Mapa de Estruturas Algébricas (Wilames)

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A) Faça um mapa mental envolvendo as seguintes estruturas algébricas que 
estudamos: grupo, grupo comutativo, anel, domínio de integridade e corpo. O mapa 
mental, além das estruturas, deve conter todas as propriedades que caracterizam 
cada uma dessas estruturas. Sugerimos o uso do site https://www.goconqr.com/ 
para que você faça seu mapa mental, mas caso você queria usar algum outro site ou 
algum programa, não há problema. Solte sua criatividade e faça um mapa mental 
com bastante conteúdo e muito bonito! 
 
 
B) Use o mapa que você construiu na letra a) para te ajudar a verificar para o 
conjunto ℚ[√11] = {𝑎 + 𝑏√11: 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ} munido com as operações usuais de soma e 
multiplicação dos números reais: 
1. Verifique que esse conjunto é fechado para as operações usuais de soma 
e multiplicação, ou seja, se 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ[√11] então 𝑥 + 𝑦 ∈ ℚ[√11] e 𝑥. 𝑦 ∈
ℚ[√11]. 
Acadêmico(a): Wilames Germano dos santos Oliveira RA: 1879231-5 
Disciplina: Estruturas Algébricas 
Professor: Anna Paula Machado de Oliveira 
Curso: Licenciatura em Matemática 
MAPA – Material de Avaliação Prática de Aprendizagem 
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Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ[√11] então 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√11 𝑒 𝑦 = 𝑐 + 𝑑√11 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℚ. 
𝑥 + 𝑦 = (𝑎 + 𝑏√11) + (𝑐 + 𝑑√11) => 𝑎 + 𝑐 + 𝑏√11 + 𝑑√11 
=> 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑)√11 ∈ ℚ[√11] => 𝑎 + 𝑐 ∈ ℚ (𝑏 + 𝑑) ∈ ℚ 
ℚ é fechado com relação a soma. 
𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏√11) ∙ (𝑐 + 𝑑√11) => 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑√11 + 𝑏𝑐√11 + 𝑏𝑑 ∙ 11 
=> 𝑎𝑐 + 11𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)√11 ∈ ℚ[√11] => 𝑎𝑐 + 11𝑏𝑑 ∈ ℚ , (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) ∈ ℚ 
ℚ é fechado com relação a multiplicação. 
 
2. Verifique que (ℚ[√11], +) é um grupo comutativo. 
Associativa: 
Sejam 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√11, 𝑦 = 𝑐 + 𝑑√11 e 𝑧 = 𝑐 + 𝑑√11, então a adição a seguir é válida 
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) para 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℚ. 
(𝑎 + 𝑏√11 + 𝑐 + 𝑑√11) + 𝑒 + 𝑓√11 = 𝑎 + 𝑏√11 + (𝑐 + 𝑑√11 + 𝑒 + 𝑓√11) 
𝑎 + 𝑐 + 𝑒 + 𝑏𝑑𝑓√11 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑒 + 𝑏𝑑𝑓√11 
Sendo assim, a operação associativa a seguir também é válida (𝑎 + 𝑏√11 + 𝑐 +
𝑑√11) + 𝑒 + 𝑓√11 para 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℚ. 
 
Verificando a existência do elemento neutro: 
(𝑎 + 𝑏√11) + 𝑒 = (𝑎 + 𝑏√11) => 𝑒 = (𝑎 + 𝑏√11) − (𝑎 + 𝑏√11) => 𝑒 = 0 
(𝑎 + 𝑏√11) + 0 = (𝑎 + 𝑏√11) 
Note que: 0 = (0 + 0√11) ∈ ℚ[√11] 
 
Verificando a existência do simétrico: 
Seja o elemento (𝑎 + 𝑏√11) ∈ ℚ[√11] 
O oposto de 𝑎 + 𝑏√11 é−(𝑎 + 𝑏√11) = (𝑎 − 𝑎) + (𝑏 − 𝑏)√11 = 0 + 0√11 = 0. 
 
Verificando a comutatividade: 
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(𝑎 + 𝑏√11) + (𝑐 + 𝑑√11) = (𝑐 + 𝑑√11) + (𝑎 + 𝑏√11) 
 
3. Verifique que (ℚ[√11]
∗
, . ) é um grupo comutativo, onde 
 ℚ[√11]
∗
= ℚ[√11] − {0}. 
Verificando a associatividade: 
Sejam 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√11, 𝑦 = 𝑐 + 𝑑√11 e 𝑧 = 𝑐 + 𝑑√11, então a multiplicação a 
seguir é válida (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑧) para 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℚ. 
((𝑎 + 𝑏√11) ∙ (𝑐 + 𝑑√11)) ∙ (𝑒 + 𝑓√11) = (𝑎 + 𝑏√11) ∙ ((𝑐 + 𝑑√11) ∙ (𝑒 + 𝑓√11)) 
(𝑎𝑐 + 𝑎𝑑√11 + 𝑏𝑐√11 + 𝑏𝑑(√11)²) ∙ (𝑒 + 𝑓√11) 
(𝑎𝑐 + 𝑎𝑑√11 + 𝑏𝑐√11 + 11𝑏𝑑) ∙ (𝑒 + 𝑓√11)
= (𝑎 + 𝑏√11) ∙ (𝑐𝑒 + 𝑐𝑓√11 + 𝑑𝑒√11 + 11𝑑𝑓) 
𝑎𝑐𝑒 + 𝑎𝑐𝑓√11 + 𝑎𝑑𝑒√11 + 11𝑎𝑑𝑓 + 𝑏𝑐𝑒√11 + 11𝑏𝑐𝑓 + 11𝑏𝑑𝑒 + 11𝑏𝑑𝑓√11
= 𝑎𝑐𝑒 + 𝑎𝑐𝑓√11 + 𝑎𝑑𝑒√11 + 11𝑎𝑑𝑓 + 𝑐𝑒𝑏√11 + 11𝑏𝑐𝑓 + 11𝑏𝑑𝑒
+ 11𝑏𝑑𝑓√11 
Sendo assim, a associatividade a seguir é válida ((𝑎 + 𝑏√11) ∙ (𝑐 + 𝑑√11)) ∙
(𝑒 + 𝑓√11) = (𝑎 + 𝑏√11) ∙ ((𝑐 + 𝑑√11) ∙ (𝑒 + 𝑓√11)) para 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℚ. 
Verificando a comutatividade: 
(𝑎 + 𝑏√11) ∙ (𝑐 + 𝑑√11) = (𝑐 + 𝑑√11) ∙ (𝑎 + 𝑏√11) 
 
Verificando a existência do elemento neutro: 
(𝑎 + 𝑏√11) ∙ 1 = (𝑎 + 𝑏√11) 
1 = (1 + 0√11) ∈ ℚ[√11]
∗
 
Verificando a existência do elemento inverso da multiplicação: 
Seja 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√11 um elemento não nulo de ℚ√11. O inverso multiplicativo 𝑥−1 é 
igual a: 
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(𝑎 + 𝑏√11) é (
𝑎
𝑎²−11𝑏²
) + (
−𝑏
𝑎²−11𝑏²
) √11, sendo que 𝑎 + 𝑏√11 ≠ 0 ⇒ 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0 
(isto está detalhado nas duas observações abaixo ) ⇒ 𝑎² ≠ 11𝑏² porque 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ 
e √11 ∉ ℚ . 
1
𝑎 + 𝑏√11
=
𝑎 − 𝑏√11
(𝑎 + 𝑏√11)(𝑎 − 𝑏√11)
= (
𝑎
𝑎2 − 11𝑏2
) + (
−𝑏
𝑎2 − 11𝑏2
) √11 
(𝑎 + 𝑏√11) ∙ [(
𝑎
𝑎2 − 11𝑏2
) + (
−𝑏
𝑎2 − 11𝑏2
) √11] 
= (
𝑎²
𝑎2 − 11𝑏2
) + (
−𝑎𝑏
𝑎2 − 11𝑏2
) √11 + (
𝑎𝑏
𝑎2 − 11𝑏2
) √11 + 11 (
−𝑏²
𝑎2 − 11𝑏2
) 
=
𝑎² − 11𝑏²
𝑎2 − 11𝑏2
= 1 
 
4. Utilizando os itens 1, 2 e 3 e demostrando a(s) propriedade(s) que 
está(ão) faltando, conclua que (ℚ[√11], +, . ) é um corpo. 
𝑥 − 𝑦 = (𝑎 + 𝑏√11) − (𝑐 + 𝑑√11) 
= (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)√11 ∈ ℚ[√11] 
𝑎 − 𝑐 ∈ ℚ (𝑏 − 𝑑) ∈ ℚ 
 
Verificando a distributividade da multiplicação em relação à adição: 
Sejam: 𝑥 = 𝑎 + 𝑏√11, 𝑦 = 𝑐 + 𝑑√11 e 𝑧 = 𝑒 + 𝑓√11, então a propriedade 
distributiva é válida (𝑥) ∙ (𝑦 + 𝑧) = (𝑥) ∙ (𝑦) + (𝑥) ∙ (𝑧) e (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑧) = (𝑥) ∙ (𝑧) + (𝑦) ∙
(𝑧) para 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℚ. Sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℚ 
(𝑎 + 𝑏√11) ∙ ((𝑐 + 𝑑√11) + (𝑒 + 𝑓√11)) = (𝑎 + 𝑏√11 + 𝑐 + 𝑑√11)(𝑒 + 𝑓√11) 
Calculando o primeiro lado da igualdade temos: 
(𝑎 + 𝑏√11) ∙ ((𝑐 + 𝑑√11) + (𝑒 + 𝑓√11)) = 
(𝑎 + 𝑏√11) ∙ (𝑐 + 𝑑√11) + (𝑎 + 𝑏√11) ∙ (𝑒 + 𝑓√11) 
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑√11 + 𝑏𝑐√11 + 𝑏𝑑 ∙ 11 + 𝑎𝑒 + 𝑎𝑓√11 + 𝑏𝑒√11 + 𝑏𝑓 ∙ 11 
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑√11 + 𝑏𝑐√11 + 11𝑏𝑑 + 𝑎𝑒 + 𝑎𝑓√11 + 𝑏𝑒√11 + 11𝑏𝑓 
Calculando o segundo lados da igualdade: 
((𝑎 + 𝑏√11) + (𝑐 + 𝑑√11)) (𝑒 + 𝑓√11) = 
= (𝑎 + 𝑏√11)(𝑒 + 𝑓√11) + (𝑐 + 𝑑√11)(𝑒 + 𝑓√11) 
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= 𝑎𝑒 + 𝑎𝑓√11 + 𝑏𝑒√11 + 11𝑏𝑓 + 𝑐𝑒 + 𝑐𝑓√11 + 𝑑𝑒√11 + 11𝑑𝑓 
Comparando se a igualdade é verdadeira. 
𝑎𝑐 + 𝑎𝑑√11 + 𝑏𝑐√11 + 11𝑏𝑑 + 𝑎𝑒 + 𝑎𝑓√11 + 𝑏𝑒√11 + 11𝑏𝑓 
= 𝑎𝑒 + 𝑎𝑓√11 + 𝑏𝑒√11 + 11𝑏𝑓 + 𝑐𝑒 + 𝑐𝑓√11 + 𝑑𝑒√11 + 11𝑑𝑓 
Portanto está provado que a distributividade é válida. Veja que se √11 ∉ ℚ então 
ℚ[√11] é um corpo.