Matemática - Probabilidade

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Introdução
Os conceitos de probabilidade são essenciais para que possamos estudar fenômenos dos quais conhecemos os eventos que possam acontecer, porém, sendo esses eventos aleatórios, não podemos prever com certeza qual dos eventos irá ocorrer. Por exemplo, sabemos que ao jogar um dado de 6 lados podemos ter como resultado qualquer uma das 6 faces, porém, não podemos prever com certeza se iremos tirar 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 no dado.
As teorias probabilísticas são essências por exemplo na prática médica, com o objetivo de avaliar os níveis de certeza de testes diagnósticos, uma vez que esses não são perfeitos.
É necessário conhecer o espaço amostral
Como já dito anteriormente para estudar um determinado fenômeno aleatório é necessário saber quais são os possíveis eventos, a esse conjunto de elementos damos o nome de espaço amostral, denotado por E. O número de elementos em um espaço amostral é indicado por n(E). 
Exemplos:
1. No lançamento de um dado de 6 lados o espaço amostral é dado por , sendo .
2. No lançamento de dois dados de 6 lados simultaneamente o espaço amostral terá 36 elementos, pois são todas as combinações possíveis entre os dois dados. De forma que, 
3. Ao lançarmos uma moeda o espaço amostral terá 2 elementos: cara ou coroa.
Um espaço amostral pode ser equiprovável
Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando todos os seus resultados possuem a mesma chance de ocorrer, o que nem sempre é verdade, porém, se supormos um número indefinido de experimentos podemos considerar que os resultados tendem a aparecer em uma mesma frequência.
O evento é um subconjunto do espaço amostral
Por exemplo, o evento tirar cara ao lançar uma moeda é um subconjunto formado por um elemento, é, portanto, um evento simples. Diferentemente do evento tirar um número múltiplo de 3 ao lançar um dado de 6 lados, que é um subconjunto formado por 2 elementos {3; 6}, de forma que não é um evento simples. 
Dois eventos podem ocorrer simultaneamente
Chamamos de evento interseção a ocorrência simultânea de dois eventos A e B, ou seja, os elementos que pertencem ao evento A e B simultaneamente .
E
B
A
Evento união de A e B 
O evento união de A e B é o mesmo que a ocorrência do evento A ou de B, ou de ambos os eventos. 
E
B
A
Eventos podem ser complementares 
Em um espaço amostral finito e não vazio E, no qual existe um evento A, chamamos de evento complementar de A o evento no qual estão todos os elementos que não fazem parte do evento A. 
Ao somarmos o número de elementos do evento A e do evento obtemos o número de elementos do espaço amostral, de forma que:
Exemplo:
Ao lançar uma moeda tem-se o evento “tirar cara” . O evento complementar ao evento A será o evento “tirar coroa” . Ao somarmos o número de elemento dos dois eventos obteremos o número de elementos do espaço amostral E que é 2.
E
A
Eventos podem ser mutuamente excludentes
Dois eventos A e B são mutuamente excludentes se a ocorrência de um dos eventos impossibilitar a ocorrência do outro, ou seja, não existem elementos do espaço amostral em comum em A e B.
Podemos definir a probabilidade de ocorrência de um evento
Se considerarmos um fenômeno aleatório com espaço amostral equiprovável E, podemos calcular a probabilidade de ocorrência de um evento A por meio da expressão:
Exemplo:
Ao lançarmos dois dados simultaneamente qual a probabilidade de a soma dos resultados ser ímpar? 
Resolução: 
Considerando o evento A “soma dos resultados ser impar”, temos que 
Adição de probabilidades
No exemplo abaixo, para calcularmos a probabilidade de ocorrer o evento união de A e B teremos que primeiro calcular o número de elementos do evento desejado :
E
B
A
A probabilidade de então será:
No caso de eventos mutuamente excludentes, temos que , portanto, para eventos mutuamente excludentes:
Probabilidade condicional
Se considerarmos dois eventos A e B em um espaço amostral E, a probabilidade de ocorrer A, sabendo que B já ocorreu será a probabilidade condicional de A dado B: P(A|B). Ou seja, a probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, sabendo que um outro evento já ocorreu.
Nesse contexto, podemos ter eventos dependentes e eventos independentes:
EVENTOS DEPENDENTES
São eventos onde a ocorrência de um deles irá interferir na ocorrência do outro. Portanto, se A e B são eventos dependentes:
Exemplo
Ao retirar duas cartas de um baralho de 52 cartas sem reposição, o resultado da primeira carta irá influenciar o da segunda carta, pois o novo espaço amostral será de 51 cartas, não mais de 52 cartas como na primeira retirada.
EVENTOS INDEPENDENTES
São eventos onde a ocorrência de um deles não irá interferir na ocorrência do outro. Portanto, se A e B são eventos independentes:
Exemplo
Ao retirar duas cartas de um baralho de 52 cartas com reposição, o resultado da primeira carta não irá influenciar o da segunda carta, pois o espaço amostral ao retirar a segunda carta continuará sendo de 52 cartas.
Exercício resolvido
(ENEM 2015)
Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Resolução:
Nesse problema, desejamos calcular a probabilidade de ocorrência do evento A “senha sorteada ser um número de 1 a 20”, que possui 20 elementos e faz parte do espaço amostral E, que compreende todas as senhas de 1 a 100, portanto, o espaço amostral possui 100 elementos. Dessa forma, a probabilidade será:
Gabarito: C