Transformadas: Tempo Contínuo e Discreto

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TRANSFORMADAS: TEMPO 
CONTÍNUO E DISCRETO 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
 
Caros alunos! 
Nas aulas passadas vimos como escrever uma função periódica a partir 
de uma Série de Fourier. Essa Série pode ser reescrita como a Integral de 
Fourier que, por sua vez, se torna a transformada de Fourier que nos permite 
resolver várias classes de problemas que serão discutidas nessa aula. 
Essa aula está dividida em 5 partes que se referem a construção da 
Integral de Fourier a partir da Série de Fourier e a discussão de métodos e 
propriedades para obtenção da Transformada de Fourier de algumas funções 
específicas. 
Esses métodos permitem que a obtenção da Transformada de Fourier 
seja mais simplificada, evitando o cálculo da Integral Imprópria existente na 
definição da sua Transformada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
TEMA 1: A INTEGRAL DE FOURIER 
Na aula passada, vimos que podemos encontrar uma Série de Fourier de 
uma função periódica de período 𝐿, que satisfaça algumas condições de 
convergência, a partir da seguinte expressão: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) 
Nosso objetivo em escrever a Integral de Fourier é que a expressão para 
obter a Série de Fourier possa ser generalizada no caso de algumas funções 
não periódicas. Veja que podemos escrever a equação 1 em um formato único 
se acumularmos os cálculos dos coeficientes 𝑎0, 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 na expressão de 𝑓(𝑥). 
Nesse caso, obtemos: 
𝑓(𝑥) =
1
2𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
+
1
𝐿
∑ [[∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
+ [∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)] 
 
 
 
 
(2) 
Para reescrever a expressão acima, chamaremos 𝛼𝑛 =
𝑛𝜋
𝐿
. Veja que, com 
essa escolha para a mudança de variáveis, podemos escrever: 
∆𝛼 = 𝑎𝑛+1 − 𝛼𝑛 =
(𝑛 + 1)𝜋
𝐿
−
𝑛𝜋
𝐿
=
𝜋
𝐿
 
 
 
4 
Essa mudança de variáveis nos permite reescrever a equação 2 em 
função de 𝛼. Nesse caso, obtemos: 
𝑓(𝑥) =
1
2𝜋
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] ∆𝛼
+
1
𝜋
∑ [[∫ 𝑓(𝑥) cos(α𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] cos(𝛼𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
+ [∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛(αn𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] 𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑛𝑥)] 
 
 
 
 
(3) 
O artifício que iremos utilizar para adaptar a Série de Fourier para algumas 
funções não periódicas é tratar o período 𝐿 → ∞. Ou seja, podemos dizer que as 
funções não periódicas possuem um período infinito, visto que nunca se 
repetem. Veja também que a escolha de 𝐿 → ∞, nos leva a ∆𝛼 =
𝜋
𝐿
→ 0. Entre as 
integrais presentes na expressão 3, veja que a seguinte integral, quando 𝐿 → ∞ 
resulta em 0: 
lim
𝐿→∞
{
1
2𝜋
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] ∆𝛼} = lim
∆𝛼→0
{
1
2𝜋
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] ∆𝛼} = 0 
Além dessa simplificação, veja que o somatório presente na equação 3 
pode ser reescrito, no caso em que ∆𝛼 → 0 como uma integral de Riemann. 
Nesse caso, a equação 3 se torna a equação 4 e deixa de ser uma Série para 
se tornar a Integral de Fourier: 
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ [[∫ 𝑓(𝑢) cos(𝛼𝑢)𝑑𝑢
∞
−∞
] cos(𝛼𝑥)
∞
0
+ [∫ 𝑓(𝑢)𝑠𝑒𝑛(α𝑢)𝑑𝑢
∞
−∞
] 𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑥)] 
 
 
(4) 
O formato da Integral de Fourier como apresentado na equação 4 é um 
dos seus formatos possíveis. Veja que ainda podemos reescrever a Integral de 
Fourier com o uso das propriedades de soma de arcos da função cosseno: 
cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 . cos 𝑏 ∓ 𝑠𝑒𝑛 𝑎 . 𝑠𝑒𝑛 𝑏. Nesse caso, 
 
 
5 
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ {∫ 𝑓(𝑢). [cos(𝛼𝑢) . cos(𝛼𝑥)
∞
−∞
∞
0
+ 𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑢). 𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑥)]𝑑𝑢}𝑑𝛼 
 
 
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ {∫ 𝑓(𝑢). cos(𝛼(𝑢 − 𝑥)) 𝑑𝑢
∞
−∞
}
∞
0
𝑑𝛼 
 
(5) 
Alguns ajustes ainda podem ser feitos para apresentar a Integral de 
Fourier em um formato mais prático. Inicialmente, veja que 𝑓(𝑢). cos(𝛼(𝑢 − 𝑥)) é 
uma função par para a variável de integração 𝛼. Sendo assim, podemos 
escrever: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
=
1
2
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
 
Como visto na aula anterior devido a simetria da função par. Nesse caso, 
a equação 5 pode ser reescrita no formato da equação 6: 
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ {∫ 𝑓(𝑢). cos(𝛼(𝑢 − 𝑥)) 𝑑𝑢
∞
−∞
}
∞
−∞
𝑑𝛼 
(6) 
 
Veja também que 𝑓(𝑢). 𝑠𝑒𝑛(𝛼(𝑢 − 𝑥)) é uma função ímpar para a variável 
de integração 𝛼. Sendo assim, podemos escrever: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= 0 
Como também foi visto nas aulas anteriores devido a simetria da função 
ímpar. A equação 6 pode ser ajustada em um formato adequado no formato da 
equação 7: 
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ {∫ [𝑓(𝑢). cos(𝛼(𝑢 − 𝑥))
∞
−∞
∞
−∞
+ 𝑖. 𝑓(𝑢). 𝑠𝑒𝑛(𝛼(𝑢 − 𝑥))]𝑑𝑢}𝑑𝛼 
(7) 
 
 
 
6 
Esse formato da equação 7, aparentemente mais robusto nos permite, a 
partir da identidade de Euler, reescrever a Integral de Fourier em usa forma mais 
comum, a forma exponencial. Com o uso de álgebra podemos escrever: 
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ [∫ 𝑓(𝑢). 𝑒𝑖𝛼𝑢𝑑𝑢
∞
−∞
]
∞
−∞
𝑒−𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼 
(8) 
 
Que represente a Integral de Fourier. 
 
 
 
 
 
7 
 
TEMA 2: TRANSFORMADA DE FOURIER E TRANSFORMADA INVERSA 
A partir da Integral de Fourier representada pela equação 8, podemos 
definir a Transformada de Fourier. Veja que 
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ [∫ 𝑓(𝑢). 𝑒𝑖𝛼𝑢𝑑𝑢
∞
−∞
]
∞
−∞
𝑒−𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼 
Em outras palavras, podemos escrever: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ [𝐹(𝛼)]𝑒−𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼
∞
−∞
𝐹(𝛼) = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥
∞
−∞
 
Veja que no formato em que está escrita a função 𝑓(𝑥), a Integral de 
Fourier funciona como uma transformação de variáveis (por isso o termo 
Transformada) que pode ser desfeita com a Transformada Inversa. Definimos a 
Transformada de Fourier e denotamos por ℑ{𝑓(𝑥)} a expressão: 
ℑ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥
∞
−∞
 
Definimos a Transformada de Fourier inversa e denotamos por ℑ−1{𝐹(𝛼)} 
como a expressão: 
ℑ−1{𝐹(𝛼)} =
1
𝜋
∫ [𝐹(𝛼)]𝑒−𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼
∞
−∞
 
 
Para exemplificar a Transformada de Fourier, vejamos a função degrau 
unitária 
𝜇(𝑥 − 𝑐) = {
1, 𝑥 > 𝑐
0, 𝑥 < 𝑐
 
Essa função pode representar um certo sinal que, a partir de um dado 
instante 𝑐 passa a existir. Para isso, basta multiplicar essa função por um sinal 
específico. Por exemplo, seja 
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑎𝑥𝜇(𝑥) 
 
 
8 
Vamos utilizar a definição da Transformada de Fourier para calcular a 
Transformada da função 𝑓(𝑥) dada. Veja que: 
ℑ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥
∞
−∞
 
 
E que, portanto, para 𝑓(𝑥): 
ℑ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑒−𝑎𝑥𝜇(𝑥). 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥
∞
−∞
 
Como a função degrau unitário, 𝜇(𝑥) é definida por partes, podemos 
separar a integral resultantes em suas duas partes. Nesse caso: 
ℑ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑒−𝑎𝑥. 0. 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥
0
−∞
+∫ 𝑒−𝑎𝑥. 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
ℑ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑒−𝑎𝑥. 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
ℑ{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑒(−𝑎+𝑖𝛼)𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
Como se trata de uma integral imprópria, precisamos adaptar o limite de 
integração escrevendo: 
ℑ{𝑓(𝑥)} = lim
𝑏→∞
∫ 𝑒(−𝑎+𝑖𝛼)𝑥𝑑𝑥
𝑏
0
 
ℑ{𝑓(𝑥)} = lim
𝑏→∞
[
𝑒(−𝑎+𝑖𝛼)𝑥
−𝑎 + 𝑖𝛼
]
0
𝑏
 
ℑ{𝑓(𝑥)} = lim
𝑏→∞
[
𝑒(−𝑎+𝑖𝛼)𝑏
−𝑎 + 𝑖𝛼
−
1
−𝑎 + 𝑖𝛼
] 
ℑ{𝑓(𝑥)} =
−1
−𝑎 + 𝑖𝛼
 
ℑ{𝑓(𝑥)} =
1
𝑎 − 𝑖𝛼
 
 
 
 
9 
 
Portanto, a definição da Transformada de Fourier nos permite obter a 
Transformada de funções específicas, como a função degrau unitária. Veja que 
sua resolução não é simples, devido ao cálculo da integral imprópria e de 
operações matemáticas que podem não ser tão elementares. Para facilitar a 
aplicação das Transformadas de Fourier e das Transformadas Inversas iremos 
obter expressões para as Transformações das funções mais utilizadas que 
evitará que calculemos excessivamente as integrais. 
Essa estratégia já foi aplicada no aprendizado de técnicas de derivação, 
por exemplo. As derivadas de uma função são definidas em termo de um limite 
específico.Entretanto, após o entendimento do conceito a resolução é feita com 
a ajuda das tabelas de derivação. Algo similar será feito no caso das 
Transformadas de Fourier. Mas primeiro, algumas outras propriedades que 
definem o conceito das Transformadas de Fourier serão discutidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
TEMA 3: PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE 
FOURIER 
 
Para evitar o cálculo excessivo das Integrais Impróprias existentes na 
definição das Transformadas de Fourier veremos algumas propriedades 
operacionais que simplificam esse cálculo. Para exemplificação das 
propriedades, utilizaremos como exemplo a função 𝑓(𝑥) = 𝜇(𝑥) cuja 
transformação é 
ℑ{𝑓(𝑥)} = F(α) =
1
1 − 𝑖𝛼
 
E a função 𝑔(𝑥) = {
1, 𝑥 > 0
−1, 𝑥 < 0
 cuja transformação será vista na 
sequência, mas cujo resultado é dado por 
ℑ{𝑔(𝑥)} = 𝐺(𝛼) =
2𝑖
𝛼
 
Propriedade 1 (Linearidade) 
Sendo 𝒂 e 𝒃 constantes, 
𝕴{a. 𝒇(𝒙) + b. 𝑔(𝑥)} = 𝑎𝕴{𝒇(𝒙)} + 𝑏𝕴{𝑔(𝒙)} = 𝑎𝐹(𝛼) + 𝑏𝐺(𝛼) 
Por exemplo: 
𝕴{𝜇(𝑥) + 2. 𝑔(𝑥)} = 𝕴{𝜇(𝑥)} + 2. 𝕴{𝑔(𝒙)} = 𝐹(𝛼) + 2. 𝐺(𝛼) =
𝟏
𝟏 − 𝒊𝜶
+
4𝑖
𝛼
 
Propriedade 2 (Simetria) 
 Se 𝐹(𝛼) = 𝕴{𝒇(𝒙)}, então 𝕴{𝐹(𝒙)} = 2𝜋𝑓(−𝛼) 
Por exemplo: 
𝕴{𝐹(𝑥)} = 𝕴 {
1
1 − 𝑖𝑥
} = 2𝜋. 𝑓(−𝛼) = 2𝜋. 𝜇(−𝛼) 
Propriedade 3 (Translação no tempo) 
𝕴{𝑓(𝑥 − 𝑎)} = 𝑒𝑖𝑎𝛼𝐹(𝛼) 
Por exemplo: 
𝕴{𝜇(𝑥 − 2)} = 𝑒2𝑖𝛼𝐹(𝛼) =
𝑒2𝑖𝛼
1 − 𝑖𝛼
 
 
 
11 
 
Propriedade 4 (Translação na frequência) 
𝕴{𝑒𝑖𝑎𝑥𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝛼 + 𝑎) 
Por exemplo: 
𝕴{𝑒3𝑖𝑥𝜇(𝑥)} = 𝐹(𝛼 + 3) =
1
1 − 𝑖(𝛼 + 3)
 
Propriedade 5 (Similaridade) 
𝕴{𝑓(𝑎𝑥)} =
1
|𝑎|
𝐹(
𝛼
𝑎
) 
Por exemplo: 
𝕴{𝜇(−2𝑥)} =
1
|−2|
. 𝐹 (−
𝛼
2
) =
1
2 (1 − 𝑖 (−
𝛼
2))
 
Propriedade 6 (Convolução) 
A Convolução de duas funções é definida como 
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑢)𝑔(𝑢)𝑑𝑢
∞
−∞
 
E sua transformada é dada por: 
𝕴{(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥)} = 𝐹(𝛼). 𝐺(𝛼) 
Por exemplo: 
𝕴{∫ 𝜇(𝑥 − 𝑢). 𝑔(𝑢)𝑑𝑢
∞
−∞
} = 𝕴{(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥)} = 𝐹(𝛼). 𝐺(𝛼) =
1
(1 − 𝑖𝛼)
.
2𝑖
𝛼
 
Propriedade 7 (Transformada de derivadas) 
𝕴{𝑓′(𝑥)} = −𝑖𝛼𝐹(𝛼) 
𝕴{𝑓′′(𝑥)} = −𝛼2𝐹(𝛼) 
Que pode ser generalizado em 
𝕴{𝑓(𝑛)(𝑥)} = (−𝑖𝛼)𝑛𝐹(𝛼) 
 
 
 
 
12 
 
Propriedade 8 (Derivadas de transformadas de Fourier) 
𝕴{𝑥𝑓(𝑥)} = −𝑖𝐹′(𝛼) 
𝕴{𝑥2𝑓(𝑥)} = −𝐹′′(𝛼) 
Que pode ser generalizado em: 
𝕴{𝑥𝑛𝑓(𝑥)} = (−𝑖)𝑛𝐹(𝑛)(𝛼) 
 
 
 
 
13 
 
TEMA 4: DELTA DE DIRAC 
As propriedades apresentadas na temática anterior nos permitem calcular 
a Transformada de Fourier de funções mais complexas sem se recorrer ao 
cálculo das Integrais Impróprias da sua definição. Os últimos dois temas dessa 
aula visam obter as transformadas de Fourier de funções específicas que 
frequentemente aparecem nos estudos aplicados desse assunto. 
Vejamos a função Delta de Dirac 
𝛿(𝑥 − 𝑥0) = {
∞, 𝑠𝑒 𝑥 = 𝑥0
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 𝑥0
 
Tal função pode ser definida a partir da função degrau unitária. Para isso, 
veja que 
𝑓𝑒(𝑡) =
1
2𝑒
[𝜇(𝑡 + 𝑒) − 𝜇(𝑡 − 𝑒)] = {
0, 𝑡 < −𝑒
1
2𝑒
, −𝑒 < 𝑡 < 𝑒
0, 𝑡 > 𝑒
 
Representa um pulso unitário num curto intervalo de tempo. A função delta 
de Dirac é, portanto, definida como 
𝛿(𝑥 − 𝑥0) = lim
𝑒→0
𝑓𝑒(𝑡) 
Em muitas aplicações, veremos a função Delta de Dirac aplicada em torno 
de 𝑥0 = 0. Nesse caso, simplifica-se para 
𝛿(𝑥) = {
∞, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0
 
Entre as propriedades desta função 𝛿(𝑥), veja que a multiplicação da 
função Delta de Dirac por outra 𝑓(𝑥) qualquer pode ser escrita como: 
𝛿(𝑥). 𝑓(𝑥) = 𝛿(𝑥). 𝑓(0) 
E que a seguinte integral é dada por: 
∫ 𝛿(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= 1 
 
 
14 
Além destas duas propriedades, veja que 
∫ 𝑓(𝑥)𝛿(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= 𝑓(0) 
E que a Convolução da função Delta de Dirac com outra f(x) que seja 
contínua resulta em: 
(𝑓 ∗ 𝛿)(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
Com essas propriedades pode-se verificar a Transformada de Fourier da 
função Delta de Dirac sem se recorrer ao cálculo da Integral Imprópria. Veja que: 
(𝑓 ∗ 𝛿)(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
ℑ{(𝑓 ∗ 𝛿)(𝑥)} = ℑ{𝑓(𝑥)} 
Pela propriedade 6 visto na temática 3, podemos escrever: 
ℑ{𝑓(𝑥)}. ℑ{𝛿(𝑥)} = ℑ{𝑓(𝑥)} 
Dividindo ambos os lados por ℑ{𝑓(𝑥)} obtemos: 
ℑ{𝛿(𝑥)} = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
TEMA 5: MÉTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER 
Vejamos a transformada de Fourier de algumas funções que surgem 
frequentemente. Sendo 
𝑓(𝑥) = {
1, |𝑥| < 𝑎
0, |𝑥| > 𝑎
 
ℑ{𝑓(𝑥)} = F(α) =
2𝑠𝑒𝑛(𝑎𝛼)
𝛼
 
Sendo 
𝑔(𝑥) = 𝑒−𝑎|𝑥|, 
ℑ{𝑔(𝑥)} = G(α) =
2a
𝛼2 + 𝑎2
 
No caso em que 
ℎ(𝑥) =
1
𝑥2 + 𝑎2
 
 ℑ{ℎ(𝑥)} = H(α) =
π
𝑎
𝑒−𝑎|𝛼| 
Sendo 
𝑖(𝑥) = 𝑒−
𝑥2
2 , 
ℑ{𝑖(𝑥)} = I(α) = √2𝜋𝑒−
𝛼2
2 
Para 
𝑗(𝑥) = 𝑒−𝑎𝑥𝜇(𝑥), 
ℑ{𝑗(𝑥)} = J(α) =
1
𝑎 − 𝑖𝛼
 
Sendo 
𝑘(𝑥) = 𝑥𝑛𝑒−𝑎𝑥𝜇(𝑥) 
 
 
16 
ℑ{𝑘(𝑥)} = K(α) =
n!
(𝑎 − 𝑖𝛼)𝑛+1
 
 Para a função Delta de Dirac: 
ℑ{𝛿(𝑥)} = 1 
 Para a função sinal: 
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙(𝑥) = {
1, 𝑥 > 0
−1, 𝑥 < 0
 
 ℑ{𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙(𝑥)} =
2i
𝛼
 
Sendo 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑖𝑎𝑥 
 ℑ{𝑓(𝑥)} = F(α) = 2π. δ(α + a) 
Sendo 
𝑔(𝑥) = cos(𝑎𝑥) 
 ℑ{𝑔(𝑥)} = G(α) = π[𝛿(𝛼 + 𝑎) + 𝛿(𝛼 − 𝑎)] 
Sendo 
ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥) 
ℑ{ℎ(𝑥)} = H(α) = iπ[𝛿(𝛼 − 𝑎) − 𝛿(𝛼 + 𝑎)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
FINALIZANDO 
 
Caros alunos! 
Com essa aula foi possível definir a Transformada de Fourier a partir das 
Séries de Fourier e desenvolver métodos que permitem o cálculo dessas 
transformadas sem recorrer a cálculos mais trabalhosos envolvendo algumas 
integrais impróprias. 
Devido a característica introdutória do curso, algumas demonstrações e 
resultados específicos da teoria de Transformadas de Fourier foram omitidos 
para que o aprendizado se torne mais didático. Entretanto, o estudante 
interessado em se aprofundar na formalização dedutiva da Transformada de 
Fourier pode procurar livros e materiais especializados que reforcem esse 
aprendizado. 
Na aula seguinte veremos a aplicação da Transformada de Fourier para 
a resolução de importantes problemas matemáticos. 
 
 
 
18 
 
REFERÊNCIAS 
KREYSZIG, Erwin. Advanced engineering mathematics. 9th ed. [Hoboken]: J. 
Wiley, 2006. 
BOYCE, William E., DiPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares 
e Problemas de Valores de Contorno, 10ª edição. LTC, 02/2015. 
ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia 
- Vol I, 3ª edição. Bookman, 08/2011. 
BRONSON, Richar, COSTA, Gabriel. Equações Diferenciais, 3ª edição. 
Bookman, 01/2008. 
NAGLE, R. K., SAFF, Edward B., SNIDER, Arthur D. Equações Diferenciais, 8ª 
edição. Pearson Education do Brasil, 2012. 
OPPENHEIM, Alan V., SCHAFER, Ronald W. Processamento em tempo 
discreto de sinais, 3ª edição. Pearson Education do Brasil, 2012. 
BRANDAO, João C., ABRAHAM ,Alcaim, SAMPAIO, Raimundo N. Princípios 
de Comunicações, Interciência, 2014. 
DINIZ, Paulo R., DA SILVA, Eduardo B., NETTO, Sergio L. Processamento 
Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas, 2ª edição. Bookman, 
01/2014. 
ALEXANDER, Charles K., SADIKU, Matthew O. Fundamentos de Circuitos 
Elétricos, 5ª edição. AMGH, 03/2013. 
BOYLESTAD, Robert L. – Introdução à Análise de Circuitos, 10ª. Edição. 
Pearson Education do Brasil, 2004 
ÇENGEL, Yunus A., PALM III, William J. Equações Diferenciais. AMGH, 
01/2014. 
NALON, José A. Introdução ao Processamento Digital de Sinais. LTC, 
02/2009. 
OPPENHEIM, Alan V., WILLSKY, Alan S., NAWAB, S. H. Sinais e Sistemas, 2ª 
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FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e equações diferenciais 
parciais. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. 
ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael .Matemática Avançada para Engenharia - 
Vol III, 3ª edição. Bookman, 08/2011. 
 
 
 
19 
 
BRANNAN, James R., BOYCE, William E. Equações Diferenciais uma 
Introdução a Métodos Modernos e suas Aplicações. LTC, 11/2008. 
SPIEGEL, Murray R. Análisede Fourier. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1976 
J., ROBERTS. M. Fundamentos de Sinais e Sistemas.ArtMed, 09/2010. 
HSU, Hwei P. Sinais e Sistemas, 2ª edição. Bookman, 01/2012.