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Cálculo Diferencial e Integral Derivadas Parciais / Integrais Duplas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano Revisão Textual: Profa. Esp. Márcia Ota 5 • Derivadas Parciais • Regra da Cadeia • Integrais Duplas Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de calcular derivadas parciais em um ponto, utilizando a regra da cadeia, bem como de entender e aplicar o conceito de integrais duplas para o cálculo de volume. Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as “Atividades Práticas”, disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos. Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio. · Nesta Unidade, vamos ampliar o conceito de derivadas parciais, que foi introduzido na unidade anterior. Com isso, trabalharemos a ideia de integrais definidas para integrais duplas. Derivadas Parciais / Integrais Duplas • Cálculo de áreas usando integrais duplas 6 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas Contextualização Sugerimos que assistam ao filme: Piratas da Informática, que mostra como o cofundador da Apple, Steve Jobs, e o cofundador da Microsoft, Bill Gates, mudaram o jeito das pessoas viverem e se comunicarem criando as duas maiores empresas de informática do mundo e seus sistemas operacionais. O filme utiliza conceitos importantes para engenharia de: empreendedorismo, administração, economia e gestão de negócios que serão muito utilizados na vida profissional de um engenheiro de produção os quais podem ser modelados através do Cálculo Diferencial e Integral. 7 Derivadas Parciais Na unidade anterior, fizemos uma introdução ao estudo das derivadas parciais: seu significado, a notação utilizada e a representação gráfica. Vale salientar que as derivadas parciais serão utilizadas quando nos interessa a taxa de variação de uma função com várias variáveis. Quando são fixadas todas as variáveis independentes de uma função, exceto uma, e deriva-se em relação a essa variável, e obtém-se uma derivada parcial. Vamos ver como as derivadas parciais aparecem e como são calculadas. As definições f fex y ∂ ∂ ∂ ∂ fornecem duas maneiras diferentes de derivar a função f em um ponto: em relação a x tratando y como uma constante e em relação a y tratando x como uma constante. Os valores dessas derivadas parciais geralmente são diferentes no ponto dado (x0, y0). Derivada Parcial em um Ponto Determine os valores das derivadas parciais em relação a x e em relação a y, no ponto (4, -5), se ( ) 2, 3 1f x y x xy y= + + − . Nosso primeiro passo será calcular a derivada parcial em relação a x e depois substituir os valores de x e y para achar a taxa de variação da função no ponto dado: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1,x x xy yf x y x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ − = + + −∂ ∂ ∂ ∂ ( ), 2 3 0 0xf x y x y= + = − ( ), 2 3xf x y x y= + ( ) ( ) ( )4, 5 2 4 3 5xf − = + − ( )4, 5 8 15 7xf − = − = − Nosso próximo passo será calcular a derivada em relação a y e substituir os valores no ponto dado: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1,y x xy yf x y y y y y ∂ ∂ ∂ ∂ − = + + −∂ ∂ ∂ ∂ ( ), 0 3 1 0yf x y x= + + − ( ), 3 1yf x y x= + ( ) ( )4, 5 3 4 1 13yf − = + = 8 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas Regra da Cadeia Para funções de duas ou mais variáveis, a regra da cadeia possui várias formas, que dependem da quantidade de variáveis envolvidas. Vamos aprender a calcular pela regra da cadeia utilizando o diagrama da árvore. Observe o diagrama a seguir: vamos supor que tenhamos uma função z que depende de x e de y. Por sua vez, a função x depende de t e de u a e função y depende apenas de u. z x t y u t z x ∂ ∂ z y ∂ ∂ x t ∂ ∂ x u ∂ ∂ y t ∂ ∂ Nosso objetivo será derivar a função z em relação à variável t. Observem as setas pretas: saem do z e chega a t: .z z dx t x dt ∂ ∂ =∂ ∂ Mas temos outro caminho para chegar a t, saindo de z e passando por y, e, portanto, iremos somar as derivadas usando o caminho de y para chegar a t, caminho que está indicado pelas setas vermelhas. . .z z dx z y t x dt y t ∂ ∂ ∂ ∂ = +∂ ∂ ∂ ∂ Agora, se quisermos a derivada de z em relação à variável u, devemos seguir as setas verdes: .y z x x x u ∂ ∂ ∂ =∂ ∂ ∂ 9 Exemplo: Dadas as funções: 2 2 3, z x y x t e y t= = = , calcule z t ∂ ∂ . dy dt z x y tt z x ∂ ∂ z y ∂ ∂ dx dt Montado o diagrama da árvore, basta seguir as flechas, observando: z depende de x e de y x depende de t y depende de t. . .z z dx z dy t x dt y dt ∂ ∂ ∂ = +∂ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 . . x y d t x y d tz t x dt y dt ∂ ∂∂ = +∂ ∂ ∂ 2 22 .2 .3z xy t x t t ∂ = +∂ 2 24 3z xyt x t t ∂ = +∂ Agora, vamos deixar tudo em função de t, uma vez que temos a informação de que x = t2 e y = t3 . 2 24 3z xyt x t t ∂ = +∂ ( )22 3 2 24 3z t t t t tt∂ = +∂ 10 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas 6 64 3z t t t ∂ = +∂ 67z t t ∂ =∂ Integrais Duplas Como já foi visto anteriormente, a integral definida de uma função contínua f, em um intervalo [a,b] é dada como o limite das somas de Riemann e aprendemos a usar o Teorema Fundamental do Cálculo para efetuar esse cálculo. Nessa unidade, vamos ampliar esse conceito para definir a integral de uma função contínua de duas variáveis sobre uma região R do plano. Integrais Duplas sobre Retângulos Dada função f (x, y), definida em uma região plana e retangular R: R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d (Figura 1) Figura 1 a c d b x y Vamos subdividir R em pequenos retângulos, usando retas paralelas aos eixos x e y. (Figura 2). Os tamanhos não precisam ser iguais. Figura 2 a c d b x y 11 Pegamos a região R e subdividimos em “n” pequenos retângulos. Note que “n” aumenta à medida que altura e a largura de cada retângulo diminuem, ou seja, se pegar a figura dois e subdividir em retângulos ainda menores. Esses retângulos formam uma partição de R. Um pedaço retangular (pintado em azul na figura 2) de comprimento ∆x e largura ∆y possui a seguinte área: ∆A = ∆x . ∆y Se essas áreas forem numeradas particionando R em alguma ordem, suas áreas passam a ser dadas por: ∆A1,∆A2,∆A3…∆AK, em que ∆AK é a área do k-ésimo retângulo. Para formar uma soma de Riemann sobre R, escolhe-se um ponto (xk,yk) no k-ésimo retângulo e multiplica-se o valor de f nesse ponto pela área de ∆AK e somam-se os produtos: ( ) 1 , . n n k k K k S f x y A = = ∆∑ Os valores de Sn dependerão da escolha de (xk, yk) no k-ésimo retângulo. Nosso interesse é saber o que acontece às somas de Riemann, conforme a altura e largura dos pequenos retângulos na partição de R aproximam-se de zero. A norma de uma partição é representada por ‖P‖ e é a maior largura ou altura de qualquer um dos retângulos que pertençam a partição. Se ‖P‖ = 0,05, todos os retângulos na partição de R, tem largura ou altura a, no máximo, 0,05. Algumas vezes, as Somas de Riemann convergem à medida que a norma de P se aproxima de zero (‖P‖ → 0). O limite resultante é escrito: ( ) 0 1 lim , . n k k kP k f x y A → = ∆∑ A medida que ‖P‖ → 0 (a norma da partição tende a zero) e os retângulos diminuem em altura e largura, o número “n” aumenta o que possibilita escrever esse limite como: ( ) 1 lim , . n k k kn k f x y A = →∞ ∆∑ Sabendo que ∆Ak → 0 conforme n → ∞ e ‖P‖ → 0. A coleção de pequenos retângulos é definida pela rede de retas horizontais e verticais que determinam uma partição retangularde R. Em cada um desses pequenos retângulos, escolhe- se um ponto (xk, yk) arbitrário, no qual f é calculada. Quando um limite da soma Sn existe e dá sempre o mesmo valor, independente das escolhas feitas, a função f é considerada integrável e o limite é considerado integral dupla de f em R. As integrais duplas são muito utilizadas para o cálculo de volumes e o gráfico das funções que determinam uma região a ser integrada estão representadas em um gráfico de 3 dimensões. O volume de um sólido é dado pela área da base × a altura. 12 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas A base de cada prisma é dada por uma pequena área no plano xy e altura dos primas é dada por z = f (x, y). O limite das somas dos infinitos prismas contidos na região que se quer integrar nos dá o volume total dessa região. A notação que indica a integral dupla é: ( ), . d b c a f x y dx dy∫∫ O diferencial mais externo (dy) refere-se à primeira integral. Se invertermos os limites de integração, note que o diferencial muda também: ( ), . b d a c f x y dy dx∫∫ Integrais Duplas de Regiões Não Retangulares Vamos identificar essas regiões quando elas são limitadas por barras verticais (Tipo 1) e quando são limitadas por barras horizontais (Tipo 2). Em ambos os casos, uma das variáveis funcionará como constante. Figura 3 Tipo 1 a f(x) g(x) b x y Temos representado na figura 3 uma região limitada por barras verticais, e. Nesse caso, x funciona como constante e y como função. Nosso próximo passo é identificar como x e y variam ( do menor para o maior): a ≤ x ≤ b f(x) ≤ y ≤ g(x) 13 Vamos denotar a integral dupla, lembrando que os limites da constante devem ficar na parte mais externa: ( ) ( ) ( ), . g xb a f x z x y dy dx∫ ∫ Figura 4 Tipo 2 i(y)h(y) c d x y Temos representado na figura 4 uma região limitada por barras horizontais. Nesse caso, y funciona como constante e x como função. Nosso próximo passo é identificar como x e y variam ( do menor para o maior): h(y)≤ x ≤ i(y) c ≤ y ≤ d Vamos denotar a integral dupla, lembrando que os limites da constante devem ficar na parte mais externa: ( ) ( ) ( ), . i yd c h y z x y dx dy∫ ∫ Cálculo de áreas usando integrais duplas Notação: R A dxdy= ∫ ∫ Calcule a área retangular R: 14 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas Figura 5 y 62 2 4 x z A área da região R é dada por: R A dxdy= ∫ ∫ Nosso próximo passa é identificar como a região está delimitada: 2 4 2 6 x R y ≤ ≤ = ≤ ≤ Vamos colocar os limites de integração: 4 6 2 2 A dydx= ∫∫ [ ] 4 6 2 2 A dx y= ∫ [ ] 4 2 6 2A dx= −∫ 4 2 4A dx= ∫ [ ]424A x= A = [4 . 4 - 4 . 2] A = 16 - 8 = 8 Resposta: A área da região R mede 8 unidades de medida de área. 15 Exemplo 1: Determine a região limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x, no 1º quadrante. Figura 6 R 0 4x 2 x3y A área da região que se deseja calcular está definida entre as curvas 4x e x3. Já vimos anteriormente que, para efetuar o cálculo dessa área, podemos usar as integrais duplas, estabelecendo os limites de integração. [ ] ( ) 3 3 3 2 4 0 2 4 0 2 3 0 0 2 x 4 4 R x x x x A dxdy x R y x A dydx A dx y A x x dx = ≤ ≤ = ≤ ≤ = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vamos integrar em relação à variável x para determinar a área da região de nosso interesse. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ) 2 22 4 4 2 0 0 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 0 2. 2 2. 0 4 4 8 4 0 4 x x xA A x A A = − → = − = − − − = − − = 16 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas Cálculo de Volume com Integrais Duplas Aprendemos a calcular uma região do plano, utilizando as integrais duplas. Nosso objetivo, agora, será calcular o volume utilizando integral dupla. Observe a figura 7. Figura 7 y z = f (x,y) x z No plano xy , temos uma determinada região pintada em amarelo, que é a “sombra” da função z representada no espaço; na verdade, uma superfície de forma arredondada. O volume da figura que se forma, unindo a região do plano xy com a superfície acima é dada por: ( ), . .i jV f x y x y= ∆ ∆ Ou ainda: ( ),RV f x y dxdy= ∫ ∫ Se x + y + z = 3 , então: Isolando cada letra teremos: 3 3 3 z x y plano xy y x x plano xz x y z plano yz = − − → = − − → = − − → Figura 8 y 3 3 3 x z 17 Exemplo 1 Determinar o volume do sólido determinado pelos planos coordenados pelo plano x+y+x=3, no 1º octante. Figura 9 y 3 3 3 x z x 3 3 y R Para calcular o volume do sólido representado da figura 9 (mais à esquerda), teremos que multiplicar sua base (∆x.∆y) , pois sua altura é dada pela função z. Sabemos que: x + y + z = 3 Portanto: z = 3 - x - y Para calcular o volume, usaremos: z = 4 - x24 6 2 R 6 2 3 3 0 0 0 3 0 3 x x R y x V zdydx − ≤ ≤ = ≤ ≤ − = ∫ ∫ Sabemos que z = 3 - x - y, portanto: ( ) 3 3 0 0 3 x V x y dydx − = − −∫ ∫ 18 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas Agora, é só resolver a integral dupla: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x Vx V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 0 0 2 23 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 32 0 0 3 2 3 0 [(3 3 3 ) 3 0 0 ] 2 2 9 69 3 3 0 2 9 69 6 2 2 2 18 12 2 9 6 2 9 6 9 2 2 x yV dx y xy x V dx x x x x x xV dx x x x x xV dx x x x x x xV dx x xV dx dx − = − − − = − − − − − − − − + = − − + − − = − + − + + − + − + + = − + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 3 32 3 2 3 0 0 2 3 2 3 6 2 2 9 3 2 2 9 3 9 3 2 2 6 2 2 6 3 3 3 3 0 09 93 0 2 2 6 2 2 6 27 27 27 9 2 2 6 2 x x xV x dx x x x xV x V x V V − + = − + = − + → = − + = − + − − + = − + = ∫ Exemplo 2: Calcular o volume do sólido que está representado na figura 10, usando o conceito da integral dupla. 19 Trocando Ideias É possível calcular esse volume usando a geometria plana, ou seja: V = base x altura: 3 × 2 × 4 = 24. Porém, quando os sólidos forem formados por linhas curvas, a única forma de calcular seu volume é usando integrais. Figura 10 y 4 2 3 x z Para calcular o volume, observamos que x está limitado entre 0 e 3 e y entre 0 e 2 (observe nos eixos). 3 2 0 0 4. .V dy dx= ∫∫ Primeiro, resolve-se a integral interna e, depois, a integral de fora. [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 0 3 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V V unidades devolume = = = − = − = → = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 3 0 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V unidades devolume = − = − = → = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 0 3 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V V unidades devolume = = = − = − = → = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 0 3 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V V unidades devolume = = = − = − = → = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 0 3 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V V unidades devolume = = = − = − = → = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 20 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 0 3 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V V unidades devolume = = = − = − = → = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 0 3 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V V unidades devolume = = = − = − = → = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3 3 0 0 3 0 3 0 [ 4. ] 4 4.2 4.0 8 0 8 8. 8 8.3 8.0 24 . V dx dy V dx y V dx V dx V dx V dx V x V V unidades devolume = = = − = − = → = = = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Exemplo 3: Calcule: ( ) 8 2R y dA−∫ ∫ , sendo R = [0,3] × [0,4]. O exercício pede o cálculo de uma integral dupla, ou o volume do prisma formado pelas combinações abaixo: 8 2 y é a funçãoquedaaalturado prisma dA áreadabasedo prisma − → → ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 3 4 0 0 43 2 0 0 3 42 0 0 3 42 2 0 0 3 4 0 0 3 3 0 0 3 0 0 8 2 8 2 . 28 2 8 8.4 4 8.0 0 16 0 .16 16 16 16.3 16.0 y é a funçãoquedaaalturado prima dA áreadabasedo prisma V y dy dx yV dx y V dx y y V dx V dx V dx V dx V x V − → → = − = − = − = − − − = − = → = = = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 48 V unidades demedidadevolume= 21 Trocando Ideias Caso esteja com muita dificuldade, reveja a forma de calcular integrais vista na unidade IV. Quando trabalhamos com as integrais definidas primeiro, encontra-se a primitiva da função e em seguida aplica-se o Teorema fundamental do cálculo: F(b) – F(a), isto é, a imagem do limite superior de integração menos a imagem do limite inferior de integração. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . b b a a b a f x dx F x f x dx F b a = = − ∫ ∫ Exemplo 4 Determine o volume do sólido limitado por: z = 4 - x2 e pelos números identificados na figura 11. Figura 11 z = 4 - x24 6 2 R 6 2 Para calcular o volume do sólido representado na figura 11, temos primeiro que identificar a base (figura do lado direito). A área dessa figura será multiplicada pela altura (dado pela função z): ( ),RV f x y dxdy= ∫ ∫ Vamos identificar a região R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 20 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= 22 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 0 0 2 62 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 23 0 23 0 3 3 0 2 0 6 4 4 4(6 6 ) 4(0 0 ) 24 6 0 (24 6 ) 624 3 24 2 6 2 6 0 24 2 24 0 3 3 4848 0 3 x R y V x dydx V dx y x y V dx x x V dx x V x dx xV x V x x V V ≤ ≤ = ≤ ≤ = − = − = − − − = − − = − = − = − = − − − = − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ V 32 .unidades de medida de volume= 23 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre o estudo das derivadas parciais, consulte os sites e as referências a seguir: » http://www.youtube.com/watch?v=mFsgx121c_Y » http://www.youtube.com/watch?v=Sx8aITwC21g » http://www.youtube.com/watch?v=SuvnRBajSTc » http://www.youtube.com/watch?v=NxT-5K_jKiw Outra indicação: Capítulo 15 do livro Cálculo (George B. Thomas Jr), (volume 2), de Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano São Paulo: Addison Wesley, 2009. ) Páginas 392 à 405. 24 Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas Referências FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002. HUGHES-HALLET...[at all] Cálculo a uma e a várias variáveis, volume I e II. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. LAPA, Nilton; Matemática Aplicada. São Paulo Saraiva, 2012. STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2003. 25 Anotações www.cruzeirodosulvirtual.com.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 CEP 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000
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