aula 10

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CÁLCULO IV
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1 - Reconhecer o Teorema de Gauss;
2 - Exercitar integral de superfície utilizando o teorema de Gauss.
1 Introdução
Nesta aula, continuaremos a estudar as integrais de superfície apresentando o Teorema de Gauss, também
conhecido como Teorema da Divergência. Veremos que o Teorema de Gauss relaciona uma integral tripla em um
sólido de R3 com a integral sobre a superfície que é fronteira desse sólido. Por fim, trabalharemos alguns
exercícios.
2 Teorema de Gauss
Continuaremos, nesta aula, trabalhando com integrais de superfície, mais especificamente com o Teorema de
 (Também conhecido como Teorema da Divergência).Gauss
Veremos que o Teorema de Gauss relaciona uma integral tripla em um sólido de R com a integral sobre a3
superfície que é fronteira desse sólido.
Este teorema estabelece o fluxo de um campo vetorial através de qualquer superfície S fechada que é fronteira
de uma região em três dimensões.
Mas antes de apresentarmos o Teorema de Gauss, vamos ver alguns conceitos que serão necessários ao longo
desta aula?
• Seja S uma região limitada de R a fronteira da superfície S será definida como ∂S.3
• Orientação da fronteira da superfície S:
Diremos que ∂S está se o vetor normal, em cada ponto de ∂S, sinaliza para fora de S.orientada positivamente 
Exemplo
S é a região de R definida por3
S = {(x, y, z) ∈ R | 1≤ x + y + z ≤ 4}3 2 2 2
Observe que a figura são duas esferas centradas na origem e a fronteira da região é formada por estas esferas.
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∂S está em orientação positivamente se os vetores normais à esfera exterior apontarem no sentido contrário a
origem, e os vetores normais a esfera interior apontarem para a origem.
• Divergente de do campo vetorial F
Exemplo:
Agora podemos enunciar o teorema de Gauss
•
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Teorema de Gauss
Seja S uma região fechada e limitada de R cuja fronteira ∂S é uma superfície orientada positivamente.3
Se F é um campo vetorial de classe C , em um subconjunto aberto de R3, que contém S, então:1
Vejamos algumas observações abaixo:
1ª. Observação:
A integral tripla representada anteriormente é chamada fluxo do campo vetorial F através da superfície. Se
imaginarmos um campo de vetores como um campo de velocidades de um gás ou de um fluido, então a
divergência do campo está relacionada com a expansão ou a contração do volume do gás pelo fluxo do campo.
2ª. Observação:
Se o div F=0 significa que não há expansão ou a contração.
3ª. Observação:
A terceira observação é que se F é um campo vetorial de classe C , então div(rot F) = O (o divergente de um2
campo rotacional é nulo).
Agora observe as figuras que representam graficamente as observações feitas.
Saiba mais
A demonstração deste teorema pode ser verificada no livro PINTO, Diomara; MORGADO, Maria
Candida Ferreira: Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. 3ª ed. Rio de
Janeiro: UFRJ, 2005, p. 297 - 301.
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A seguir veremos um exemplo para entender melhor.
Exemplo
Calcule o fluxo do campo vetorial F através da superfície aberta S.
Onde:
A representação geométrica da superfície S pode ser observada na figura abaixo.
Mas o que devemos fazer para aplicar o teorema de Gauss?
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Exemplo
É simples, deveremos considerar a superfície fechada.
Assim teremos:
Pelo Teorema de Gauss, definimos:
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Onde:
Atenção, pois não terminou!
Portanto, temos?
Agora temos que calcular:
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Para poder aplicar na expressão e encontrar a integral:
Vamos aos cálculos?
Antes de continuar seus estudos, veja mais um exemplo. Para isso, clique no link:
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon436/docs/a10_10_01.pdf
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Verificou a importância da interdisciplinaridade;
• Aplicou o conhecimento dos cálculos anteriores;
• Relacionou o conhecimento anterior da disciplina de Cálculo para fazer uma extensão com o conteúdo 
aprendido nesta aula;
• Acrescentou ao seu conhecimento o Teorema de Gauss;
• Relembrou as parametrizações de superfícies.
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http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon436/docs/a10_10_01.pdf
	Olá!
	1 Introdução
	2 Teorema de Gauss
	CONCLUSÃO