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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 611
1–8 Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu
gráfico.
1. x2 ! 6y 2. 2y2 ! 5x
3. 2x ! "y2 4. 3x2 # 8y ! 0
5. (x # 2)2 ! 8(y " 3) 6. x " 1 ! (y # 5)2 
7. y2 # 2y # 12x # 25 ! 0 8. y # 12x " 2x2 ! 16 
9–10 Encontre uma equação da parábola. A seguir, ache o foco e a
diretriz.
9. 10.
11–16 Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico.
11. 12.
13. 4x2 # y2 ! 16 14. 4x2 # 25y2 ! 25
15. 9x2 " 18x # 4y2 ! 27
16. x2 # 3y2 # 2x " 12y # 10 ! 0 
17–18 Encontre uma equação da elipse. A seguir, localize seus focos.
17. 18.
19–24 Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e
esboce seu gráfico.
19. 20. 
21. x2 " y2! 100 22. y2 " 16x2 ! 16 
23. 4x2 " y2 " 24x " 4y # 28 ! 0 
24. y2 " 4x2 " 2y # 16x ! 31 
25–30 Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e
encontre os vértices e os focos.
25. x2 ! y # 1 26. x2 ! y2 # 1
27. x2 ! 4y " 2y2 28. y2 " 8y ! 6x " 16 
29. y2 # 2y ! 4x2 # 3 30. 4x2 # 4x # y2 ! 0 
31–48 Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condi-
ções dadas.
31. Parábola,Mvértice (0, 0),Mfoco (1, 0) 
32. Parábola,Mfoco (0, 0),Mdiretriz y ! 6 
33. Parábola,Mfoco ("4, 0),Mdiretriz x ! 2 
34. Parábola,Mfoco (3, 6),Mvértice (3, 2)
35. Parábola,Mvértice (2, 3),Meixo vertical, passando em (1, 5) 
36. Parábola,Meixo horizontal,Mpassando em ("1, 0), (1, "1) e (3, 1)
37. Elipse,Mfocos ($2, 0),Mvértices ($5, 0)
38. Elipse,Mfocos (0, $5),Mvértices (0, $13) 
39. Elipse,Mfocos (0, 2), (0, 6) ,Mvértices (0, 0), (0, 8) 
40. Elipse,Mfocos (0, "1), (8, "1),Mvértices (9, "1) 
41. Elipse,Mcentro ("1, 4),Mvértice ("1, 0),Mfoco ("1, 6)
42. Elipse,Mfocos ($4, 0),Mpassando por ("4, 1,8) 
43. Hipérbole,Mvértices ($3, 0),Mfocos ($5, 0) 
44. Hipérbole,Mvértices (0, $2),Mfocos (0, $5) 
45. Hipérbole,Mvértices ("3, "4), ("3, 6),M
focos ("3, "7) e ("3, 9) 
46. Hipérbole,Mvértices ("1, 2) e (7, 2),Mfocos ("2, 2) e (8, 2) 
47. Hipérbole,Mvértices ($3, 0),Massíntotas y ! $2x 
48. Hipérbole,Mfocos (2, 0) e (2, 8),M
assíntotas y ! 3 # x e y ! 5 " x 
49 Em uma órbita lunar o ponto mais próximo da superfície da Lua
é chamado perilúnio e o ponto mais distante da superfície da
Lua é denominado apolúnio. A nave espacial Apollo 11 foi co-
locada em uma órbita lunar elíptica com altitude de perilúnio de
110 km e altitude de apolúnio de 314 km (acima da Lua). En-
contre uma equação dessa elipse se o raio da Lua for 1.728 km
e o centro da Lua estiver em um dos focos.
50. Uma secção transversal de um refletor parabólico é mostrada na fi-
gura. A lâmpada é colocada no foco, e a abertura no foco é 10 cm.
(a) Ache uma equação da parábola.
(b) Encontre o diâmetro da abertura %CD%, 11 cm a partir do 
vértice.
x 2
36
"
y 2
64
! 1
y 2
25
"
x 2
9
! 1
x 2
64
#
y 2
100
! 1
x 2
9
#
y 2
5
! 1
1
2
1
2
y
x
1
2
y
x
1
10
y
x
1
20
y
x
1
_2
10.5 Exercícios
1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
5 cm
5 cm
A
B
C
D
V F
11 cm
Calculo10_05:calculo7 5/20/13 7:53 AM Page 611
612 CÁLCULO
51. No sistema de navegação por rádio LORAN (LOng RAnge Na-
vigation), duas estações locais de rádios situadas em A e B trans-
mitem sinais simultaneamente para um navio ou avião
localizados em P. O computador de bordo converte a diferença
de tempo na recepção desses sinais em diferença de distância
%PA% " %PB% e isso, de acordo com a definição de uma hipér-
bole, localiza o navio ou o avião em um ramo da hipérbole (veja
a figura). Suponha que a estação B esteja localizada 600 km a
leste da estação A na costa. Um navio recebe o sinal de B 1 200
microssegundos (ms) antes de receber o sinal de A.
(a) Assumindo que o sinal de rádio viaja a uma velocidade de
980 pés/ms, encontre uma equação da hipérbole na qual o
navio está.
(b) Se o navio deveria estar ao norte de B, a que distância da
costa ele estará?
52. Use a definição de uma hipérbole para deduzir a Equação 6 para
uma hipérbole com focos ($c, 0) e vértices ($a, 0).
53. Mostre que a função definida pelo ramo superior da hipérbole
y2/a2 " x 2/b2 ! 1 tem concavidade para cima.
54. Encontre uma equação para a elipse com focos (1, 1) e ("1, "1)
e eixo maior com comprimento igual a 4.
55. Determine o tipo de curva representado pela equação
em cada um dos seguintes casos: (a) k & 16, (b) 0 ' k ' 16 e
(c) k ' 0.
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mes-
mos focos, não importando o valor de k.
56. (a) Mostre que a equação da reta tangente à parábola y2 ! 4px no
ponto (x0, y0) pode ser escrita como 
y0y ! 2p(x # x0) 
(b) Onde essa reta tangente intercepta o eixo x? Use esse fato
para desenhar a reta tangente.
57. Mostre que as retas tangentes à parábola x2 ! 4py desenhadas a
partir de um ponto qualquer na diretriz são perpendiculares.
58. Mostre que se uma elipse e uma hipérbole tiverem os mesmos
focos, então suas retas tangentes em cada ponto de intersecção
são perpendiculares.
59. Use a Regra de Simpson com n ! 8 para estimar o comprimento
da elipse 9x2 # 4y2 ! 36.
60. Plutão percorre uma órbita elíptica ao redor do Sol (em um
foco). O comprimento do eixo maior é 1,18 ( 1010 km e o com-
primento do eixo menor é 1,14 ( 1010 km. Use a Regra de Simp-
son com n ! 10 para estimar a distância percorrida pelo planeta
durante uma órbita completa em torno do Sol.
61. Encontre a área da região delimitada pela hipérbole 
x2/a2 " y2/b2 ! 1 e pela reta vertical passando por um foco.
62. (a) Se uma elipse é girada em torno de seu eixo maior, encontre
o volume do sólido resultante.
(b) Se ela for girada em torno de seu eixo menor, encontre o vo-
lume resultante.
63. Encontre o centroide da região limitada pelo eixo x e a metade
superior da elipse 9x2 + 4y2 ! 36.
64. (a) Calcule a área da superfície da elipsoide que é gerada ao ro-
tacionar a elipse em torno de seu eixo maior.
(b) Qual é a área da superfície se a elipse for rotacionada em seu
eixo menor?
65. Seja P1(x1, y1) um ponto na elipse x2/a2 # y2/b2 ! 1 com focos F1
e F2 e sejam a e b os ângulos entre as retas PF1, PF2 e a elipse
como na Figura. Demonstre que a! b. Isso explica como gale-
rias de sussurros e litotripsia funcionam. O som vindo de um dos
focos é refletido e passa pelo outro foco. 
66. Seja P1(x1, y1) um ponto na hipérbole x2/a2 " y2/b2 ! 1 com focos
F1 e F2 e sejam a e b os ângulos entre as retas PF1, PF2 e a hi-
pérbole, como mostrado na figura. Demonstre que a! b. (Essa
é a propriedade de reflexão da hipérbole. Isso mostra que a luz
dirigida ao foco F2 de um espelho hiperbólico é refletida em di-
reção ao outro foco F1.)
x 2
k #
y 2
k " 16 ! 1
0 x
y
å
∫
F2F1
P
F2F1
P
F1 F20 x
y
∫
å
+ =1x
2
a2
y2
b2
P(x1, y1)
600 km
estações transmissoras
costaA B
P
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