4ac 700 100
X = 
2a 2 200 400
Logo: X 2 e X 1,5.
Assim: T IR X 1 2 1 100% 
 T IR X 1 1,5 1 50%
 
 
 
2. Basicamente, trata-se de resolver a TIR na seguinte expressão: 
 
 23 
23 Engenharia econômica 
 
0
TIR)(1
$240.000
.........
TIR)(1
$240.000
TIR)(1
$240.000
000.000.2$VPL 
152 
 
 Interpolação linear: 
Taxa aproximada: 
Taxa VPL TIR(i*)=8%+ 
%4418,8%8%9
)(65.434,7854.274,89
89,274.54
 
8% -54.274,89 
9% +65.434,78 
 
 
3. Considerando uma perpetuidade: 
180
180 12% 180
120.000
30.000.000 30.000.000 1.000.000 31.000.000
0,12
31.000.000
3.720.000
8, 3333
(1,12) 1 723.176.125, 3
8, 3333
86.781.135,15(1,12) 0,12
VPL
C AE
a
 
 
 
4. Podemos encontrar a TIR deste problema resolvendo a seguinte equação: 
2 20
100.000 100.000 100.000
981.815 0 8%
(1 ) (1 ) (1 )
TIR
TIR TIR TIR
 
 
 
5. a) Cálculo da TIR: 
2
25 125
100 + 0 25%
(1+T IR ) (1+TIR )
TIR 
 
b) Cálculo da TIR do fluxo incremental: 
A-B2
70 80
0 + = 0¨ T IR 14, 285%
(1+T IR ) (1+T IR )
 
 
c) Cálculo dos VPL’s: 
A 2
B 2
increm ental 2
25 125
V PL = –100+ + = $26,03
(1,1) (1,1)
95 45
V PL = –100+ + = $23,55
(1,1) (1,1)
70 80
V PL = 0 – + = $2,479
(1,1) (1,1)
 
 
d) Como TIRA-B > 10% → A é preferível. 
 
 
6. 
 
 24 
24 Manual de soluções 
 
2
80 110
0 + – = 0 T IR 37, 5%
(1+T IR ) (1+T IR )
 
 
 
7. a) Cálculo do fluxo incremental N-V: 
N -V 2
700 1200
V PL = 10 $ 365, 4
(1,1) (1,1)
 
Assim, como VPLN-V foi negativo, será melhor escolher o projeto V. 
 
b) Analisando-se individualmente: 
N 2
1000 200
V PL = –100 + + = $974,38
(1,1) (1,1)
 
V 2
300 1400
V PL = – 90+ + = $1.339,75
(1 ,1) (1,1)
 
Como VPLV > VPLN, então a melhor alternativa é o equipamento V. 
 
 
8. Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério 
de seleção: 
V
N
6 6%
N V
C AE $12.000
$25.000
C AE 8.000 5.084,18 8.000 13.084,18
C om o CAE >CAE m elhor m anter o equipam ento.
a
 
 
 
9. 
 
x
100
x 100 10% 100
y
Para x considerando o fluxo em perpetuidade:
200
V PL = – 1.000+ = 1000
0,1
1.000 (1,1) 1
AE = =$99,60 onde: 10, 016
10,016 (1,1) 0,1
Para y considerando o fluxo em perpetuidade:
V PL
a
90
y 90 10% 90
100
= – 600 + =400
0,1
400 (1,1) 1
AE = = $40 onde: 9, 998
9,998 (1,1) 0,1
a
 
Conclui-se que o projeto X é o melhor. 
 
10. 
 
 25 
25 Engenharia econômica 
A 10
10
A 10 15% 10
B
Para A:
160.000 – 72.000 160.000 – 72.000
PL = – 210.000+ +L+ $231.651, 64
1,15 (1,15)
231.651, 64 (1,15) 1
AE $46.155 onde: 5, 019
5, 019 (1,15) 0,15
Para B :
210.0
V PL = – 360.000
V
a
12
12
B 12 18% 12
B A
00 82.000 210.000 82.000
$260.435, 87
1,18 (1,18)
260.435 (1,18) 1
AE $54.325, 38 onde: 4, 794
4, 794 (1,18) 0,18
AE >AE O projeto B é m elhor.
a

 
 
 
11. Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos o CAE como critério 
de seleção: 
 
A 2 13
13
A 13 10% 13
B 2
Para A:
2.860 2.860 2.860
V PL =18.000+ + +L+ =$38.315,60
1,1 (1,1) (1,1)
$38.315,60 (1,1) 1
AE = =$5.394,05 onde: 7,1033
7,1033 (1,1) 0,1
Para B :
1.960 1.960 1.960
V PL =28.000+ + +
1,1 (1,1) (1
C a
18
18
B 18 10% 18
B A
=$44.074,76
,1)
$44.074,76 (1,1) 1
C AE = =$5.374 onde: 8, 2014
8,2014 (1,1) 0,1
C AE <C AE O projeto B é m elhor.
a
 
 
 
12. A. Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério 
de seleção: 
 
 
 26 
26 Manual de soluções 
X 2 5
5
X 5 10% 5
Y 2 10
Para X :
1.672 1.672 1.672
V PL = –5.000+ + $1.338, 20
1,1 (1,1) (1,1)
$1.338,20 (1,1) 1
AE = =$353 onde: 3, 790
3,790 (1,1) 0,1
Para Y :
1 .594 1.594 1.594
PL =-8.000 + + $
1,1 (1,1) (1,1)
a
V


10
Y 10 10% 10
Y X
1.794, 44
$1.794, 44 (1,1) 1
AE $292 onde: 6,14465
6,14465 (1,1) 0,1
AE <AE A alternativa X é m elhor.
a
 
 
B. Como o prazo de vida útil das alternativas é diferente, usamos a AE como critério de 
seleção: 
 
A 2 3 4
4
A 4 7% 4
Para m áquina A:
12.000 12.000 12.000 12.000
V PL =-19.000+ + + + =$21.646,54
(1,07) (1,07) (1,07) (1,07)
$21.646,54 (1, 07) 1
AE = =$6.390,67 onde: 3, 3882
3,3882 (1, 07) 0, 07
12.000 1
19.000+ +
(1+T IR )
a
A2 3 4
B 2 6
6
B 6 7%
2.000 12.000 12.000
+ + =0 ÞT IR =51,01%
(1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR )
Para m áquina B :
8.000 8.000 8.000
V PL =-25.000+ $13.132, 32
(1,07) (1, 07) (1, 07)
$13.132,32 (1, 07) 1
AE = =$2.755,11 onde: 
4,76658 (
a

6
B2 6
B A
4, 76658
1, 07) 0, 07
8.000 8.000 8.000
-25.000+ + +L+ =0 T IR =22,56%
(1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR )
AE <AE A m aquina A é m elhor. 
 
13. 
 
 27 
27 Engenharia econômica 
A 2
2
A 2 5% 2
B 2 3
B
Alternativa A :
8 8
V PL =-14+ + =$0,8753
(1,05) (1,05)
0, 8753 (1, 05) 1
AE $0, 4707 onde: 1, 85941
1, 85941 (1, 05) 0, 05
Alternativa B :
5 5 5
V PL =-11+ + + =$2,6162
(1,05) (1,05) (1,05)
2, 6162
AE
2,
a
3
3 5% 3
B A
(1, 05) 1
$0, 960672 onde: 2, 7233
7233 (1, 05) 0, 05
AE >AE Þ A alternativa B é m elhor.
a
 
 
14. 
fabricar 2 3
2
fabricar 3 8% 2
terceirizar
18.000 18.000 18.000
V PL =200.000+ + + =$246.387,74
(1,08) (1,08) (1,08)
$246.387,74 (1, 08) 1
C AE = =$95.606 onde: 2, 57712
2,57712 (1, 08) 0, 08
Para terceirizar:
C AE =$96
a
terceirizar fabricar
.000
C AE >C AE ÞO m elhor é fabricar .
 
 
 
15. 
 
2 5
5
N T 5 2 % 5
N ão trocar a bom ba:
450 450 450
V PL= $2.121, 05
(1, 02) (1, 02) (1, 02)
$2.121,05 (1, 02) 1
C AE = =$449,98 onde: 4, 7137
4,7137 (1, 02) 0, 02
T rocando o Equipam ento:
250
V PL=-1.230+
(1,02)
a

2 3 4 5
5
T 5 2 % 5
N T T
200 150 100 50
+ $1.946, 35
(1, 02) (1, 02) (1, 02) (1, 02)
$1.946,35 (1, 02) 1
C AE = $412, 92 onde: 4, 7137
4,7137 (1, 02) 0, 02
C AE >C AE O m elhor é com prar um novo equ ipam ento .
a
 
 
 
16. 
 
 28 
28 Manual de soluções 
2 5
5
N T 5 5% 5
2 3 4
N ão trocar :
200 200 200
V PL= $865, 90
(1, 05) (1, 05) (1, 05)
865,90 (1, 05) 1
AE = =$200 onde: 4, 32945
4,32945 (1, 05) 0, 05
T rocar:
200 400 800 1.600 3.
V PL=-4.800
(1, 05) (1, 05) (1, 05) (1, 05)
a

5
5
T 5 5% 5
N T T
200
$267, 97
(1, 05)
267,97 (1, 05) 1
AE = =$61,90 onde: 4, 32945
4,32945 (1, 05) 0, 05
AE >AE O m elhor é m anter o equipam ento .
a
 
 
17. 
A2 3 4 5
2 3 4 5
C alculando os valores da T IR :
150 1.350 150 150 600
– 1.500+ + + – – =0 T IR = – 200%
(1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR )
0 0 450 1.050 1.950
– 1.500+ + + + = 0 
(1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR )
B
C2 3 4 5
D2 3 4 5
T IR = 20,9%
150 300 450 600 1.875
– 1.500+ + + + + = 0 T IR = 22,8%
(1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR )
300 450 750 750 900
– 1.500+ + + + + = 0 T IR = 25,4%
(1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR )
C alc
A 2 3 4 5
B 2 3 4 5
C
ulando os valores do V PL:
150 1.350 150 150 600
V PL = – 1.500+ + + – – = $ – 610,22
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
0 0 450 1.050 1.950
V PL = – 1.500+ + + + + = $766,03
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
V PL = – 1.5
2 3 4 5
D 2 3 4 5
150 300 450 600 1.875
00 + + + + + = $796,43
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
300 450 750 750 900
V PL = – 1.500 + + + + + =$779,19
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
 
 
A melhor alternativa é a opção C. O VPL é o critério apropriado, pois as 
alternativas têm a mesma e escala e o mesmo prazo. 
 
 
18. 
 
 29 
29 Engenharia econômica 
1
1
1 1 20% 1
2
C alculando os V PLs e as anuidades equiv alentes das alternativas:
30.000+80.000
V PL =-90.000+ =$1.666
(1,2)
1.666 (1, 2) 1
AE = =$1.999,20 onde: 0, 8333
0,8333 (1, 2) 0, 2
V PL =-90.000
a
2
2
2 2 20% 2
3 2 3
3
30.000 30.000 72.000
$5.833, 33
(1, 2) (1, 2)
5.833,33 (1, 2) 1
AE = =$3.818,37 onde: 1, 5277
1,5277 (1, 2) 0, 2
30.000 30.000 30.000 68.000
V PL =-90.000+ + $12.546, 29
(1,2) (1, 2) (1, 2)
12
AE =
a
3
3 20% 3
4 2 3 4
4
.546,29 (1, 2) 1
=$5.956, 04 onde: 2,106481
2,106481 (1, 2) 0, 2
30.000 30.000 30.000 30.000+34.000
V PL =-90.000+ + + + =$4.058,44
(1,2) (1,2) (1,2) (1,2)
4.058,44
AE = =$1.567,73 
2 ,58873
a
4
4 20% 4
(1, 2) 1
onde: 2, 58873
(1, 2) 0, 2
a
 
 
A época ótima para substituição seria o 3º ano, pois tem a maior AE. 
 
19. 
1
1 1 10% 1
2
2 2 10% 2
3 3
2.000 (1,1) 1
AE = $2.200 onde: 0, 9090
0, 9090 (1,1) 0,1
5.000 (1,1) 1
AE = $2.880, 95 onde: 1, 735537
1, 735537 (1,1) 0,1
7.000
AE $2.814, 80 onde: 
2, 48685
a
a
a
3
 10% 3
4
4 4 10% 4
5
5 5 10% 5
(1,1) 1
2, 48685
(1,1) 0,1
8.000 (1,1) 1
AE $2.523, 76 onde: 3,169865
3,169865 (1,1) 0,1
10.000 (1,1) 1
AE $2.637, 98 onde: 3,79
3, 79078 (1,1) 0,1
a
a 078
 
 
O período ótimo de substituição é o 2º período. 
 
 
20. 
 
 30 
30 Manual de soluções 
1/ 2 k t
t t t 
1/ 2 k t
1/ 2-1/2 K t K t
K t
K t
F 10.000 1 t e V PL F e – C
logo: V PL(t)=10.000 1 t e -15.000
M axim izando o V PL(t): 
d V PL(t)
= 0
dt
d V PL(t)
= 1/2(1+t) ×e -k 1+t ×e =0
dt
e
= K × 1+t ×e
2× 1+t
2
1
K 1+t =1 t = -1 
2K
 com o K =0,05 t = 9 anos
 
 
 
21. 
a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações: 
%99,23TIR 0
TIR1
$150.000
TIR1
$390.000
$378.000
%36,29TIR 0
TIR1
$700.000
$250.000
%42,37TIR 0
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
TIR1
$78.000
$150.000
%15,13TIR 0
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
TIR1
$40.000
$85.000
D4
D
1
D
C4
C
B4
B
3
B
2
B
1
B
A4
A
3
A
2
A
1
A
 
 
Podemos calcular os VPLs do seguinte modo: 
338.19
1,2
$150.000
1,2
$390.000
$378.000VPL
577.87
2,1
$700.000
$250.000VPL
921.51
1,2
$78.000
1,2
$78.000
1,2
$78.000
2),(1
$78.000
$150.000VPL
549.18
20,1
$40.000
1,20
$40.000
20,1
$40.000
20,1
$40.000
$85.000VPL
41D
4C
4321B
4321A
 
 
Podemos calcular as AE do seguinte modo: 
A B
4 20% 4 20%
C D
4 20% 4 20%
4 20%
18.549 51.921
AE 7.165 AE 20.057
87.577 19.338
AE 33.830 AE 7.470
onde 2, 58874
a a
a a
a
 
 
 
 31 
31 Engenharia econômica 
Podemos calcular os índices custo-benefício do seguinte modo: 
05,1$378.000/
1,2
$150.000
1,2
$390.000
C/B
35,1$250.000/
1,2
$700.000
C/B
35,1$150.000/
1,2
$78.000
1,2
$78.000
1,2
$78.000
(1,2)
$78.000
C/B
22,1$85.000/
1,20
$40.000
1,20
$40.000
1,20
$40.000
1,20
$40.000
C/B
41D
4C
4321B
4321A
 
 
Resumo: 
Indicador Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
TIR 31,15% 37,42% 29,36% 23,99% 
C/B 1,22 1,35 1,35 1,05 
PB 4 3 4 4 
VPL $18.549 $51.921 $87.577 $19.338 
AE $7.165 $20.057 $33.830 $7.470 
 
b) Pelo VPL e AE, selecionamos C. Os dois indicadores conduzem à mesma seleção. 
 
c) No quadro a seguir, são calculados os VPLs das alternativas A e C para diferentes 
custos do capital (K). A última coluna mostra a alternativa selecionada (a de maior 
VPL): 
K VPL (alternativa A) VPL (alternativa C) Alternativa selecionada 
18% $22.602,47 $111.052,21 C 
20% $18.549,38 $87.577,16 C 
24% $11.171,07 $46.081,52 C 
26% $7.807,57 $27.725,57 C 
28% $4.638,71 $10.770,32 C 
30% $1.649,63 –$4.910,54 A 
36% –$6.367,83 –$45.382,67 A 
40% –$11.030,82 –$67.784,26 A 
 
 
22. Como o prazo de vida útil dos caminhões (prazo das alternativas) é diferente, 
usamos como critério de seleção o custo anual equivalente (CAE). 
 
 
 32 
32 Manual de soluções 
N 20% C U ST O S O PER AC IO N AIS AN U AIS
C U ST O D E O PO R T U N ID AD E D O C APIT AL
custo de aquisição do cam inhão 
C AE custo de m anutenção anual gasto anual com com bustível
a  

FIAT
5 20%
FO R D
6 20%
 
custo inicial $25.000
C AE custo operacional/ano = $3.000 $40.00 0/10 $15.359,49/ano
2,99061
custo inicial $28.000
C AE custo operacional/ano = $2.800 $40.00 0/11 $
3,32551
a
a

H O N D A
8 20%
T O Y O T A
7 20%
14.856,12/ano
custo inicial $35.000
C AE custo operacional/ano = $2.300 $40.00 0/16 $13.921,33/ano
3,83716
custo inicial $33.000
C AE custo operacional/ano = $2.200 $40.0
3,60459
a
a
00/14 $14.212,13/ano
selecionar H O N D A, pois tem o m enor C AE.
 
 
 
23. Como os prazos das alternativas são diferentes, usamos como critério de seleção a 
anuidade equivalente (AE). 
A
B
C
Fluxos de caixa:
FC (I,N ) 1 .300.000 0 ,1 IN V EST IM EN T O 1 00.000 PR AZO
FC $1.300.00 0,1 $10.000.000 $100.000 10 3, 3 m ilhões
FC $1.300.00 0,1 $12.000.000 $100.000 15 4, 0 m ilhões
FC $
10 20%A
A 10 20%
10 20% 10 20%
B
B
15 20%
1.300.00 0,1 $18.000.000 $100.000 18 4, 9 m i lhões
Anuidades equivalentes:
$10 $3,3V PL
AE $914.772 4,1 9247
$12 V PL
AE
a
a
a a
a
15 20%
15 20%
15 20%
C 18 10%
C 18 20%
18 20% 18 20%
$4,0
$1.433.414 4, 67547
$18 $4,9V PL
AE $1.159.503 4, 8121 9
T am anho selecionado: planta B
a
a
a
a
a
a a
, pois tem a m aior AE. 
 
 
24. a) Podemos calcular as TIRs das alternativas a partir das seguintes equações: 
A1 2
A A
B1 2
B B
$60 $60
$100 0 T IR 13, 07%
1 T IR 1 T IR
$8.000 $8.000
$10.000 0 T IR 37, 982%
1 T IR 1 T IR
 
 
 33 
33 Engenharia econômica 
Podemos calcular os VPLs das alternativas a partir das seguintes equações: 
1 2
1 2
$60 $60
$100 4,13
1,10 1,10
$8.000 $8.000
$10.000 $3.884, 30
1,10 1,10
 
Observamos que tanto pela TIR quanto pelo VPL, a alternativa selecionada é a 
B. 
 
b) Como as alternativas são mutuamente exclusivas, analisamos a seleção por meio do 
fluxo incremental B-A: 
B-A1 2
B-A B-A
B-A 1 2
$7.940 $7.940
$9.900 0 T IR 38, 22% 10%
1 T IR 1 T IR
$7.940 $7.940
V PL $9.900 $3.880,17 0
1,10 1,10
 
 
Como a TIR do fluxo incremental é maior que o custo do capital e o VPL é 
positivo, então a alternativa B é a melhor. 
 
c) Como as alternativas B e C têm prazos diferentes, o método a ser usado deve ser a 
anuidade equivalente: 
B
2 10%
2 3
C
3 10%
3.884, 30
AE $2.238,10
6.000 6.000 6.000
10.000
(1,10) (1,10) (1,10)
AE $1.978,85 selecionar alternativa B (maior AE).
a
a
 
 
Resumo: 
Projet
o 
VPL TIR Projeto Anuidade 
equivalente (AE) 
A $4,13 13,07
% 
 B $2.238,10 Selecionar 
B 
B $3.884,3
0 
37,98
% 
 C $1.978,85 
B-A $3.880,1
7 
38,22
% 
 Selecionar 
B 
 
 
25. 
 
 34 
34 Manual de soluções 
5 9% 5
A
A 5 9%
5 9% 5 9%
7 9% 7
B
B
7 9% 7 9%
Anuidades equivalentes:
$149
$480 $113
V PL $56, 37(1, 09)
AE $14, 49 3,88965
3,88965
$140
$620 $120
V PL $60, 54(1, 09)
AE
5, 0
a
a
a a
a
a a
7 %
7 9% 7
C
C 7 9%
7 9% 7 9%
 $12,03 5, 03295
3295
$187
$750 $142
V PL $66, 97 (1, 09)
AE $13,31 5, 03295
5, 03295
 selecionar a alternativa A , pois tem a m a
a
a
a
a a
ior AE.
 
 
Resumo: 
Alternativa VPL Anuidade equivalente (AE) 
A $56,37 $14,49 Selecionar A 
B 60,54 12,03 
C 66,97 13,31 
 
 
CAPÍTULO 3 
Resolução dos exercícios propostos 
 
1. 
 Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação 
Fluxos de investimento -6.000 0 
 Diminuição dos custos X X X 
Ebitda X X X 
(–)Depreciação –2.000 –2.000 –2.000 
Lajir 2.000–X 2.000–X 2.000–X 
(–) Impostos sobre o LAJIR 
(50%) 
 –1.000 + 
0,5X 
–1.000 + 
0,5X 
–1.000 + 
0,5X 
 
(+) Depreciação 2.000 2.000 2.000 
FCL (Fluxo de caixa livre) -6.000 3.000–0,5X 3.000–0,5X 3.000–0,5X 0 
 
 
 35 
35 Engenharia econômica 
3 10%
2 3
3.000 0, 5 3.000 0, 5 3.000 0, 5
V PL(10% ) $6000 0
2 3(1,10) (1,10) (1,10)
1 1 1
 $6000 3.000 0, 5 0
(1,10) (1,10) (1,10)
 $6.000 3.0
a
X X X
X
 
3 10%
3
3
00 0, 5 0
(1,10) 1
 $6.000 3.000 0, 5 0
(1,10) 0,10
 $6.000 3.000 0, 5 2, 48685 0 $1.174, 62 /
X a
X
X X ano
 
 
 
2. Fluxo de caixa 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Compra do equipamento –220.000 0 
Fluxos operacionais 
 Diminuição dos custos 
operacionais 
 Incremento da receita 
operacional 
 52.000 
30.000 
52.000 
30.000 
52.000 
30.000 
52.000 
30.000 
 
Efeitos fiscais 
 Da depreciação (a) 
 Da diminuição dos custos 
operacionais (b) 
 Do incremento da receita 
operacional (c) 
 
 
 
16.500 
–15.600 
 
–9.000 
 
16.500 
–15.600 
 
–9.000 
 
16.500 
–15.600 
 
–9.000 
 
 16.500 
–15.600 
 
–9.000 
 
Fluxo de caixa livre 
(FCL) 
–220.000 73.900 73.900 73.90073.900 0 
 
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR: 
(a) IR × depreciação anual = 0,30 × (220.000/4) 
(b) IR × diminuição dos custos operacionais = 0,30 × $52.000 
(c) IR × incremento da receita operacional = 0,30 × $30.000 
 
Cálculo da TIR: 
2 3 4
$73.900 $73.900 $73.900 $73.900
$220.00 0 T IR = 12,96% > 12%
(1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR ) (1+T IR )
 
 A compra do equipamento se justifica economicamente. 
 
 
3. 
FLUXO DE CAIXA 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Receitas operacionais 2,00 2,00 2,00 2,00 
Investimentos 
Equipamento –4,00 0,84 (a) 
Terreno –1,00 1,00 
Mudanças no capital de giro 
(b) 
–0,30 0,30 (c) 
Custos e despesas 
 
 36 
36 Manual de soluções 
operacionais 
–Custos operacionais –0,40 –0,40 –0,40 –0,40 
–Gastos indiretos –0,20 –0,20 –0,20 –0,20 
–Depreciação (d) –1,00 –1,00 –1,00 –1,00 
Lajir 0,40 0,40 0,40 0,40 
– Imposto de renda (30%) –0,12 –0,12 –0,12 –0,12 
+ Depreciação –1,00 1,00 1,00 1,00 
Fluxo de caixa livre (FCL) –5,30 –1,28 1,28 1,28 1,28 2,14 
(a) Valor de liquidação = valor de venda – impostos sobre ganho de capital = $1,2 – 
0,30 ($1,20 – 0,00). 
(b) Mudanças do capital de giro em t = 0,15 (Receitas t – Receitas t-1 ). O capital de 
giro é recuperado no final. 
(c) Recuperação do capital de giro. 
(d) $4,0/4. 
(e) A depreciação é somada novamente, pois se trata de uma despesa não-caixa. 
 
VPL (15%) = –$0,4221 
 
 
4. 
 FLUXO DE CAIXA (milhões) 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Liquidação 
Compra das máquinas –18 0 
Compra dos terrenos –6 6 
 Receitas operacionais líquidas 19 19 
 –Custos e despesas operacionais –4 –4 
–Depreciação –9 –9 
Lair 6 6 
 IR (34%) –2,04 –2,04 
+Depreciação 9 9 
Fluxo de caixa livre (FCL) 12,96 12,96 
+Empréstimo 18 
–Prestações –10,8 –9,9 
+Benefício fiscal dos juros 0,612 0,306 
Fluxo dos acionistas (FDA) –6 2,772 3,366 6 
 
Quadro de Amortização do Financiamento – Sistema SAC (em milhões) 
Ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 18 
1 9 1,8 9 10,8 
2 0 0,9 9 9,9 
 
TIRF = 50,16% > 40% Viável econômico-financeiramente (do ponto de vista do 
capital próprio). 
 
 
5. 
Com as informações anteriores, podemos montar o seguinte fluxo de caixa: 
 Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 
Receitas líquidas (a) 
– Matéria-prima (b) 
 
 
$ 180.000 
–$ 90.000 
$ 180.000 
–$ 90.000 
$ 270.000 
–$ 135.000 
$ 270.000 
–$ 135.000 
 
 37 
37 Engenharia econômica 
– Gastos operacionais (c) 
Mudanças no capital de giro (d) 
 
–$ 36.000 
–$ 18.000 –$ 18.000 
–$ 18.000 
–$ 27.000 –$ 27.000 
$ 54.000 
Fluxo de caixa livre (FCL) –$ 36.000 $ 72.000 $ 54.000 $ 108.000 $ 162.000 
(a) Receitas líquidas para os anos 1 e 2: $ 15.000 12 = $ 180.000; para os anos 3 e 4: 
($ 15.000 1,50) 12 = $ 270.000. 
(b) Matéria-prima = 0,50 Receitas. 
(c) Gastos operacionais = 0,10 Receitas. 
(d) Mudanças do capital de giro em t = 0,20 (Receitast+1 – Receitast). 
 
No quadro anterior, as mudanças nos requerimentos de capital de giro foram 
consideradas fluxos antecipados, ou seja, considera-se que esses gastos sejam incorridos 
no início dos respectivos anos. Assim, no início do ano 1 (final do ano 0), requer-se 
20% de $ 180.000 (aumento das vendas do ano 0 ao ano 1). No ano 1, não há mudanças 
no capital de giro, porque não há alteração nas vendas entre os anos 1 e 2. No ano 2, 
requer-se 20% de $ 90.000 (aumento das vendas do ano 2 ao ano 3). Ao término da vida 
útil do projeto, o capital de giro é recuperado ($ 36.000 + $ 18.000). 
 
 
6. 
Fluxo de caixa em valores correntes (fluxo nominal) 
 Ano 0 Ano 1 Ano 2 
– 
Investimento 
+ Receitas 
– Custos 
–
$5.000.00
0 
 
45.000 $ 125 (1,09) = $ 
6.131.250 
–45.000 $ 70 (1,02) = –
$ 3.213.000 
 
45.000 $ 125 (1,09)
2 
= $ 
6.683.062,50 
–45.000 $70 (1,02)
2 
= –
$ 3.277.260,00 
FCL $ 
5.000.000 
 $ 2.918.250 $ 3.405.802,50 
 
 Valor presente líquido: 
93.2803 $
1,11
503.405.802, $
1,11
002.918.250, $
005.000.000, $11% VPL
2
 
 
Fluxo de caixa em valores constantes (fluxo real) 
Ano 0 Ano 1 Ano 2 
–$5.000.000 $2.918.250 / 1,06 = $2.753.066 $3.405.802,50 / (1,06)
2
 = 
$3.031.152 
 
Custo real do capital e cálculo do VPL: 
N
r
2
1 k 1,11
k 1 1 4, 7170% a.a.
1 I 1,06
$ 2.753.066 $ 3.031.152
VPL 4,7170% $ 5.000.000 $ 393.279
1,047170 1,047170
 
 
 
7. 
 
 38 
38 Manual de soluções 
Taxa interna de retorno: 
a.a. 21,65%TIR 0
TIR1
60 $
TIR1
50 $
TIR1
40 $
100 $
32
 
 
A TIR calculada com base no fluxo nominal (valores correntes) deve ser 
comparada com o custo nominal do capital. 
Custo nominal do capital: kN = (1 + kr) (1 + I) – 1 = 1,02 1,08 – 1 = 10,16% 
a.a. 
Como (TIR = 21,65%) > (kN = 10,16%), a alternativa de investimento é 
economicamente viável. 
 
 
8. Os quadros a seguir mostram a montagem do fluxo de caixa livre (fluxo econômico) 
das alternativas A e B durante o período de projeção. 
 
Fluxo de caixa livre (FCL) a preços constantes de 2002 
Alternativa 
A 
2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 
Produção 
(m2) 
 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 
Preço 
unitário 
($/m2) 
 $ 6 $ 6 $ 6 $ 6 $ 6 $ 6 
Investimento –$ 
100.000 
 +$ 20.000 
Receitas $ 60.000 $ 60.000 $ 60.000 $ 60.000 $ 60.000 $ 60.000 
– Gastos 
operacionais 
 –$ 30.000 –$ 30.000 –$ 30.000 –$ 30.000 –$ 30.000 –$ 30.000 
FCL –$ 
100.000 
$ 30.000 $ 30.000 $ 30.000 $ 30.000 $ 30.000 $ 30.000 $ 20.000 
 
Alternativa 
B 
2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 
Produção 
(m2) 
 $ 10.000 $ 11.200 $ 12.544 $ 14.049 $ 15.735 $ 17.623 
Preço 
unitário 
($/m2) 
 $ 5 $5 $5 $5 $5 $5 
Investimento –$ 78.000 –$ 52.000 $ 32.500 
Receitas $ 50.000 $ 56.000 $ 62.720 $ 70.245 $ 78.675 $ 88.115 
– Gastos 
operacionais 
 –$ 26.250 –$ 27.563 –$ 28.941 –$ 30.388 –$ 31.907 –$ 33.502 
FCL –$ 78.000 –$ 28.250 $ 28.437 $ 33.779 $ 39.857 $ 46.768 $ 54.613 $ 32.500 
 
Considerando que o fluxo de caixa livre (FCL) está em valores de 2002 (a preços de 
2002), ou seja, é um fluxo real, a taxa de desconto apropriada para o cálculo do VPL deve ser a 
taxa real. O cálculo da taxa real e do VPL das alternativas é feito a seguir. 
 
Custo do capital (taxa real): (1 + 0,20) / (1 + 0,06) – 1 = 13,2076% a.a. 
VPLA (13,2076%) = $ 27.629,27 
VPLB (13,2076%) = $ 31.517,41 
 
Conclui-se que devemos selecionar a alternativa B, pois tem o maior VPL. 
 
 39 
39 Engenharia econômica 
 
CAPÍTULO 4 
Resolução dos exercícios propostos 
 
1. Como os tornos mecânicos podem operar unicamente por mais 4 anos e a vida útil do 
novo equipamento é de 10 anos, as duas alternativas são comparáveis somente durante 
os primeiros 4 anos. 
Conforme o Capítulo 1, podemos montar a Tabela Price da amortização do 
financiamento: 
 
Quadro de Amortização do Financiamento (Tabela Price) 
Ano Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 $ 160.000,00 - - - 
1 $ 111.661,63 $ 48.338,37 $ 16.000,00 $ 64.338,37 
2 $ 58.489,43 $ 53.172,21 $ 11.166,16 $ 64.338,37 
3 $ 0 $ 58.489,43 $ 5.848,94 $ 64.338,37 
 
Cálculo da prestação na Tabela Price: 
3
3 10%
3
$160.000 $160.000
$64.338, 37(veja capítulo 8 para sistem as de am ortização)
(1,10) 1
(1,10) 0,10
a
 
 FLUXO DE CAIXA 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Fluxos de investimento 
Compra dos tornos com 
controle numérico 
–200.000 156.000 (f) 
Venda dos tornos mecânicos 21.000 
Aumento das necessidades de 
capital de giro 
–5.000 5.000 (g) 
Fluxos operacionais 
Diminuição dos custos 
operacionais 
 30.000 30.000 30.000 30.000 
Efeitos fiscais 
Da depreciação diferencial (a) 3.900 3.900 3.900 6.000 
Da diminuição dos custos 
operacionais (b) 
 –9.000 –9.000 –9.000 –9.000 
Da venda dos tornos de controle 
numérico 
 –10.800 (h) 
Dosjuros pagos pelo 
financiamento (c) 
 4.800 3.350 1.755 
Fluxos do financiamento 
Financiamento tomado (d) 160.000 
Prestações pagas pelo 
financiamento (e) 
 –64.338 –64.338 –64.338 
Fluxo dos acionistas (FDA) –24.000 –34.638 –36.088 –37.683 27.000 150.200 
 
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR: 
(a) IR × depreciação diferencial 
 = 0,30 × (depreciação da máquina nova – depreciação da máquina velha) 
 = 0,30 ×($200.000/10 – $21.000/3) 
 (b) IR × diminuição dos custos operacionais = 0,30 × $30.000 
 (c) IR × juros do financiamento em cada ano: 
 
 40 
40 Manual de soluções 
 ano 1: 0,3 × $16.000,00; 
 ano 2: 0,3 × $11.166,16; 
 ano 3: 0,3 × $5.848,94 
 (d) Financiamento = $160.000 
 (e) Prestações pagas pelo financiamento (Tabela Price) – ver quadro de amortização 
 (f) Admite-se que o novo equipamento possa ser vendido em qualquer ano ao longo de sua vida útil 
por um preço 30% maior do que seu valor contábil daquele ano. Assim, se for vendido ao término do 4º 
ano, o será por: 
 1,30 × [valor contábil] 
 1,30 × [valor de aquisição – depreciação acumulada até o quarto ano] 
 1,30 × [$200.000 – 4 × ($200.000/10)] 
 (g) O capital de giro é recuperado por liquidação ao término do prazo. 
(h) Na venda das máquinas novas, ao término do 4º ano, haverá imposto a pagar sobre o ganho de 
capital nessa venda: 
 = IR × [ganho de capital na venda das máquinas novas ao término do 4º ano] 
 = 0,30 × [Valor de venda no 4º ano – Valor contábil no 4º ano] 
 = 0,30 × [$156.000 – (6/10) × $200.000] 
 
Cálculo do VPL: 
2 3 4
– $34.638 – $36.088 $37.683 $27.000 + $150.200
V PL(12% ) $24.000 $2.095,87 > 0
(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)
 
 
Como VPL> 0 A substituição justifica-se do ponto de vista econômico-
financeiro. 
 
 
2. O fluxo deve ser projetado durante 4 anos: 
 
Fluxo de caixa (milhões) 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Compra do equipamento –28,00 
 Capital de giro –3,00 3,00 
Fluxos operacionais 
 Aumento da receita operacional 
 diminuição dos custos 
operacionais 
 18,00 
0,60 
18,00 
0,60 
18,00 
0,60 
18,00 
0,60 
 
Efeitos fiscais 
 Da depreciação (a) 4,20 4,20 
 Da diminuição dos custos 
operacionais 
 Do aumento da receita 
operacional 
 –0,18 –0,18 –0,18 –0,18 
 –5,40 –5,40 –5,40 –5,40 
Fluxo de caixa livre (FCL) –31,00 17,22 17,22 13,02 13,02 3,00 
 
Os efeitos fiscais são calculados multiplicando-se cada fluxo pela alíquota de IR: 
 =IR × depreciação 
 = 0,30 × (custo de aquisição/prazo de depreciação) 
 = 0,30 × ($28/2) 
 
Cálculo do VPL: 
2 3 4
$17,22 $17,22 $13,02 $13,02+$3
V PL(12% ) $31 $17, 56>0
(1,12) (1,12) (1,12) (1,12)
 
 
 
 41 
41 Engenharia econômica 
VPL (12%) = $17,56 milhões > 0 A compra do equipamento se justifica 
economicamente. 
 
 
3. O período de comparação está limitado ao tempo de duração do equipamento antigo 
(3 anos). 
 
Quadro de Amortização do Financiamento (Tabela Price) 
Ano Saldo 
devedor 
Amortização Juros Prestação 
0 30.000,00 - - - 
1 21.360,69 8.639,31 4.500,00 13.139,31 
2 11.425,50 9.935,21 3.204,10 13.139,31 
3 - 11.425,50 1.713,82 13.139,31 
 FLUXO DE CAIXA 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Liquidação 
Fluxos de investimento 
 Compra do equipamento novo –60.000,00 30.000,00 
 Venda do equipamento antigo 10.000,00 
Fluxos operacionais 
 Diminuição dos custos 
operacionais 
 4.000,00 4.000,00 4.000,00 
 Aumento da receita 
operacional 
 30.000,00 30.000,00 30.00,00 
Efeitos fiscais 
 Da depreciação diferencial 2.400,00 2.400,00 2.400,00 
 Da diminuição do custo 
operacional 
 –1.200,00 –1.200,00 –
1.200,00 
 
 Do aumento da receita 
operacional 
 Da venda do equipamento 
antigo 
 
–1.200,00 
–9.000,00 
 
–9.000,00 –
9.000,00 
 
Fluxo de caixa livre (FCL) –51.200,00 26.200,00 26.200,00 26.200,0
0 
30.000,00 
 Empréstimo 
 Prestações do empréstimo 
 Efeito fiscal dos juros 
30.000,00 
 
 
–13.139,31 
1.350,00 
 
–13.139,31 
961,23 
 
–
13.139,3
1 
514,15 
 
Fluxo dos acionistas (FDA) –21.200,00 14.410,69 14.021,92 13.574,8
4 
30.000,00 
VPLECONÔMICO (20%) = $21.351 > 0 Viável economicamente. 
VPLECONÔMICO-FINANCEIRO (22%) = $24,030 > 0 Viável econômico-financeiramente. 
 
 
4. 
FLUXO DE CAIXA 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Aumento de receitas 
(a) 
 550.000 550.000 550.000 550.000 
Investimentos 
 Investimento inicial 
líquido 
–1.265.000 
(b) 
 450.000 (c) 
Custos 
 
 42 
42 Manual de soluções 
 Aumento custos 
variáveis (d) 
 –50.000 –50.000 –50.000 –50.000 
 Diminuição custos 
fixos (e) 
 50.000 50.000 50.000 50.000 
 Depreciação 
diferencial (f) 
 –200.000 –200.000 –200.000 –200.000 
Lajir (a)+(d)+(e)+(f) 350.000 350.000 350.000 350.000 
 -imposto de renda 
(30% 
 –105.000 –105.000 –105.000 –105.000 
 Depreciação 
diferencial (g) 
 200.000 200.000 200.000 200.000 
Fluxo de caixa livre 
(FCL) 
–1.265.000 445.000 445.000 445.000 445.000 450.000 
 
(a) 300.000 unidades $4,5/unidade – 200.000 unidades $4/unidade = $550.000/ano 
(b) custo dos novos equipamentos..............................................................$1.500.000 
caixa gerado pela venda dos equipamentos substituídos.........................(250.000) 
impostos sobre ganho de capital na venda: 0,30 (250.000 – 200.000)....15.000 
investimento inicial líquido.................................................................$1.265.000 
(c) 0,90 {1.500.000 – (4/6) 1.500.000} 
(d) 300.000 unidades $1,5/unidade – 200.000 unidades $2,0/unidade = $50.000/ano 
(e) $350.000/ano – $300.000/ano = $50.000/ano 
(f) $1.500.000/6 – $200.000/4) = $200.000/ano 
(g) a depreciação é somada novamente, pois se trata de uma despesa não-caixa. 
 
Análise econômica: (TIRE = 23,81% a.a.) > 20% a.a. O projeto é economicamente 
viável. 
 
 
5. FLUXO DE CAIXA (milhões) 
ITEM Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Compra do novo equipamento –24,00 
Venda (liquidação) do novo 
equipamento 
 12,00 (a) 
Efeito fiscal na liquidação do 
novo 
 –1,36 (b) 
Venda do atual equipamento 6,00 
Efeito fiscal na venda do atual –0,68 (c) 
Capital de giro –3,00 3,00 
 Receita operacional (d) 12,00 12,00 12,00 12,00 
 Aumento dos custos fixos (e) 2,40 2,40 2,40 2,40 
 Diminuição do custo variável 
(f) 
 –5,20 –5,20 –5,20 –5,20 
–Depreciação diferencial (g) –3,00 –3,00 –3,00 –3,00 
Lucro tributável (d) + (e) + (f) + 
(g) 
 6,20 6,20 6,20 6,20 
 IR (34%) –2,11 –2,11 –2,11 –2,11 
+Depreciação diferencial 3,00 3,00 3,00 3,00 
Fluxo de caixa livre (FCL) –21,68 7,09 7,09 7,09 7,09 13,64 
+Empréstimo (h) 9,60 –5,76 (i) 
–Prestações –2,11 –2,00 –1,88 –1,77 
+Benefício fiscal dos juros 0,39 0,35 0,31 0,27 
Fluxo dos acionistas (FDA) –12,08 5,37 5,45 5,52 5,60 7,88 
(a) 1,5 × 2 × ($24/6) 
(b) 0,34 × (valor de venda – valor contábil) = 0,34 × ($12 – $8) 
(c) 0,34 × ($6 – $4) 
 
 43 
43 Engenharia econômica 
(d) 2.000.000 unidades $14/unidade – 1.600.000 unidades $10/unidade 
(e) $12,2 – $9,8 
(f) 2.000.000 unidades $6,6/unidade – 1.600.000 unidades $5/unidade 
(g) ($24/6 – $4/4) 
(h) 0,40 $24 
(i) Empréstimo liquidado pelo seu saldo devedor do quarto ano. 
 
Observação: o valor pago à consultoria é um custo afundado irrecuperável para 
efeitos do cômputo do fluxo incremental, e o capital de giro foi considerado fluxo 
antecipado (fluxo no início do respectivo ano). 
 
Quadro de amortização do financiamento — Sistema SAC (em milhões) 
Ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 9,60 
1 8,64 1,15 0,96 2,11 
2 7,68 1,04 0,96 2,00 
3 6,72 0,92 0,96 1,88 
4 5,76 0,81 0,96 1,77 
 
VPLE (20%) = $3,26 milhões > 0 Viável economicamente. 
VPLF (25%) = $4,05 milhões > 0 Viável econômico-financeiramente.6. Quadro de amortização do financiamento do leasing — Sistema SAC (milhões) 
Ano Saldo devedor Juros Amortização Prestação 
0 10,0000 
1 8,0000 1,0000 2,0000 3,0000 
2 6,0000 0,8000 2,0000 2,8000 
3 4,0000 0,6000 2,0000 2,6000 
4 2,0000 0,4000 2,0000 2,4000 
5 0,0000 0,2000 2,0000 2,2000 
 
Valor de venda e valor contábil do novo equipamento (em milhões) 
t (ano) 0 1 2 3 4 
Valor contábil 10,00 7,50 5,00 2,50 0,00 
Valor de venda 10,00 7,36 4,86 3,54 2,71 t-t-
e10$22Ve 
 
Fluxo de caixa (milhões) 
Item Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Liquidação 
Compra do novo equipamento –10,0000 
Venda (liquidação) do novo 
equipamento 
 2,7100 (a) 
 efeito fiscal na liquidação do novo –0,9203 (b) 
Venda do atual equipamento 2,0000 
 efeito fiscal na venda do atual 
equipamento 
–0,6800 
(c) 
 
Capital de giro (d) –0,7358 –0,4862 –0,3538 –0,2707 1,8465 (e) 
Aumento da receita operacional (f) 14,7152 9,7247 7,0768 5,4134 
Diminuição dos custos operacionais 
(g) 
 1,4715 0,9725 0,7077 0,5413 
–Depreciação diferencial (h) –2,5000 –2,5000 –2,5000 –2,5000 
Lajir (f) +(g)+ (h) 13,6867 8,1971 5,2845 3,4548 
–Imposto de renda (34%) –4,6535 –2,7870 –1,7967 –1,1746 
 
 44 
44 Manual de soluções 
+Depreciação diferencial 2,5000 2,5000 2,5000 2,5000 
Fluxo de caixa livre (FCL) –9,4158 11,0470 7,5563 5,7171 4,7801 3,6329 
+Financiamento leasing 10,0000 –2,0000 (i) 
–Prestações pagas pelo 
financiamento 
 –3,0000 –2,8000 –2,6000 –2,4000 
+Benefício fiscal das prestações (j) 1,0200 0,9520 0,8840 0,8160 
Fluxo dos acionistas (FDA) 0,5842 9,0670 5,7083 4,0011 3,1961 1,6329 
 (a) valor de mercado do novo equipamento no 4º ano. 
 (b) 0,34 × (valor de mercado da máquina no 4º ano – valor contábil no 4º ano) = 0,34 × (2,71 – 0). 
 (c) 0,34 × (valor de mercado da máquina no ano t = 0 – valor contábil em t = 0) = 0,34 × (2,00 – 0). 
 (d) 0,05 × receita operacional em t + 1. 
 (e) Recuperação do capital de giro (soma dos valores dos 4 anos). O capital de giro foi considerado fluxo 
antecipado 
 (fluxo no início do respectivo ano). 
 (f) 2 valor de mercado da máquina em t. 
 (g) 0,10 receita operacional em t. 
 (h) Custo do equipamento / vida útil = $10 / 4 
 (i) O leasing é liquidado no 4º ano por um valor igual ao saldo devedor do financiamento naquele ano. 
 (j) 0,34 × prestação paga pelo leasing no ano t ... (o leasing permite abater fiscalmente a totalidade do 
valor da prestação). 
 
O gasto de $0,20 milhões com os honorários do escritório de economistas é um 
custo afundado. Não entra no fluxo incremental.
 
 
VPLE(25%) = $10,6310 milhões > 0 Viável economicamente (bom para empresa). 
 
VPL(35%) = $13,5127 > 0 Viável econômica-financeiramente (bom para os 
acionistas). 
 
CAPÍTULO 5 
Resolução dos exercícios propostos 
 
1. Deve-se determinar o ponto de equilíbrio, ou seja, o ponto em que as duas 
alternativas são equivalentes do ponto de vista econômico. Considerando que os prazos 
são diferentes, podemos usar o critério das anuidades equivalente (AE), igualá-las e, a 
partir disso, determinar a incógnita. 
 
4 5%
4 5% 4 5%
5 5%
5 5% 5 5%
300.000 300.000
– 300.000 600.000 0,8 – 0,75 + 
4 4V PL alfa
AE $294.146,45/ano alfa
– C {(780.000 0,92 - C /5) 0,75 + C /5}V PLbeta
AE beta
a
a a
a
a a
 
Igualando-as AE: C = $1.348.550
 
 
 
2. 
 
Lajir
GAF = 
Lajir – juros
80.000 140.000
ano 1: =1,6 ano 2: = 1,56
80.000 – 30.000 140.000 – 50.000
 
 
 45 
45 Engenharia econômica 
 
 
3. Analisando os efeitos das flutuações das vendas sobre o lucro por ação (LPA), pode-
se calcular o GAF de cada plano de financiamento e determinar qual é o mais arriscado 
do ponto de vista financeiro. 
O quadro a seguir mostra o LPA para os planos A e B: 
 Plano A Plano B 
Lajir $ 120.000 $ 120.000 
– Juros –$ 60.000 
Lair $ 120.000 $ 60.000 
– Imposto de renda (30%) –$ 36.000 –$ 18.000 
LDA (lucro disponível aos acionistas) $ 84.000 $ 42.000 
 Número de ações (N) 15.000 5.000 
LPA (lucro por ação) = LDA / N $ 5,60 $ 8,40 
 
Para observar o efeito das flutuações das vendas sobre o lucro por ação (LPA), 
consideremos um aumento hipotético de 50% sobre o Lajir dos dois planos de 
financiamento. O quadro a seguir mostra o LPA, seu incremento em relação à situação 
anterior e o GAF para os dois planos de financiamento. 
 
 Plano A+ 50% Plano B+ 50% 
Lajir $ 180.000 $ 180.000 
– Juros –$ 60.000 
Lair $ 180.000 $ 120.000 
– Imposto de renda (30%) –$ 54.000 –$ 36.000 
LDA (lucro disponível aos acionistas) $ 126.000 $ 84.000 
 Número de ações (N) 15.000 5.000 
LPA (lucro por ação) = LDA / N $ 8,40 $ 16,8 
Incremento do LPA 50% = (8,40 / 5,60 – 1)×100 100% = (16,8 /8,40 – 
1)×100 
Lajir do Incremento
LPA do Incremento
GAF 1,0
50%
50%
 0,2
50%
100%
 
 
O quadro mostra que o plano 2 é o mais alavancado financeiramente. Adotando-
se esse plano, para cada 1% de aumento do Lajir haverá um aumento de 2% no LPA. 
Por outro lado, como a alavancagem funciona nas duas direções, para cada 1% de queda 
do Lajir haverá uma queda de 25% no LPA. O plano 1 não tem alavancagem financeira 
(GAF = 1), pois não considera a emissão de nenhum tipo de dívida que resulte em 
encargos financeiro fixos. 
A escolha do melhor plano de financiamento dependerá do que se espera que vá 
ocorrer no futuro com o nível de vendas. Caso se esperem aumentos nas vendas, o plano 
2 provavelmente será o mais adequado, pois resultaria no maior LPA em relação ao 
outro plano. Pelo mesmo raciocínio, caso se espere queda nas vendas, o plano 1 será o 
mais adequado. 
 
 
4. 
Origem dos recursos 65.000 Despesas operacionais e financeiras 38.000 
 Capital próprio (poupança) 25.000 Custos fixos 4.000 
 Empréstimo bancário 40.000 Custos variáveis 24.000 
 Juros pagos pelo empréstimo (a) 4.000 
 
 46 
46 Manual de soluções 
Aplicação dos recursos 65.000 Depreciação das máquinas e equipamentos 
(b) 
6.000 
 Máquinas e equipamentos 60.000 Custos de oportunidade 15.900 
 Capital de giro inicial 5.000 Salário alternativo (c) 14.400 
 Rendimento da poupança (d) 1.500 
 (a) 0,10 $40.000 (b) $60.000/10 (c) salário que deixará de ganhar (d) 0,06 $25.000 
 
A depreciação não é um desembolso. Logo, o valor das despesas operacionais e 
financeiras deve ser diminuído da depreciação para calcular o valor dos desembolsos 
operacionais e financeiros: 
 
Desembolsos operacionais e financeiros = Despesas operacionais e financeiras – 
depreciação = $38.000 – $6.000 = $32.000 
 
Cálculo da receita mínima de equilíbrio: 
 Rmín = desembolsos operacionais e financeiros + custos de oportunidade + imposto de 
renda 
 Rmín = $32.000 + $15.900 + 0,34 (Rmín – $38.000) 
 → Rmín = $53.000 
 
 
5. a) 
Origem dos recursos 46.300 Despesas operacionais e financeiras 45.470 
 capital próprio (herança) 30.000 água/luz/telefone/aluguéis 14.855 
 empréstimo bancário 16.300 matéria-prima e insumos 18.750 
 mão-de-obra 6.650 
 juros pagos pelo empréstimo (a) 2.282 
Aplicação dos recursos 46.300 depreciação das máquinas e equipamentos 
(b) 
2.933 
 licenças e alvarás 700 Custos de oportunidade 8.600 
 aquisição de máquinas e 
equipamentos 
44.000 salário alternativo (c) 5.600 
 capital de giro inicial 1.600 rendimento do capital próprio (d) 3.000 
(a) 0,14 $16.300 (b) $44.000/15 (c) salário que deixará de ganhar (d) 0,10 $30.000 
 
A depreciação não é um desembolso. Logo, o valor das despesas operacionais e 
financeiras deve ser diminuído da depreciação para calcular o valor dos desembolsos 
operacionais e financeiros: 
 
Desembolsos operacionais e financeiros = Despesas operacionais e financeiras – 
depreciação = $45.470 – $2.933 = $42.537 
 
Cálculo da receita mínima de equilíbrio: 
 Rmín = desembolsos operacionais e financeiros + custos de oportunidade + I.R. 
 Rmín = $42.537 + $8.600 + 0,30 ( Rmín– $45.470 ) → Rmín=$53.566 
 
b) Ao término do 2º ano, tem-se: 
Origem dos recursos (fechando) 39.733 Despesas operacionais e financeiras se 
continuar 
45.470 
 venda das máquinas e 
equipamentos (a) 
38.133 Água/luz/telefone/aluguéis 14.855 
 liquidação do capital de giro 1.600 matéria-prima e insumos 18.750 
 mão-de-obra 6.650 
 
 47 
47 Engenharia econômica 
 juros pagos pelo empréstimo 2.282 
 depreciação das máquinas e equipamentos 2.933 
Aplicação dos recursos 
(fechando) 
39.733 Custos de oportunidade perdidos se 
continuar 
9.943 
 quitação do empréstimo (b) 16.300 salário alternativo 7.600 
 capital disponível 23.433 rendimento do capital disponível (c) 2.343 
 (a) (44.000 – 44.000 2/15) (b) empréstimo devolvido pelo seu valor inicial (c) 0,10 
$23.433 
 
Receita mínima = desembolsos operacionais e financeiros + custos de oportunidade + 
I.R. 
 Rmín = ($45.470 – $2.933) + $ 9.943 + 0,30 (Rmín – $45.470) 
 → Rmín = $55.484,30 
 
 
6. a) 
Origem dos recursos 55.000 Despesas operacionais e financeiras 148.125 
 capital próprio (50%) 27.500 aluguel do local 48.000 
 empréstimo bancário (50%) 27.500 insumos diversos 55.000 
 mão-de-obra 36.000 
Aplicação dos recursos 55.000 juros pagos pelo empréstimo (a) 4.125 
 campanha de publicidade 10.000 depreciação de equipamentos (b) 5.000 
 equipamentos 25.000 Custos de oportunidade 2.750 
 capital de giro inicial 20.000 rendimento do capital próprio (c) 2.750 
 (a) 0,15 $27.500 (b) $25.000/5 (c) 0,10 $27.500 
Receita mínima = ―desembolsos‖ operacionais e financeiros + custos de oportunidade + impostos 
 Rmín = ($148.125 – $5.000) + $2.750 + 0,20 (Rmín – $148.125) → Rmín = $145.312,50 
 
 
b) Ao término do 3º ano (análise incremental): 
Origem dos recursos 200.000 Despesas operacionais e financeiras 
incrementais 
47.800 
 incremento do capital próprio 200.000 incremento em insumos diversos (a) 24.750 
 incremento em mão-de-obra (b) 15.300 
 incremento nos juros pagos pelo 
empréstimo (c) 
2.750 
 incremento na depreciação pelas instalações 
(d ) 
5.000 
Aplicação dos recursos 200.000 Custos de oportunidade incrementais 36.000 
 construção das novas instalações 200.000 rendimento do incremento do capital 
próprio (e) 
36.000 
 (a) 0,45 $55.000 (b)0,4250 $36.000 (c) (0,20-0,10) $ 27.500 (d) ( $200.000/20 -$5.000) (e) 0,18 $200.000 
 
Receita mínima = ―desembolsos‖ operacionais e financeiros + custos de oportunidade + 
impostos 
 Rmín = ($47.800 – $5.000) + $ 36.000 + 0,20 (Rmín – 47.800) 
 → Rmín = $86.550 
 
Observa-se que a receita mínima econômica deverá ter um incremento de 
59,56% ($86.550/$145.312,50) para justificar o novo investimento de $200.000. Como 
é esperado um aumento de unicamente 40% no faturamento do negócio, então a decisão 
de investir adicionalmente $200.000 na construção de instalações próprias não se 
 
 48 
48 Manual de soluções 
justifica, pois este aumento não cobre o aumento da receita mínima necessária que 
viabilize o novo investimento (40% < 59,56%). 
 
 
7. 
Origem dos recursos Despesas operacionais e financeiras 
 Capital próprio 
(economias) 
250.000 Custos fixos 10.000 
 Empréstimo bancário 510.000 Custos variáveis 34.000 
 760.000 Juros pagos pelo empréstimo (a) 10.200 
Aplicação dos recursos Depreciação (b) 8.000 
 Equipamentos 288.000 Custos de oportunidade 62.200 
 
 Capital de giro inicial 40.000 Salário alternativo (c) 4.500 
 Móveis e instalações 432.000 Rendimento das economias (d) 3.750 
 
 760.000 Aluguel alternativo 8.000 
 
 16.250 
 (a) 0,02 $510.000 (b) $288.000/144 + 432.000/72 (c) salário que deixará de ganhar 
 (d) 0,015 $250.000 
 
A depreciação não é um desembolso. Logo, o valor das despesas operacionais e 
financeiras deve ser diminuído da depreciação para calcular o valor dos desembolsos 
operacionais e financeiros: 
 
Desembolsos operacionais e financeiros = Despesas operacionais e financeiras – 
depreciação = $62.200 – $8.000 = $54.800 
 
Cálculo da receita mínima de equilíbrio: 
 
Rmín = desembolsos operacionais e financeiros + custos de oportunidade + imposto de 
renda 
 
Rmín = ($62.200 – 8.000) + $16.250 + 0,25 (Rmín – $62.200) → Rmín $73.200 
 
 
CAPÍTULO 6 
Resolução dos exercícios propostos 
 
1. Trata-se de avaliar uma operação de leasing financeiro (pessoa jurídica) abordada na 
Seção 10.10 do livro. A seguir, são calculados os valores necessários para avaliar o 
contrato usando o modelo de MDB (Myers, Dill e Bautista). O modelo permite 
determinar, em termos de valor presente, a vantagem ou desvantagem do leasing em 
relação à compra financiada. 
 
 Cálculo da taxa de arrendamento e das prestações: 
 
 49 
49 Engenharia econômica 
15
15 7%n %
A
15
t
100% 100% 100%
T A = 10, 9795% por período
(1,07) 1i
(1,07) 0, 07
R V O T A $21.000 10, 9795% / 100 $2.305, 69 por p eríodo
a a
 
 Cálculo da quota de depreciação por período: 
t
V O $21.000
D = $1.400 por período
N 15
 
 Cálculo do numerador do somatório da fórmula: 
t t
 R (1 T) T D $2.305, 69 (1–0,35) 0,35 $1.400 $1.988,70 
 
 Cálculo da taxa de juros (após IR) da empresa: i* = i × (1 – T) = 10% × (1 – 
0,35) = 6,5% 
 
 Cálculo do valor presente da vantagem financeira do leasing em relação à 
compra: 
 
15 
t t
L 4 6,5%t
*
L – C
t 1
L – C
R (1 T ) T D
$21.000-1.988,70 
V PL V O 1 i
 
 $21.000 – 1.988,70 9, 40267 $2.300, 94 0
 Com o V 0 selec ionar o 
a
leasing
 
 
 
2. Taxa de arrendamento sem valor residual: 
24
n %
A
24
0
100% 100% 100%
T A 7, 2471%
13, 79864(1,05) 1i
 
(1,05) 0, 05
7, 2471
Prestação m ensal: R =V ×T A= 20.000 $1.449, 42
100
a
 
 
3. 
 
36
n % A
A
36
A A
36 36
A A A
A
T axa de juros sem valor residual:
100% 100%
T A 5, 2887%
(1+i ) 1i
 
(1+i ) i
5, 2887 (1+i ) 1 100 [(1+i ) i ]
Pelo m étodo das tentativas e aproxim ações i 4% a.m .
a
 
 
 
4. 
 
 50 
50 Manual de soluções 
 
A
n %
A
A
48
A
48
A A
48 48
A A A A
T axa de juros com valor residual:
(100% V R G % )
 T A + i ×V R G %
 
i
100% 4%
3, 9195% i 4%
(1+i ) 1
 
(1+i ) i
3, 9195 (1+i ) 1 96 [(1+i ) i ] 4 i
Pelo m étodo das tentativas e apr
a
Aoxim ações i 3% a.m .
 
 
 
5. 
A
n %
A
28
28
0
T axa de arrendam ento com valor residual:
(100% – V R G % )
T A = i V R G %
 
i
100% 5% 95%
T A 0, 05 5% 0, 25% 6, 6266% a.m .
2, 920129(1,05) 1
 
0,19600(1,05) 0, 05
Prestação m ensal: R = V × T A = 
a
6,6264
200.000 × = U S$13.253,28
100
 
 
 
6. 
A
36
n i %
36
0
T axa de arrendam ento e prestação:
(100% – V R G % ) 100% – 20% 80%
T A = = =3,6643% a.m .
 1,898278(1,03) – 1
 
0 ,086948(1,03) ×0,03
3,6643
Prestação: R = V × T A = $20.000 × = $73 2,8
100
a
6
. 
 
 
7. 
 
An i %
24
24
Porcentagem paga com entrada(V R G ):
(100% V R G % )
T A=
 
100% V R G % 100% V R G %
4% 4%
1, 032794(1,03) 1
 
0, 06098(1,03) 0, 03
67,746% = 100% – V R G % V R G = 32,254%
a
 
 
 
8. 
 
 51 
51 Engenharia econômica 
 
An i %
n
n
n n
Prazo em m eses:
(100% V R G % )
 T A
 
100% 15%
5, 0954%
(1,04) 1
 
(1,04) 0, 04
5,0954% × [(1,04) – 1]=85% × [(1,04) × 0,04]
por tentativa, tem os que: n = 36 m eses.
a
 
 
 
9. 
A
A
n i %
A
24
24
24 24
A A A A
T axa de juros aplicadas em operação:
(100% V R G % )
 T A +i × V R G %
 
100% -20%
4,7238% = +i ×20%
(1+i) –1
 
(1+i) × i
4,7238% × [(1+i ) –1] – i × 20% = 80% × [(1 + i ) × i ]
Por aproxim açõ
a
Aes e tentativas, tem os que: i =3% a.m .
 
 
 
10. Cálculo da taxa de arrendamento e das prestações: 
24
24 10%n %
A
24
t
100% 100% 100%
T A = 11,12998% por período
(1,10) 1i
(1,10) 0,10
R V O T A $420.000 111,12998% / 100 $46.745, 91 p or período
a a
 
 
 Cálculo da quota de depreciação por período: 
t
V O $420.000
D