Estudo das Taxas

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ESTUDO
DAS TAXAS
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por escrito, da Unigranrio.
LEITÃO, Cristiane.
Estudo das Taxas. / Cristiane Leitão. – Rio de Janeiro: Unigranrio, 
2016.
18p.; 20 x 27 cm.
1. Estudo das Taxas. 2. Taxas Proporcionais. 3. Taxas Equivalentes.
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MATERIAL DIDÁTICO
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DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL
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REVISÃO
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Estudo das Taxas 3
umário
Estudo das Taxas
Síntese ...........................................................................................................................15
Leitura Complementar ...................................................................................................16
Recuperação/Reforço da Aprendizagem .........................................................................17
Referências Bibliográficas ...............................................................................................18
S
1. Estudo das Taxas ........................................................................................................05
2. Taxas Proporcionais ....................................................................................................06
3. Taxas Equivalentes .....................................................................................................08
4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva .......................................................................................11
Objetivos ........................................................................................................................04
Estudo das Taxas 4
Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de:
 ● Conhecer o conceito de taxa proporcional e taxa equivalente;
 ● Conhecer o conceito de taxa nominal e taxa efetiva;
 ● Interpretar e solucionar os problemas propostos.
bjetivosO
Estudo das Taxas 5
1. Estudo das Taxas
Apesar da dificuldade apresentada por alguns dos exercícios anteriores, até agora a relação entre o 
período n e a taxa i sempre estava sendo mantida, ou seja, se a taxa era apresentada ao mês, por exemplo, 
a resposta do período era em meses e vice-versa.
Porém, agora, vamos complicar um pouco. Apresentaremos uma série de relações em que o período 
e a taxa não estão na mesma unidade de tempo, precisando assim de um ajuste prévio. Chamamos isso de 
relações proporcionais ou equivalentes.
Estudo das Taxas 6
2. Taxas Proporcionais
Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem 
aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado 
no final daquele prazo, no regime de juros simples.
 ● 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;
 ● 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.
Como sabemos, em juros simples temos o crescimento linear do capital. A conversão de taxas em ju-
ros simples é muito fácil, pois não é necessário mais do que uma divisão ou multiplicação.
Tomando os valores da tabela abaixo como exemplo, percebemos facilmente que, em uma aplicação 
ao trimestre, 10% a.m. é igual a 30%a.t. Para determinarmos a taxa trimestral correspondente a uma taxa 
mensal em juros simples, basta multiplicá-la por 3.
Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m., no final dos 3 meses, rende R$ 300,00.
1º Mês 1000 x 0,1 = 100
2º Mês 1000 x 0,1 = 100
3º Mês 1000 x 0,1 = 100
O mesmo capital aplicado a uma taxa de 30% a.t., no final dos 3 meses = 1 trimestre, rende os mesmos 
R$ 300,00.
1º Trimestre 1000 x 0,3 = 300
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se:
i1 = n1
i2 = n2
ou i1 . n2 = i2 . n1
Estudo das Taxas 7
Exemplo 1: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.
Solução: Em 1 ano, temos 4 trimestres. Assim 1 . 20= 4 . 5 
Logo, as taxas são proporcionais:
Quando desejamos transformar uma taxa anual em taxa diária, devemos estar atentos ao uso do ano 
civil ou do ano comercial. No primeiro caso, devemos dividir a taxa anual por 365 (ou 366 em anos bissextos), 
o qual chamamos de juro exato e, no segundo caso, dividimos por 360, o qual chamamos de juro comercial.
Juro Comercial: É aquele que é obtido quando o período (n) está expresso 
em dias e quando é adotada a convenção do ano comercial.
Jc = C . i . n
 360
Exemplo 2: Qual é o juro exato e o juro comercial de um capital de R$ 20.000,00 que é aplicado por 40 
dias a uma taxa de 36% a.a.? 
Solução:
 ● Capital Inicial (C) = 20.000,00
 ● Taxa de juros (i) = 36% a.a. = 0,36
 ● Número de períodos (n) = 40 dias
Juro Exato: É aquele que é obtido quando o período (n) está expresso em 
dias e quando é adotada a convenção do ano civil.
Je = C . i . n
 365
Estudo das Taxas 8
Observe que aqui a taxa de juros está ao ano e o período deve estar em dias!
Je = C. i . n = 20000 . 0,36 . 40 = 288000 = 789,04
 365 365 365
Jc = C. i . n = 20000 . 0,36 . 40 = 288000 = 800,00
 360 360 360
3. Taxas Equivalentes
Duas taxas são equivalentes se:
1. Aplicadas o mesmo capital
2. Pelo mesmo intervalo de tempo
Ambas produzem os mesmos juros.
Como vimos, no regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são 
equivalentes.
Exemplo 3: Seja um capital de R$ 20.000,00 que pode ser 
aplicado à taxa de 2% a.m. ou à taxa de 24% a.a. Em qual 
das taxas teríamos maior rentabilidade?
Para saber um pouco mais sobre os cálculos da taxa equivalente veja a questão proposta. Dis-
ponível no ambiente de aprendizagem.
INTERATIVIDADE 
Estudo das Taxas 9
Solução: No regime de juros simples, observe que as taxas de 2% a.m. e 24% a.a são proporcionais, 
pois 2x12= 1x24
Logo, as taxas são também equivalentes, sendo assim a rentabilidade seria a mesma nas duas aplica-
ções.
Mas se o regime de capitalização for o composto?
Já não podemos fazer essa comparação tão diretamente. Vamos analisar a situação do exemplo 3 em 
1 ano:
 ● C0 = 20000,00
 ● i = 2% ao mês = 0,02
 ● n = 1 ano = 12 meses (a taxa está ao mês)
 ● Cn = C0 (1+ i )
n
 ● Cn= 20000 (1+ 0,02)
12
 ● Cn= 20000 . 1,268242
 ● Cn= 25364,84
 ● C0 = 20000,00
 ● i = 24% ao ano = 0,24
 ● n = 1 ano 
 ● Cn = C0 (1+ i )
n
 ● Cn= 20000 (1+ 0, 24)
1
 ● Cn= 20000 . 1,24
 ● Cn= 24800,00
Estudo das Taxas 10
Observe que a rentabilidade não é a mesma!
Com isso vemos a necessidade de se saber calcular taxas equivalentes no regime de capitalização 
composta: 
 ● 1+I = (1+i)n
onde: 
 ● I = taxa do período maior
 ● i = taxa do período menor
 ● n = relação entre os períodos
Exemplo 4: Calcule a taxa equivalente anual a 2% ao mês?
 ● Solução: i = 2% ao mês (observe que o período é menor)
 ● I = ? ( a taxa que está sendo pedida é anual, logo o período é maior)
 ● n = 12 (pois, em um ano temos 12 meses)
 ● 1 + I = (1+i)n 
 ● 1 + I = (1+0,02)12
 ● 1 + I = 1,268542
 ● I = 1,268542 -1
 ● I = 0,268542 = 26,8242% ao ano
OBS: Lembre-sesempre de multiplicar a taxa por 100, para apresentá-la na forma percentual.
Vamos conhecer agora as Regras Práticas para Estabelecer Taxas Equivalentes. Disponível no 
ambiente virtual de aprendizagem.
INTERATIVIDADE 
Estudo das Taxas 11
4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a uni-
dade de tempo dos períodos de capitalização. Ela é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de 
capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
12% ao ano, capitalizados mensalmente;
24% ao ano, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
18% ao ano, capitalizados diariamente.
Estudo das Taxas 12
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, 
não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplica-
da em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, 
no regime de juros simples.
Já no regime de Juros Compostos, a taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre 
maior que a taxa nominal que lhe deu origem. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior 
for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.
Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de 
tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
2% ao mês, capitalizados mensalmente;
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados anualmente.
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos 
períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 
10% ao ano.
Estudo das Taxas 13
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções financeiras das planilhas eletrô-
nicas.
 ● if = 1 + i 
k - 1
 k
Onde:
 ● i = taxa nominal
 ● if = taxa efetiva
 ● k = número de capitalizações para 1 período da taxa nominal
 ● n = número de períodos de capitalização da taxa nominal
Wallace, nosso jovem empreendedor. Precisando de dinheiro para seu novo negócio, está fa-
zendo uma pesquisa sobre as taxas de empréstimos de alguns bancos. E encontra um banco que 
faz empréstimos a pessoas físicas que cobra a taxa de 12% a.a. com capitalização mensal. Wallace 
precisa saber qual a taxa efetiva dessa aplicação?
Solução:
 ● i = 12% ao ano = 0,12
 ● Capitalização mensal, então k = 12 (pois, em 1 ano temos 12 meses)
 ● if = 1 + i 
k - 1
 k
 ● if = 1 + 0,12 
12 - 1
 12
 ● if = (1 + 0,01)
12 - 1
 ● if = (1,01)
12 - 1 = 0,1268 → 12,68% a.a
NA PRÁTICA
( )
( )
( )
Cada uma das taxas tem seu propósito nos cálculos financeiros, veja um pouco mais. Disponí-
vel no ambiente virtual de aprendizagem.
INTERATIVIDADE 
Estudo das Taxas 14
Devemos observar que a taxa efetiva é a taxa que está sendo efetivamente cobrada na opera-
ção. Quando o Banco anuncia uma taxa de 12% a.a. com capitalização mensal, na realidade está 
cobrando uma taxa de 12,68% a.a.
IMPORTANTE
A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de in-
flação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro 
ganho financeiro.
Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado perí-
odo de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganho real 
desta aplicação não foram os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalo-
rização de 8% no mesmo período de tempo; dessa forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em 
relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.
A taxa aparente é a taxa que se obtém numa 
operação financeira sem se considerar os efeitos da 
inflação.
Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa 
real são iguais.
A taxa over equivalente é uma taxa usada pelo 
mercado financeiro para determinar a rentabilidade 
por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (con-
versão do mercado financeiro).
A taxa média de juros tem como base teórica o 
conceito estatístico da média geométrica.
Estudo das Taxas 15
ínteseS
Chegamos ao fim de mais uma unidade! Nessa, você conheceu o conceito de: Taxa Proporcional, Taxa 
Equivalente, Taxa Nominal e Taxa Efetiva. Foram proporcionados a você, alguns problemas para serem in-
terpretados e solucionados. Em caso de dúvidas, reveja o conteúdo abordado ou procure o seu tutor!
Taxas que, quando aplicado 
o mesmo capital, em um 
mesmo período, rendem o 
mesmo juro!
Taxas Equivalentes
Taxa em que a unidade 
referencial do tempo não 
coincide com a unidade de 
tempo do período!
Taxa Nominal
Taxa em que a unidade 
referencial do tempo coincide 
com a unidade de tempo do 
período!
Taxa Efetiva
Estudo das Taxas 16
Calcular as taxas equivalentes a 20% a.a., conforme solicitado abaixo (GOMES, 2000):
 ● a) Taxa semestral 9,54% a.s.
 ● b) Taxa quadrimestral 6,27% a.q.
 ● c) Taxa trimestral 4,66 % a.t.
 ● d) Taxa mensal 1,53%a.m.
rabalho Discente Efetivo – TDET
Estudo das Taxas 17
eitura Complementar
O conceito de taxas é bastante utilizado na Matemática Financeira. Podendo gerar algumas dúvidas.
Você pode ler mais sobre esse assuntos nos livros: 
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C, Micro-
sof t Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 7 ed. São Paulo: Saraiva, 
2004.
L
Estudo das Taxas 18
ecuperação/Reforço da Aprendizagem
1. Qual a taxa equivalente anual a 2% a.m. no regime de juros compostos?
2. Qual a taxa equivalente mensal a 30% a.a. no regime de juros compostos?
3. Qual a taxa equivalente anual a 3% a.t. no regime de juros compostos?
4. Qual a taxa equivalente semestral a 70% a.a. no regime de juros compostos?
Lembre-se que:
R
2 semestres 1 ano 3 quadrimestres
12 meses
4 trimestres
Você conseguiu resolver os exercícios propostos sem dificuldade? Se a resposta foi sim, então você 
entendeu os conceitos expostos nesta unidade de aprendizagem. Se não conseguiu, não desista. Volte e 
reveja os conceitos e exemplos, não deixe que suas dúvidas se acumulem.
Estudo das Taxas 19
eferências BibliográficasR
AYRES, Frank Jr. Matemática Financeira; Makron, São Paulo, 1981. 
GOMES, José M; MATHIAS, Washington F., Matemática Financeira. Atlas. 6 ed. São Paulo, 2000. 
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 2007. (reim-
pressão 2013).
SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada. 3 ed. São Paulo: Atlas, 2010.
SOBRINHO, José D. V., Matemática Financeira. Atlas. São Paulo, 2000.