A4 - CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS

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09/03/2021 Blackboard Learn
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Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade
emequação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações
diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a
variável independente é e a variável dependente é , temos que: (i) A variável
dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau
1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
 
 Considere a variável uma função da variável , isto é, . Analise as
afirmativas a seguir.
 
 I. A equação diferencial é linear.
 II. A equação diferencial é linear.
 
III. A equação diferencial é linear.
 IV. A equação diferencial é linear.
 
 Assinale a alternativa correta.
 
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de
linearidade de uma equação diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV estão
corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente e todas as suas
derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da variável
independente .
Pergunta 2
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares
homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução que
satisfaça às condições iniciais da forma e . Por meio dessas
condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
 
 Considere o seguinte PVI: , e . Analise as
afirmativas a seguir:
 
 I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
 II. A solução do PVI é .
 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
 
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
 É correto o que se afirma em:
 
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0 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
 
 
I e IV, apenas.
I e II, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. São falsas as
afirmativas III e IV, pois: 
Afirmativa III: incorreta. O valor das constantes da solução geral obtido na
resolução do PVI é e . 
 
Afirmativa IV: incorreta. A EDO está igualada a zero, portanto, é uma EDO
homogênea.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial 
 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é
dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de
problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde 
 representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do
tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial reduzida em
0,043% após 15 anos. 
 
 Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
 I. O valor da constante de proporcionalidade é .
 
II. A função que representa o problema descrito é .
 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
 IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
 
 É correto o que se afirma em:
 
 
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial
separável , temos que as afirmativas I e II estão corretas, pois 
 
, onde . 
 
Para , concluímos que e, para concluímos
. Portanto, a função que representa o problema descrito é
.
Pergunta 4
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função
dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se
uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão
da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a
igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função é solução da equação diferencial .
II. A função é solução da equação diferencial .
 
III. A função é solução da equação diferencial .
 
IV. A função é solução da equação diferencial .
 
 
 É correto o que se afirma em:
 
 
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de
uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que
 Trocando na equação diferencial, temos: 
 
 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos e
. Trocando , e na equação diferencial, temos: 
 
.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para
resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens
em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em
1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que
corresponde à solução da equação diferencial . 
 
 
.
0 em 1 pontos
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Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Primeiramente, vamos
separar as variáveis e na equação diferencial para poder exibi-la na forma
separável. Em seguida, vamos integrar ambos os membros da igualdade para obter
sua solução. Então, 
 
.
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90
°C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo
levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode
ser descrita pela equação diferencial onde e são
fornecidas as seguintes informações: e . Nosso
problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que .
Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde . Das condições
 e vamos determinar as constantes e . De
 temos . De , temos . Portanto, a função
temperatura do bolo é . Vamos determinar agora o tempo
para o qual a temperatura é 30ºC. De , temos .
Pergunta 7
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios.
Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua
ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela
ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é
dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
 
 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de
classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior
derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já a
classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1,
pois .
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a
função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade
verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como
solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma
condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e
assinale Vpara a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
 I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial
dada.
 II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial
dada.
 III. ( ) Para , temos que é solução da equação
diferencial dada.
 IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial
dada.
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial, temos
que sua solução geral é:
. Assim: 
 Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que .
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
 
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que .
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
 
Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que
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. Portanto, é solução da
equação diferencial dada.
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de
primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma .
O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma
função de e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos
ambos os lados da igualdade. 
 
 Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à
solução da equação diferencial separável . 
 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da
igualdade, temos 
, onde .
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza
podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor
inicial: 
 , 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa.
Considere a seguinte situação:
 
 Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimento dessa população.
 
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
seguinte equação diferencial , onde é a função quantidade de bactérias
que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para temos
. Resolvendo a equação diferencial, temos 
 
, onde e são constantes e . Como temos
. Portanto, a função que descreve
o crescimento dessa população de bactérias é .