Lista 01 - EDO (Definitiva)

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LISTA 01 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Prof. Dion Pasievitch
1) Resolva as seguintes EDOs lineares de primeira ordem fornecendo o maior
intervalo I sobre o qual a solução geral está definida:
(a) y′ = 5y. R: y = ce5x em I = (−∞,+∞);
(b) y′ + 2y = 0. R: y = ce−2x em I = (−∞,+∞);
(c) y′ + y = e3x. R: y = ce−x em I = (−∞,+∞);
(d) 3y′ + 12y = 4. R: y = 1
3
+ ce−4x em I = (−∞,+∞);
(e) y′ + 2xy = x3. R: y = 1
2
x2 − 1
2
+ ce−x
2
em I = (−∞,+∞);
(f) y′ − 3y = 0. R: y = ce3x em I = (−∞,+∞);
(g) y′ − 3y = 6. R: y = −2 + ce3x em I = (−∞,+∞);
(h) xy′ − 4y = x6ex. R: y = x5ex − x4ex + cx4 em I = (0,+∞);
(i) y′ − 2y = x2 + 5. R: y = −1
2
x2 − 1
2
x− 11
4
+ ce2x em I = (−∞,+∞);
(j) y′ − 1
x
y = x sinx. R: y = cx− x cosx em I = (0,+∞);
(k) y′ + 4
x
y = x2 − 1. R: y = 1
7
x3 − 1
5
x+ cx−4 em I = (0,+∞);
(l) y′ +
(
1 + 1
x
)
y = 1
x
e−x sin(2x). R: y = − 1
2x
e−x cos(2x) + ce
−x
x
em
I = (0,+∞);
(m) dr
dθ
+ r sin(θ) = cos(θ). R: r = θ − cos(θ) + c em I = (−π/2, π/2);
(n) dP
dt
+ (2t− 1)P = 4t− 2. R: P = 2 + cet−t2 em I = (−∞,∞).
2) As seguir resolva dos PVIs fornecendo o maior intervalo I sobre o qual a
solução geral está definida:
(a) y′ + 1
x
y = 1
x
ex, y(1) = 2. R: A solução geral é y = 1
x
ex + c
x
em
I = (0,+∞). A solução do PVI é y = 1
x
ex + 2−e
x
;
(b) dx
dy
− 1
y
x = 2y, y(1) = 5. R: A solução geral é x = 2y2 + cy em
I = (0,+∞). A solução do PVI é x = 2y2 − 49
5
y;
1
(c) di
dt
+ R
L
i = E
L
, i(0) = i0, sendo L, R, E e i0 constantes. R: A solução
geral é i = E
R
+ ce−R/L em I = (−∞,+∞). A solução do PVI é
i = E
R
+
(
i0 − ER
)
e−Rt/L.
(d) dT
dt
= k(T − Tm), T (0) = T0, sendo k, Tm e T0 constantes. R: A
solução geral é T = Tm + ce
kt em I = (−∞,+∞). A solução do PVI é
T = Tm + (T0 − Tm)ekt.
(e) y′ + (tanx)y = cos2(x), y(0) = −1. R: A solução geral é y =
sin(x) cos(x) + c cos(x) em I = (−π/2, π/2). A solução do PVI é
y = sin(x) cos(x)− cos(x).
3) Resolva as seguintes EDOs lineares de segunda ordem:1
(a) 2y′′ − 5y′ − 3y = 0. y = c1e−x/2 + c2e3x;
(b) y′′ − 10y′ + 25y = 0. y = c1e5x + c2xe5x
(c) y′′ + 4y′ + 7y = 0. y = e−2x(c1 cos
√
3x+ c2 sin
√
3x);
(d) 4y′′ + y′ = 0. R: y = c1 + c2e
−x/4;
(e) y′′ − y′ − 6y = 0. y = c1e3x + c2e−2x;
(f) 2y′′ + 2y′ + y = 0. R: y = e−x/2[c1 cos(x/2) + c2 sin(x/2)] ;
(g) y′′ + 9y = 0; R: y = c1 cos(3x) + c2 sin(3x);
4) Resolva os PVIS:
(i) y′′ + 16y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −2. R: y = 2 cos 4x− 1
2
sin 4x;
(ii) d
2y
dθ2
+ y = 0, y(π/3) = 0, y′(π/3) = 2. R: y = −
√
3 cos θ + sin θ;
(iii) d
2y
dt2
− 4dy
dt
− 5y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 2. R: y = −1
3
e1−t + 1
3
e5t−5;
(iv) y′′ − 2y′ + y = 0. R: y = 5ex + 5xex.
1Dica: A fórmula de Euler eiθ = cos(θ) + i sin(θ) para qualquer θ real será útil.
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