A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
26 pág.
Apostila_20EqDif

Pré-visualização | Página 1 de 6

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
 
PROGRAMA: 
 
1) Equações Diferenciais de 1a Ordem 
a) Definição e classificação das equações diferenciais. 
b) Solução geral e solução particular. 
c) Equação de Variáveis Separáveis. 
d) Equação Homogênea. 
e) Equações Lineares. 
f) Equação Diferencial Exata. Fator Integrante. 
g) Aplicações. 
2) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n 
a) Classificação. 
b) Equações diferenciais lineares homogêneas de 2a ordem com coeficientes constantes. 
c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. 
d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes 
constantes. 
e) Método dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular. 
f) Método da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular. 
g) Método dos operadores para o cálculo de uma solução particular. 
h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. 
i) Equação de Euler-Cauchy, homogênea e não-homogênea. 
j) Equação de Euler-Cauchy generalizada. 
k) Método da Redução de Ordem. 
l) Aplicações. 
3) Sistemas de Equações Diferenciais 
a) Método da Eliminação. 
b) Método dos Operadores. 
c) Método Matricial (autovalores e autovetores). 
d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos). 
4) Transformação de Laplace 
a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais. 
b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades. 
c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais. 
d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais. 
5) Seqüências e Séries de Números Reais 
a) Seqüências. 
b) Séries Numéricas. 
c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas. 
d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência. 
e) Série de MacLaurin. Série de Taylor. 
6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries 
a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário. 
b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (Método de Frobenius). 
 
 
Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno 
 William Boyce & Richard Diprima 
1 Equações diferenciais de 1a ordem 
 
1.1 Equações diferenciais 
 
Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo 
menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação 
diferencial. 
 
Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas 
totais é denominada de equação diferencial ordinária. 
 
Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada 
parcial é denominada de equação diferencial parcial. 
 
Exemplos: 
a) 2
dx
dy
dx
yd
x 2
2
=−⋅ 
b) 0dxydyx =⋅−⋅ ordinárias 
c) xeyy =+′′ 
d) ( )yx,zz , 0
y
z
x
z
2
2
2
2
==
∂
∂
+
∂
∂
 parciais 
e) ( )zy,x,uu , 0
z
u
y
u
x
u
2
2
2
2
2
2
==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior” 
derivada que aparece na equação. 
 
Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior 
ordem envolvida na equação. 
 
Exemplos: 
a) 0y
dx
dy
dx
yd
2
2
=++ 
b) ( ) 0
dt
xd
tcos22t
dt
dx
3
3
2
10
=⋅⋅+−�
�
�
�
�
�
 
c) x
43
2
2
e
dx
dy
x
dx
yd
=�
�
�
�
�
�
⋅+
�
�
�
�
�
�
�
�
 
d) 
3
2
22
2
3
y
uy
yx
u
x
�
�
�
�
�
�
�
�
∂
∂
⋅=
�
�
�
�
�
�
�
�
∂⋅∂
∂
⋅ 
e) 0
y
u
x
u
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
1.2 Resolução 
 
Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que satisfa-
zem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial que se dá a 
solução e, geometricamente, as curvas que representam soluções são chamadas 
curvas integrais. 
 
Existem 3 tipos de soluções: 
 
1.2.1 Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes 
arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração; 
1.2.2 Solução particular: é a solução deduzida da solução geral atribuindo-se 
valores particulares às constantes; 
1.2.3 Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e que só 
existe em alguns casos. 
 
Exemplos: 
a) Dada a equação 2x
dx
dy
= , determine a solução geral e represente geometri-
camente. 
 (esta família de curvas recebe o nome de curvas integrais) 
 
b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equação 
diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: 
 i) ( ) ( )xcoscxsency 21 ⋅+⋅= 
 ii) 2xcy ⋅= 
 iii) 221 cxcy +⋅= 
 iv) ( )bxcosay +⋅= , onde a e b são constantes 
 v) 2x23x1 ececy −⋅+⋅= 
 
Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação 
diferencial num ponto. 
 
Definição 7: Uma equação diferencial com uma condição inicial apresentada é 
chamada problema de valor inicial (PVI). 
 
Exemplos: 
a) Seja a equação diferencial 0yy =+′′ . Verifique que a função 
( ) ( )xcoscxsency 21 ⋅+⋅= é solução da equação diferencial e determine o valor das 
constantes (a solução particular) através do PVI ( )( )��
	
=′
=
10y
20y
. 
b) Idem para 06y
dx
dy
dx
yd
2
2
=−− , 
2x
2
3x
1 ececy
−
⋅+⋅= , 
( )
( )��
	
−=′
=
100y
00y
. 
 
c) Idem para 04yy =+′′ , ( ) ( )2xsenc2xcoscy 21 ⋅+⋅= , ( )( )
�
�
	
−=′
−=
54y
34y
pi
pi
. 
 
 
1.3 Exercícios 
 
1) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação 
diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante 
arbitrária: 
a) 222 cyx =+ R: 0dyydxx =⋅+⋅ 
b) xecy ⋅= R: 0y
dx
dy
=− 
c) ( ) 0 xe y x, yxcx 22223 ≠≠−⋅= R: ( ) 0dx3yxdy2xy 22 =⋅−+⋅ 
d) ( ) ( )2xsenc2xcoscy 21 ⋅+⋅= R: 04ydx
yd
2
2
=+ 
e) ( ) 3x21 cexccy +⋅+= R: 0dx
dy
dx
yd2
dx
yd
2
2
3
3
=+⋅− 
f) x22x1 ececy −⋅+⋅= R: 02ydx
dy
dx
yd
2
2
=−− 
g) 0y x,, ca ;ay 1
y
xln te ≠≡+=��
�
�
��
�
�
 R: 0dy
y
xlnxdxy =⋅��
�
�
��
�
�
⋅−⋅ 
 
2) Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação: 
a) -2xecy ; 02yy ⋅==+′ 
b) cbxaxy ; 0y 2 ++==′′′ 
c) ( ) ( )xsenbxcosay ; 0yy ⋅+⋅==+′′ 
d) xececy ;x yy x2x1 −⋅+⋅==−′′ − 
e) cxy ;2x y 2 +==′ 
f) 2xcy ; 
x
2yy ⋅==′ 
g) 2x-ecy ; 02xyy ⋅==+′ 
h) cy x; 
y
xy 22 =+−=′
 
i) 2xx2x eecy ; eyy +⋅==−′ 
j) ( )
�
�
	
=
−⋅=
=+′−′
4
xy
cxcy
 ; 0yyxy 2
2
2
12
 
k) ( )xcosy ; 0yy ==+′′ 
l) ( )
( )
( )
( )
�
�
	
−=
+=
=
=′
5
4
xseny
3xseny
xseny
 ; xcosy
3
2
1
 
m) 
�
�
	
⋅−=
⋅=
=
=−′
x
3
x
2
x
1
e
5
6y
e2y
ey
 ; 0yy 
n) 
�
�
	
⋅+⋅=
=
=
=+′⋅−′′⋅
3
2
2
13
3
2
2
1
2
xcxcy
xy
xy
 ; 06yy4xyx 
 
3) Em cada caso, determinar ( )� ⋅= dxxfy e a constante de integração c, de 
modo que y satisfaça a condição dada: 
a) ( ) ( ) 02y ; xxf 2 == R: ( )8x
3
1y 3 −= 
b) ( ) ( ) ( )
2
y ; xcosxf 2 pipi == R: ( )2xsen
4
1
x
2
1y += 
c) ( ) ( ) ( ) 10y ; 2xcosxf == R: ( ) 1
2
2xseny += 
d) ( ) ( ) 00y ; exxf 2x- =⋅= R: �
�
�
�
�
� +−= − 1e
2
1y
2
x
 
 
4) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial 
correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular 
satisfaça a condição dada: