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Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 75 
(a) P(X < 37,0 mm)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5,1
0,2
0,400,37
z 

 . Para z = -1,5  tabela 0,0668. 
 
P(X < 37,0 mm) = P(Z < -1,5) = 0,0668 ou 6,68% 
 
 
 
(b) P(X > 44,0 mm)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,2
0,2
0,400,44
z 

 . Para z = 2,0  tabela 0,9772. 
 
P(X > 44,0 mm) = P(z > 2,0) = 1 – 0,9772 = 0,0228 ou 2,28%. 
40 x
f(x)
37
0 z
g(z)
-1,5
0 2
z
g(z)
40 44 x
f(x
)
Noções de probabilidade 76 
(c) P(X < 38,0 mm) + P(X > 42,0 mm)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1
0,2
0,400,38
z 

 ; 0,1
0,2
0,400,42
z 

 . 
 
Para z = -1  tabela 0,1587. P(X < 38,0) + P(X > 42,0) 
 
= P(z < -1) + P(z > 1) = 20,1587 = 0,3174 ou 31,74%. 
 
 
(d) 40,0  h mm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
063,0%3,6
2
%6,12
 e entrando com esse valor no corpo da Tabela 
II, obtém-se  zc =  1,53. Para x = 40,0 + h  
σ
μx
z

 que 
38 40 42 x
f(x)
40
0
x
f(x)
40-h 40+h
0,0630,063
0,437 0,437
0 z
g(z)
0,4370,437 0,0630,063
Zc-Zc
 
0 z 
g(z) 
1 -1 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 77 
 substituindo, resulta 
0,2
0,40h0,40
53,1

 , ou seja, h = 3,06. 
Portanto, os limites são: 
 
40,0 + h = 40,0 + 3,06 = 43,06 mm 
e 
40,0 – h = 40,0 – 3,06 = 36, 94 mm 
 
(e) Novo desvio padrão? 
 
 
 0055,0%55,0
2
%1,1
 , 
 entrando no corpo da tabela, 
 
 obtém-se:  zc =  2,54. 
 
 
 
 
Como no item (d), os limites são 36,94 e 43,06 mm, então, 



0409436
542
,,
, ou 



0400643
542
,,
, , 
 
que resolvendo, resulta  = 1,2. 
 
 
2.16.4 Distribuição qui-quadrado 
 
Sejam z1, z2, ... , z ,  variáveis aleatórias independentes e 
normais, com média 0 e variância 1. Então, a variável aleatória 2 (qui-
quadrado) definida como 
 



ν
1i
2
i
2
ν
2
2
2
1
2 zzzzχ  
0 z
g(z)
0,00550,0055
0,4945 0,4945
-Zc Zc
Noções de probabilidade 78 
tem fdp dada por 
 
   /2χ12/2
ν/2
2 2eχ
Γ(ν/2)2
1
)f(χ 

 , 02χ  (2.61) 
 
com média ν)E(χ 2  e variância ν2)V(χ 2  . Diz-se que 2 tem 
uma distribuição qui-quadrado com parâmetro , sendo  conhecido 
como número de graus de liberdade. 
A Figura 2.16 representa graficamente a distribuição qui-
quadrado para  = 1, 4 e 10 graus de liberdade. 
 
Na função (2.61), define-se a função matemática gama com 
parâmetro r, denotada por (r), pela integral imprópria 
 
 



0
x1r dxex)r( , r > 0 (2.62) 
 
Figura 2.16 – Distribuição qui-quadrado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstra-se que: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
2
f(

2
)
=4
=6
=10 
 
)(f
2
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 79 
Demonstra-se que: 
 
(1º) (r) = (r –1)(r – 1) (2.63) 
 
(2º) Se r = n, inteiro e positivo, então (n) = (n – 1)! (2.64) 
 
 
 
Quando se deseja indicar que uma variável 2 tem distribuição 
qui-quadrado com  graus de liberdade, utiliza-se a notação 
 
 
 νχ~χ 22 ou 22 ~  . 
 
 
 
Uma propriedade conhecida como propriedade da aditividade de 
2 diz que “a soma de k variáveis aleatórias independentes 
2
1 , 
2
2 , ... , 
2
k , tendo distribuição 
2 com 1, 2, ... , k graus de liberdade, 
respectivamente, tem distribuição 2 com 1 + 2 + ... + k, graus de 
liberdade”. 
 
Na Tabela IV (apêndice) estão tabulados os valores de 2, tais 
que, P(2  
2
 ). 
 
 
 
Exemplo 
 
Determinar, na Tabela IV, os valores de 
2
 , tais que: 
 
(a) )0(P 23
2  = 0,975 
 
 
Noções de probabilidade 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entrando na Tabela IV (apêndice) com P = 0,975 e  = 3, obtém-se 
348,9
2
3
 . 
 
(b)   0,90χχP 2102  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0

2
3
2
0,975
0,025
0

2
10
2
0,1
0
0,9
0
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 81 
Entrando na Tabela IV (apêndice) com P = 0,10 e  = 10, obtém-se 
865,4
2
10
 . 
 
 
2.16.5 Distribuição t de Student 
 
Se Z ~ N(0,1) e W ~ 2(), sendo Z e W variáveis aleatórias 
independentes, então a variável aleatória 
 
W/ν
Z
t  (2.65) 
tem fdp dada por 
 
2
1ν
2
ν
t
1
2
ν
Γπν
2
1ν
Γ
f(t)




















 
 , - < t <  (2.66) 
 
com média E(t) = 0 e variância 
2ν
ν
V(t)

 para  > 2, onde o 
parâmetro  é denominado de graus de liberdade da distribuição. 
A Figura 2.17 mostra graficamente a distribuição t de Student 
para  = 1, 5 e . 
A distribuição t de Student é simétrica em relação a t = 0, sendo 
que, para    ela tende para uma distribuição normal com média zero 
e variância 1 (distribuição normal padronizada). 
Quando se deseja indicar que uma variável t tem uma 
distribuição t de Student com  graus de liberdade, deve-se usar a 
notação 
 
t ~ t() ou t ~ t. 
 
A Tabela III (apêndice) mostra os valores de t, tais que, P(|t| < 
t) = P. 
Noções de probabilidade 82 
Figura 2.17 - Distribuição t de Student 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Determinar, na Tabela III (apêndice), os valores de t, tais que: 
 
(a) P(t < t5) = 0,05. 
 
 
 
 Como P(t < t5) = 0,05, 
 então, de acordo com a 
 tabela, 
 t5 = -2,02. 
 
 
 
 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
t
f(
t)
=1
=5
= inf
0
0,05
t
5
t
f(t)
f(t) 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 83 
(b) P(t  t8) = 0,10. 
 
 
 Como P(t  t8) = 0,10, 
 então de acordo com a 
 tabela, 
 
 t8 = 1,40. 
 
 
 
 
 
 
 
(c) P(-t10 < t < t10) = 0,95. 
 
 
 
 
 Como P(|t| > t10) = 0,025, 
 então, de acordo com a 
 tabela, 
 
 t10 = 2,23, e por simetria, 
 -t10 = -2,23. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.16.6 Distribuição F de Snedecor 
 
Sejam as variáveis aleatórias independentes 
2
1
 e 2
2
 , então 
0
0,10
t
t
f(t)
0
f(t)
0,025 0,025
0,475 0,475
t8 
-t10 t10 
Noções de probabilidade 84 
2
ν1
2
ν2
2
ν
2
ν
νν21
2
1
2
1
21 χν
χν
χ
χ
,F)ν,F(ν  (2.67) 
 
tem fdp dada por 
 
 
)/2ν(ν
2
1
2)/2(ν
/2ν
2
121
21
21
1
1
ν
Fν
1
F
ν
ν
2
ν
Γ
2
ν
Γ
2
νν
Γ
f(F)

































 
 , F  0 (2.68) 
 
 
com média 
 
2ν
ν
E(F)
2
2

 , 2 > 2, (2.69) 
 
e variância 
 
 
 
   4ν2νν
2νν2ν
V(F)
2
2
21
21
2
2


 , 2 > 4. (2.70) 
 
 
 
A distribuição F de Snedecor depende de dois parâmetros: 1 e 
2, denominados, respectivamente, de graus de liberdade do numerador 
e denominador. 
A Figura 2.18 mostra o gráfico da distribuição F de Snedecor 
para (1, 2) = (4, 4), (4, 25) e (10, 4). 
Quando se deseja indicar que a variável aleatória F tem uma 
distribuição F de Snedecor com 1 graus de liberdade no numerador e 2 
no denominador, é usada a notação 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 85 
F ~ F(1, 2) ou F ~ 
21 ,
F  . 
 
 
Os valores tabulados de F(1, 2) tais que P[F  F(1, 2) ] =  
são encontrados nas Tabelas V e VI (apêndice). 
 
 
Figura 2.18 – Distribuição F de Snedecor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
Determinar nas Tabelas V e VI (apêndice), os valores de F(1, 
2) tais que: 
 
 
(a) P[F > F(3,5)] = 0,05. 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
F
f(
F
)
(4,25)
(4,4)
(10,4)
 
f(F) 
Noções de probabilidade 86 
 
 Entrando na tabela com 1 = 
 3 e 2 = 5, obtém-se 
 
 F3,5 = 5,41. 
 
 
 
 
 
 
 
(b) P[F < F(7,9)] = 0,05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, utiliza-se a fórmula de recorrência: 
 
)]
1
ν,
2
(ναFP[F
1
)
2
ν,
1
(ν
α1
F



, (2.71) 
portanto, 
 
27,0
68,3
1
(9,7)
0,05
F
1
(7,9)
0,95
F  , ou seja, toma-se o inverso do 
valor de F da tabela, fazendo-se a troca dos graus de liberdade do 
numerador pelo denominador, e vice-versa. 
0
F
f(F)
0,95 0,05
F(3,5)
0
F
f(F)
0,05
0,95
F(7,9)
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 87 
2.17 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 
 
Esse teorema, geralmente é apresentado sob diversas formas, e, 
uma delas diz que: “sendo X1, X2, ... , Xn uma seqüência de variáveis 
aleatórias independentes com média i = E(Xi) e variância 
)
i
V(X
2
i
σ  , (i = 1, 2, ... , n). Então, a variável aleatória X = X1 + X2 + 
... + Xn = 

n
1i i
X , sob condições bastante gerais, para n suficientemente 
grande, tem distribuição normal de média 


n
1i i
μμ e variância 



n
1i
2
i
σ2σ , sendo a variável padronizada dada por 
 
σ
μX
n
1i
2
i
σ
n
1i i
μX
Z







 ” (2.72) 
 
 
 
2.18 AJUSTAMENTO DAS DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS ÀS 
 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 
O problema do ajustamento de distribuições teóricas às 
distribuições amostrais é de muito interesse prático, pois, para se saber 
se uma dada distribuição amostral segue um certo modelo teórico de 
distribuição (exponencial, normal, binomial, etc), deve-se efetuar o 
ajustamento e testar a qualidade do mesmo. 
 
Exemplos: 
 
(1) Dos 100 lotes de 5 válvulas cada um, verificou-se que o número de 
válvulas defeituosas tem a distribuição seguinte 
 
Noções de probabilidade 88 
Nº de defeituosas 0 1 2 3 4 5 Total 
Nº de lotes 75 21 3 1 0 0 100 
 
 
Ajustar uma distribuição binomial aos dados dessa distribuição 
amostral. 
 
O modelo binomial, como visto, é dado por 
 
 
xn
q
x
p
x
n
)xX(P

 





, 
 
 
onde p é a probabilidade de uma válvula qualquer ser defeituosa. 
A média teórica é  = np = 5p, e o número médio de válvulas 
defeituosas observadas é 
 
 
 
100
0
5
100
0
4
100
1
3
100
3
2
100
21
1
100
75
0
6
1



i
ipixXE
 
 
 = 0,3. 
 
 
Igualando as duas médias,  = x , tem-se que 
 
5p = 0,3 , portanto, p = 0,06 e q = 1 – 0,06 = 0,94. 
 
Assim, a distribuição binomial ajustada será 
 
x5
)94,0(
x
)06,0(
x
5
)xX(P

 





, resultando as freqüências ajustadas 
na Tabela 2.1. 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 89 
 
Tabela 2.1 – Freqüências ajustadas 
 
N° de 
defeituosas 
P(X=x) Freq.teórica=Freq.total
P(X=x) 
Freq. 
Observadas 
0 0,733904 1000,733904=73 75 
1 0,234225 1000,234225=23 21 
2 0,029901 1000,029901= 3 3 
3 0,001909 1000,001909= 0 1 
4 0,000061 1000,000061= 0 0 
5 0,000001 1000,000001= 0 0 
 
A qualidade do ajustamento será testada no Capítulo 5. 
 
(2) Em uma amostra de 300 máquinas fabricadas por certa indústria, o 
número de defeitos observados segue a distribuição seguinte 
 
 
Nº de defeitos 0 1 2 3 4 Total 
Nº de máquinas 80 122 53 31 14 300 
 
Ajustar uma distribuição de Poisson aos dados dessa 
distribuição amostral. 
 
A distribuição de Poisson é dada por 
x!
μ
e
x
μ
x)P(X

 . 
Como a média  não é conhecida, ela será estimada pela média amostral 
 
26,1
300
14
4
300
31
3
300
53
2
300
122
1
300
80
0
n
1i i
p
i
xx 

 . 
 
Assim , a distribuição de Poisson ajustada será 
 
x!
26,1
e
x
1,26
x)P(X

 , 
Noções de probabilidade 90 
resultando na Tabela 2.2 as freqüências ajustadas. 
Tabela 2.2 – Freqüências ajustadas à distribuição de Poisson 
 
Nº de defeitos P(X=x) Freq. Teórica = (Freq. 
total)  P(X=x) 
Freqüências 
observadas 
0 0,283654 3000,283654= 85 80 
1 0,357404 3000,357404=107 122 
2 0,225165 3000,225165= 68 53 
3 0,094569 3000,094569= 28 31 
4 0,029789 3000,029789= 9 14 
 
 
 
(3) Em determinada seção de um rio, foram realizadas 1000 medidas de 
sua vazão (em m3/s), obtendo-se a distribuição 
 
 
Vazão (m3/s) Freqüência (fi) 
10 |- 14 55 
14 |- 18 126 
18 |- 22 325 
22 |- 26 315 
26 |- 30 130 
30 |- 34 49 
Total 1000 
 
 
Ajustar uma distribuição normal aos dados dessa distribuição 
amostral. 
 
Inicialmente, calcula-se a média ( x ) e o desvio padrão (s), 
obtendo-se os resultados 
 
9,21x  m3/s e 71,4s  m3/s. 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 91 
Como 
71,4
9,21x
s
xx
z



 , resulta: 
Tabela 2.3 – Freqüências ajustadas à distribuição normal 
 
Limites de 
classes (x) 
z para os 
limites 
Probab. das 
classes (P) 
Freq. teórica = 
(Freq. total)P 
Freq. 
obs. 
10 -2,53 0,0408 10000,0408= 41 55 
14 -1,68 0,1568 10000,1568=157 126 
18 -0,83 0,3047 10000,3047=305 325 
22 0,02 0,2998 10000,2998=300 315 
26 0,87 0,1495 10000,1495=150 130 
30 1,72 0,0376 10000,0376= 38 49 
34 2,57 - - - 
 
 
2.19 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
01. O número médio de defeitos em certo tipo de máquina industrial é 
de 1,25. Supondo que a distribuição de Poisson possa ser empregada, 
calcular a probabilidade de 
 
(a) uma máquina apresentar mais de 3 defeitos; 
(b) três máquinas apresentarem menos de dois defeitos; 
(c) exatamente 2 máquinas entre 5 máquinas iguais, apresentarem no 
máximo 1 defeito por máquina. 
 
02. Em certos tipos de instrumentos eletrônicos, verificou-se que 5% 
dos mesmos são defeituosos. Um comerciante adquiriu um lote de 20 
desses instrumentos, calcular a probabilidade de ser defeituoso 
 
(a) exatamente 1 instrumento; 
(b) mais de 3 instrumentos; 
(c) menos de 4 instrumentos. 
(d) Qual o número esperado de instrumentos defeituosos? 
 
Noções de probabilidade 92 
03. O controle de qualidade de certo produto químico é exercido de tal 
forma que, em cada lote de 100 frascos de 300 ml desse produto são 
analisados 10 frascos, sendo o lote aceito normalmente se for 
encontrado no máximo 2 frascos contendo impurezas acima de 1%; caso 
contrário, o lote deve sofrer inspeção total. Supondoque existem 5 
frascos por lote contendo impurezas acima de 1% calcular: 
 
(a) a probabilidade de não haver inspeção total em um certo lote; 
(b) a probabilidade de em 10 lotes, menos de 3 sofrerem inspeção total. 
 
04. Em uma central nuclear, a probabilidade de falha em certo tipo de 
equipamento de segurança é de 0,001. Foram utilizados 100 desses 
equipamentos, qual a probabilidade de menos de 3 apresentarem falhas? 
 
05. Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo 
[0, 10]. Calcular: 
 
(a) o valor de c tal que P(X < c) = 5P(X  c); 
(b) a média e o desvio padrão da distribuição. 
 
06. Suponha que a duração até falhar (em horas) de um certo tipo de 
dispositivo eletrônico seja uma variável aleatória contínua com fdp dada 
por 
f(x) = 0,001e-0,001x se x  0, 
 = 0 se x < 0. 
Foram instalados dois desses dispositivos. Qual será a probabilidade de 
que pelo menos um deles seja substituído após 1200 h de serviço? 
 
07. A resistência dos resistores fabricados por certa indústria segue a 
distribuição normal com média 200 ohms e desvio padrão de 5 ohms. 
Em um lote de 2000 resistores, quantos terão resistência 
 
(a) abaixo de 220 ohms; 
(b) acima de 205 ohms; 
(c) entre 183 e 213 ohms? 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 93 
08. Uma máquina fabrica esferas para rolamentos com diâmetro médio 
de 10 mm e desvio padrão de 0,1 mm. O setor de controle de qualidade 
dessa indústria verificou que 5% das esferas estão sendo rejeitadas por 
apresentarem diâmetros pequenos e 3% por apresentarem diâmetros 
grandes. Calcular: 
 
(a) os limites de tolerância para esse diâmetro; 
(b) o número de esferas rejeitadas por diâmetros pequenos, em um lote 
de 1000 esferas. 
(c) Supondo que os limites de tolerância do item (a) fossem 9,5 e 10,3 
mm, qual deveria ser a nova média e o novo desvio padrão? 
 
09. A variável X segue uma distribuição de Qui-quadrado (2) com  = 
10 graus de liberdade. Calcular xc tal que: 
 
(a) P(X < xc) = 0,01. 
(b) P(X  xc) = 0,05. 
 
10. A variável aleatória Y segue uma distribuição t de Student com  = 
5 graus de liberdade, determinar yc tal que: 
 
(a) P(Y  yc) = 0,025; 
(b) P(Y > yc) = 0,005; 
(c) P(-yc  Y  yc) = 0,90. 
 
11. Se a variável W segue uma distribuição F de Snedecor com 1 = 5 e 
2= 6 graus de liberdade no numerador e denominador, respectivamente, 
calcular wc, tal que: 
 
(a) P(W > wc) = 0,05. 
(b) P(W  wc) = 0,05. 
 
 
 
 
 
 
Noções de probabilidade 94 
12. Ajustar os dados seguintes a um modelo de Poisson. 
 
x 0 1 2 3 4 5 
fi (nº de dias) 53 31 12 3 1 0 
 
A variável X representa o número de acidentes de trabalho (por 
dia), verificados durante 100 dias. 
 
13. Foram inspecionados 200 lotes de 4 peças cada um, sendo que o 
número X de peças defeituosas por lote segue a distribuição seguinte. 
Ajustar uma distribuição binomial aos dados. 
 
 
x 0 1 2 3 4 
fi 43 80 54 18 5 
 
 
14. Os comprimentos (em metros) de uma amostra de 50 barras de ferro 
produzidas por uma siderúrgica seguem a distribuição seguinte. Ajustar 
um modelo normal. 
 
Comprimentos 
 (em metros) 
Freqüência (fi) 
3,1 |- 3,2 3 
3,2 |- 3,3 9 
3,3 |- 3,4 12 
3,4 |- 3,5 15 
3,5 |- 3,6 7 
3,6 |- 3,7 3 
3,7 |- 3,8 1