Combinações Lineares e Dependência Linear

Prévia do material em texto

Aula 3 -Combinações Lineares 
 Dependência linear 
 
24/08/2020 
 
 
Definição 1. (Combinações Lineares) 
 
Seja V um espaço vetorial. Um vetor 
b∊V é combinação linear de r vetores 
v₁, v₂, …, vᵣ se existem números reais 
c₁,c₂, …, cᵣ tais que 
 
 b=c₁v₁+c₂v₂+…+cᵣvᵣ 
 
Nesse caso, dizemos que b é gerado 
por v₁, v₂, …, vᵣ. O conjunto de todos 
os vetores gerados por v₁, v₂, …, vᵣ é 
denotado por span(v₁, v₂, …, vᵣ) e é 
um subsespaço vetorial de V. 
 
 
 
 
 
Subespaços do ℝ² e do ℝ³ 
 
Span(O)={O}, isto é, o subespaço 1.
gerado pelo vetor nulo é o 
subespaço nulo. 
 
 De fato, span(O)={cO:c∈ℝ}={O} 
 
2. Se v≠O, então Span{v} é a reta que 
passa pela origem e tem vetor diretor 
v. 
 
 De fato, span(v)={tv:t∈ℝ}={O+tv:t∈ℝ} 
 
3. Se u e v são vetores l.i. do ℝ³, 
então Span{u,v} é o plano que passa 
pela origem e tem vetores diretores u 
e v. 
 
 De fato, 
 
 span(u,v)={tu+sv: t,s∈ℝ}={O+tu+sv:t,s∈ℝ} 
 
 
4. ℝ² é gerado pelos vetores e₁=(1,O) e 
e₂=(O,1), isto é, ℝ²=span{e₁,e₂}. Por 
exemplo, 
 
 (3,-7)=3(1,O)-7(O,1)=3e₁-7e₂ 
 
 (-4,O)=-4(1,O)+O(O,1)=-4e₁+Oe₂ 
 
 
5. ℝ³ é gerado pelos vetores e₁=(1,0,0), 
e₂=(0,1,o) e e₃=(0,0,1), isto é, 
ℝ³=span{e₁,e₂,e₃}. Por exemplo, 
 
 
 (3,-7,9)=3e₁-7e₂+9e₃ 
 
 
 (-4,O,3)=-4e₁+Oe₂+3e₃ 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição 1: Se H⊆ℝ² é um subespaço 
vetorial então uma das três 
alternativas ocorrem: 
 
(i) H={O}; ou 
 
(ii) H é uma reta passando por O; ou 
 
(ii) H=ℝ². 
 
Proposição 2: Se H⊆ℝ³ é um subespaço 
vetorial então uma das três 
alternativas ocorrem: 
 
(i) H={O}; ou 
 
(ii) H é uma reta passando por O; ou 
 
(iii) H é um plano que passa por O; ou 
 
(ii) H=ℝ³. 
 
 
 
Subespaços do ℝ² 
 
 
 
 
 
subespaço reta que Todo o ℝ² 
 nulo passa por O 
 
Subespaços do ℝ³ 
 
 
 
 
 
subespaço nulo reta que passa por O 
 
 
 
 
 
Plano que Todo o ℝ³ 
n n n
7 7 7
n n
a
e e
n
n
e
e
passa por O 
 
Combinações lineares especiais 
 
 
Sejam p e q vetores de um espaço 
vetorial V. Definimos: 
 
1. Combinação linear de p e q é 
qualquer vetor da forma: 
 
 c₁p+c₂q, c₁∈ℝ e c₂∈ℝ 
 
2. Combinação afim de p e q é 
qualquer combinação linear da forma: 
 
 c₁p+c₂q, c₁∈ℝ e c₂∈ℝ e c₁+c₂=1 
 
 
3. Combinação convexa de p e q é 
qualquer combinação linear da forma: 
 
 c₁p+c₂q, c₁≥O e c₂≥O e c₁+c₂=1 
 
 
 
Combinações lineares especiais no ℝ³ 
 
p∈ℝ³, q∈ℝ³, p e q l.i. 
 
span(p,q) é o plano 
 
que contém O, p e q. span(p,q) 
 X=tp+sq, t∈ℝ e s∈ℝ 
 
p∈ℝ³, q∈ℝ³, p≠q 
 
{(1-t)p+tq: t∈ℝ} é a reta 
 
que passa por p e q. 
 {(1-t)p+tq: t∈ℝⁿ} 
X=(1-t)p+tq, t∈ℝ 
 
ou, de forma equivalente, 
 
X=p+t , t∈ℝ (Eq. Vetorial da reta que 
 passa por p e q). 
P
q
pcombinação linear afim
q
Y E C cel
pq
 
Combinações lineares especiais no ℝ³ 
 
 
p∈ℝ³, q∈ℝ³ 
 
[p,q]={(1-t)p+tq: O≤t≤1} é 
 
o segmento de reta que 
 [p,q] 
liga p a q. 
 
X=(1-t)p+tq, O≤t≤1. 
 
Exemplo 1. Sejam A=(0,2) e B=(3,-1). 
Esboce o segmento de reta [A,B] e 
calcule 5 pontos deste segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
n
a ã iiieu
A B L 1 HA TB ostei
I t 0,4 713 i
0,2 2T 113T t O 3T 2 H t
3T 2 3T oito 1
 
 
 
 
 
https://drive.google.com/open?id=1-
m3p-CV7piTBcDb95bIGxSpcFRvgdWxY 
 
Exemplo 2. Dê uma interpretação para 
o segmento de reta [A,B], se A e B são 
as seguintes matrizes de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://drive.google.com/file/d/
1J_DFKwv_Joci40zHwxlLmtIFvFPb2w5e
/view?usp=sharing 
 
A B 1 HA TB ostet
D
 
Exemplos de combinações lineares em 
Física: 
 
Dados r vetores (forças) F₁, F₂, …, Fᵣ 
do ℝⁿ, chamamos de força resultante 
a combinação linear 
 
 F=F₁+F₂+…Fᵣ 
 
Dados n objetos com massas m₁, m₂, 
…, m localizados, respectivamente, 
nas posições vetoriais r₁, r₂, …, r , 
definimos o centro de massa, 
baricentro ou centro de gravidade do 
sistema como sendo a combinação 
linear (convexa): 
 
 
 
 
onde 
 
 
1Ei 1 E t IFr
n
n
C C 2 Cn
1 C t Cn má 2 Mim p
 
Dependência Linear 
 
Definição 2. Um conjunto de vetores 
{v₁, v₂, …, vᵣ} de um espaço vetorial V 
é linearmente independente (l.i) se a 
única solução da equação vetorial 
 
 c₁v₁+c₂v₂+ … +cᵣvᵣ=O 
 
é a solução trivial c₁=c₂= … = cᵣ=O. 
Caso contrário, se existirem 
constantes c₁, c₂, …, cᵣ, não todas 
nulas, tais que 
 c₁v₁+c₂v₂+ … +cᵣvᵣ=O, (1) 
então dizemos que o conjunto {v₁, v₂, 
…, vᵣ} é linearmente dependente 
(l.d.). 
 A equação (1) é chamada uma 
relação de dependência linear entre 
os vetores v₁, v₂, …, vᵣ se as 
constantes c₁, c₂, …, cᵣ não forem 
todas nulas (isto é, pelo menos uma 
delas é diferentes de zero). 
 
Exemplo 3. Cada cor do sistema rgb 
de cores é um vetor (r,g,b)∈ℝ³. Mostre 
que as cores primárias 
 
 
 
 
 
 
 (1,O,O) (O,1,O) (O,O,1) 
são vetores l.i. Mostre também que 
as cores abaixo são linearmente 
dependentes e encontre uma relação 
de dependência linear entre elas. 
 
 
 
 
 
 
 (1,O,O) (O,1,O) (1,1,O) 
 
 
 
Resolução. 
 
Parte I. 
As seguintes equações são equivalentes 
 
 c₁(1,O,O) + c₂(O,1,O) + c₃(O,O,1) = (O,O,O) 
 
 (c₁,O,O) + (O,c₂,O) + (O,O,c₃) = (O,O,O) 
 
 (c₁,c₂,c₃) = (O,O,O) 
 
Logo, a única solução é c₁=c₂=c₃=O, o 
que mostra que as cores (1,O,O), (O,1,O) 
e (O,O,1) são linearmente 
independentes. 
 
Parte II. 
As seguintes equações são equivalentes 
 
 
 
Ez O
 
 c₁(1,O,O) + c₂(O,1,O) + c₃(1,1,O) = (O,O,O) 
 (c₁,O,O) + (O,c₂,O) + (c₃,c₃,O) = (O,O,O) 
 (c₁+c₃,c₂+c₃,O) = (O,O,O) 
 
Logo, temos o seguinte sistema de 
equações: 
 
 c₁+c₃ = O c₁ = -c₃ 
 c₂+c₃ = O. c₂ = -c₃ 
 O = O 
Assim, há infinitas soluções, o que 
mostra que as cores (1,O,O), (O,1,O) e 
(1,1,O) são linearmente dependentes. 
Escolhendo c₃=-1, c₁=c₂=1, obtemos a 
relação de dependência linear: 
 
 1.(1,O,O) + 1.(O,1,O) -1.(1,1,O) = (O,O,O) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. Determine se o conjunto 
{1,x-1,x²+x} de polinômios é 
linearmente dependente ou 
independente. 
 
Resolução. As seguintes equações são 
equivalentes: 
 
 c₁.1 + c₂.(x-1) + c₃(x²+x)=O, x 
 
 c₃x² + (c₂+c₃)x + c₁ - c₂=O, x 
 
Assim, o polinômio à esquerda é o 
polinômio nulo, logo seus 
coeficientes devem ser todos iguais a 
zero, isto é, 
 
 c₃ = O 
 c₂+c₃ = O 
 c₁-c₂ =O 
 
Logo, a única solução é c₁=c₂=c₃=0, o 
que mostra que {1,x-1,x²+x} é l.i. 
 
Proposição 3. Sejam v₁,v₂, …, vᵣ vetores 
coluna do ℝⁿ. Então, {v₁,v₂, …, vᵣ} é 
linearmente independente se e 
somente se a única solução do 
sistema linear 
 c₁ 
 c₂ 
 ⋮ 
 cᵣ 
 
onde A=(v₁ v₂ …vᵣ) é c₁=c₂=…=cᵣ=O. 
 
Exemplo 5. Sejam v₁, v₂, v₃ os vetores 
 
 
 v₁= v₂= v₃= 
 
 
a. Determine se {v₁,v₂,v₃} é l.i. ou l.d. 
 
b. Se possível, encontre uma relação 
de dependência linear entre v₁,v₂ e v₃. 
 
CNa tczvz i.it CNN O
tt
1H Eh td
 
 
Resolução. Pela Proposição 3, basta 
mostrar que o sistema linear 
 
 
 
 
 
admite apenas a solução trivial 
c₁=c₂=c₃=O. Extraindo a matriz 
aumentada do sistema linear e 
fazendo operações elementares, 
obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k 1 Foi
µ iii
G EH KI
E
 
Assim, {v₁,v₂,v₃} é l.d. Em particular, 
tomando c₃=1, c₁=2 e c₂=-1, obtemos a 
relação de dependência linear 
 
 2v₁-v₂+v₃=O. 
 
Dependência linear de conjuntos com 
um único vetor 
 
Proposição 4. Seja v um vetor de um 
espaço vetorial V. Então: 
 
(i) {O} é linearmente dependente; 
 
(ii) {v} é linearmente independente se 
v≠O. 
 
Justificativa: 
 (contradição) 
 
 
 
Ii 0 0 Lot é e d
liilq.no
Sean o E G V _O f O
o cão Ivy été
 
Dependência linear de conjuntos com 
dois vetoresProposição 5. Sejam u e v vetores de 
um espaço vetorial V. Então o 
conjunto {u,v} é linearmente 
dependente se e somente se um dos 
vetores é múltiplo do outro, isto é, 
u=cv ou v=cu para algum c∈ℝ. 
 
Justificativa. Suponha que {u,v} seja 
l.d. Então existem números c₁∈ℝ e 
c₂∈ℝ, não todos nulos, tais que 
c₁u+c₂v=O. Pelo menos um dos dois 
números c₁ ou c₂ é não-nulo. Se c₁≠O, 
então podemos escrever u=(c₂/c₁)v, 
caso contrário podemos escrever 
v=(c₁/c₂)u. Isto mostra que um dos 
vetores é múltiplo do outro. 
Reciprocamente, se u=cv, então 1.u-
c.v=O, mostrando que {u,v} é l.d. O 
mesmo ocorre se v=cu. 
 
 
Exemplo 6. Determine se o conjunto 
{v₁,v₂} é l.i. 
 
a) v₁= v₂= 
 
 
b) v₁= v₂= 
 
 
Resolução. a) Como v₂=2v₁, pela 
Proposição 5, segue que {v₁,v₂} é l.d. 
 
b) Montando o sistema linear da 
Proposição 3, obtemos: 
 
 
 
 
Como o determinante da matriz é 
diferente de zero, segue que a única 
solução é c₁=c₂=O, mostrando que 
{v₁,v₂} é l.i. 
EI
EI
Kikito
As ilustrações de cada caso seguem 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dependência linear de conjuntos com 
dois ou mais vetores 
 
Proposição 6. Um conjunto S={v₁, v₂, 
…, vᵣ} com dois ou mais vetores é 
linearmente dependente se e somente 
se pelo menos um dos vetores em S é 
combinação linear dos demais. 
 
 
 
 
 
a b
Teorema 1 Sejam v₁, v₂, …, vᵣ vetores 
do ℝⁿ. Então o conjunto {v₁, v₂, …, vᵣ} 
é linearmente dependente se r>n. 
Teorema 2 Se um conjunto {v₁, v₂, …, 
vᵣ} de vetores de um espaço vetorial V 
contém o vetor nulo ou vetores 
repetidos, então {v₁, v₂, …, vᵣ} é 
linearmente dependente. 
 
Exemplo 6. Determine por inspeção se 
cada conjunto abaixo é l.i. ou l.d. 
Resolução. 
 
a) l.d., Teorema 1, com r=4 e n=3. 
 
b) l.d., Teorema 2. 
 
 
 
c) u é múltiplo de v ? 
 
 u=cv 
 
 
 
 
 
Logo, u não é múltiplo de v. 
Analogamente, v não é múltiplo de u. 
Assim, pela Proposição 5, seque que 
{u,v} é l.i. 
 
 
 
iii