Exercicios de autovalores e autovetores

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Exerćıcios de Autovetores e Autovalores
1. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. A transformação linear T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (y,−x)
não possui autovalores reais.
II. O operador linear T : R3 → R3 cuja matriz em relação à base
canônica é A =
 2 1 3−1 4 3
−1 6 1
 possui apenas dois autovalores dis-
tintos.
III. Se v é um autovetor de T associado a um autovalor λ ∈ R, então
kv também é autovetor de T associado a λ, para todo k ∈ R∗.
a) VVV
b) VVF
c) VFV
d) FVV
Gabarito: c - VFV
2. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. λ é um autovalor de um operador T se, e somente se, ker([T ] −
λI) = {0}.
II. Se T : R3 → R3 é um operador linear cuja matriz em relação à
base canônica é A =
 2 1 3−1 4 3
−1 6 1
, então (−3,−3, 5), (4, 1, 1) e
(1, 1, 1) são autovetores LI de T .
III. O operador T : Pn → Pn, definido por T (p(x)) = p′(x), tem λ = 0
como único autovalor.
a) FFV
b) VFV
c) VVF
1
d) FVV
Gabarito: d - FVV
3. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. Seja A : R3 → R3; A(x, y, z) = (x,−x + 2y, 2x − y + 2z). O
autoespaço Vλ associado a λ = 2, tem dimensão 2.
II. Se Tv = λv e Tv = µv, então λ = µ.
III. Se T : R3 → R3 é um operador linear cuja matriz em relação à base
canônica é A =
 2 1 3−1 4 3
−2 6 7
, então T possui três autovalores
distintos λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3.
a) FVF
b) FFF
c) VVF
d) FVV
Gabarito: a - FVF
4. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. Se Tu = λu e Tv = λv, então T (u+ v) = λ(u+ v).
II. Seja A : R3 → R3; A(x, y, z) = (3x+y−2z, 2x+4y−4z, 2x+y−z).
A possui três autovetores (1, 2, 2), (1, 1, 1) e (1, 2, 1) associados a
três autovalores distintos.
III. Se T : R3 → R3 é um operador linear cuja matriz em relação à base
canônica é A =
 2 1 3−1 4 3
−2 6 7
, então o autoespaço Vλ associado
ao autovalor λ = 9 tem dimensão 1.
a) FFV
b) VVF
c) VFV
2
d) VVV
Gabarito: d - VVV
5. A partir das afirmações abaixo, marque a opção que apresenta a sequência
correta de verdadeiro (V) e falso (F).
I. Se v1, v2, . . . , vr são autovetores de T : V → V associados aos
autovalores distintos λ1, λ2, . . . , λr, então {v1, v2, . . . , vr} é uma
base ortogonal de V .
II. Seja A : R3 → R3; A(x, y, z) = (4x+2y,−x+y, y+2z). A possui
dois autovetores (0, 0, 1) e (−2, 1, 1) associados a dois autovalores
distintos.
III. Se T : R3 → R3 é um operador linear cuja matriz em relação à base
canônica é A =
 3 1 −22 4 −4
2 1 −1
, então o autoespaço Vλ associado
ao autovalor λ = 3 é gerado pelo autovetor (1, 2, 1).
a) FVV
b) VVV
c) VFF
d) VVF
Gabarito: a - FVV
3