7. Dada la función f(x)=sen(2x), esboza las gráficas de y=f(x) y de y=f ′(x) en [0, 2π] y comenta la relación que se observa entre el crecimiento/d...

A função dada é f(x) = sen(2x). Para esboçar os gráficos de y = f(x) e y = f'(x) no intervalo [0, 2π], podemos usar as propriedades das funções seno e cosseno. A função f(x) = sen(2x) é uma função senoidal com um período de π. Isso significa que a função se repete a cada π unidades no eixo x. No intervalo [0, 2π], temos um período completo da função. Para esboçar o gráfico de y = f(x), podemos começar pelo ponto (0, 0), que é o ponto de partida da função. Em seguida, podemos traçar a curva senoidal, lembrando que a função é comprimida horizontalmente por um fator de 2 em relação à função seno padrão. Para esboçar o gráfico de y = f'(x), que é a derivada da função f(x), podemos usar as propriedades da derivada do seno. A derivada de sen(2x) é f'(x) = 2cos(2x). Podemos traçar a curva da função coseno, comprimida horizontalmente por um fator de 2 em relação à função cosseno padrão. Observando os gráficos de f(x) e f'(x), podemos notar a relação entre o crescimento/decrescimento de f(x) e o sinal de f'(x). Quando f'(x) é positiva, f(x) está crescendo, e quando f'(x) é negativa, f(x) está decrescendo. Essa relação ocorre nos intervalos onde f(x) tem concavidade positiva e negativa, respectivamente. Espero que isso ajude a entender a relação entre os gráficos e as propriedades das funções. Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar!