APOL 2 1 - 100

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APOL Números Complexos e Equações Algébricas - 100 
Questão 1/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
 
"[...] Já a equação 3x^2-7x+3=0 é do 2º grau, pois o maior expoente se encontra no termo 3x^2, e é 2..." 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 14. 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, considerando a figura abaixo, por meio de cálculo de áreas é possível determinar 
uma equação do 2º grau. Esta equação é: 
 
Nota: 11.1 
 
A x2+14x+95=0x2+14x+95=0 
 
B x2+14x−95=0x2+14x−95=0 
Você acertou! 
Na figura há um quadrado de lado xx cuja área é x2x2 e dois retângulos de área 7x7x totalizando uma área de 14x14x. A área dessa figura 
é x2+14xx2+14x. Como essa área tem que ser igual a 9595, temos x2+14x=95x2+14x=95 ou, de maneira 
equivalente, x2+14x−95=0x2+14x−95=0 (livro-base p. 14-28). 
 
C x2+7x+95=0x2+7x+95=0 
 
D x2−14x=−95x2−14x=−95 
 
E x2+14=95x2+14=95 
 
Questão 2/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
“As operações de adição e subtração de polinômios acontecem quando somamos ou subtraímos, 
respectivamente, os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos que não forem semelhantes são 
apenas repetidos.” 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 135. 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando os polinômios p(x)=5x4-5x3+x+1 e q(x)=2x5+6x4-x3+9, a soma 
p(x)+q(x) é: 
Nota: 11.1 
 
A 2x5+6x4-x3+x+1 
 
B 2x5+6x4-6x3+x+9 
 
C 2x5+11x4-5x3+x+10 
 
D 2x5+11x4-6x3+x+10 
Você acertou! 
p(x)+q(x)=5x4-5x3+x+1+2x5+6x4-x3+9 
p(x)+q(x)= 2x5+11x4-6x3+x+10 
 
Livro-base p. 135 
 
E 3x5+6x4-6x3+x+10 
 
Questão 3/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
 
"Dado o polinômio 
p(x)=anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a2x2+a1x+a0p(x)=anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a2x2+a1x+a0, 
o valor numérico de pp em αα é igual ao número obtido quando substituímos xx por αα e realizamos a 
operação, ou seja, 
p(α)=anαn+an−1αn−1+an−2αn−2+⋯+a2α2+a1α+a0p(α)=anαn+an−1αn−1+an−2αn−2+⋯+a2α2+a1α+a0". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 131. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica, sobre polinômios podemos afirmar que o valor numérico de p(x)=2x3+x2+xp(x)=2x3+x2+x para 
x=ix=i é: 
Nota: 11.1 
 
A ii 
 
B −1−i−1−i 
 
Você acertou! 
Temos que p(x)=2x3+x2+xp(x)=2x3+x2+x e queremos descobrir o valor numérico quando x=ix=i. Assim, substituímos x por i. 
 
p(i)=2i3+i2+ip(i)=2i3+i2+i 
temos que 
 
i2=−1,i3=−ip(i)=2(−i)+(−1)+ip(i)=−2i−1+ip(i)=−1−ii2=−1,i3=−ip(i)=2(−i)+(−1)+ip(i)=−2i−1+ip(i)=−1−i 
 
Livro-base p. 134 
 
 
C −2i−2i 
 
D −1+i−1+i 
 
E 1+i1+i 
 
Questão 4/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o seguinte trecho: 
 
"As operações de adição e subtração de polinômios acontecem quando somamos ou subtraímos, 
respectivamente, os coeficientes dos termos semelhantes. Os termos que não forem semelhantes são 
apenas repetidos". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 135. 
 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações 
algébrica sobre produto de polinômios e dados p1(x)=x2+1p1(x)=x2+1 e p2=x3−x2p2=x3−x2 o resultado 
da multiplicação p1(x)⋅p2(x)p1(x)⋅p2(x) é: 
Nota: 11.1 
 
A p1(x)⋅p2(x)=x4+x3+x2+1p1(x)⋅p2(x)=x4+x3+x2+1 
 
B p1(x)⋅p2(x)x3+x2+1p1(x)⋅p2(x)x3+x2+1 
 
C p1(x)⋅p2(x)=x5−1p1(x)⋅p2(x)=x5−1 
 
D p1(x)⋅p2(x)=x5+x4+x3+x2+1p1(x)⋅p2(x)=x5+x4+x3+x2+1 
 
E p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2 
Você acertou! 
O produto de p_1(x) por p_2(x) é 
 
p1(x)⋅p2(x)=(x2+1)⋅(x3−x2)p1(x)⋅p2(x)=(x2⋅x3+x2⋅(−x2)+1⋅x3+1⋅(−x2)p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2p1(x)⋅p2(x)=(x2+1)⋅(x3−x2)p1(x)⋅p2(x)=(x2⋅x3+x2⋅(−x2)+1⋅x3+1⋅(−x2)p1(x)⋅p2(x)=x5−x4+x3−x2 
 
 
Questão 5/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia as informações: 
 
"A representação geométrica de um número complexo é dada por z=a+bi,z=a+bi, com z≠0,z≠0, tal 
que aa é denominada parte real (Re(z)=aRe(z)=a) e bb a parte imaginária (Im(z)=b)Im(z)=b). Outra forma 
de representar um número complexo é a forma trigonométrica ou polar z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ), 
com 0≤θ≤2π0≤θ≤2π". 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109, 110 e 111. 
 
Com base no texto acima e no Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre o conteúdo 
de número complexos, responda: 
 
A parte real Re(z)Re(z) e a parte imaginária Im(z)Im(z) do número complexo 
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)z=3.(cos5π4+i.sen5π4) são, 
Nota: 11.1 
 
A √ 2 222 e √ 2 222 
 
B 3√ 2 32 e 3√ 2 32 
 
C −3√ 2 −32 e −3√ 2 −32 
 
D −3√ 2 2−322 e −3√ 2 2−322 
Você acertou! 
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−√ 2 2+i.−√ 2 2)=z=−3√ 2 2−3√ 2 2iRe(z)=−3√ 2 2 e Im(z)=−3√ 2 2z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−22+i.−22)=z=−322−322iRe(z)=−322 e Im(z)=−322 
 
Livro-base pp. 110. 
 
E −3√ 2 2−322 e 3√ 2 2322 
 
Questão 6/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Um número complexo pode ser escrito na forma z=a+biz=a+bi, em que a,b∈Ra,b∈R, e ii é a unidade 
imaginária. Além desta forma o número complexo também pode ser representado na forma trigonométrica ou 
polar. A fórmulas de transformação são: 
 
ρ=√ a2+b2 ,sin(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin(θ)cos(θ)=bρ⟺b=ρ⋅cos(θ)ρ=a2+b2,sin⁡(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin⁡(θ)cos⁡(θ)=
bρ⟺b=ρ⋅cos⁡(θ) 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109 e 110. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, pode-se afirmar que a forma algébrica do número complexo 
z=6(cosπ6+isenπ6)z=6(cosπ6+isenπ6) é: 
Nota: 11.1 
 
A z=6√ 6 +6iz=66+6i 
 
B z=√ 3 +3iz=3+3i 
 
C z=6√ 3 +6iz=63+6i 
 
D z=3√ 3 2+32iz=332+32i 
 
E z=3√ 3 +3iz=33+3i 
Você acertou! 
Temos que cosπ6=√ 3 2cosπ6=32 e senπ6=12senπ6=12 , logo, 
 
z=6(cosπ6+isenπ6)z=6(√ 3 2+i12)z=6√ 3 2+i62z=3√3 +3iz=6(cosπ6+isenπ6)z=6(32+i12)z=632+i62z=33+3i 
 
Livro-base, p. 109-111. 
 
Questão 7/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Os números complexos na forma trigonométrica também apresentam operações como a soma, subtração, 
multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação. Para determinar a divisão entre 
z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ) a seguinte fórmula: 
 
zn=ρn[(cos(nθ)+isen(nθ)]zn=ρn[(cos(nθ)+isen(nθ)] 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 111 e 113. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando o número complexo e z=1+iz=1+i o resultado z6z6 é: 
Nota: 11.1 
 
A z6=2(cosπ+i.senπ)z6=2(cosπ+i.senπ) 
 
B z6=4(cosπ+i.senπ)z6=4(cosπ+i.senπ) 
 
C z6=4(cos3π+i.sen3π)z6=4(cos3π+i.sen3π) 
 
D z6=8(cosπ+i.senπ)z6=8(cosπ+i.senπ) 
 
E z6=(cos3π2+i.sen3π2)z6=(cos3π2+i.sen3π2) 
Você acertou! 
Para resposta ser considerada válida, o aluno deve responder da seguinte maneira: 
 
Escrevendo z=(1+i)6z=(1+i)6 na forma trigonométrica, temos: 
Cálculo do r: 
r=√ a2+b2 r=√12+12 r=√1+1 r=√ 2 r=a2+b2r=12+12r=1+1r=2Cálculo do θθ 
tgθ=batgθ=11tgθ=1tgθ=batgθ=11tgθ=1 
Como o ponto (1,1)(1,1) está na parte positiva do eixo-x, θ=450θ=450, ou, equivalente, θ=π4θ=π4 
Logo 
z=√ 2 (cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(√ 2 )6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2)z=2(cosπ4+i.senπ4)Comozn=rn(cos(nθ)+i.sen(nθ))Temosz6=(2)6(cos(6.π4)+i.sen(6.π4))z6=8(cos3π2+i.sen3π2) 
(livro-base, p.113-114) 
 
Questão 8/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Um número complexo pode ser escrito na forma z=a+biz=a+bi, em que a,b∈Ra,b∈R, e ii é a unidade 
imaginária. Além desta forma o número complexo também pode ser representado na forma trigonométrica ou 
polar. A fórmulas de transformação são: 
 
ρ=√ a2+b2 ,sin(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin(θ)cos(θ)=bρ⟺b=ρ⋅cos(θ)ρ=a2+b2,sin⁡(θ)=bρ⟺b=ρ⋅sin⁡(θ)cos⁡(θ)=
bρ⟺b=ρ⋅cos⁡(θ) 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 109 e 110. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, pode-se afirmar que a forma polar do número complexo 4 é: 
Nota: 11.1 
 
A z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4 
 
B z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0) 
Você acertou! 
z=4+0ia=4 b=0ρ=√ a2+b2 ρ=√42+02=√16 =4z=4+0ia=4 b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4 
Para cálculo de θθ: 
 
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1 
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0. 
 
(Livro-base p. 109-111). 
 
C z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0 
 
D z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ) 
 
E z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ 
 
Questão 9/9 - Números Complexos e Equações Algébricas 
Leia o trecho a seguir: 
"Os números complexos na forma trigonométrica também apresentam operações como a soma, subtração, 
multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação. Para determinar a divisão entre 
z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ) a seguinte fórmula: 
 
zn=ρn[(cos(nθ)+isen(nθ)]zn=ρn[(cos(nθ)+isen(nθ)]" 
 
Após a avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GÓES, A.R.T. Números 
complexos e equações algébricas, Curitiba: Intersaberes, 2015, p. 111 e 113. 
 
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos 
e equações algébricas, e considerando o número complexo e z=1+iz=1+i o resultado z4z4 é: 
Nota: 11.1 
 
A z4=4.(cos16π+i.sen16π)z4=4.(cos16π+i.sen16π) 
 
B z4=4.(cos4π+i.sen4π)z4=4.(cos4π+i.sen4π) 
 
 
C z4=4.(cosπ+i.senπ)z4=4.(cosπ+i.senπ) 
 
Você acertou! 
Escrevendo 1+i1+i na forma trigonométrica: 
a=1 b=1ρ=√12+12=√ 2 a=1 b=1ρ=12+12=2 
 
senθ=bρ=1√ 2 =√ 2 2cosθ=aρ=1√ 2 =√ 2 2senθ=bρ=12=22cosθ=aρ=12=22 
Logo, θ=π4θ=π4. 
 
Assim, 1+i1+i na forma trigonométrica é escrito: z=√ 2 (cosπ4+i.senπ4)z=2(cosπ4+i.senπ4) 
Aplicando a fórmula de De Moivre: 
 
zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(√ 2 )4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ) 
 
 
Livro-base p. 113-114 
 
D z4=4.(cos(2π)+i.sen(2π))z4=4.(cos(2π)+i.sen(2π)) 
 
E z4=(cos4π+i.sen4π)