MECANICA DOS FLUIDOS Prática PROVAS RESUMO

Prévia do material em texto

APOL 1
PROTOCOLO: 20170221114738E96868RICARDO AUGUSTO ZAVAGLIA - RU: 114738 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 21/02/2017 16:48
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 26/02/2017 17:54
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa a frase: “Um escoamento laminar é aquele onde as partículas do fluido...”:
Nota: 20.0
A descrevem trajetórias são errantes e cuja previsão é difícil
B descrevem trajetórias paralelas
C podem cortar os dedos de quem os manipula, pois tem formato de lâminas
D hora tem trajetórias erráticas, hora lineares
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma velocidade de 10m/s para milhas por hora (mph):
Nota: 20.0
A 25mph
B 22,37mph
C 10mph
Você acertou!
Aula 1, tema 4
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1milha tem 1.609,34m e 1h tem 3600s.
Assim:
¾
D 44,74mph
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A A pressão não depende de um referencial
B A gravidade varia em função da pressão
C A pressão não depende de altura
D A pressão depende de um referencial
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Na hipótese do contínuo:
Nota: 20.0
A Cada propriedade do fluido é definida para cada ponto
B Cada propriedade do fluido não é definida para cada ponto
C A densidade aumenta
D A densidade diminui
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 1.000W para hp:
Nota: 20.0
Você acertou!
Aula 2, tema 2
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 3
¾
A 1,34hp
B 13,4hp
C 134hp
D 14,23hp
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1hp tem 745,7W.
Assim, utilizando uma regra de três simples:
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 1/3
APOL 1
PROTOCOLO: 201702271163124EA977EPATRICIA DA SILVA ZANON FONTANA - RU: 1163124 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 27/02/2017 18:01
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/02/2017 18:25
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Na frase de um popular narrador de futebol “a bola bate na água e ganha força”, a descrição do escoamento está:
Nota: 20.0
A Correta, pois o fluido parado pode propelir um objeto sólido, nesse caso, a bola
B Incorreta, pois este escoamento tem tendências ao revenimento
C Incorreta, pois a água está em velocidade menor que a bola
D Correta, pois o narrador entende de mecânica dos fluidos
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Que nação antiga usava a mecânica dos fluidos para aproveitar a foz do Nilo para desenvolver sua agricultura?
Nota: 20.0
A China
B Grécia
C Egito
D Roma
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Os equipamentos para medir pressão são chamados:
Você acertou!
Aula 1, tema 5
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 1
Os egípcios utilizavam seus conhecimentos de mecânica dos fluidos e aproveitavam a foz do Nilo para desenvolver
sua agricultura.
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 2/3
Nota: 20.0
A Rotâmetros
B Pressômetros
C Manômetros
D Chaves de pressão
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Um escoamento pode ser em regime permanente ou transiente. Marque a alternativa que melhor corresponde à definição 
de regime permanente.
Nota: 20.0
A É o escoamento sem aceleração
B É somente aquele que o fluido está estático
C É o escoamento que não tem variação de propriedade no espaço
D É aquele cujas propriedades são constantes em um ponto do escoamento.
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 10.000btu para kWh.
Nota: 20.0
A 1,93kWh
B 2,03kWh
C 2,53kWh
Você acertou!
Aula 2, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 4
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 3/3
D 2,93kWh
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1 btu tem 1.055Joule. O Joule, por sua vez, é definido como Ws. 
Assim:
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 1/3
APOL 1
PROTOCOLO: 201702271163124EA977EPATRICIA DA SILVA ZANON FONTANA - RU: 1163124 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 27/02/2017 18:01
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/02/2017 18:25
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Na frase de um popular narrador de futebol “a bola bate na água e ganha força”, a descrição do escoamento está:
Nota: 20.0
A Correta, pois o fluido parado pode propelir um objeto sólido, nesse caso, a bola
B Incorreta, pois este escoamento tem tendências ao revenimento
C Incorreta, pois a água está em velocidade menor que a bola
D Correta, pois o narrador entende de mecânica dos fluidos
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Que nação antiga usava a mecânica dos fluidos para aproveitar a foz do Nilo para desenvolver sua agricultura?
Nota: 20.0
A China
B Grécia
C Egito
D Roma
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Os equipamentos para medir pressão são chamados:
Você acertou!
Aula 1, tema 5
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 1
Os egípcios utilizavam seus conhecimentos de mecânica dos fluidos e aproveitavam a foz do Nilo para desenvolver
sua agricultura.
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 2/3
Nota: 20.0
A Rotâmetros
B Pressômetros
C Manômetros
D Chaves de pressão
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Um escoamento pode ser em regime permanente ou transiente. Marque a alternativa que melhor corresponde à definição 
de regime permanente.
Nota: 20.0
A É o escoamento sem aceleração
B É somente aquele que o fluido está estático
C É o escoamento que não tem variação de propriedade no espaço
D É aquele cujas propriedades são constantes em um ponto do escoamento.
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 10.000btu para kWh.
Nota: 20.0
A 1,93kWh
B 2,03kWh
C 2,53kWh
Você acertou!
Aula 2, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 4
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 3/3
D 2,93kWh
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1 btu tem 1.055Joule. O Joule, por sua vez, é definido como Ws. 
Assim:
¾
10/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 1/3
APOL 1
PROTOCOLO: 201702221159099E9989CITACIR VALENTIN DEON - RU: 1159099 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 22/02/2017 11:58
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/02/2017 22:16
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa corretamente a frase: “a ____________ significava dentre outras coisas que, quando 
os ______________ dominavam um povo, este dominado recebesse ______________________ e calçamento nas ruas”
Nota: 20.0
A Pax chinesa, egípcios, papel
B Pax romana, romanos, tratamento de esgoto
C Pax otomana, romanos, morte certa
D Pax romana, turcos, cavalos
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A camada limite é a zona de influência de atrito de um sólido no fluido que o cerca quando os dois tem movimento relativo 
entre si. Esta frase está:
Nota: 20.0
A Correta. Esta é a definição de camada limite
B Incorreta. O sólido não tem atrito com o fluido
C Incorreta. O ar não tem atrito
D Correta. O ar não tem atrito
Você acertou!
Aula 1, tema 1
A Pax romana significava dentre outras coisas que, quando os romanos dominavam um povo, este dominado
recebesse tratamento de esgoto e calçamento nas ruas.
½
Você acertou!
Aula 1, tema 5
½
10/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 2/3
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa quecompleta a frase: “Um escoamento laminar é aquele onde as partículas do fluido...”:
Nota: 20.0
A descrevem trajetórias são errantes e cuja previsão é difícil
B descrevem trajetórias paralelas
C podem cortar os dedos de quem os manipula, pois tem formato de lâminas
D hora tem trajetórias erráticas, hora lineares
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Os equipamentos para medir pressão são chamados:
Nota: 20.0
A Rotâmetros
B Pressômetros
C Manômetros
D Chaves de pressão
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma velocidade de 10m/s para milhas por hora (mph):
Nota: 20.0
A 25mph
Você acertou!
Aula 1, tema 4
½
Você acertou!
Aula 2, tema 1
½
10/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 3/3
B 22,37mph
C 10mph
D 44,74mph
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1milha tem 1.609,34m e 1h tem 3600s.
Assim:
½
APOL 1 MECANICA DOS FLUIDOS 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
Um escoamento pode ser em regime permanente ou transiente. Marque a 
alternativa que melhor corresponde à definição de regime permanente. 
Nota: 0.0 
 A É o escoamento sem aceleração 
 B É somente aquele que o fluido está estático 
 C É o escoamento que não tem variação de propriedade no espaço 
 D É aquele cujas propriedades são constantes em um ponto do escoamento. Aula 1, tema 4 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 10.000btu 
para kWh. 
Nota: 20.0 
 A 1,93kWh 
 B 2,03kWh 
 C 2,53kWh 
 D 2,93kWh Você acertou! 
Aula 1, tema 2 
1 btu tem 1.055Joule. O Joule, por sua vez, é definido como Ws. 
Assim: 
 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
A definição de fluido é: 
Nota: 20.0 
 A Uma substância que se deforma sozinha 
 B Uma substância que se deforma aleatoriamente 
 C Uma substância que se deforma pela aplicação de uma tensão cisalhante Você acertou! 
Aula 1, tema 3 
 D Uma substância que não se deforma 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
O império romano dominava vários conhecimentos de mecânica dos fluidos, 
tais quais: 
Nota: 20.0 
 A Construção naval, predial e espacial 
 B Ciências naturais, água e fogo 
 C Casas de banho, água encanada e tijolos 
 D Casas de banho, aquedutos e cisternas de água potável Você acertou! 
Aula 1, tema 1 
Para tornar as cidades conquistadas mais confortáveis, os romanos construíram estradas, arenas 
de jogos, casas de banho, esgotos, aquedutos e cisternas de água potável. 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
Sobre o campo de velocidades ⃗V=f(⃗x,⃗y,⃗z,t)V→=f(x→,y→,z→,t), 
pode-se afirmar: 
Nota: 20.0 
 A Está em regime permanente 
 B Não depende do tempo 
 C Depende apenas do espaço 
 D Está em regime transiente Você acertou! 
Aula 1, tema 3 
 
 
27/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 1/3
APOL 1
PROTOCOLO: 201702211143209E96844DELVIO ANTONIO FRANCHI - RU: 1143209 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 21/02/2017 16:46
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 26/02/2017 23:36
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Sobre visualização de escoamentos, marque a alternativa falsa:
Nota: 0.0
A Linha de emissão é um método que pode ser utilizado computacionalmente
B As linhas de corrente nunca se cruzam
C As linhas de trajetória são as trajetórias reais percorridas por uma partícula de fluido individual em um período
de tempo.
D Um exemplo de linha de trajetória é uma fagulha que sai de uma fogueira iluminando seu caminho
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A China possui um histórico de criações e desenvolvimentos tecnológicos, dentre os quais, um que permitiu grandes 
avanços na área da navegação. Marque a alternativa que contém este item:
Nota: 20.0
A Bússola
B GPS
C Navio
D Satélite
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Aula 1, tema 3¾
Você acertou!
Aula 1, tema 1
As quatro grandes Invenções da China antiga são a bússola, pólvora, papel e impressão.
¾
27/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 2/3
Nota: 20.0
A A pressão não depende de um referencial
B A gravidade varia em função da pressão
C A pressão não depende de altura
D A pressão depende de um referencial
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 1.000W para hp:
Nota: 20.0
A 1,34hp
B 13,4hp
C 134hp
D 14,23hp
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 10.000btu para kWh.
Nota: 20.0
A 1,93kWh
B 2,03kWh
C 2,53kWh
Você acertou!
Aula 2, tema 2
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1hp tem 745,7W.
Assim, utilizando uma regra de três simples:
¾
27/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 3/3
D 2,93kWh
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1 btu tem 1.055Joule. O Joule, por sua vez, é definido como Ws. 
Assim:
¾
08/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 1/3
APOL 1
PROTOCOLO: 20170221924813E955A9DOUGLAS DANIEL POHL - RU: 924813 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 25/02/2017 00:48
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 02/03/2017 12:12
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Sobre o campo de velocidades , pode-se afirmar:
Nota: 0.0
A Está em regime permanente
B Não depende do tempo
C Depende apenas do espaço
D Está em regime transiente
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A A pressão não depende de um referencial
B A gravidade varia em função da pressão
C A pressão não depende de altura
D A pressão depende de um referencial
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma velocidade de 10m/s para milhas por hora (mph):
Nota: 20.0
Aula 1, tema 3½
Você acertou!
Aula 2, tema 2
½
08/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 2/3
A 25mph
B 22,37mph
C 10mph
D 44,74mph
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
A China possui um histórico de criações e desenvolvimentos tecnológicos, dentre os quais, um que permitiu grandes 
avanços na área da navegação. Marque a alternativa que contém este item:
Nota: 20.0
A Bússola
B GPS
C Navio
D Satélite
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa corretamente a frase: “a ____________ significava dentre outras coisas que, quando os 
______________ dominavam um povo, este dominado recebesse ______________________ e calçamento nas ruas”
Nota: 20.0
A Pax chinesa, egípcios, papel
B Pax romana, romanos, tratamento de esgoto
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1milha tem 1.609,34m e 1h tem 3600s.
Assim:
½
Você acertou!
Aula 1, tema 1
As quatro grandes Invenções da China antiga são a bússola, pólvora, papel e impressão.
½
Você acertou!
Aula 1, tema 1
A Pax romana significava dentre outras coisas que, quando os romanos dominavam um povo, este dominado
recebesse tratamento de esgoto e calçamento nas ruas.
½
08/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 3/3
C Pax otomana, romanos, morte certa
D Pax romana, turcos, cavalos
19/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 1/3
APOL 1
PROTOCOLO: 20170220297821E933BAIOCLECIO MINEIRO DA COSTA - RU: 297821 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 20/02/2017 21:36
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 05/03/2017 16:56
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Sobre visualização de escoamentos, marque a alternativa falsa:
Nota: 20.0
A Linha de emissão é um método que podeser utilizado computacionalmente
B As linhas de corrente nunca se cruzam
C As linhas de trajetória são as trajetórias reais percorridas por uma partícula de fluido individual em um período
de tempo.
D Um exemplo de linha de trajetória é uma fagulha que sai de uma fogueira iluminando seu caminho
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Na frase de um popular narrador de futebol “a bola bate na água e ganha força”, a descrição do escoamento está:
Nota: 20.0
A Correta, pois o fluido parado pode propelir um objeto sólido, nesse caso, a bola
B Incorreta, pois este escoamento tem tendências ao revenimento
C Incorreta, pois a água está em velocidade menor que a bola
D Correta, pois o narrador entende de mecânica dos fluidos
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 1, tema 3
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 5
¾
19/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 2/3
Nota: 20.0
A  
B
C
D
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Na hipótese do contínuo:
Nota: 20.0
² ²
Você acertou!
Aula 2, tema 3
¾
² ²
² ²
² ²
19/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 3/3
A Cada propriedade do fluido é definida para cada ponto
B Cada propriedade do fluido não é definida para cada ponto
C A densidade aumenta
D A densidade diminui
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A A pressão não depende de um referencial
B A gravidade varia em função da pressão
C A pressão não depende de altura
D A pressão depende de um referencial
Você acertou!
Aula 1, tema 3
¾
Você acertou!
Aula 2, tema 2
¾
3/7/2017 AVA UNIVIRTUS
1/3
APOL 1
 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 21/02/2017 12:56
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 21/02/2017 18:49
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
A definição de fluido é:
Nota: 20.0
A Uma substância que se deforma sozinha
B Uma substância que se deforma aleatoriamente
C Uma substância que se deforma pela aplicação de uma tensão cisalhante
D Uma substância que não se deforma
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A China possui um histórico de criações e desenvolvimentos tecnológicos, dentre os quais, um que permitiu grandes 
avanços na área da navegação. Marque a alternativa que contém este item:
Nota: 20.0
A Bússola
B GPS
C Navio
D Satélite
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma velocidade de 10m/s para milhas por hora (mph):
Você acertou!
Aula 1, tema 3
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 1
As quatro grandes Invenções da China antiga são a bússola, pólvora, papel e impressão.
¾
 
3/7/2017 AVA UNIVIRTUS
2/3
Nota: 20.0
A 25mph
B 22,37mph
C 10mph
D 44,74mph
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
O império romano dominava vários conhecimentos de mecânica dos fluidos, tais quais:
Nota: 20.0
A Construção naval, predial e espacial
B Ciências naturais, água e fogo
C Casas de banho, água encanada e tijolos
D Casas de banho, aquedutos e cisternas de água potável
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa corretamente a frase: “a ____________ significava dentre outras coisas que, quando 
os ______________ dominavam um povo, este dominado recebesse ______________________ e calçamento nas ruas”
Nota: 20.0
A Pax chinesa, egípcios, papel
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1milha tem 1.609,34m e 1h tem 3600s.
Assim:
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 1
Para tornar as cidades conquistadas mais confortáveis, os romanos construíram estradas, arenas de jogos, casas de
banho, esgotos, aquedutos e cisternas de água potável.
¾
3/7/2017 AVA UNIVIRTUS
3/3
B Pax romana, romanos, tratamento de esgoto
C Pax otomana, romanos, morte certa
D Pax romana, turcos, cavalos
Você acertou!
Aula 1, tema 1
A Pax romana significava dentre outras coisas que, quando os romanos dominavam um povo, este dominado
recebesse tratamento de esgoto e calçamento nas ruas.
¾
Um fluido pode ser classificado de diferentes formas. Em relação à sua geometria, ele pode ser classificado como:
A 2D, quando as três dimensões importam
B 3D, quando há simetria, permitindo eliminar o tempo
C 3D, quando há variação de grandezas em três dimensões
D 2D quando há simetria nas três dimensões
Sobre escoamentos classificados como não viscosos, é correto afirmar:
A São sem atrito
B Tem pouco atrito
C Não existem
D Tem muito atrito
Você acertou!
Aula 1, tema 4
Você acertou!
Aula 1, tema 5
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
1 de 3 04/04/2017 07:42
A PB = 2837, 6lbf / ft²
B PB = 4826, 4lbf / ft²
C PB = 3522, 8lbf / ft²
D PB = 2741, 5lbf / ft²
Os equipamentos para medir pressão são chamados:
A Rotâmetros
B Pressômetros
Você acertou!
Aula 2, tema 3
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
2 de 3 04/04/2017 07:42
C Manômetros
D Chaves de pressão
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 1.000W para hp:
A 1,34hp
B 13,4hp
C 134hp
D 14,23hp
Você acertou!
Aula 2, tema 1
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1hp tem 745,7W.
Assim, utilizando uma regra de três simples:
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
3 de 3 04/04/2017 07:42
APOL 2
PROTOCOLO: 20170228114738EB08FFRICARDO AUGUSTO ZAVAGLIA - RU: 114738 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 28/02/2017 21:15
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 13/03/2017 01:35
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Determinar as pressões efetovas e absolutas do ar: 
Nota: 20.0
A P = 25 kPa e Pabs = 125 kPa
B P = 34 kPa e 134 kPa
C P = 48 kPa e Pabs = 138 kPa
D P = 72 kPa e Pabs = 127 kPa
Você acertou!
Aula 2, temas 2 e 3
¾
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento linear na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
O termo (1) dessa equação significa:
Nota: 20.0
A Forças superiores
B Forças submersa
C Forças sub orbitais, como a gravidade
D Forças de superfície, como o atrito
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A abordagem integral ao escoamento é deduzida a partir do Teorema de Transporte de Reynolds. Sobre a abordagem 
integral, pode­se afirmar:
Nota: 20.0
A Propriedades extensivas não dependem das propriedades intensivas
B Propriedades intensivas não dependem da massa do sistema
C Propriedades extensivas não são consideradas
D A conservação da massa veicular é abordada
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
Nota: 20.0
A 1,4Nm
B 11,54Nm
Você acertou!
Aula 3, tema 4
¾
C 5,89Nm
D 12,79Nm
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Um irrigador recebe um jato de água, por onde o fluido entra na horizontal da esquerda para a direita, faz uma curva de 
90° e sai na vertical. A tubulação da entrada tem diâmetro de 0,1m e o fluido entra na tubulação a uma velocidade média 
de 1m/s, pressurizado com 100kPa manométrico. Qual alternativa contém o valor da força horizontal necessária para 
manter essa tubulação fixa?
Nota: 20.0
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 1/3
APOL 1
PROTOCOLO: 201702271163124EA977EPATRICIA DA SILVA ZANON FONTANA - RU: 1163124 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 27/02/2017 18:01
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/02/2017 18:25
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Na frase de um popular narrador de futebol “a bola bate na água e ganha força”, a descrição do escoamento está:
Nota: 20.0
A Correta, pois o fluido parado pode propelir um objeto sólido, nesse caso, a bola
B Incorreta, pois este escoamento tem tendências ao revenimento
C Incorreta, pois a água está em velocidade menorque a bola
D Correta, pois o narrador entende de mecânica dos fluidos
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Que nação antiga usava a mecânica dos fluidos para aproveitar a foz do Nilo para desenvolver sua agricultura?
Nota: 20.0
A China
B Grécia
C Egito
D Roma
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Os equipamentos para medir pressão são chamados:
Você acertou!
Aula 1, tema 5
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 1
Os egípcios utilizavam seus conhecimentos de mecânica dos fluidos e aproveitavam a foz do Nilo para desenvolver
sua agricultura.
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 2/3
Nota: 20.0
A Rotâmetros
B Pressômetros
C Manômetros
D Chaves de pressão
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Um escoamento pode ser em regime permanente ou transiente. Marque a alternativa que melhor corresponde à definição 
de regime permanente.
Nota: 20.0
A É o escoamento sem aceleração
B É somente aquele que o fluido está estático
C É o escoamento que não tem variação de propriedade no espaço
D É aquele cujas propriedades são constantes em um ponto do escoamento.
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que converte corretamente uma potência de 10.000btu para kWh.
Nota: 20.0
A 1,93kWh
B 2,03kWh
C 2,53kWh
Você acertou!
Aula 2, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 1, tema 4
¾
12/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/131039/novo/1 3/3
D 2,93kWh
Você acertou!
Aula 1, tema 2
1 btu tem 1.055Joule. O Joule, por sua vez, é definido como Ws. 
Assim:
¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 1/6
APOL 2
PROTOCOLO: 201703051163124ECA8E0PATRICIA DA SILVA ZANON FONTANA - RU: 1163124 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 05/03/2017 09:22
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 13/03/2017 17:29
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
A abordagem integral ao escoamento é deduzida a partir do Teorema de Transporte de Reynolds. Sobre a abordagem 
integral, pode­se afirmar:
Nota: 20.0
A Propriedades extensivas não dependem das propriedades intensivas
B Propriedades intensivas não dependem da massa do sistema
C Propriedades extensivas não são consideradas
D A conservação da massa veicular é abordada
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 2/6
Nota: 20.0
A ³
Você acertou!
Aula 2, tema 3
¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 3/6
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 4/6
B
C
D
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Um irrigador recebe um jato de água, por onde o fluido entra na horizontal da esquerda para a direita, faz uma curva de 
90° e sai na vertical. A tubulação da entrada tem diâmetro de 0,1m e o fluido entra na tubulação a uma velocidade média 
de 1m/s, pressurizado com 100kPa manométrico. Qual alternativa contém o valor da força horizontal necessária para 
manter essa tubulação fixa?
Nota: 20.0
A 793,25N
B 5.392,5N
C 2.652,12N
D 605,14N
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento angular na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
³
³
³
Você acertou!
Aula 3, tema 3
¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 5/6
Essa equação pode ser usada, por exemplo, no projeto de:
Nota: 20.0
A Reservatórios
B Máquinas estáticas
C Bombas e turbinas
D Nenhuma das anteriores
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
        
Nota: 20.0
A
B
Você acertou!
Aula 3, tema 4
¾
Você acertou!
Aula 2, tema 5
¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 6/6
C
D
27/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 1/4
APOL 2
PROTOCOLO: 201702281143209EAEBC7DELVIO ANTONIO FRANCHI - RU: 1143209 Nota: 60
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 28/02/2017 16:37
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 13/03/2017 17:18
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 0.0
A
B
C
Tema 2, rota 2 ¾
27/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 2/4
D
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 0.0
A 500N
B 1.000N
C 5.000N
D 7.500N
Aula 3, tema 3¾
27/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 3/4
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A pressão manométrica é definida como:
Nota: 20.0
A A soma da pressão absoluta com a manométrica
B A diferença da pressão absoluta com a pressão de vácuo
C A diferença da pressão absoluta com a pressão atmosférica
D A soma da pressão absoluta com a pressão atmosférica
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento linear na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
O termo (1) dessa equação significa:
Nota: 20.0
Você acertou!
Aula 2, tema 1
¾
27/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 4/4
A Forças superiores
B Forças submersa
C Forças sub orbitais, como a gravidade
D Forças de superfície, como o atrito
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A P1 = 15,65 kN
B P1 = 13,35 kPa
C P1 = 10,45 kPa
D P1 = 17,85 kPa
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
Você acertou!
Aula 2, tema 2 e 3
¾
14/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 1/3
APOL 2
PROTOCOLO: 20170309924813EF1F6EDOUGLAS DANIEL POHL - RU: 924813 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 09/03/2017 12:11
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 13/03/2017 12:50
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A P1 = 15,65 kN
B P1 = 13,35 kPa
C P1 = 10,45 kPa
D P1 = 17,85 kPa
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Determinar as pressões efetovas e absolutas do ar:
Você acertou!
Aula 2, tema 2 e 3
¾
14/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 2/3
Nota: 20.0
A P = 25 kPa e Pabs = 125 kPa
B P = 34 kPa e 134 kPa
C P = 48 kPa e Pabs = 138 kPa
D P = 72 kPa e Pabs = 127 kPa
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A abordagem integral ao escoamento é deduzida a partir do Teorema de Transporte de Reynolds. Sobre a abordagem 
integral, pode-se afirmar:
Nota: 20.0
A Propriedades extensivas não dependem das propriedades intensivas
B Propriedades intensivas não dependem da massa do sistema
C Propriedades extensivas não são consideradas
Você acertou!
Aula 2, temas 2 e 3
¾
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
14/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 3/3
D A conservação da massa veicular é abordada
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Outra forma comum da equação da energia é a forma abaixo. Desprezamos os trabalhos viscosos e de outros, e 
substituímos o trabalho de pressão no sistema. Assim:
Efetuando algumas considerações como sem transferência de calor e incompressível, se chega a:
Qual é a consideração adicional necessária para essa formulação?
Nota: 20.0
A Transferência de calor
B Regime permanente
C Regime transiente
D Atrito
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento linear na formaintegral pode ser escrita na seguinte forma:
O termo (1) dessa equação significa:
Nota: 20.0
A Forças superiores
B Forças submersa
C Forças sub orbitais, como a gravidade
D Forças de superfície, como o atrito
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 1/3
APOL 2
PROTOCOLO: 20170311784196F0313CHENRIQUETA CESAR DA CUNHA - RU: 784196 Nota: 60
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 11/03/2017 19:33
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 13/03/2017 19:05
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Determinar as pressões efetovas e absolutas do ar: 
Nota: 20.0
A P = 25 kPa e Pabs = 125 kPa
B P = 34 kPa e 134 kPa
C P = 48 kPa e Pabs = 138 kPa
D P = 72 kPa e Pabs = 127 kPa
Você acertou!
Aula 2, temas 2 e 3
¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 2/3
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 0.0
A
B
C
D
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Se um manômetro acusa 105kPa de pressão absoluta numa tubulação onde a atmosfera tem pressão de 100kPa. Qual é 
a pressão manométrica?
Nota: 0.0
A 205kPa
B 5kPa
Tema 2, rota 2 ¾
Aula 2, tema 1¾
20/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 3/3
C 100kPa
D 105kPa
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Há duas formas de se abordar um escoamento: integral e diferencial. Sobre a abordagem integral, pode­se afirmar:
Nota: 20.0
A Trata o escoamento em detalhes
B É semelhante à abordagem visual
C Trata o escoamento como médias
D Não existe tal abordagem
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Outra forma comum da equação da energia é a forma abaixo. Desprezamos os trabalhos viscosos e de outros, e 
substituímos o trabalho de pressão no sistema. Assim: 
Efetuando algumas considerações como sem transferência de calor e incompressível, se chega a: 
Qual é a consideração adicional necessária para essa formulação?
Nota: 20.0
A Transferência de calor
B Regime permanente
C Regime transiente
D Atrito
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
19/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 1/4
APOL 2
PROTOCOLO: 20170312297821F06255IOCLECIO MINEIRO DA COSTA - RU: 297821 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 12/03/2017 14:02
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 13/03/2017 23:16
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
A abordagem integral ao escoamento é deduzida a partir do Teorema de Transporte de Reynolds. Sobre a abordagem 
integral, pode­se afirmar:
Nota: 20.0
A Propriedades extensivas não dependem das propriedades intensivas
B Propriedades intensivas não dependem da massa do sistema
C Propriedades extensivas não são consideradas
D A conservação da massa veicular é abordada
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Há duas formas de se abordar um escoamento: integral e diferencial. Sobre a abordagem integral, pode­se afirmar:
Nota: 20.0
A Trata o escoamento em detalhes
B É semelhante à abordagem visual
C Trata o escoamento como médias
D Não existe tal abordagem
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Um irrigador recebe um jato de água, por onde o fluido entra na horizontal da esquerda para a direita, faz uma curva de 
90° e sai na vertical. A tubulação da entrada tem diâmetro de 0,1m e o fluido entra na tubulação a uma velocidade média 
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
19/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 2/4
de 1m/s, pressurizado com 100kPa manométrico. Qual alternativa contém o valor da força horizontal necessária para 
manter essa tubulação fixa?
Nota: 20.0
A 793,25N
B 5.392,5N
C 2.652,12N
D 605,14N
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A 500N
Você acertou!
Aula 3, tema 3
¾
19/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 3/4
B 1.000N
C 5.000N
D 7.500N
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 3, tema 3
¾
19/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/132236/novo/1 4/4
Nota: 20.0
A h = 0,75 ft
B h = 0,69 ft
C h = 1,2 ft
D h = 0,86 ft
Você acertou!
Aula 2, tema 4
¾
3/15/2017 AVA UNIVIRTUS
1/3
APOL 2
 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 28/02/2017 22:43
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 09/03/2017 21:58
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A P1 = 15,65 kN
B P1 = 13,35 kPa
C P1 = 10,45 kPa
D P1 = 17,85 kPa
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
Você acertou!
Aula 2, tema 2 e 3
¾
 
 
 
3/15/2017 AVA UNIVIRTUS
2/3
A h = 0,75 ft
B h = 0,69 ft
C h = 1,2 ft
D h = 0,86 ft
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento linear na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
O termo (2) dessa equação significa:
Nota: 20.0
A Forças de campo
B Forças bimodais
C Forças binárias
Você acertou!
Aula 2, tema 4
¾
Você acertou!
rota 3, tema 2
¾
3/15/2017 AVA UNIVIRTUS
3/3
D Forças bipartidas
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Quando se afirma que uma medida de pressão é manométrica, é possível dizer que:
Nota: 0.0
A A pressão atmosférica está sendo ignorada
B A pressão de vácuo está sendo ignorada
C Foi utilizada uma bomba para medir a pressão
D A medida levou em conta a pressão atmosférica
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Outra forma comum da equação da energia é a forma abaixo. Desprezamos os trabalhos viscosos e de outros, e 
substituímos o trabalho de pressão no sistema. Assim: 
Efetuando algumas considerações como sem transferência de calor e incompressível, se chega a: 
Qual é a consideração adicional necessária para essa formulação?
Nota: 20.0
A Transferência de calor
B Regime permanente
C Regime transiente
D Atrito
Aula 2, tema 1¾
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
Um funil tem redução de área de 10cm para 5cm . Se por esse funil escoa água que entra em regime permanente a 
1m/s, marque a alternativa que mostra o valor em que a velocidade sai do funil.
A 0,5m/s
B 1m/s
C 2m/s
D 4m/s
2 2
Você acertou!
Aula 3, tema 1
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
1 de 5 04/04/2017 07:42
A 1,4Nm
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
2 de 5 04/04/2017 07:42
B 11,54Nm
C 5,89Nm
D 12,79Nm
A conservação do momento linear na forma integral também é conhecida como:
A 2ª Lei de Newton do controle universal
Você acertou!
Aula 3, tema 4
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
3 de 5 04/04/2017 07:42
B 3ª Lei de Newton
C 3ª Lei de Newton da massa
D 2ª Lei de Newton na forma integral
A abordagem integral ao escoamento é deduzida a partir do Teorema de Transporte de Reynolds. Sobre a abordagem 
integral, pode-se afirmar:
A Propriedades extensivas não dependem das propriedades intensivas
B Propriedades intensivas não dependem da massa do sistema
C Propriedades extensivas não são consideradas
D A conservação da massa veicular é abordada
A P = 50 kPa
B P = 67,32 kPa
C P = 76,48 kPa
Você acertou!
rota 3, tema 2
Você acertou!
Aula 3, tema 1
Você acertou!
Aula 2, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
4 de 5 04/04/2017 07:42
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
5 de 5 04/04/2017 07:42
APOL 3
PROTOCOLO:20170309114738EF48EFRICARDO AUGUSTO ZAVAGLIA - RU: 114738 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 09/03/2017 17:59
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 20/03/2017 13:22
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Computational Fluid Dynamics, ou CFD – Dinâmica dos fluidos computacional é uma técnica de resolução das equações 
de Navier­Stokes muito utilizada porque:
Nota: 20.0
A As equações de Navier­Stokes possuem solução trivial
B As equações de Navier­Stokes não possuem solução analítica para todos os casos
C As equações de Navier­Stokes possuem solução simples
D As equações de Navier­Stokes não possuem solução elástica
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
O ar na condição­padrão, entra em um compressor a 75 m/s e sai com pressão e temperatura absoluta de 200 kPa e 345 
K e velocidade v = 125 m/s. A vazão é 1 kg/s. A água de resfriamento que circula na carcaça do compressor remove 18 
kJ/kg de ar. Determine a potência requerida pelo compressor. 
 
Considerações: 
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
1­)   
2­) Escoamento permanente 
3­) Escoamento uniforme 
4­)    
5­) Gás ideal   
6­) Da continuidade 
Nota: 20.0
A  
B
C
D
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
A conservação da massa na forma diferencial pode ser escrita na seguinte forma: 
Em regime permanente, o primeiro termo se reduz a:
Nota: 20.0
A 1
B
C t
D 0
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa corretamente os espaços da frase: “As equações de ____________ podem ser 
simplificadas para a chamada equação de ______________ que possui solução _______________, mas despreza o 
_________________”.
Nota: 20.0
A Maxwell, campo, vetorial, campo magnético
B Navier­Stokes, Euler, vetorial, campo magnético
C Bernoulli, Bernsen, analítica, atrito
D Navier­Stokes, Euler, analítica, atrito
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Dado o campo de velocidades: 
Esse campo está em regime permanente? Se não, em que direção ele está sendo acelerado?
Nota: 20.0
A Está em regime permanente
Você acertou!
Aula 4, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 4, tema 3
¾
B Não. Na direção x
C Não. Na direção y
D Não. Na direção z
Você acertou!
Aula 4, tema 2
¾
24/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 1/4
APOL 3
PROTOCOLO: 201703121143209F0AE4DDELVIO ANTONIO FRANCHI - RU: 1143209 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 12/03/2017 22:49
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 20/03/2017 16:04
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
As equações de Navier­Stokes são o equivalente da 2ª Lei de Newton para um fluido na forma diferencial. Essas 
equações são obtidas através da forma diferencial da conservação do(a):
Nota: 20.0
A Massa
B Momento
C Gravidade
D Fluido
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Computational Fluid Dynamics, ou CFD – Dinâmica dos fluidos computacional é uma técnica de resolução das equações 
de Navier­Stokes muito utilizada porque:
Nota: 20.0
A As equações de Navier­Stokes possuem solução trivial
B As equações de Navier­Stokes não possuem solução analítica para todos os casos
C As equações de Navier­Stokes possuem solução simples
D As equações de Navier­Stokes não possuem solução elástica
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 4, tema 3
¾
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
24/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 2/4
Dado o campo de velocidades: 
Esse campo está em regime permanente? Se não, em que direção ele está sendo acelerado?
Nota: 20.0
A Está em regime permanente
B Não. Na direção x
C Não. Na direção y
D Não. Na direção z
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento linear na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
O termo (4) dessa equação significa:
Você acertou!
Aula 4, tema 2
¾
24/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 3/4
Nota: 20.0
A Área do campo
B Quantidade de momento que cruza a área do campo
C Quantidade de momento que cruza as fronteiras do sistema
D Velocidades nulas
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
As perdas por atrito de um sistema podem ser medidas pela variação de energia mecânica. Se uma bomba faz com que 
água seja elevada a uma altura de 10 andares (50m) numa vazão de 0,1m /s, sofrendo uma diferença de pressão de 
100kPa, e consumindo, para isso, 50kW, qual é o rendimento da bomba? Use a densidade da água 1.000kg/m  e 
aceleração da gravidade 9,81m/s .
Nota: 20.0
A 35,9%
B 54,3%
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
3
3
2
24/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 4/4
C 78,1%
D 89,2%
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
26/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 1/4
APOL 3
PROTOCOLO: 201703131163124F0D2D9PATRICIA DA SILVA ZANON FONTANA - RU: 1163124 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 13/03/2017 10:58
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 20/03/2017 15:44
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Para um sistema em regime permanente, com escoamento incompressível, pode­se afirmar a respeito da conservação da 
massa:
Nota: 20.0
A Essa condição é inválida
B A equação resultante relaciona as vazões
C A massa não é conservada
D O momento é conservado na forma diferencial
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
As perdas por atrito de um sistema podem ser medidas pela variação de energia mecânica. Se uma bomba faz com que 
água seja elevada a uma altura de 10 andares (50m) numa vazão de 0,1m /s, sofrendo uma diferença de pressão de 
100kPa, e consumindo, para isso, 50kW, qual é o rendimento da bomba? Use a densidade da água 1.000kg/m  e 
aceleração da gravidade 9,81m/s .
Nota: 20.0
A 35,9%
B 54,3%
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
3
3
2
26/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 2/4
C 78,1%
D 89,2%
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação da massa na forma diferencial pode ser escrita na seguinte forma: 
Em regime permanente, o primeiro termo se reduz a:
Nota: 20.0
A 1
B
C t
D 0
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
Você acertou!
Aula 4, tema 1
¾
26/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 3/4
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Calcule o esforço horizontal sobre a estrutura do ventilador da figura. Despreze a perda de carga entre as seçoes (1) e 
(2). Dados:   
        
Nota: 20.0
A
B
C
D
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
³ ≅
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
26/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 4/4
A conservação do momento linear na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
O termo (4) dessa equação significa:
Nota: 20.0
A Área do campo
B Quantidade de momento que cruza a área do campo
C Quantidade de momento que cruza as fronteiras do sistema
D Velocidades nulas
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
21/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 1/3
APOL 3
PROTOCOLO: 20170317924813F346BEDOUGLAS DANIEL POHL - RU: 924813 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 17/03/2017 12:14
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 20/03/2017 21:06
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Dado o campo de velocidades:
Esse campo está em regime permanente? Se não, em que direção ele está sendo acelerado?
Nota: 20.0
A Está em regime permanente
B Não. Na direçãox
Você acertou!
Aula 4, tema 2
¾
21/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 2/3
C Não. Na direção y
D Não. Na direção z
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação da massa na forma diferencial pode ser escrita na seguinte forma:
Em regime permanente, o primeiro termo se reduz a:
Nota: 20.0
A 1
B
C t
D 0
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
As equações de Navier-Stokes são o equivalente da 2ª Lei de Newton para um fluido na forma diferencial. Essas equações 
são obtidas através da forma diferencial da conservação do(a):
Nota: 20.0
A Massa
B Momento
C Gravidade
D Fluido
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação da energia na forma integral pode ser escrita na seguinte forma:
Você acertou!
Aula 4, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 4, tema 3
¾
21/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 3/3
Analisando cada termo, Q se refere a:
Nota: 20.0
A Tanques
B Máquinas estáticas
C Bombas e turbinas
D Condensadores e Evaporadores
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento angular na forma integral pode ser escrita na seguinte forma:
Do lado direito da equação temos:
Nota: 20.0
A Forças de superfície, apenas
B Tipos de torque
C Quantidade de momento que cruza as fronteiras do sistema
D Velocidades nulas
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
Você acertou!¾
Aula 3, tema 4¾
APOL 3 MECANIC DOS FLUIDOS 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
O método de Euler para solução de equações diferenciais depende, 
essencialmente do fator h, que é o: 
Nota: 20.0 
 A Passo da derivada Você acertou! 
Aula 3, tema 5 
 B Passo do gato 
 C Chute da derivada 
 D Passo das pernas 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água escoa por um irrigador que faz gotejamento. O diâmetro do irrigador é 
0,02m. A vazão desejada para cada furo gotejante é de 10-5m3/s. Quantos 
furos esse sistema pode atender se a velocidade da água na entrada é 
10m/s? 
Nota: 0.0 
 A 10 
 B 267 
 C 314 Aula 3, tema 3 
 
 
 D 528 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
A conservação da energia na forma integral pode ser escrita na seguinte 
forma: 
 
 
Analisando cada termo, Q se refere a: 
Nota: 0.0 
 A Tanques 
 B Máquinas estáticas 
 C Bombas e turbinas 
 D Condensadores e Evaporadores Aula 3, tema 5 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
A conservação do momento angular na forma integral pode ser escrita na 
seguinte forma: 
 
 
Do lado direito da equação temos: 
Nota: 20.0 
 A Forças de superfície, apenas 
 B Tipos de torque Você acertou! 
 C Quantidade de momento que cruza as fronteiras do sistema Aula 3, tema 4 
 D Velocidades nulas 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
Há duas formas de se abordar um escoamento: integral e diferencial. Sobre 
a abordagem diferencial, pode-se afirmar: 
Nota: 20.0 
 A Trata o escoamento em detalhes Você acertou! 
Aula 4, tema 1 
 B Não existe tal abordagem 
 C É semelhante à abordagem visual 
 D Trata o escoamento como médias 
 
 
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 1/4
APOL 3
PROTOCOLO: 20170313784196F14AF9HENRIQUETA CESAR DA CUNHA - RU: 784196 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 13/03/2017 20:19
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 20/03/2017 17:26
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Computational Fluid Dynamics, ou CFD – Dinâmica dos fluidos computacional é uma técnica de resolução das equações 
de Navier­Stokes muito utilizada porque:
Nota: 20.0
A As equações de Navier­Stokes possuem solução trivial
B As equações de Navier­Stokes não possuem solução analítica para todos os casos
C As equações de Navier­Stokes possuem solução simples
D As equações de Navier­Stokes não possuem solução elástica
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
O ar na condição­padrão, entra em um compressor a 75 m/s e sai com pressão e temperatura absoluta de 200 kPa e 345 
K e velocidade v = 125 m/s. A vazão é 1 kg/s. A água de resfriamento que circula na carcaça do compressor remove 18 
kJ/kg de ar. Determine a potência requerida pelo compressor. 
 
Considerações: 
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¿
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 2/4
1­)   
2­) Escoamento permanente 
3­) Escoamento uniforme 
4­)    
5­) Gás ideal   
6­) Da continuidade 
Nota: 20.0
A  
B
C
D
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¿
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 3/4
A conservação do momento angular na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
Do lado direito da equação temos:
Nota: 20.0
A Forças de superfície, apenas
B Tipos de torque
C Quantidade de momento que cruza as fronteiras do sistema
D Velocidades nulas
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Um divisor de fluidos tem três dutos, sendo um de entrada e dois de saída. As áreas desses dutos são 1m  (entrada), 
0,5m  e 0,75m  (saídas). Se água passa por esse divisor, entrando a 10m/s, qual é a máxima vazão que pode sair pelo 
duto de 0,5m , se no outro duto a vazão é de 5m /s?
Nota: 20.0
A 1,5 m³/s
B 3 m³/s
C 4 m³/s
Você acertou!¿
Aula 3, tema 4¿
2
2 2
2 3
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 4/4
D 5 m³/s
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Há duas formas de se abordar um escoamento: integral e diferencial. Sobre a abordagem diferencial, pode­se afirmar:
Nota: 20.0
A Trata o escoamento em detalhes
B Não existe tal abordagem
C É semelhante à abordagem visual
D Trata o escoamento como médias
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¿
Você acertou!
Aula 4, tema 1
¿
21/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 1/4
APOL 3
PROTOCOLO: 20170319297821F3F0FAIOCLECIO MINEIRO DA COSTA - RU: 297821 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 19/03/2017 09:40
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 19/03/2017 10:33
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Calcule o esforço horizontal sobre a estrutura do ventilador da figura. Despreze a perda de carga entre as seçoes (1) e 
(2). Dados:   
        
Nota: 20.0
³ ≅
21/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 2/4
A
B
C
D
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Para um sistema em regime permanente, com escoamento incompressível, pode­se afirmar a respeito da conservação da 
massa:
Nota: 0.0
A Essa condição é inválida
B A equação resultante relaciona as vazões
C A massa não é conservada
D O momento é conservado na forma diferencial
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação da massa na forma diferencial pode ser escrita na seguinte forma: 
Em regime permanente, o primeiro termo se reduz a:
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
Aula 3, tema 1¾
21/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 3/4
Nota: 20.0
A 1
B
C t
D 0
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
As perdas por atrito de um sistema podem ser medidas pela variação de energia mecânica. Se uma bomba faz com que 
água seja elevada a uma altura de 10 andares (50m) numa vazão de 0,1m /s, sofrendo uma diferença de pressão de 
100kPa, e consumindo, para isso, 50kW, qual é o rendimento da bomba? Use a densidade da água 1.000kg/m  e 
aceleração da gravidade 9,81m/s .
Nota: 20.0
A 35,9%
B 54,3%
Você acertou!
Aula 4, tema 1
¾
3
3
2
21/03/2017 AVA UNIVIRTUShttp://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/133577/novo/1 4/4
C 78,1%
D 89,2%
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação do momento linear na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
O termo (4) dessa equação significa:
Nota: 20.0
A Área do campo
B Quantidade de momento que cruza a área do campo
C Quantidade de momento que cruza as fronteiras do sistema
Você acertou!
Aula 3, tema 5
¾
Você acertou!
Aula 3, tema 2
¾
3/21/2017 AVA UNIVIRTUS
1/3
APOL 3
 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 06/03/2017 17:06
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 19/03/2017 19:32
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
As equações de Navier­Stokes são o equivalente da 2ª Lei de Newton para um fluido na forma diferencial. Essas 
equações são obtidas através da forma diferencial da conservação do(a):
Nota: 20.0
A Massa
B Momento
C Gravidade
D Fluido
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Para um sistema em regime permanente, com escoamento incompressível, pode­se afirmar a respeito da conservação da 
massa:
Nota: 0.0
A Essa condição é inválida
B A equação resultante relaciona as vazões
C A massa não é conservada
D O momento é conservado na forma diferencial
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Um regador comum de gramado pode girar no plano horizontal, conforme mostrado. Água entra verticalmente pelo pivô 
central com uma vazão  . A água pe decarregada em jatos através dos bcos no plano horizontal. 
Considerando o pivô sem atrito, calcule o torque resistente necessário para manter o regador imóvel. 
Você acertou!
Aula 4, tema 3
¾
Aula 3, tema 1¾
 
3/21/2017 AVA UNIVIRTUS
2/3
Considerações: 
1­) Não há forças de superfícies; 
2­) Regime permanente; 
3­) Escoamento uniforme. 
Nota: 20.0
A T = 0,36 Nm
B T = 0,49 Nm
C T = 3,29 Nm
D T = 1,26 Nm
Você acertou!
Aula 3, tema 4
¾
3/21/2017 AVA UNIVIRTUS
3/3
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
A conservação da massa na forma diferencial pode ser escrita na seguinte forma: 
Em regime permanente, o primeiro termo se reduz a:
Nota: 20.0
A 1
B
C t
D 0
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Um divisor de fluidos tem três dutos, sendo um de entrada e dois de saída. As áreas desses dutos são 1m  (entrada), 
0,5m  e 0,75m  (saídas). Se água passa por esse divisor, entrando a 10m/s, qual é a máxima vazão que pode sair pelo 
duto de 0,5m , se no outro duto a vazão é de 5m /s?
Nota: 20.0
A 1,5 m³/s
B 3 m³/s
C 4 m³/s
D 5 m³/s
Você acertou!
Aula 4, tema 1
¾
2
2 2
2 3
Você acertou!
Aula 3, tema 1
¾
Há duas formas de se abordar um escoamento: integral e diferencial. Sobre a abordagem diferencial, pode-se afirmar:
A Trata o escoamento em detalhes
B Não existe tal abordagem
C É semelhante à abordagem visual
D Trata o escoamento como médias
A conservação do momento angular na forma integral pode ser escrita na seguinte forma:
Do lado direito da equação temos:
A Forças de superfície, apenas
B Tipos de torque
C Quantidade de momento que cruza as fronteiras do sistema
Você acertou!
Aula 4, tema 1
Você acertou!
Aula 3, tema 4
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
1 de 4 04/04/2017 07:43
D Velocidades nulas
O ar na condição-padrão, entra em um compressor a 75 m/s e sai com pressão e temperatura absoluta de 200 kPa e 345 
K e velocidade v = 125 m/s. A vazão é 1 kg/s. A água de resfriamento que circula na carcaça do compressor remove 18 
kJ/kg de ar. Determine a potência requerida pelo compressor.
Considerações:
1-) 
2-) Escoamento permanente
3-) Escoamento uniforme
4-) 
5-) Gás ideal 
6-) Da continuidade 
A
B
C
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
2 de 4 04/04/2017 07:43
D
Marque a alternativa que completa corretamente os espaços da frase: “As equações de ____________ podem ser 
simplificadas para a chamada equação de ______________ que possui solução _______________, mas despreza o 
_________________”.
A Maxwell, campo, vetorial, campo magnético
B Navier-Stokes, Euler, vetorial, campo magnético
C Bernoulli, Bernsen, analítica, atrito
Você acertou!
Aula 3, tema 5
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
3 de 4 04/04/2017 07:43
D Navier-Stokes, Euler, analítica, atrito
Água escoa por um irrigador que faz gotejamento. O diâmetro do irrigador é 0,02m. A vazão desejada para cada furo 
gotejante é de 10 m /s. Quantos furos esse sistema pode atender se a velocidade da água na entrada é 10m/s?
A 10
B 267
C 314
D 528
Você acertou!
Aula 4, tema 3
-5 3
Você acertou!
Aula 3, tema 3
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
4 de 4 04/04/2017 07:43
APOL 4
PROTOCOLO: 20170314114738F1D8C9RICARDO AUGUSTO ZAVAGLIA - RU: 114738 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 14/03/2017 16:24
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/03/2017 13:43
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
A velocidade mínima para que ar sugue água utilizando o efeito Venturi pode ser escrita como: 
Para uma pistola de tinta de razão de áreas grande e pequena 10, sabendo que a água vai ser sugada por um tubo de 
h=10cm, e que as densidades da água e do ar são 1.000km/m  e 1kg/m , respectivamente, num lugar aonde a 
aceleração da gravidade mede 10m/s . Se o ar trabalha com 10m/s na saída da pistola, a sucção ocorre?
Nota: 20.0
A Sim, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
B Não, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
C Não, a velocidade é menor que a mínima requerida
3 3
2
Você acertou!
Aula 5, tema 3
¾
D Sim, a velocidade é menor que a mínima requerida
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Dado o campo de velocidades: 
Marque a alternativa que contém o módulo da aceleração local (a derivada no tempo).
Nota: 20.0
A 5/x
B 2y+7
C 8xz
D 5t
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
As equações de Navier­Stokes, escritas na forma mais comum podem ser escritas como: 
O primeiro termo significa:
Nota: 20.0
Você acertou!
Aula 4, tema 2
¾
A Aceleração do fluido
B Momento
C Gravidade
D Densidade estática
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Água flui por um canal, como mostra a figura. A velocidade é uniforme nas seções e a pressão é aproximadamente 
hidrostática. Marque a alternativa que contém a velocidade na entrada do sistema em m/s. 
Nota: 0.0
A 1,47
Você acertou!
Aula 4, tema 3
¾
B 0
C 3,15
D 5,67
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Sobre a força de sustentação:
Nota: 20.0
A É a componente de forças paralela ao arrasto
B É maléfica ao escoamento
Aula 5, tema 1¾
C A pipa voa sem sustentação
D É a componente de forças perpendicular ao escoamento
Você acertou!
Aula 5, tema 5
¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 1/4
APOL 4
PROTOCOLO: 201703231159099F71748ITACIR VALENTIN DEON - RU: 1159099 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 23/03/2017 12:19
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/03/2017 13:18
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Dado o campo de velocidades: 
Marque a alternativa que contém o módulo da aceleração local (a derivada no tempo).
Nota: 0.0
A 5/x
B 2y+7
C 8xz
D 5t
Aula 4, tema 2¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 2/4
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A equação de Bernoulli é muito útil, mesmo sem considerar o atrito no escoamento. Essa frase é:
Nota: 20.0
A Verdadeira, principalmente na aerodinâmica
B Falsa, principalmente na aerodinâmica
C Verdadeira, menos na aerodinâmica
D Falsa, menos na aerodinâmica
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
O seu carro fica sem combustível inesperadamente. Para você resolvero problema, você retira gasolina de outro usando 
um sifão. A diferença de altura do sifão é cerca de 150 mm. O diâmetro da mangueira é de 25 mm. Qual é a vazão de 
gasolina para o seu carro? 
Nota: 20.0
A Q = 0,842 L/s
B Q = 0,623 L/s
C Q = 1,248 L/s
D Q = 0,957 L/s
Você acertou!
Aula 5, tema 1
¾
Você acertou!
Aula 5, tema 1
¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 3/4
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Num tubo de seção circular, o diâmetro é 10 cm e o escoamento é do tipo turbulento. Um tubo de Pitot está instalado de 
forma a medir a velocidade no eixo do tubo, conforme a figura. Determine a vazão no tubo: 
        
Nota: 20.0
A Q = 22,6 L/s
B Q = 13,8 L/s
C Q = 35,4L/s
D Q = 31,7 L/s
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Sobre a força de sustentação:
Nota: 20.0
A É a componente de forças paralela ao arrasto
Você acertou!
Aula 5, tema 2
¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 4/4
B É maléfica ao escoamento
C A pipa voa sem sustentação
D É a componente de forças perpendicular ao escoamento
Você acertou!
Aula 5, tema 5
¾
Apol 4 mecanica dos fluidos 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para: 
Nota: 20.0 
 A Alterar a gravidade 
 B Medir temperatura 
 C Aferir felicidade 
 D Medir velocidade Você acertou! 
Aula 5, tema 2 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água flui por um canal, como mostra a figura. A velocidade é uniforme nas 
seções e a pressão é aproximadamente hidrostática. Marque a alternativa 
que contém a velocidade na entrada do sistema em m/s. 
 
 
Nota: 0.0 
 A 1,47 Aula 5, tema 1 
 
 B 0 
 C 3,15 
 D 5,67 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
Dado o campo de velocidades: 
 
 
Marque a alternativa que contém o módulo da aceleração local (a derivada 
no tempo). 
Nota: 0.0 
 A 5/x Aula 4, tema 2 
 
 B 2y+7 
 C 8xz 
 D 5t 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Sobre a força de sustentação: 
Nota: 20.0 
 A É a componente de forças paralela ao arrasto 
 B É maléfica ao escoamento 
 C A pipa voa sem sustentação 
 D É a componente de forças perpendicular ao escoamento Você acertou! 
Aula 5, tema 5 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
Num tubo de seção circular, o diâmetro é 10 cm e o escoamento é do tipo turbulento. Um tubo de Pitot 
está instalado de forma a medir a velocidade no eixo do tubo, conforme a figura. Determine a vazão no 
tubo: 
 
 
Nota: 20.0 
 A Q = 22,6 L/s Você acertou! 
Aula 5, tema 2 
 
 B Q = 13,8 L/s 
 C Q = 35,4L/s 
 D Q = 31,7 L/s 
 
 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água flui por um canal, como mostra a figura. A velocidade é uniforme nas seções e a pressão é 
aproximadamente hidrostática. Marque a alternativa que contém a velocidade na entrada do 
sistema em m/s. 
 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 1,47 
Aula 5, tema 1 
 
B 0 
 
C 3,15 
 
D 5,67 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
Duas entre as forças mais comuns quando se fala de Bernoulli na aviação são: 
Nota: 20.0 
 A Arrasto e sustentação Você acertou! 
Aula 5, tema 5 
 B Atrito e Bernoulli 
 C Peso e massa 
 D Arrasto e viscosidade 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
O seu carro fica sem combustível inesperadamente. Para você resolver o problema, você retira 
gasolina de outro usando um sifão. A diferença de altura do sifão é cerca de 150 mm. O 
diâmetro da mangueira é de 25 mm. Qual é a vazão de gasolina para o seu carro? 
 
 
Nota: 20.0 
 A Q = 0,842 L/s Você acertou! 
Aula 5, tema 1 
 
 B Q = 0,623 L/s 
 C Q = 1,248 L/s 
 D Q = 0,957 L/s 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água escoa sobre uma placa plana inclinada em θθ graus, em regime permanente, formando 
um filme de espessura h. Se a única força agindo é a da ação da gravidade, marque a 
alternativa que mostra o perfil de velocidades correto. 
 
Considerações: 
Incompressível e em regime permanente. Eixos alinhados com a placa. 
Assim, da conservação da massa: 
Nota: 20.0 
 
A 
 
Você acertou! 
Aula 4, tema 4 
 
 
 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para: 
Nota: 20.0 
 A Alterar a gravidade 
 B Medir temperatura 
 C Aferir felicidade 
 D Medir velocidade Você acertou! 
Aula 5, tema 2 
 
APOL 5
PROTOCOLO: 20170321114738F5B5FERICARDO AUGUSTO ZAVAGLIA - RU: 114738 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 21/03/2017 12:26
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 03/04/2017 16:46
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para medir velocidades. A equação de Pitot é: 
Dois tubos de Pitot acoplados a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) e outro que usa glicerina (dr=0,789). Suponha 
uma deflexão de 1mm em cada manômetro e marque a alternativa que mostra o manômetro mais preciso.
Nota: 20.0
A Mercúrio
B Glicerina
C Água
D Ar
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A técnica de análise dimensional pode ser aplicada para escoamentos geometricamente:
Nota: 20.0
A Diferentes
B Falsos
C Incompressíveis
D Semelhantes
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 5, tema 2
¾
Você acertou!
Aula 6, tema 1
¾
Nota: 20.0
A 601,98
B 792,34
C 859,31
Você acertou!
Aula 6, tema 4
¾
D 257,34
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A 1,32m
B 12,84m
C 15,34m
D 19,11m
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Para a tabela abaixo, que tem comprimentos equivalentes de conexões, supondo que uma tubulação de 25mm de 
diâmetro tenha 4 joelhos de 90°, marque a alternativa que mostra as perdas menores desta tubulação, em m: 
Nota: 20.0
A 1,2
Você acertou!
Aula 6, tema 4
¾
B 1,8
C 2,0
D 4,8
Você acertou!
Aula 6, tema 2
¾
APOL 5
PROTOCOLO: 20170321114738F5B5FERICARDO AUGUSTO ZAVAGLIA - RU: 114738 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 21/03/2017 12:26
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 03/04/2017 16:46
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para medir velocidades. A equação de Pitot é: 
Dois tubos de Pitot acoplados a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) e outro que usa glicerina (dr=0,789). Suponha 
uma deflexão de 1mm em cada manômetro e marque a alternativa que mostra o manômetro mais preciso.
Nota: 20.0
A Mercúrio
B Glicerina
C Água
D Ar
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
A técnica de análise dimensional pode ser aplicada para escoamentos geometricamente:
Nota: 20.0
A Diferentes
B Falsos
C Incompressíveis
D Semelhantes
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 5, tema 2
¾
Você acertou!
Aula 6, tema 1
¾
Nota: 20.0
A 601,98
B 792,34
C 859,31
Você acertou!
Aula 6, tema 4
¾
D 257,34
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A 1,32m
B 12,84m
C 15,34m
D 19,11m
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Para a tabela abaixo, que tem comprimentos equivalentes de conexões, supondo que uma tubulação de 25mm de 
diâmetro tenha 4 joelhos de 90°, marque a alternativa que mostra as perdas menores desta tubulação, em m: 
Nota: 20.0
A 1,2
Você acertou!
Aula 6, tema 4
¾
B 1,8
C 2,0
D 4,8
Você acertou!
Aula 6, tema 2
¾
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 1/6
APOL 4
PROTOCOLO: 20170320784196F5291BHENRIQUETA CESAR DA CUNHA - RU: 784196 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 20/03/2017 20:10
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/03/2017 20:16
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Água escoa sobre uma placa plana inclinada em   graus, em regime permanente, formando um filme de espessura h. Se 
a única força agindo é a da açãoda gravidade, marque a alternativa que mostra o perfil de velocidades correto. 
Considerações: 
Incompressível e em regime permanente. Eixos alinhados com a placa. 
Assim, da conservação da massa:
Nota: 20.0
A
Você acertou!
Aula 4, tema 4
¿
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 2/6
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 3/6
B
C
D
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
O seu carro fica sem combustível inesperadamente. Para você resolver o problema, você retira gasolina de outro usando 
um sifão. A diferença de altura do sifão é cerca de 150 mm. O diâmetro da mangueira é de 25 mm. Qual é a vazão de 
gasolina para o seu carro? 
Nota: 20.0
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 4/6
A Q = 0,842 L/s
B Q = 0,623 L/s
C Q = 1,248 L/s
D Q = 0,957 L/s
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A velocidade mínima para que ar sugue água utilizando o efeito Venturi pode ser escrita como: 
Para uma pistola de tinta de razão de áreas grande e pequena 10, sabendo que a água vai ser sugada por um tubo de 
h=10cm, e que as densidades da água e do ar são 1.000km/m  e 1kg/m , respectivamente, num lugar aonde a 
aceleração da gravidade mede 10m/s . Se o ar trabalha com 10m/s na saída da pistola, a sucção ocorre?
Nota: 20.0
A Sim, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
B Não, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
Você acertou!
Aula 5, tema 1
¿
3 3
2
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 5/6
C Não, a velocidade é menor que a mínima requerida
D Sim, a velocidade é menor que a mínima requerida
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa a frase “Uma outra aplicação da equação de __________ é o chamado “Efeito 
__________”. Este efeito é a redução da pressão do fluido, que resulta quando um fluido flui através de uma seção 
estreitada (ou restrição) de um tubo. Foi estudado por Giovanni Battista _____________ (1746­1822), um físico italiano”:
Nota: 20.0
A Bernoulli, Bernoulli, Venturi
B Bernoulli, Venturi, Venturi
C Bernoulli, Pitot, Venturi
D Bernoulli, Pitot, Pitot
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Sobre a força de sustentação:
Nota: 20.0
A É a componente de forças paralela ao arrasto
B É maléfica ao escoamento
Você acertou!
Aula 5, tema 3
¿
Você acertou!
Aula 5, tema 3
¿
02/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 6/6
C A pipa voa sem sustentação
D É a componente de forças perpendicular ao escoamento
Você acertou!
Aula 5, tema 5
¿
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
A equação de Bernoulli relaciona três importantes formas de energia do 
escoamento, a saber: 
Nota: 20.0 
 A Pressão, temperatura e volume 
 B Temperatura, fusão e cinética 
 C Pressão, cinética e nuclear 
 D Pressão, cinética e potencial Você acertou! 
Aula 5, tema 1 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
A técnica de análise dimensional pode ser aplicada para escoamentos 
geometricamente: 
Nota: 0.0 
 A Diferentes 
 B Falsos 
 C Incompressíveis 
 D Semelhantes Aula 6, tema 1 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
Marque a alternativa que completa a frase: “Arrasto e ___________ 
ocorrem quando há um movimento______________ do sólido em relação 
ao ____________ que o circunda”: 
Nota: 20.0 
 A Sustentação, relativo fluido Você acertou! 
Aula 6, tema 5 
 B Atrito, relativo, sólido 
 C Sustentação, atritante, fluido 
 D Atrito, fluido, arrasto 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água flui por um canal, como mostra a figura. A velocidade é uniforme nas 
seções e a pressão é aproximadamente hidrostática. Marque a alternativa 
que contém a velocidade na saída do sistema em m/s. 
 
 
Nota: 0.0 
 A 10,34 
 B 11,22 
 C 13,15 
 D 11,81 Aula 5, tema 1 
 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para 
medir velocidades. A equação de Pitot é: 
 
 
Dois tubos de Pitot acoplados a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) 
e outro que usa glicerina (dr=0,789). Suponha uma deflexão de 1mm em 
cada manômetro e marque a alternativa que mostra o manômetro mais 
preciso. 
Nota: 0.0 
 A Mercúrio 
 B Glicerina Aula 5, tema 2 
 
 C Água 
 D Ar 
 
 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
A equação de Bernoulli relaciona três importantes formas de energia do 
escoamento, a saber: 
Nota: 20.0 
 A Pressão, temperatura e volume 
 B Temperatura, fusão e cinética 
 C Pressão, cinética e nuclear 
 D Pressão, cinética e potencial Você acertou! 
Aula 5, tema 1 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
A técnica de análise dimensional pode ser aplicada para escoamentos 
geometricamente: 
Nota: 0.0 
 A Diferentes 
 B Falsos 
 C Incompressíveis 
 D Semelhantes Aula 6, tema 1 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
Marque a alternativa que completa a frase: “Arrasto e ___________ 
ocorrem quando há um movimento______________ do sólido em relação 
ao ____________ que o circunda”: 
Nota: 20.0 
 A Sustentação, relativo fluido Você acertou! 
Aula 6, tema 5 
 B Atrito, relativo, sólido 
 C Sustentação, atritante, fluido 
 D Atrito, fluido, arrasto 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água flui por um canal, como mostra a figura. A velocidade é uniforme nas 
seções e a pressão é aproximadamente hidrostática. Marque a alternativa 
que contém a velocidade na saída do sistema em m/s. 
 
 
Nota: 0.0 
 A 10,34 
 B 11,22 
 C 13,15 
 D 11,81 Aula 5, tema 1 
 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para 
medir velocidades. A equação de Pitot é: 
 
 
Dois tubos de Pitot acoplados a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) 
e outro que usa glicerina (dr=0,789). Suponha uma deflexão de 1mm em 
cada manômetro e marque a alternativa que mostra o manômetro mais 
preciso. 
Nota: 0.0 
 A Mercúrio 
 B Glicerina Aula 5, tema 2 
 
 C Água 
 D Ar 
 
 
3/28/2017 AVA UNIVIRTUS
1/5
APOL 4
 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 20/03/2017 12:44
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/03/2017 13:03
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
A velocidade mínima para que ar sugue água utilizando o efeito Venturi pode ser escrita como: 
Para uma pistola de tinta de razão de áreas grande e pequena 10, sabendo que a água vai ser sugada por um tubo de 
h=10cm, e que as densidades da água e do ar são 1.000km/m  e 1kg/m , respectivamente, num lugar aonde a 
aceleração da gravidade mede 10m/s . Se o ar trabalha com 10m/s na saída da pistola, a sucção ocorre?
Nota: 20.0
A Sim, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
B Não, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
C Não, a velocidade é menor que a mínima requerida
D Sim, a velocidade é menor que a mínima requerida
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
As equações de Navier­Stokes, escritas na forma mais comum podem ser escritas como: 
3 3
2
Você acertou!
Aula 5, tema 3
¾
 
3/28/2017 AVA UNIVIRTUS
2/5
O primeiro termo significa:
Nota: 20.0
A Aceleração do fluido
B Momento
C Gravidade
D Densidade estática
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Num tubo de seção circular, o diâmetro é 10 cm e o escoamento é do tipo turbulento. Um tubo de Pitot está instalado de 
forma a medir a velocidade no eixo do tubo, conforme a figura. Determine a vazão no tubo: 
        
Nota: 20.0
A Q = 22,6 L/s
B Q = 13,8 L/s
C Q = 35,4L/s
Você acertou!
Aula 4, tema 3
¾Você acertou!
Aula 5, tema 2
¾
3/28/2017 AVA UNIVIRTUS
3/5
D Q = 31,7 L/s
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa a frase “Uma outra aplicação da equação de __________ é o chamado “Efeito 
__________”. Este efeito é a redução da pressão do fluido, que resulta quando um fluido flui através de uma seção 
estreitada (ou restrição) de um tubo. Foi estudado por Giovanni Battista _____________ (1746­1822), um físico italiano”:
Nota: 20.0
A Bernoulli, Bernoulli, Venturi
B Bernoulli, Venturi, Venturi
C Bernoulli, Pitot, Venturi
D Bernoulli, Pitot, Pitot
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Água escoa sobre uma placa plana inclinada em   graus, em regime permanente, formando um filme de espessura h. Se 
a única força agindo é a da ação da gravidade, marque a alternativa que mostra o perfil de velocidades correto. 
Considerações: 
Incompressível e em regime permanente. Eixos alinhados com a placa. 
Assim, da conservação da massa:
Nota: 20.0
A
Você acertou!
Aula 5, tema 3
¾
Você acertou!
Aula 4, tema 4
¾
3/28/2017 AVA UNIVIRTUS
4/5
3/28/2017 AVA UNIVIRTUS
5/5
B
C
D
4/4/2017 AVA UNIVIRTUS
1/3
APOL 5
 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 25/03/2017 12:57
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 29/03/2017 20:35
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A hT = 8,7 m
Você acertou!
Aula 6, tema 2
¿
 
4/4/2017 AVA UNIVIRTUS
2/3
B hT = 4,6 m
C hT = 10,8 m
D hT = 13,5 m
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa a frase: “Arrasto e ___________ ocorrem quando há um movimento______________ 
do sólido em relação ao ____________ que o circunda”:
Nota: 20.0
A Sustentação, relativo fluido
B Atrito, relativo, sólido
C Sustentação, atritante, fluido
D Atrito, fluido, arrasto
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A equação de Bernoulli relaciona três importantes formas de energia do escoamento, a saber:
Nota: 20.0
A Pressão, temperatura e volume
B Temperatura, fusão e cinética
C Pressão, cinética e nuclear
D Pressão, cinética e potencial
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
O desenvolvimento de perda de carga foi feito, principalmente, porque a equação de Bernoulli não considera o:
Nota: 20.0
A Atrito
B Poder da gravidade
C Tempo
D Sentido do escoamento
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 6, tema 5
¿
Você acertou!
Aula 5, tema 1
¿
Você acertou!
Aula 6, tema 2
¿
4/4/2017 AVA UNIVIRTUS
3/3
Uma correlação comum para estimar o coeficiente de arrasto é a equação: 
Essa equação é válida para escoamentos laminares. Num escoamento com número de Reynolds 10 , o coeficiente de 
arrasto:
Nota: 20.0
A Mede 0,00133
B Mede 0,133
C Mede 2,33
D Nenhuma das anteriores
6
Você acertou!
Aula 6, tema 5
¿
4/4/2017 AVA UNIVIRTUS
1/3
APOL 5
 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 25/03/2017 12:57
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 29/03/2017 20:35
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 20.0
A hT = 8,7 m
Você acertou!
Aula 6, tema 2
¿
 
4/4/2017 AVA UNIVIRTUS
2/3
B hT = 4,6 m
C hT = 10,8 m
D hT = 13,5 m
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa a frase: “Arrasto e ___________ ocorrem quando há um movimento______________ 
do sólido em relação ao ____________ que o circunda”:
Nota: 20.0
A Sustentação, relativo fluido
B Atrito, relativo, sólido
C Sustentação, atritante, fluido
D Atrito, fluido, arrasto
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A equação de Bernoulli relaciona três importantes formas de energia do escoamento, a saber:
Nota: 20.0
A Pressão, temperatura e volume
B Temperatura, fusão e cinética
C Pressão, cinética e nuclear
D Pressão, cinética e potencial
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
O desenvolvimento de perda de carga foi feito, principalmente, porque a equação de Bernoulli não considera o:
Nota: 20.0
A Atrito
B Poder da gravidade
C Tempo
D Sentido do escoamento
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Você acertou!
Aula 6, tema 5
¿
Você acertou!
Aula 5, tema 1
¿
Você acertou!
Aula 6, tema 2
¿
4/4/2017 AVA UNIVIRTUS
3/3
Uma correlação comum para estimar o coeficiente de arrasto é a equação: 
Essa equação é válida para escoamentos laminares. Num escoamento com número de Reynolds 10 , o coeficiente de 
arrasto:
Nota: 20.0
A Mede 0,00133
B Mede 0,133
C Mede 2,33
D Nenhuma das anteriores
6
Você acertou!
Aula 6, tema 5
¿
Marque a alternativa que completa a frase “Uma outra aplicação da equação de __________ é o chamado “Efeito 
__________”. Este efeito é a redução da pressão do fluido, que resulta quando um fluido flui através de uma seção 
estreitada (ou restrição) de um tubo. Foi estudado por Giovanni Battista _____________ (1746-1822), um físico italiano”:
A Bernoulli, Bernoulli, Venturi
B Bernoulli, Venturi, Venturi
C Bernoulli, Pitot, Venturi
D Bernoulli, Pitot, Pitot
Dado o campo de velocidades:
Marque a alternativa que contém o módulo da aceleração local (a derivada no tempo).
Você acertou!
Aula 5, tema 3
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
1 de 4 04/04/2017 07:44
A 5/x
B 2y+7
C 8xz
D 5t
A equação de Bernoulli é muito útil, mesmo sem considerar o atrito no escoamento. Essa frase é:
A Verdadeira, principalmente na aerodinâmica
B Falsa, principalmente na aerodinâmica
C Verdadeira, menos na aerodinâmica
D Falsa, menos na aerodinâmica
A velocidade mínima para que ar sugue água utilizando o efeito Venturi pode ser escrita como:
Aula 4, tema 2
Você acertou!
Aula 5, tema 1
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
2 de 4 04/04/2017 07:44
Para uma pistola de tinta de razão de áreas grande e pequena 10, sabendo que a água vai ser sugada por um tubo de 
h=10cm, e que as densidades da água e do ar são 1.000km/m e 1kg/m , respectivamente, num lugar aonde a 
aceleração da gravidade mede 10m/s . Se o ar trabalha com 10m/s na saída da pistola, a sucção ocorre?
A Sim, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
B Não, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
C Não, a velocidade é menor que a mínima requerida
D Sim, a velocidade é menor que a mínima requerida
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para medir velocidades. A equação de Pitot é:
Se um tubo de Pitot acoplado a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) para medir a velocidade de água que está 
escoando em uma tubulação, mede uma deflexão de 28mm, qual é a velocidade que a água está escoando?
3 3
2
Você acertou!
Aula 5, tema 3
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
3 de 4 04/04/2017 07:44
A 2,73m/s
B 4,76m/s
C 1,90m/s
D 10,8m/s
Aula 5, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
4 de 4 04/04/2017 07:44
As perdas maiores de um escoamento são calculadas utilizando o fator de atrito, que é medido pelo diagrama de:
A Melton
B Bernoulli
C Pitot
D Moody
A equação de Bernoulli tem várias aplicações. Dentre elas:
A O tubo de Bernoulli
B O efeito de Bernoulli
C A aerodinâmica de Pitot
D O tubo de Pitot
Você acertou!
Aula 6, tema 3
Você acertou!
Aula 5, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
1 de 5 04/04/2017 07:47
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
2 de 5 04/04/2017 07:47
A Q = 1,16 L/s
B Q = 3,51 L/s
C Q = 2,45L/s
D Q = 6,83 L/s
A técnica de análise dimensional pode ser aplicada para escoamentos geometricamente:
A Diferentes
Você acertou!
Aula 6, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
3 de 5 04/04/2017 07:47
B Falsos
C IncompressíveisD Semelhantes
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para medir velocidades. A equação de Pitot é:
Dois tubos de Pitot acoplados a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) e outro que usa glicerina (dr=0,789). 
Suponha uma deflexão de 1mm em cada manômetro e marque a alternativa que mostra o manômetro mais preciso.
A Mercúrio
B Glicerina
C Água
Você acertou!
Aula 6, tema 1
Aula 5, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
4 de 5 04/04/2017 07:47
D Ar
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
5 de 5 04/04/2017 07:47
As perdas maiores de um escoamento são calculadas utilizando o fator de atrito, que é medido pelo diagrama de:
A Melton
B Bernoulli
C Pitot
D Moody
A equação de Bernoulli tem várias aplicações. Dentre elas:
A O tubo de Bernoulli
B O efeito de Bernoulli
C A aerodinâmica de Pitot
D O tubo de Pitot
Você acertou!
Aula 6, tema 3
Você acertou!
Aula 5, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
1 de 5 04/04/2017 07:47
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
2 de 5 04/04/2017 07:47
A Q = 1,16 L/s
B Q = 3,51 L/s
C Q = 2,45L/s
D Q = 6,83 L/s
A técnica de análise dimensional pode ser aplicada para escoamentos geometricamente:
A Diferentes
Você acertou!
Aula 6, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
3 de 5 04/04/2017 07:47
B Falsos
C Incompressíveis
D Semelhantes
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para medir velocidades. A equação de Pitot é:
Dois tubos de Pitot acoplados a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) e outro que usa glicerina (dr=0,789). 
Suponha uma deflexão de 1mm em cada manômetro e marque a alternativa que mostra o manômetro mais preciso.
A Mercúrio
B Glicerina
C Água
Você acertou!
Aula 6, tema 1
Aula 5, tema 2
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
4 de 5 04/04/2017 07:47
D Ar
AVA UNIVIRTUS http://univirtus-277877701.sa-east-1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/a...
5 de 5 04/04/2017 07:47
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 1/6
APOL 4
PROTOCOLO: 201703221143211F66C3BGUSTAVO DE CAMARGO BUENO - RU: 1143211 Nota: 100
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 22/03/2017 12:13
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 27/03/2017 12:53
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
A velocidade mínima para que ar sugue água utilizando o efeito Venturi pode ser escrita como: 
Para uma pistola de tinta de razão de áreas grande e pequena 10, sabendo que a água vai ser sugada por um tubo de 
h=10cm, e que as densidades da água e do ar são 1.000km/m  e 1kg/m , respectivamente, num lugar aonde a 
aceleração da gravidade mede 10m/s . Se o ar trabalha com 10m/s na saída da pistola, a sucção ocorre?
Nota: 20.0
A Sim, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
B Não, pois a velocidade é maior que a mínima requerida
C Não, a velocidade é menor que a mínima requerida
3 3
2
Você acertou!
Aula 5, tema 3
¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 2/6
D Sim, a velocidade é menor que a mínima requerida
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
Água escoa sobre uma placa plana inclinada em   graus, em regime permanente, formando um filme de espessura h. Se 
a única força agindo é a da ação da gravidade, marque a alternativa que mostra o perfil de velocidades correto. 
Considerações: 
Incompressível e em regime permanente. Eixos alinhados com a placa. 
Assim, da conservação da massa:
Nota: 20.0
A
Você acertou!
Aula 4, tema 4
¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 3/6
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 4/6
B
C
D
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
A equação de Bernoulli é muito útil, mesmo sem considerar o atrito no escoamento. Essa frase é:
Nota: 20.0
A Verdadeira, principalmente na aerodinâmica
B Falsa, principalmente na aerodinâmica
C Verdadeira, menos na aerodinâmica
Você acertou!
Aula 5, tema 1
¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 5/6
D Falsa, menos na aerodinâmica
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
O seu carro fica sem combustível inesperadamente. Para você resolver o problema, você retira gasolina de outro usando 
um sifão. A diferença de altura do sifão é cerca de 150 mm. O diâmetro da mangueira é de 25 mm. Qual é a vazão de 
gasolina para o seu carro? 
Nota: 20.0
A Q = 0,842 L/s
B Q = 0,623 L/s
C Q = 1,248 L/s
D Q = 0,957 L/s
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa a frase “Uma outra aplicação da equação de __________ é o chamado “Efeito 
__________”. Este efeito é a redução da pressão do fluido, que resulta quando um fluido flui através de uma seção 
estreitada (ou restrição) de um tubo. Foi estudado por Giovanni Battista _____________ (1746­1822), um físico italiano”:
Nota: 20.0
A Bernoulli, Bernoulli, Venturi
Você acertou!
Aula 5, tema 1
¾
28/03/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/135343/novo/1 6/6
B Bernoulli, Venturi, Venturi
C Bernoulli, Pitot, Venturi
D Bernoulli, Pitot, Pitot
Você acertou!
Aula 5, tema 3
¾
04/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/136330/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 1/4
APOL 5
PROTOCOLO: 201703281143211FAF97CGUSTAVO DE CAMARGO BUENO - RU: 1143211 Nota: 80
Disciplina(s):
Mecânica dos Fluídos
Data de início: 28/03/2017 10:57
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 03/04/2017 19:10
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos
Sobre a força de arrasto:
Nota: 20.0
A É sempre danosa ao escoamento
B Pode ser benéfica ao escoamento, como no veleiro
C Um navio só se move sem arrasto
D O avião não voa com arrasto
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos
As perdas maiores de um escoamento são calculadas utilizando o fator de atrito, que é medido pelo diagrama de:
Nota: 20.0
A Melton
B Bernoulli
C Pitot
D Moody
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos
Marque a alternativa que completa a frase: “Arrasto e ___________ ocorrem quando há um movimento______________ 
do sólido em relação ao ____________ que o circunda”:
Você acertou!
Aula 5, tema 5

Você acertou!
Aula 6, tema 3

04/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/136330/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 2/4
Nota: 20.0
A Sustentação, relativo fluido
B Atrito, relativo, sólido
C Sustentação, atritante, fluido
D Atrito, fluido, arrasto
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos
Nota: 0.0
Você acertou!
Aula 6, tema 5

04/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/136330/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 3/4
A 601,98
B 792,34
C 859,31
D 257,34
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos
Uma aeronave deve operar no ar a 8m/s (um planador, por exemplo). Um modelo é construído na escala 1:10 e testado 
em túnel de vento a fim de determinar o arrasto. Se a força de arrasto sobre o modelo for 250N a 80m/s, qual será a força 
que a aeronave real sofre? Use o adimensional de arrasto: 
Nota: 20.0
A 25N
B 25Kg
Aula 6, tema 4
04/04/2017 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/136330/novo/1/{idAvaliacaoVinculada} 4/4
C 2,5N
D 250N
Você acertou!
Aula 6, tema 1

Anexo C: ProblemasResolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS 
 
((22001111)) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 
1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 
1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 
1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 
1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
 CCAAPP 22 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-4 
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2) 
 
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico 
e densidade do óleo. 
 
[ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de 
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . 
 
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade 
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região 
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
 
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 
101,0 kPa. 
 
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão 
atmosférica local é igual a 100 kPa. 
 
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão 
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do 
mercúrio igual a 13,6. 
 
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando 
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o 
valor do número de Reynolds. 
[ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; 
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou 
incompressível? c) subsônico ou supersônico? 
 
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe 
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-5 
 
Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos 
 
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
kNN
s
m
kgxw
mgw
093,8ou 25,809381,9825
2
==
=
 
 
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso 
específico e densidade do óleo. 
 
Massa específica 
33
90067,899
917,0
825
m
kg
m
kg
V
m
≅===ρ 
Peso específico 
323
8,882581,967,899
m
N
s
m
x
m
kg
g === ργ 
Também poderia ser determinada como 
33
8,8825
917,0
25,8093
m
N
m
N
V
w
===γ 
densidade 
)4()4( 22 caOH
fluido
caOH
fluidod
oo
γ
γ
ρ
ρ
== 
90,089967,0
1000
67,899
)4(2
≅===
caOH
fluidod
o
ρ
ρ 
 
 
[3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
Peso específico 
3
34,7833
6
100047
m
Nx
V
W
===γ 
Massa específica 
3
51,798
81,9
34,7833
m
kg
g
===
γρ 
mm
xs
s
mkg
mm
Ns
s
m
m
N
g 3
2
2
3
2
2
3
.
.
====
γρ 
 
Densidade 80,0
1000
51,798
0
2 40
===
CaH
óleod
ρ
ρ 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-6 
 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. 
A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K 
 
A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 
 
3
23,5
294287
10003,441
m
kg
x
x
RT
P
===ρ 
 
As unidades são: 
( ) 32
2
..
..
m
kg
xKmmN
KkgN
Kx
kgK
Nm
m
N
RT
P ==






==ρ 
 
O peso de ar contido no tanque é igual a 
 
NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 ==∀= −ρ 
 
Conferindo as unidades: 
( ) N
s
mkg
m
s
m
m
kg
gW ==



=∀=
2
3
23
.ρ 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
s
m
x
kg
ms
s
kgm
x
kg
msN
x
m
kg
m
Ns
x 2
6
2
66
3
2
3
1088,5
..
1088,5
..
1088,5
850
105
−−−
−
=

====
ρ
µν 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da alturade coluna de água de 
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . 
Solução 
Em termos de coluna de água: água de 95.50
81.91000
10500 3
m
g
p
h =
×
×
==
ρ
 
 
Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × −13 6 103 3. kg m . 
mercúrio de 75.3
81.9106.13
10500
3
3
mh =
××
×
= 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-7 
[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do 
lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do 
lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: 
 
ghpp ρ+= 0 
 
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). 
Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos 
kPa
m
kg
xghpatm 43,79m
N
79430,79 x0,598m
s
m
 x9,81100054,13
223
==== ρ 
 
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos 
determinar a pressão absoluta como. 
 
kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm ≈+=+=+= ρ 
 
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+= 
 
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. 
 
kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs =−=−= 
 
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é 
igual a 100 kPa. 
kPakPakPappp vac 3070100atmabs =−=−= 
 
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em 
kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. 
atmabs pPp man+= 
em kgf/cm2 
2abs
321
cm
kgf
p =+= 
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. 
• Pressão em Pascal. 
kPaxx
m
kgf
N
x
cm
kgf
p 3,29410081,90,3
100
1
81,90,3 2
2
2
2abs
=== 
• Coluna de água 
água de coluna de 30
81.91000
103,294 3
02
m
g
p
h
H
=
×
×
==
ρ
 
 
• Coluna de mercúrio considerando d=13,6. 
mercúrio coluna de 2,2
81,910006,13
103,294 3
m
xg
p
h
Hg
=
×
×
==
ρ
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-8 
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 
escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 
m/s, determine o valor do número de Reynolds. 
 
O número de Reynolds é definido como 
 
µ
ρ
ν
VDVD
== ou Re 
 
a massa específica do fluido é determina em função da densidade 
 
330
910100091,0
2 m
kg
m
kg
xd H === ρρ 
 
156
38,0
910025,06,2
Re ≅==
xxVD
µ
ρ 
 
Conferindo as unidades 
 
( ) aladimension-1
...
Re
22
3
2
3
2
3 =










====
s
m
mkg
s
m
kg
m
s
m
sN
m
x
m
kg
xmx
s
m
m
Ns
m
kg
xmx
s
m
VD
µ
ρ 
 
• O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as 
variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. 
 
 
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da 
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 ≅ 11,77 kN 
 
b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³ 
 
c) γ = ρ g 3
23
/37,1281,91261 mkN
s
m
x
m
kg
≅=γ 
d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26,1
1000
1261
3
3
==
m
kg
m
kg
d 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-9 
 
[14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: 
a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? 
 
(a) TxRxKc = ( ) [ ]Kx
Kxkg
J
xc 273552874,1 +−

= c ≅ 296 m/s 
 
b) M = V / c 
s
m
s
m
s
m
s
h
x
km
m
x
h
km
M
296
236
296
3600
1
1
1000
850
≅= 
M ≅ 0,8 [admensional] 
 
M > 0,3 � Fluido Compressível 
 
c) M ≅ 0,8 M < 1 � Subsônico 
 
 
 
 
[15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um 
manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
).( PerfeitoGásEq
TxR
p
=ρ 
absAR
manatmabs
TxR
pp
TxR
p +
==ρ 
( )
( )
3
2
2
2
5,08
323
.
287
.
471330
27350287
370000101330
m
kg
Kx
Kxkg
s
mkg
sm
kg
Kx
Kxkg
J
PaPa
=⇒=
+
+
= ρρ 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-10 
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3) 
 
1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a 
densidade deste líquido. 
 
2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4 
Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 
 
3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. 
Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água 
nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica 
da água quando a temperatura é igual a 42,10C. 
 
ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 
T (0C) 20 25 30 35 40 45 50 
 
4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: 
 
 
ST
CT
+
=
2/3
µ 
As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. 
Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos 
de mecânica dos fluidos 
 
5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por: 


=
T
B
D expµ 
Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a 
viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma: 
D
T
B ln
1
ln +=µ 
Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de 
intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a 
partir da Eq. original. 
 
6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num 
reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96) 
 
7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume 
do tanque. (V=1,52m3) 
 
8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. 
Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a 
densidade do mercúrio. (d=13,6) 
 
9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água 
salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 
 
10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesosespecífico 
igual a 850kgf/m3. 
 
11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando 
se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 
 
12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa 
especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-11 
13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão 
atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 
 
14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se 
mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal 
(101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. 
(h=760mmHg) 
 
 
15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a 
pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 
 
16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 
760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 
 
17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 
40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 
 
 
18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que 
contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor 
destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. 
 
19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que 
apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U 
conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. 
Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no 
manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta: 
Pmam=21,1kPa) 
 
 
20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa 
água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine 
a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. 
 
21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão 
igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3) 
 
22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido 
no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 
210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N). 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE 
 
 ((CCAAPP 22)) 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-13 
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. 
 
• Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
• Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com 
a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
• Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
• Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de 
cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica 
de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade 
de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de 
velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. 
 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A 
separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A 
densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: 
• ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido 
• ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) 
• ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
 
 
 
(1) (2) (3) 
dy
duµτ =
y 
x 
 y 
V=2,5m/s 
h=100mm 
0 
U=0,3m/s 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-14 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é 
dada pela equação 
 



 

−=
2
1
2
3
h
yV
u 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e 
h=5mm determinar: 
a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = 
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o 
diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com 
viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade 
(dv/dy=u/y). 
 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de 
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente 
de velocidades é dado por: 
 




=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
ππ
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-15 
Solução – Problema 1 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. 
 
(a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
(b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com 
a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
(c) Se o perfil de velocidade foruma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
(d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. 
 
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). 
 
 
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = 
constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). 
 
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: 
 
 u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. 
 
 Para y=0 (centro do canal) τ=0. 
 
 Para y=ymax (paredes) τ=τmax. 
 
 Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-16 
Solução – Problema 2 
 
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar 
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em 
y= -100mm. 
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s 
 
como 2byaV += achamos que a=2,5m/s 
 
Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos 
 
( )
2
22
2505,2
250
1,0
5,20
yV
y
aV
b
−=
−=
−
=
−
=
 
O gradiente de velocidade é dada por: y
dy
du
500−= 
Tensão de cisalhamento em y=0 : 
0 x500x08,0x10 3- ===
dy
duµτ 
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 
2
 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10
m
N
dy
du
−=== µτ 
 
Solução – Problema 3 
 
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 
850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 
0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de 
velocidade (dv/dy=u/y). 
21 FFF += 
2
2
5
3
N.s/m06473,010615,7850 === −
s
m
x
m
kgρνµ 
 
1
1 y
u
A
dy
du
AAF µµτ ≡== 
2
2 y
u
AF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. 
 
 
N
m
s
m
x
m
sN
xmx
y
u
AF 62,0
0125,0
15,0
.
06473,04,022
2
2 ==

= µ 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-17 
Solução – Problema 4 
 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre 
elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena 
largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no 
líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa 
é igual a 0,88 Determinar: 
 (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) 
(b) A viscosidade cinemática do líquido 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) 
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
Hipóteses: 
• Distribuição linear da velocidade 
• Escoamento em regime permanente 
• Viscosidade constante 
 
 
(a) 1 cP = Pa s /1000 
 
 s 105,6
1000
 
)65,0( 4 Pax
cP
sPa
cP −==µ 
 
 1 cP = Pa s /1000 
 
 
)/(105,6
1000 
)/(
)65,0( 4 mskgx
cP
mskg
cP −==µ 
 
(b) A viscosidade dinâmica 
 
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
1039,7
100088,0
105,6
−
−
===
ρ
µν 
 
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: 
 
bmyyu +=)( 
 
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) 
 
Para y=d u=U e por tanto m= U/d 
 
Desta forma o perfil de velocidade é dado como: 
 
y
d
U
yu 

=)( 
 
O gradiente é dado por: 
 
ctes
x
d
U
dy
du
====
−11000
3,0
10003,0
 
 
 
 
 
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
 
 
Pa
m
N
sms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65,065,0
1
1000105,6
2
4
0
==

==
= −
=
µµτ 
 
• A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no 
sentido negativo (-) dos x 
 
 
 
• A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no 
sentido positivo dos x 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-18 
Solução – Problema 5 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é 
dada pela equação 
 



 

−=
2
1
2
3
h
yV
u 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e 
h=5mm determinar: 
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
Utilizando a lei universal 
 
τ µ=
du
dy
 
 
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento 
devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, 
 
y
h
V
h
yV
dy
du
22
3
20
2
3 −=

 

−= 
 
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, 
 
Paou
m
N
m
x
s
m
xx
m
Ns
h
V
h
h
V
hy 691 691005,0
1
6,0392,1
3
)(
3
222
=





==−−=
−=
µµτ 
 
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior 
apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. 
 
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. 
 
O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia 
de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-19 
Solução – Problema 6 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = 
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma ( ) .4y
dy
ydU
= 
A tensão de cisalhamento é dada por: 
y
u
∂
∂= µτ 
2
3 0016,0)2,0(4102
)(
m
N
xxx
dy
ydU
===
−µτ 
 
Solução – Problema 7 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é 
de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e 
o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na 
descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). 
 
y
u
DL
dy
du
AAF µπµτ === 
 ( )
s
cm
s
m
xxx
xx
DL
Fy
u 87,20287,0
5,832,02,0
00005,098,9100
====
πµπ
 
 
Solução – Problema 8 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de 
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente 
de velocidades é dado por: 
 




=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
ππ
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
Pa
sxPax
xx
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mmy
mmy
0257,0 
068,1428.108,1 
707106,01000
0,72
0,9 
0,72
5,3
cos
2
5
max
5,3
5,3
=
=



 

=



 



==
=
−
=
=
πµ
ππµµτ
µτ
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-20 
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidadede Newton (Cap.2) 
 
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a 
inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e massa específica 830 
kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa móvel em contato com 
o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida 
para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 (b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N 
 [2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas h=6mm 
tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica é igual a 1260 
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s. 
 
Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior com 
uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para puxar a placa 
superior considerando esta com superfície igual a 1,0m2. 
R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N 
 
 
[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina de 
óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O óleo tem 
densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) Qual a tensão de 
cisalhamento produzida pelo fluido sobre a placa? (b) Qual a 
velocidade da placa móvel? 
R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s 
 
[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante V e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria apresenta um 
comprimento L e uma largura b. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear do perfil de velocidade no 
óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta a potencia é dada por FVW =& 
onde F é a força tangencial na correia e V a velocidade da correia. Dados: L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo 
SAE 30 

=
sm
kg
.
29,0µ R: 72,5 W. 
 
 [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é dado por: 


 

−=
2
max
2
1)(
h
y
uyu onde umax representa a velocidade 
máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o gradiente 
de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de cisalhamento. 
Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da placa 
superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s Determine (c) A 
tensão de cisalhamento no centro do canal e na placa superior (d) A força 
de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 N/m2. (d) 0,138 N 
 Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e viscosidade 
dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-21 
[6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado 
por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde V é a velocidade 
média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 Pa.s Considerando que 
V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal (b) 
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (c) Desenhe a distribuição da 
velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. R: (a) 691,2 (N/m2) 



 

−=
2
1
2
3
)(
h
yV
yu 
 
[ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película de óleo. A 
velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm. 
R: (a) 0,01 Pa.s 
 [8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, uma 
altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 149,5mm. Este 
corpo se move com uma velocidade constante igual a 50mm/s 
dentro de um tubo de 150mm de diâmetro. Entre o tubo e o 
cilindro existe uma película de óleo. Determine (a) tensão de 
cisalhamento na parede interna do tubo externa (b) viscosidade 
dinâmica do óleo. R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s 
 
[9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo 
lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo 
apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro do 
eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a 
Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 Pa.s 
R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm 
 
 
[10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo vertical com 
0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de óleo de viscosidade 23,9 
Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra. 
 
[11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de comprimento é 
arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de uma luva de 60,2mm. No 
espaço entre o eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e 
viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. 
(a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força requerida 
para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) Determinar a força 
requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N 
 
 
[12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira dentro de 
uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o eixo e a luva existe 
óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 
0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e 
(b) potência originado nesta condições de operação. 
R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
MMAANNOOMMEETTRRIIAA 
 
(( CCAAPP 33 )) 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-23 
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.3) 
 
[1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. Considere a 
densidade do fluido igual a 8,5. 
 
B de acima líquido de coluna da Pressão = P(B)
) (/5,12
) (/12508
5,181,910006,8
 
2
2
2
2
kPaoumkN
PaoumN
xxx
hgd
ghp
águamercurio
B
=
=
=
=
=
ρ
ρ
 
 Manômetro piezométrico simples 
 
 
 
[2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma pressão 
de um fluido com massa especifica igual a 700kg/m3. O 
manômetro utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. 
Determinar: 
 
a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. 
b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m. 
 
 
 
p gh ghA = −ρ ρman 2 1 
 
a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4 
 
 = 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar) 
 
b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4 
 
 = -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar) 
 
A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-24 
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo U. Determinar 
a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. 
 
pC = pD 
 
pC = pA + ρg hA 
 
pD = pB + ρg (hB - h) + ρman g h 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(ρman - ρ) 
 
pA - pB = ρg (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) ρH20 
 
 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 
 
 = -7284 + 61852 
 
 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) 
 
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A 
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do 
manômetro. 
 
 
 
• Por definição um manômetro mede pressão em relação a pressão 
atmosférica. 
• Para determinar Y trabalhamos com pressões relativas a 
atmosférica. 
• Como o reservatório este fechado, a pressão do ar igual a 30kPa 
é uma pressão relativa a atmosfera. 
 
 
 
Desta forma utilizando pressões relativas: 
 ( ) ( ) ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225 ρρρρ =+−+−+
 
 ( ) ( ) yxxxxxxx81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 =+−+−+ 
 
Resolvendo: 
 ( ) ( )
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000
==
=
=+++
=+−+−+ yxxxxxxx
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-25 
[ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: 
A pressão absoluta no ponto A; 
 
 
PA (Rel) = ρH2O . g . hH2O 
 
PA (Rel) = 1000 kg/m
3 x 9,81 m/s2 x 5 m ≅ 49 kPa 
 
PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) 
 
PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa 
 
PA (Abs) ≅ 270 kPa 
 
 
[ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: 
a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água; 
b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. 
 
 
 
a) 
PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) 
 
PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa ≅ 134,68 kPa 
 
PA (Rel) = ρGas. g . hgas = 680 kg/m3 x 9,81 m/s2 x 5 m = 33,354 kPa 
 
ρGas = d x ρágua à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m3 = 680 kg/m3 
 
 
b) 
PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + ρágua. g . hágua 
 
 
PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m
3 x 9,81 m/s2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa ≅ 144,5 kPa 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-26 
[ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: 
 
a) a massa específica do azeite de oliva; 
b) a densidade do azeite de oliva. 
 
Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa. 
 
 a) 
 PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg 
 
 PA (Abs)=PAtm +ρóleo.g.hóleo +ρH2O.g.hH2O +ρaz.oliva.g.haz.oliva +ρHg.g.hHg 
 
 
olivaaz
HgHgOHOHóleoóleoATMF
olivaaz hg
hghghgPP
.
. .
......
22
ρρρ
ρ
−−−−
= 
( ) ( ) ( )[ ]{ }
m
s
m
Pa
oa
9,2.81,9
4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300
2
.
++−−
=ρ 
 3
2
2
. /1370
9,2.81,9
.
38982
mkg
m
s
m
sm
kg
olivaaz ≅≅ρ 
 
 
 
 
 
 
3
34
4
/890000189,0 mkg
m
kg
xxdd
Càáguaóleoóleo
Càágua
óleo
óleo ===⇒= °
°
ρρ
ρ
ρ b) 
 
37,1
/1000
/1370
.3
3
4
.
. =⇒==
°
olivaaz
Càágua
olivaaz
olivaaz dmkg
mkg
d
ρ
ρ
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-27 
[8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as câmaras A e 
B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. 
 
 
 
kPaPP
PghghghP
BA
BtetraHgóleoA
28,37
321
−=−
=−++ ρρρ
 
 
Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A 
 
 
[ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi 
conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. A 
deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e a 
velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a variação de 
pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do mercúrio: 13,6. 
 
 
 
 
 
( ) kPaxPP
Pgg
x
gx
x
gP
BA
BaaaaA
52
1000
81,9)7503696,13360(
1000
750
1000
360
6,13
1000
360
1000
≈+−=−
=−

 −−

−

+ ρρρρ
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-28 
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap3) 
[ 1 ] O sistema da Fig. encontra-se aberto a atmosfera. Se a 
pressão atmosférica é 101,03 KPa e pressão absoluta no fundo 
do tanque é 231,3 kPa determine a pressão relativa entre a 
água e o aceite de oliva. Obs: Densidade do óleo SAE 0,89. 
Densidade do mercúrio 13,6. 
 
[ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque 
subterrâneo de gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 
determine (a) pressão absoluta e relativa na interfase gasolina-
água e (b) pressão abs. e relativa no fundo do tanque. 
R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa 
 (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa 
 
 
 
 
[3] Numa tubulação que escoa água se utiliza um manômetro 
em U conectado como mostrado na figura. O manômetro utiliza 
benzeno com massa específica igual 879 kg/m3. Determinar: 
 
(a) A diferença de pressão entre as duas tomadas de pressão. 
(b) O sentido do escoamento da água dentro da tubulação. 
R: PA - PB = 463 Pa (de A para B ) 
 
 
[4] Os recipiente A e B da figura contém água sob pressão de 
294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. Determine a deflexão do 
mercúrio (h) no manômetro diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. 
Massa específica da água: 1000 kg/m3; 
Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 
[5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. 
considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. 
Considere água com massa especifica igual a 1000 kg/m3. A 
densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. 
R: 22cm 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-29 
 
 
 
[ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada mostrada na 
Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. Massa especifica do 
mercúrio 13550 kg/m3. Determine a pressão manométrica no 
ponto A. R: 20,92 kPa. 
 
[ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado 
contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig. A pressão 
(relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual 
será a elevação da coluna de mercúrio do manômetro. 
R: y=626mm 
 
[8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da 
pressão causada por uma diminuição da seção reta ao longo 
do escoamento. Massa específica da água = 1000kg/m³. Massa 
específica do mercúrio = 13600kg/m³. 
(a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B 
(b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em metros 
de coluna de água ? 
R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 
 [9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de pressão entre 
as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA) 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-30 
 
[10] Determine a pressão na tubulação com água (A) 
considerando que o manômetro em U esta aberto para a 
atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso especifico 
igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e h2=10cm. 
R: 8,0 kPa 
 
[ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura abaixo, 
quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. Considere as 
densidades dos fluidos dA=0,88 e dB=2,95.R: 42,84mm 
 
[ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do mercúrio: d=13,6). 
R: (a) 2,75 kPa 
 [ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém água, 
tendo uma região ocupada por mercúrio com densidade igual 
13,6. O reservatório é fechado e pressurizado tendo uma 
pressão absoluta igual a 180 kPa. A pressão absoluta em A é 
igual a 350 kPa. Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da 
coluna de água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. 
Obs: água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. 
R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa 
 
[14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do reservatório sobre 
o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
((CCaapp.. 44 )) 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-32 
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Cinemática dos Fluidos (Cap4) 
 
[ 1] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r Onde x e y em metros 
 
1. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
2. Regime permanente ou não permanente ? 
3. Determinar o ponto de estagnação 
4. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
5. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
[ 2 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
 ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −=r 
 
[ 3 ] Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
 
( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
[ 4 ] Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
(1) Determinar o vetor daaceleração total. 
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) 
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) 
 
[ 5 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++=r 
 
[ 6 ] Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−=r 
 
[ 7 ] Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de velocidades 
dada pela equação: 
( ) 

 +=→
L
x
utzyxV
2
1,,, 0 . 
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada e 
na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na 
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. 
 
[ 9 ] Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r 
 
(a) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. 
(b) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. 
(c) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. 
(d) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. 
(e) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
[ 10 ] Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: 
 
jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++=
r
 
 
(a) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
(b) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. 
(c) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
Exemplo 1 Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
Onde x e y em metros 
6. Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
7. Regime permanente ou não permanente ? 
8. Determinar o ponto de estagnação 
9. Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
10. Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 
(1) Escoamento é uni bi ou tridimensional ? 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 Desta forma jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 Resposta: Escoamento bidimensional 
 
(2) Regime permanente ou não permanente ? 
 
Consideramos o vetor velocidades: jviuyxV ˆˆ),( +=
r
 
 
Tomando a derivada parcial no tempo: 0
),( =
∂
∂
t
yxV
r
 Resposta: Regime permanente 
 
(3) Determinar o ponto de estagnação: 
 
Ponto de estagnação: Ponto onde V=0 
 
625,0
8,0
5,0
08,05,0
−=
−
=
=+=
x
xu
 
875,1
8,0
5,1
08,05,1
==
=−=
y
yv
 
 
 Resposta: Ponto de estagnação em x=-0,625m y=1,875m 
 
(4) Avaliar o vetor velocidade em x=2m e y=3m 
 
( )
jiV
jiV
jxixV
ˆ)9,0(ˆ)1,2(
ˆ)4,25,1(ˆ)6,15,0(
ˆ)38,05,1(ˆ28,05,0
−+=
−++=
−++=
r
r
r
 
Resposta: Vetor velocidade: jiV ˆ)9,0(ˆ)1,2( −+=
r
 
 
(5) Determinar a magnitude da velocidade em x=2 e y=3m 
 smvuV /28,29,01,2 2222 =+=+= 
 
Resposta: Magnitude da velocidade em x=2 e y=3m V=2,28m/s 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-34 
Exemplo 2: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. ( ) jxyiyxV ˆ)2(ˆ4 432 −=r 
Solução: 
 
Será fluido incompressível se: 
0=•∇ V
r
 ou 0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u 
Será fluido compressível 
0≠•∇ V
r
 ou 0≠
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u 
 
 
0
2
4
4
32
=
−=
=
w
xyv
yxu
 Derivando 
0
8
8
3
3
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
xy
y
v
xy
x
u
 e somando obtemos 088 33 =−=
∂
∂+
∂
∂
xyxy
y
v
x
u 
 
Portanto o escoamento é incompressível – Resposta: fluido incompressível 
 
Exemplo 3: Verifique se o vetor velocidade corresponde ao escoamento de um fluido compressível ou incompressível. 
 
( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
0
8,05,1
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 
0
8,0
8,0
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
w
y
v
x
u
 008,08,0 =+−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u 
 
 
Resposta: fluido incompressível 
 
Atividade: Dado o vetor velocidade 
 
 ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++=r 
 
(a) Determine se o escoamento é em regime permanente ou não-permanente 
(b) Determine a magnitude da velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). 
(c) Determine a aceleração local da partícula. 
(d) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível 
(e) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-35 
Exemplo 4: Dado o vetor velocidade: ( ) jyixV ˆ)8,05,1(ˆ8,05,0 −++=r 
 
(1) Determinar o vetor da aceleração total. 
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) 
(3) Determinar o modulo da aceleração em (2,3,0) 
 
 
(1) Determinar o vetor da aceleração total. 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
ap ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
rrrrr
r observamos que é regime permanente: 0=
∂
∂
t
V
r
 
 
0
8,05,1
 
8,05,0
=
−=
+=
w
yv
xu
 
0
ˆ8,0
ˆ8,0
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
z
V
j
y
V
i
x
V
r
r
r
 
( )
0
ˆ)64,02,1()ˆ8,0)(8,05,1(
ˆ)64,04,0()ˆ8,0(8,05,0
=
∂
∂
+−=−−=
∂
∂
+=+=
∂
∂
z
V
w
jyjy
y
V
v
ixix
x
V
u
r
r
r
 
 
jyix
Dt
VD ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++=
r
 
 
Resposta: jyixap ˆ)64,02,1(ˆ)64,04,0( +−++=
r 
 
(2) Avaliar a aceleração em (x,y,z)=(2,3,0) 
 
ji
Dt
VD
ji
Dt
VD
jxix
Dt
VD
ˆ)72,0(ˆ)68,1(
ˆ)92,12,1(ˆ)28,14,0(
ˆ)364,02,1(ˆ)264,04,0(
+=
+−++=
+−++=
r
r
r
 
 
Resposta: jiap ˆ)72,0(ˆ)68,1()0,3,2( +=
r 
 
(3) Determinar o módulo da aceleração em (2,3,0) 
 
22222 /83,172,068,1)0,3,2( smaaaa yxpp =+=+==
r 
 
Resposta: 2/83,1)0,3,2( smap = 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-36 
Exemplo 5: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional 
 ( ) ( )kjxiyxV ˆ10ˆ)3(ˆ12 43 ++=r 
 
Rotacional 0
2
1 ≠∇= Vx
r
r
ω Irrotacional 
 
k
y
u
x
v
j
x
w
z
u
i
z
v
y
w ˆ
2
1ˆ
2
1ˆ
2
1 


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂=ωv 
 
( )
( )kw
jxv
yxu
ˆ10
ˆ)3(
12
4
3
=
=
=
 
( )
( )
( ) 01212
2
1
2
1
000
2
1
2
1
00
2
1
33 =−=



∂
∂−∂
∂=
=−=



∂
∂−∂
∂=
−=
xx
y
u
x
v
x
w
z
u
z
z
y
y
x
ω
ω
ω
ω
ω
 
 
Resposta: Irrotacional 
 
Exemplo 6: Verifique se o escoamento é rotacional ou irrotacional 
 ( ) ( )kzjzxiyxV ˆ12ˆ)44(ˆ6 22 +−−=r 
 
 
( )
( )2
2
12
)44(
6
zw
zxv
yxu
=
−−=
=
 
( ) 240
2
1
2
1
−=−=



∂
∂−∂
∂=
x
x z
v
y
w
ω
ω
 
( ) 000
2
1
2
1
=−=



∂
∂−∂
∂=
y
y x
w
z
u
ω
ω
 
( ) ( )22 3264
2
1
2
1
xx
y
u
x
v
z
z
+−=−−=



∂
∂−∂
∂=
ω
ω
 
 
 
 
 
Resposta: Rotacional 
 
0=xω
0=yω
0=zω
0=ω
r
0≠xω 0=yω 0≠zω
0≠ω
r
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-37 
 Exemplo 7: Considere um escoamento em regime permanente através de um bocal convergente considerando um perfil de 
velocidades dada pela equação: 
( ) 

 +=→
L
x
utzyxV
2
1,,, 0 . 
Determinar: a) a aceleração da partícula do fluido; b) a aceleração na entrada 
e na saída do bocal, considerando u0 = 3,0m/s e L = 0,3m; c) a velocidade na 
saída do bocal; d) a aceleração local na entrada e na saída. 
 
a) Unidimensional ( ) i
L
x
uutzyxV ˆ
2
1,,, 0 

 +==→ 
t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
ap ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==
→→→→→
→
... 
Como 0
t
V =
∂
∂
→
 , então, o escoamento é em Regime Permanente; 


 +

=









 +=∂
∂==
→→
→
L
x
L
u
L
u
L
x
u
x
V
u
Dt
VD
ap
2
1.
.2.2
.
2
1.
2
00
0 (aceleração da partícula do fluido) 
 
b) 
( ) ( ) 

 +



=

 +

==
→
→
mm
sm
L
x
L
u
Dt
VD
ap 3,0
0.2
1.
3,0
/3.22
1.
.2
22
0 
2/60 smap =
→
 (aceleração na entrada do bocal) 
( ) ( )

 +


=

 +

==
→
→
m
m
m
sm
L
x
L
u
Dt
VD
ap 3,0
3,0.2
1.
3,0
/3.22
1.
.2
22
0 
2
p s/m180a =
→
 (aceleraçãona saída do bocal) 
 
c) 
( )
s
m
m
m
s
m
L
x
uuV 9
3,0
3,0.2
1.3
2
10 =

 +=

 +==→ (velocidade na saída do bocal) 
 
 
c) Neste exercício, a aceleração local é zero porque a equação não varia em função do tempo. 
 
( ) i
L
x
uutzyxV ˆ
2
1,,, 0 

 +==→ 
( ) 

 +

=∂
∂=⇒=
→
→
→
→
L
x
L
u
x
V
ua
Dt
VD
tzyxa pp
2
1.
.2
.,,,
2
0 
0=
∂
∂
→
t
V
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-38 
Exemplo 8: O vetor velocidade (m/s) de uma partícula de fluido é dado por: 
 ( ) ( ) ( )kzxjxyzizyV ˆ3ˆ2ˆ 3222 ++=r 
 
(a) Determine a magnitude velocidade da partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). 
(b) Determine a aceleração local da partícula. 
(c) Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível 
(d) Determine de o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
Solução 
 
(1) Velocidade na partícula no ponto (x,y,z)=(2,3,1). 
 
(a) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
smV
kjiV
kjiV
kzxjxyzizyV
/3,28
ˆ24ˆ12ˆ9
ˆ1.2.3ˆ1.3.2.2ˆ1.3
ˆ3ˆ2ˆ
3222
3222
=
++=
++=
++=
r
r
r
 
 
 
(2) Aceleração local da partícula. 
 
(b) 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrrr
 
 
Resposta : Aceleração local da partícula: 0=
∂
∂
t
V
r
 (a aceleração local da partícula é nula) 
 
(c)Verifique se o escoamento é compressível ou incompressível 
 
z
w
y
v
x
u
V
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
r
 
 0320 32 ≠++=∇ xxzV
r
 Por tanto se trata de fluido compressível. 
 
(d) Escoamento é rotacional ou irrotacional. ? 
 
0)22(
2
1
2
1
)92(
2
1
2
1
)40(
2
1
2
1
22
22
=−=


∂
∂−∂
∂
≠−=


∂
∂−∂
∂
≠−=


∂
∂−∂
∂
yzzyz
y
u
x
v
zxzy
x
w
z
u
xyz
z
v
y
w
 
 
Resposta: Escoamento rotacional 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-39 
 
Exemplo 9: Dado o vetor velocidade ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r 
 
(f) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. 
(g) Verificar se o escoamento é em regime permanente ou não permanente. 
(h) Determinar a aceleração da partícula observando a contribuição da aceleração local e da convectiva. 
(i) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. 
(j) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
SOLUCAO 
 
(A) Verifique se o escoamento é uni bi ou tridimensional. 
Resposta: Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z 
(v,w). 
 kwjvV ˆˆ +=r 
(B) Verifique se o escoamento permanente ou não permanente. 
Para ser escoamento em 3D em regime permanente. ),,,( tzyxVV =r 
 
Neste caso: kzywjzyuV ˆ),(ˆ),( +=r 
 
Portanto o escoamento não é dependente do tempo (regime permanente) 
 
 ( C) Determinar a aceleração da partícula 
 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrrr
 )()( ConvectivapLocalpp aaa
rrr
+= 
Como se trata de regime permanente a contribuição da aceleração local é nula: 0=∂
∂
t
V
r
 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
rrrr
 
 
0=
∂
∂
x
V
u
r
 (escoamento bidimensional com u=0) 
 
kyzzyjyzy
y
V
v ˆ)6)(4(ˆ)3)(4( 323 −−+−−−=
∂
∂
r
 
 
kyzy
z
V
w ˆ)3)(3( 22=∂
∂ r 
 
 
( ) ( ) kzykyzzyjzyy
Dt
VD ˆ)9(ˆ246ˆ123 42425 ++−+=
r
 
 
 
( ) ( )kyzzyjzyy
Dt
VD ˆ243ˆ123 2425 +++=
r
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-40 
 
 
( D ) Verificar se o escoamento é compressível ou incompressível. 
 
Para que o fluido seja incompressível deve satisfazer a equação: 
 
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
z
w
y
v
x
u
V
r 
 
 0=
∂
∂
x
u 23y
y
v −=∂
∂ 23y
z
w =
∂
∂ 
 
Desta forma verifica-se que o escoamento é incompressível. 
 
033 22 =+−=
∂
∂+
∂
∂=∇ yy
z
w
y
v
V
r 
 
(E ) Verificar se o escoamento é rotacional ou irrotacional. 
 
Lembrando que o vetor velocidade é dado por: ( ) ( )kzyjzyV ˆ3ˆ4 23 +−−=r 
 
Trata-se de um escoamento bidimensional com componentes de velocidade somente em y e z (v,w). 
 
kzywjzyvV ˆ),(ˆ),( +=
r P 
 
Desta forma o vetor rotacional pode ser simplificado: 
 
 
k
y
u
x
v
j
x
w
z
u
i
z
v
y
w ˆ
2
1ˆ
2
1ˆ
2
1 


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂=ωv 
 
 
i
z
v
y
w ˆ
2
1 


∂
∂−∂
∂=ωv 
 
yz
y
w
6=
∂
∂ 
 
4−=
∂
∂
z
v 
 
Desta forma o escoamento é rotacional já que 0≠ωv 
 
ixz ˆ)46(
2
1
−=ω
v 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-41 
 
Exemplo 10: Um campo de velocidade de uma partícula de fluido é dada por: 
 
jyxiyxV ˆ)8,21,298,0(ˆ)65,08,21( −−−+++=
r
 
 
(d) Determine a velocidade da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
(e) Determine a expressão geral do vetor de aceleração da partícula de fluido. 
(f) Avalia a aceleração da partícula de fluido para o ponto (x,y)= (-2,3) 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-42 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – Cinemática (Cap.4) 
 
[1] Uma partícula de fluido apresenta o vetor de velocidades: 
k
ji
xzytxttzyxV ˆˆ
2
ˆ 32),,,( +−=
r . Determinar: 
(a) Se o escoamento é uni, bi ou tridimensional. 
(b) Se o escoamento é permanente ou não-permanente. 
( c ) Aceleração total da partícula 
(d ) Aceleração total para (x,y,z)=(2,-2,0) 
(e) Velocidade e aceleração da partícula para t=2s em (2,-2,0). 
 
 
[2] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kji tyxztV ˆ2ˆˆ3 ++=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
 
[3] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: 
k
ji zxxyzzyV ˆ
3
ˆ
2
ˆ
22 32 ++=
r 
(a) Determine se o fluido é rotacional ou irrotacional 
(b) Se a componente da velocidade em z é nula, verifique se o fluido é rotacional ou irrotacional. 
 
[4] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: kzji etaytaxV ˆ2ˆ23ˆ2
2
+−=
r 
 Determinar a equação que representa a aceleração da partícula. 
[5] O vetor velocidade de uma partícula de fluido é dado por: k
y
zx
j
y
zx
i
y
zx
V ˆ
3ˆ2ˆ
2
223
2
3
−−=
r 
 Verifique se o fluido é compressível ou incompressível. 
 
[6] Dado o campo de velocidades kji zzxyxV ˆ2ˆˆ2 12)44(6 +−−=
r Determine o campo de velocidades angular 
ou rotacional. 
 
[7] Verifique quais dos seguintes campos de velocidades satisfaz a Eq. da continuidade. 
 
(a) xu −= yv = (b) yu 3= xv 3= (c) xu 4= yv 4−= 
 
(d) xyu 3= ytv 3= (e) tyxyu 2+= txxyv 4+= (c) 324 yxu = 42xyv −= 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
CCOONNSSEERRVVAAÇÇÃÃOO DDAA MMAASSSSAA 
 
(( CCaapp.. 55 )) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-44 
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) 
 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque 
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes 
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é 
dada pela equação: 
 
i
R
r
UV ˆ1
2
max 


 

−=r 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. Determine o 
fluxo de massa da tubulação. 
 
 
 
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para 
escoamento de água em regime permanente. As áreas das A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através da seção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão entrando na seção (4) é 
igual a 0,03m3/s. A velocidade entrandona seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do fluido uniformes através de todas as 
entradas e saídas do fluxo determine o fluxo e massa e velocidade na seção 
(2). 
 
 
 
 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-45 
 
 
Solução Exemplo 1 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque através de 
uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa 
especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa 
instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
Equação Básica 0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem 
dependentes do tempo. 
(2) Escoamento uniforme na seção (1). 
 
 Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar ρ da integral do primeiro termo. 
( ) 0=∫+∫ ∀ sc AdVvcdt
rrρρ∂
∂ 
• Como ∀=∀∫
vc
d 
0=∫+∀ sc AdVt
rrρρ∂
∂ 
 
• O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). 
∫=∫ 1Asc AdVAdV
rrrr
ρρ 
 
• Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto ρVdA é positivo (+). 
 
• Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 
 
1111
AVAdV
A
ρρ =∫ rr 
 
( ) 0111 =+∀∂
∂
AV
t
ρρ 
• Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: 
 
( ) 111 AVt ρρ −=∂
∂∀ 
 
( )
∀
−=
∂
∂ 111 AV
t
ρρ 
 
( )
( )
( ) smkgm
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
311
13,6
33
2
3


−=





−=∂
∂ ρ 
• Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula (t=0). 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-46 
Solução Exemplo 2 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: 
 
i
R
r
UV ˆ1
2
max 


 

−=r 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. 
Determine o fluxo de massa da tubulação. 
 
Solução: 
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
 
Hipóteses: 
• Escoamento permanente 
• Escoamento incompressível 
• Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
∫∫∫ === AdVAdVAdVm rrrrrr& ρρρ 222111 
 
A
u
R
uR
um
RRR
R
RR
R
rr
rdr
R
r
rdr
R
r
um
drr
R
r
um
πrdrdA
R
R
R
R
224
2
442
1
42
1
42
1
:integral a Resolvendo
12
)2(1
 2 : tubodo seção da área de elemento o doConsideran
max2max
2
max
222242
0
242
0
2
0
2
max
0
2
max
ρπρπρ
πρ
πρ
==


=
=

 −=


 

−=


 

−=


 

−



 

−=



 

−=
=
∫
∫
∫
&
&
&
 
Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 
2
maxuu = 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-47 
Solução Exemplo 3 
[3] Dados 
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 
Fluxo de massa em (3): 
s
kg
m 603 =& (+) 
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s 
Velocidade em (1) 
s
m
iV ˆ0,31 =
r 
Consideramos a massa específica da água igual a 1000 kg/m3 
 
 
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
0=∫+∫ ∀ scvc AdVdt
rrρρ∂
∂ 
Hipóteses: 
(1) Escoamento permanente 
(2) Escoamento incompressível 
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 
0
4331
=+++= ∫∫∫∫∫
AAAAsc
AdVAdVAdVAdVAdV
rrrrrrrrrr
ρρρρρ 
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 
1
1
1111
1
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 
 
222
2
22
2
mAVAVAdV
AA
&
rr
=±== ∫∫ ρρρ Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção 
 
∫∫ ===
3
33333
3 AA
mAVAVAdV &
rr
ρρρ (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 
 
4
4
4444
4
mAVAVAdV
AA
&
rr
=−== ∫∫ ρρρ (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 
 
04321 =+++=∫ mmmmAdV
sc
&&&&
rr
ρ 
skgmx
s
m
x
m
kg
AVm /6002,00,31000 2
3111
−==−= ρ& (-) entrando no v.c. 
skgm /603 =& (+) saindo do v.c. 
skg
s
m
x
m
kg
QAVm /3003,01000
3
34444
−===−= ρρ& (-) entrando no v.c. 
0306060 24321 =−++−=+++ mmmmm &&&&& 
s
kg
m 302 =& Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. 
Para determinar a velocidade em (2): 
222 AVm ρ=& 
sm
xA
m
V /6,0
05,01000
30
2
2
2 === ρ
& na forma vetorial: 
s
m
jV ˆ6,02 −=
r (aponta em sentido negativo do eixo y) 
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-48 
Solução Exemplo 4 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do reservatório. 
Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. 
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) 
devido ao enchimento do reservatório dada por: 
 
 
 
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. 
 
resres A
VAVA
A
QQ
t
dh
mmd
t
221121
21 0
+=+=
∂
=−−∀
∂
∂
&&ρ
 
 ( ) ( )
sm
xx
A
VDVD
t
dh
res
/0172,0
18,0
6,0075,09,0025,0
44
22
2
2
21
2
1 =
+
=+=
∂
ππ 
 
021 =−− mmdt
dh
Ares &&ρ
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QQUUAANNTTIIDDAADDEE DDEE MMOOVVIIMMEENNTTOO 
 
(( CCaapp..55 )) 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-50 
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) 
 
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 
[2] Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. 
 
[3] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária 
para manter o cotovelo no lugar. 
 
 
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo 
em que atua. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-51 
 
[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força 
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A 
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com 
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 
 
Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N 
 
 
 
[ 6 ] Determinar a velocidadedo jato de água que sai de um bico de 50mm de 
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa 
especifica da água 1000 kg/m3). 
 
 
 
 
 
 
 
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na 
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a 
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. 
 
 
Obs. O fluido escoa de (1) para (2). 
 
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado 
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade 
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-52 
Solução Exemplo 1 Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 Dados: 
Velocidade do jato: smiV /ˆ15=r Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água ρ=1000 kg/m3 Pressão atmosférica Patm=101 kPa. Determinar: Força resultante. 
 
 
Solução: Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. 
Equações Básicas 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂ 
 Hipóteses: Escoamento permanente Escoamento incompressível Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. Forças de campo desprezíveis. 
 
∫=
sc
s AdVVF
rrrr
ρ 
 Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. 
ApRApF atmxatmx −+= Por tanto xx RF = 
 
 A quantidade de movimento na direção - x: 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-53 
{ } 11
11
1
AVuAdVuAdVu
AdVuAdVV
AA
Axsc
ρρρ
ρρ
−=−=
=



∫∫
∫∫
rrrr
rrrrr
 
O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 225001,015100015 2
311
−=−=− ρ 
 
NAdVuR
A
x 2250
1
−== ∫ rrρ Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. 
 
Na forma vetorial NiFs ˆ2250−=
r 
Método simplificado No método simplificado : 
 ( )12 uuQFx −= ρ 
 ( )12 uumFx −= & 
 A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. 
skgmx
s
m
x
m
kg
Aum /15001,0151000 2
311
=== ρ& (+) saindo do v.c. 
 A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) 
N
s
m
x
s
kg
umFx 2250151501 −==−= & Aponta no sentido contrário ao eixo x. 
 Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-54 
 
Solução: Exemplo 2 
Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na figura. O jato 
escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a água. 
 
 
Dados: 
Velocidade do jato: smiV /ˆ15=r Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água ρ=1000 kg/m3 
Pressão atmosférica Patm=101 kPa. 
Solução: 
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. 
 
Equações Básicas 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂ 
 
Hipóteses: 
Escoamento permanente 
Escoamento incompressível 
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. 
Forças de campo desprezíveis. 
 
∫=
sc
s AdVVF
rrrr
ρ 
 
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) 
 
∫=
sc
sx AdVuF
rr
ρ 
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. 
ApRApF atmxatmsx −−= Por tanto xsx RF −= 
 
A quantidade de movimento na direção - x: 
 { } 111
1
111
1
AVuAdVuAdVu
AA
ρρρ −=−= ∫∫ rrrr (fluxo entrando no v.c.) 
Igualando os termos: 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-55 
111 AVuRx ρ−=− e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido 
 
Vetor velocidade: 
 
Ponto (1) smiV /ˆ1,6=r e desta forma u1=6,1m/s. 
Consideramos que o jato é uniforme 
Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVuRx 98,1800051,01,610001,6
2
3111
=== ρ 
 
Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y) 
 
∫=
2
222
A
sy AdVvF
rr
ρ 
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). 
HatmyHatmsy ApRApF −+= Por tanto ysy RF = 
 
Pela conservação da massa em (2) smjV /ˆ1,6=r e desta forma: v2=6,1m/s. 
 { } 222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
ρρρ ∫∫ =+= rrrr (fluido saindo da s.c.) 
 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 98,18000511,01,610001,6 2
3222
==ρ 
 
NAVvRy 98,19222 == ρ (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) 
 
Método simplificado 
 
O fluxo de massa é dada por: 
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
Aum 11,300051,01,61000 2
311
=== ρ& 
 ( )12 uumFx −= & u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: NxumFx 98,181,611,31 −==−= & 
 ( )12 vvmFy −= & v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: NxvmFy 98,181,611,32 === & 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-56 
Solução: Exemplo 3 
[ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 em 
regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, a 
velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na seção (2) 
da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido descarregado a pressão 
atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. Determinar: A força resultante Rx e 
Ry. Obs. Apresente a equação integral geral do problema e aplique as 
simplificações (hipótese) do escoamento. 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂
 Hipotese e escoamento: Escoamento permanente 
Escoamento incompressível 
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. 
 
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) 
 
∫=
sc
sx AdVuF
rr
ρ
 ( considerando força de campo FBx=0) 
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar trabalharemos com a pressão relativa 
 
xrsx RApF −= 11 
A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x: 
 { } 111
1
111
1
111 AVuAdVuAdVu
AA
ρρρ −=−= ∫∫ rrrr
 (fluxo entrando no v.c.) 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 1600113,00,410000,4 2
3111
==ρ
 
11111 AVuApR rx ρ+= ( )
( ) NNxR
AVuApR
x
rx
15161600113,01000120
11111
=+=
+= ρ
 
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
AVm 28,4500283,0161000 2
322
=== ρ&
 
Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y) 
 
∫=+
2
222
A
Bysy AdVvFF
rr
ρ
 Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo FBy não pode ser avaliada 
já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente exercícios consideramos desprezível força de campo 
FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: 
 
=+= yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF = 
 { } 222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
ρρρ ∫∫ =+= rrrr
 (fluido saindo da s.c.) (+) 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 72400283,016100016 2
3222
−=−=ρ 
NAVvRy 724222 −== ρ (Contrario ao sentido admitido originalmente) 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-57 
Solução: Exemplo 4 
Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo θ definido na figura é 
igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que atua. 
 
No método simplificado: 
 
Equações utilizadas: 
 
( )12 uumFx −=∑ & 
 
( )12 vvmFy −=∑ & 
 
O fluxo de massa pode ser determinado como: 
s
kg
s
m
x
m
kg
QAVm 5005,01000
3
311
==== ρρ& 
 
Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c. 
jviuV ˆˆ 111 +=
r jviuV ˆˆ 222 +=
r 
 
Componentes da velocidade em x: 
 
Oângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 
s
m
Vu 07,275cos8)75cos( 0022 === 
s
m
Vu 66,545cos845cos 0011 === 
Componentes da velocidade em y: 
s
m
Vv 73,775sin875sin 0022 === 
s
m
sinsinVv 66,545845 0011 === 
Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s 
 
Força Resultante em x: 
 
( ) N
s
kg
RF xx 5,17966,507,250 −=−==∑ (Aponta em sentido contrário ao eixo - x) 
 
Força Resultante em x: 
 
( ) N
s
kg
RF yy 5,66966,573,750 =+==∑ (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y) 
 
Força Resultante: 
 
( ) NRRR yx 6935,669)5,179( 2222 ≈+−=+= 
Ângulo formado pela resultante: 075≈=
x
y
R
R
Tanφ 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-58 
Solução: Exemplo 5 
 
[ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 15m/s. 
Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória. 
 
∫+∫ ∀=+ sc AdVVvc dVtFF Bs
rrrrrr ρρ∂
∂ 
 
Hipóteses: 
• Escoamento em regime permanente. Não que existe 
variação das propriedades no tempo no V.C. 
• Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída (2). 
• Escoamento com velocidades unidimensionais. 
• Escoamento com considerando fluido incompressível. 
 
Fazendo analise em x: 
( )∑ −= 12 xx vvQFx ρ onde: 
smv
smv
x
x
/5,760cos15
/15
2
1
==
= 
s
m
m
x
x
s
m
AVQ
3
2
2
11 118,04
1,0
15 =


== π 
( )
NRx
xxRx
4,883
155,7118,01000
=
−=−
 
 
Solução: Exemplo 6 
 
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de diâmetro o qual 
permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa especifica da água 1000 kg/m3). 
4
0)(
)()(
2
2
1
21
D
vW
vAvW
vmF
vmvmF
y
y
πρ
ρ
=
−=−
+−=
−+−=
∑
∑
&
&&
 
 
sm
x
D
W
v /88,18
05,01000
70044
22
===
πρπ
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-59 
Solução: Exemplo 7 
 
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. Na 
tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica igual a 900 
kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo fluido na curva se a 
pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no ponto (2) é igual a 80 kPa. 
 
 
Obs. O fluido escoa de (1) para (2). 
 
P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: sm
D
V /33,13600
150
4
2
==
π
 
 ( )xx uuQFx 12 −=Σ ρ 
 ( )xxx uuQAPAPR 122211 −=++− ρ 
 ( ) ( )xxx uuQAPPR 12121 )( −=++− ρ 
 
conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s ( ) ( )
( ) NxxxR
APPuuQR
x
xxx
555256528,990314,080100)33,133,1(
3600
150
900
)( 12112
=+−=++−−=
++−−= ρ
 
 
Solução: Exemplo 8 
 
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como mostrado 
na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual será a velocidade 
do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo método simplificado. 
 
 
( )12 vvQFy −=∑ ρ 
 
 
NWFy 825−=−=∑ 
 ( )
sm
xx
xxx
D
x
v
Av
vAv
/08,17
601000
100010008254
4
1000
825
825
0825
221
2
1
11
==



=
=
−=−
ππ
ρ
ρ
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-60 
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
[ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a força 
horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na figura. A 
velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato como sendo com 
diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 
 
R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N 
 
 
[ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada na 
figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os diâmetro da 
tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão relativa em (1) igual 
a p1=232 kPa. 
Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. 
R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N 
 
 
[ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo um 
orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e parte é 
defletida. 
 
Determine a força horizontal necessária para conter a placa. 
R: 981,75N 
 
 
[ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual a 
tubulação apresenta uma redução de seção. 
Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna 
de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. (a) 
Determine a pressão relativa na seção (1) ( b ) Determine 
a força total que os flanges resistem. ρágua=1000 kg/m3 ; 
ρHg=13600 kg/m3 (a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N. 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio 
[5 ] A figura mostra um bocal convergente montado numa 
linha de uma tubulação industrial. Os manômetros 
instalados antes e após o bocal apresentam as pressões 
indicadas na figura. Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos tubos adjacentes para suportar o bocal 
convergente. Considere que o fluido e gasolina com 
massa especifica igual a 680 kg/m3. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-61 
[ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (ρ=1000 kg/m3). Determinar a força resultante no eixo-y 
(Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 450. 
 
 [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (ρ=1000 kg/m3 ) numa tubulação de 
400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de jato devido a placa plana 
com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na entrada (1) e saída (2) do fluido. 
 [ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da corrente secundaria são iguais. Determine a 
velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3 
 ‘ 
[ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
EESSCCOOAAMMEENNTTOO VVIISSCCOOSSOO IINNTTEERRNNOO 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-63 
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7) 
 
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator 
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de pressão na tubulação e a tensão de 
cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. 
 
[2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com 
uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da tubulação. (b) o gradiente de pressão da 
tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parededa tubulação. (d) A eq. para graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da 
velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) τW = 204 N/m2. (d) V=6,0m/s 
 
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia 
(1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão 
máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 
50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para 
tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, 
determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. R: 27,4MW 
 [4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando 
uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da 
bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 
30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão 
que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C. 
 
 
 
 
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se benceno a 
500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um outro ponto B com 
uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta instalada uma bomba. Com 
relação à horizontal, o ponto A esta 21 metros abaixo do ponto B. O ponto A 
esta conectado ao ponto B por uma tubulação de pvc nova com diâmetro 
interno igual a 50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba 
considerando que o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 
litros/min. 
Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. 
R: 760kPa. 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-64 
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. 
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). 
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) 
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. 
ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio [7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual 
apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) 
Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido 
do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. 
 
 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. 
Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) 
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o 
fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do 
sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do 
fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. 
 
 
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação com 
750mm de diâmetro para uma unidade geradora (turbina) e sai 
para um rio que localizado a 30 metros abaixo da superfície do 
reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da 
tubulação e acessórios e igual a 27,29m. 
 
• Determine a potencia da maquina considerando um 
rendimento global de 88%.. 
 
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 
 
 
 
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. 
Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
9,6x10-1 Pa.s. 
 
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com 
diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão 
abertos á atmosfera. 
 
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. 
 
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
1,7x10-3 Pa.s. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-65 
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 
10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na 
tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. 
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. 
 
 
[13] Uma experiência de laboratório foi realizada na 
disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos 
A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. 
Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em 
função da leitura manométrica do sistema apresentado na 
figura abaixo. 
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 
1000 kg/m3). 
 
 
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de 
carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de 
diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. 
O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 
mm diâmetro. 
 
 
 
 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera 
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o 
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). 
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um 
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda 
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. 
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] 
 
Z1=6,1m
Z2=36,6m 
 
 
 
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. 
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia 
de acionamento da bomba. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-66 
Solução: Exemplo 1 
 [ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O fator 
de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999 
kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de 
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. 
 
1. Pela Eq. continuidade determinamos a velocidade que é igual a 5,66m/s. 
 
2. Para determinar a variação de pressão na tubulação utilizamos a Eq. da energia: 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
como a tubulação é horizontal (z1=z2) e do mesmo diâmetro (v1=v2) 
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
 
 
onde a perda de carga é dada por:( )
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,181,92
66,5
15,0
10
0149,0
2
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 
 
2
6006,0
10
88,15
4
15,0
4 m
N
kPax
L
pD
w ===
∆=τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-67 
Solução: Exemplo 2 
[ 2 ] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com 
uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa especifica é igual a 1258 
kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) Perda de carga da tubulação. (b) Determine o gradiente de 
pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A equação apropriada para graficar o perfil de 
velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. 
 
D=150mm L=30m V=4,0m/s 
T=25oC µ=9,6x10-1 ρ=1258 kg/m3 
 
Perda de carga da tubulação. 
 
Determinamos o Número de Reynolds 
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258
Re
1
≅==
−ν
 
 
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: 
 
g
v
D
L
hL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
L
hL 28,1381,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64 22
=== 
 
Determine o gradiente de pressão da tubulação. 
 
A variação de pressão 
kPaxxghp L 16381,9125828,13 ≅==∆ ρ 
O gradiente de pressão 
 
m
kPa
m
kPa
L
p
4,5
30
163 ==∆ 
 
Tensão de cisalhamento na parede da tubulação 
 
8Re
64
24
22 vvf
W ρρτ == desta forma 

≅=
2
2
204
8
4
1258
786
64
m
N
xWτ 
 
A equação apropriada para graficar o perfil de velocidades. 
 


 

−=
2
max 1 R
r
uu 
com umax=2umedio = 2x4m/s=8m/s 
 


 

−=
2
10,8
R
r
u 
O valor da velocidade para r = R/2. 

 

−=
2
2
1
10,8u =6m/s 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-68 
Solução: Exemplo 3 
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris por dia 
(1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 0,1464mm. A pressão 
máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução é 
50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e viscosidade cinemática igual 1,97x10-5m2/s. Para 
tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, 
determine potência que deve ser fornecida em cada estação de bombeamento. 
 
 Escoamento numa tubulação: comprimento desconhecido 
 
Dados: 
Q=1,6 milhões de barris dia 
100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa 
P1=1200 psi. (275,86kPa) P2=50 psi. (344,83 kPa) 
Ferro galvanizado ε=0,1464mm 
D=48 pol ( 1220mm) 
DR=0,93 oú ρ=930 kg/m3 
ν=1,97x10-5 m2/s. 
η=85% 
 
dia
barris
xQ 6106,1= 01 barril = 42 galões 
min
67,46666
6024
42106,1 6 gal
x
xx
Q == 
 
Conversão 01 galão/min = 6,309x10-5 m3/s 
s
m
xxQ
3
5 94,210309,667,46666 == − 
Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto 1 e o ponto 2. 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL ++=+−++ ρρ
 
Simplificações 
• Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 
• A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. 
• Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. 
Com tais simplificações se tem: 
( )
g
P
g
pp
hL ρρ
∆=−= 21 
 
o valor limite da perda a de carga é dada por: 
 
( )
fluidocm
x
x
hL ..32,86981,9930
100083,34486,8275
=
−
= (neste caso de Petróleo bruto) 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
 
Com tal equação podemos explicitar o comprimento da tubulação 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-69 
 
2
2
V
g
f
D
hL L= onde 
2
9,0Re
74,5
7,3
/
log25,0
−


 

 += Df ε 
 
ε/D= 0,1464mm/1220mm=0,00012 
 
ν
VD
=Re a velocidade media smx
D
Q
A
Q
V /51,2
22,1
94,244
22
≅===
ππ
 
 
 
5
5
1055,1
1097,1
22,151,2
Re x
x
xVD
≅==
−ν
 
 
 
01722,0
)1055,1(
74,5
7,3
00012,0
log25,0
2
9,05
=






 +=
−
x
f 
km
x
V
g
f
D
hL L 8,191
51,2
81,92
01722,0
22,1
32,869
2
22
≅== 
 
A bomba deverá fornecer (adicionar) no ponto 1 uma energia equivalente a perda de carga 
HA=hL=869,32m 
A potência teórica adicionada pela bomba ao fluido pode ser determinada como: 
gQHP AA ρ= 
onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. 
 
A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à 
bomba (potência motriz). 
bomba a para fornecida Potência
fluido ao bomba pela adicionada Potência
Bomba=η 
Desta forma a potência fornecida para a bomba: 
G
A
motriz
gQH
P
η
ρ
= 
kW
xxx
Pmotriz 2,2743285,0
94,281,993032,869
== 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-70 
Solução: Exemplo 4 
[ 4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC utilizando 
uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão de descarga da 
bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os borrifadores devem trabalhar a 
30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão 
que pode ser empregado. 
 
Escoamento num Sistema de Irrigação: Diâmetro desconhecido 
 
Dados: Q=1500 gpm (95 lts/s) L=152m Tubo de PVC ε=0,015mm 
Fluido: água a 200C Tabela: ρ=998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. 
100kPa = 14,5psi. ou 1psi ≅ 6,897kPa 
P1<= 65psig. (448,16 kPa) P2 >= 30 psig (206,85 kPa) 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
AL ++=+−++ ρρ
 
 
Simplificações 
• Não existem equipamento adicionado ou retirando energia entre o ponto 1 e 2 portanto HR=0 e HA=0 
• A tubulação apresenta o mesmo diâmetro portanto v1=v2. 
• Como os pontos estão na mesma altura z1=0 e z2=0. 
Com tais simplificações se tem: 
( )
g
P
g
pp
hL ρρ
∆=−= 21 
 
Assumindo os valores extremos estamos considerando ∆Pamx 
( )
aguacm
x
x
hL ..6,2481,91000
100085,20616,448
=
−
= 
 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
 
Igualando os termos 
g
V
D
L
fP
2
2
ρ=∆ (Pa) 
 
Para trabalhar com o diâmetro substituímos a velocidade pela vazão (V=Q/A): 
 
5
2
25
2
24
2
2
2
2
18816
2
4
2 D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
f
D
Q
D
L
fP 

===

=∆
π
ρ
π
ρ
π
ρ
π
ρ 
 
Substituindo Q = 0,095 m3/s ν=1,02x10-6 m2/s ρ=998 kg/m3 L=152m 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-71 
5
715,1109
D
f
P =∆ 
D
QD
D
QVD 144
Re
2


=

==
πννπν
 . Substituindo os dados 
 
D
04,118586
Re= 
 
Procedimento Iterativo. 
 
1. Admitimos um valor para o diâmetro. Por exemplo Eq. de Bresse. ( D=Q0,5) 
2. Determinamos o Re. 
3. Com Re e e/D determinamos o fator de atrito f 
4. Com D e F obtemos a variação de pressão 
5. Se ∆Pcal. ≅ ∆Pmax significa que o diâmetro assumido é adequado. 
6. Se ∆Pcal. < ∆Pmax significa que podemos diminuir o diâmetro e recalcular 
7. Se ∆Pcal. > ∆Pamx significa que devemos aumentar o diâmetro e recalcular. 
 
Diâmetro (mm) ε/D Re f ∆Pcal. (Pa) 
308 0,000487 3,85x105 0,01435 57 kPa < (241,31 kPa) 
150 0,001 8x105 0,01378 201,31 kPa 
Continuar 
 
Quando o diâmetro não corresponde ao diâmetro comercial do tubo devemos recalcular e verificar os dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-72 
Solução: Exemplo 5 
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se 
benzeno a 500C (d=0,86, µ=4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um 
outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A está 
instalada uma bomba. Com relaçãoà horizontal, o ponto A esta 21 
metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B 
por uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 
50mm. Determinar a pressão requerida na saída da bomba 
considerando que o benzeno deve ser transportado com uma 
vazão de 110 litros/min. Obs. Considere que a perda de carga na 
tubulação igual a 3,91m. 
Resposta: 760kPa. 
 
 
Dados: Fluido Benzeno d=0,86 T=500C µ=4,2x10-4 Pa.s 
 PB=550kPa. D=50mm (A=0,001964m2) Q=110 l/min. ( 0,001834 m3/s) Solução: 
Aplicamos a Eq. de Energia entre o ponto A e B. 
 BBBLTRADAAA zg
u
g
p
hHHz
g
u
g
p
++=−−+++
22
22
ρρ
 
 
Simplificações: 
� Como a bomba esta antes do ponto A HAD=0 . Não existe turbinas retirando energia do sistema (HR=0) 
� Como não existe perda de carga localizada (hLacc=0) hLT= hL 
� Como a tubulação entre A e B não muda de diâmetro, pela continuidade AA=AB e portanto vA=vB. 
� Tomando como eixo de referencia o nível do ponto A: ( ZB - ZA) =21m 
B
B
LTA
A z
g
p
hz
g
p
+=−+
ρρ
 
 
reorganizando os termos, e explicitando a pressão em A: 
 
( ) LTABBA hzzg
p
g
p
+−+= 
ρρ
 
Devemos determinar a perda de carga da tubulação 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
 
Considerando: velocidade: v=Q/A =0,934 m/s 93,0
001964,0
0,001834
===
A
Q
v 
 
Reynolds: 
µ
ρ DV
=Re 9563
4-4,2x10
005,0934,0860
Re ≈=
xx (escoamento turbulento) 
 
com ε/D=0 - tubo liso no Diagrama de Moody achamos f=0,018. 
 
( )
m
x
xx
g
V
D
L
fhL 81,381,92
93,0
05,0
240
018,0
2
22
=== 
fluidocm
x
x
g
pA ..9081,312 
81,9860
1000550
=++=
ρ
 
 
kPaxxpA 30,75981,986090 == 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-73 
Solução: Exemplo 6 
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. 
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). 
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) 
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. 
ρágua=1000 kg/m3 ; ρHg=13600 kg/m3 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio Aplicando Eq. de Manometria: 
 
 kPaxxghP aMR 7,7158,081,9)100013600()(1 =−=−= ρρ (Relativa) 
 
Aplicando Eq. de Energia. 
 
 m
xx
x
g
vv
g
pp
hL 23,007,73,781,92
8,125
81,91000
10007,71
2
222
2
2
121 =−=


 −+

=


 −+

 −=
ρ
 
 
Aplicando Eq. da Quantidade de movimento. 
 
 NxxvvmApRx 1,163)58,12(12,251000005,07,71)( 1211 =−−=−−= & 
 
 
Solução: Exemplo 7 
[7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de diâmetro o qual 
apresenta um rugosidade ε=0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225. (a) 
Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido 
do escoamento. ρ=900 kg/m3 ν=0,00001 m2/s. 
 
m
gg
V
D
L
fhL 1162
37,6
2,0
500
0225,0
2
22
=== 
 
Continuar: R: ∆P=265Pa. 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-74 
Solução: Exemplo 8 
 
 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A para B. 
Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica (101,32 kPa) 
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para que o 
fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de carga do 
sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída do 
fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é igual a 50mm. 
 
Dados 
Q=12 l/s=0,012m3/s hL=12 m.c.f. PB= 101,33kPa. (Pressão Atm. padrão) ZB – ZA= 15m D=50mm Com a vazão podemos determinar a velocidade na tubulação: 
 
( ) smxD
Q
v /12,6
00196,0
012,0
4
05,0
012,0
4
22
===



= ππ 
 
A Eq. de energia aplicada entre os pontos A e B, fazendo não tendo máquinas adicionado (bombas) o extraindo (turbinas) energia. 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
Considerando a velocidade em A muito pequena comparada com a velocidade na tubulação, fazemos desprezível o termo de 
energia cinética da mesma. 
B
BB
LA
A z
g
u
g
p
hz
g
p
++=−+
2
2
ρρ
 
 
Utilizando nesta expressão a pressão relativa, em B temos que PB=0. Desta forma a pressão relativa em A é dada como: 
( ) LABBA hzzg
u
g
p
+−+=
2
2
ρ
 
 
considerando a massa especifica do fluido ρ=1000kgm/3 
 
( ) m
xg
pA 90,2812159,11215
81,92
12,6 2
=++=++=
ρ
 
 
em unidades de pressão, a pressão relativa em A é dada como: 
 
kPaxxpA 6,28390,2881,91000 == 
A pressão absoluta pA= pA(Rel) + pAtm = 283,6 + 101,33 =385 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-75 
Solução: Exemplo 9 
 
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma 
tubulação com 750mm de diâmetro para uma unidade 
geradora (turbina) e sai para um rio que localizado a 30 
metros abaixo da superfície do reservatório. A vazão e 
igual a 2,0 m3/s. A perda de carga da tubulação e 
acessórios e igual a 27,29m. 
 
• Determine a potencia da maquina 
considerando um rendimento global de 88%.. 
 
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 
 
 
 
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
++=+−++
22
22
ρρ
 
 
ABLA zzhH −+= 
mH A 80,575,3029,27 =+= 
Watts
xxxQgH
W A 4536
7,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
& 
 
Solução: Exemplo 10 
 
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media igual a 4,0 m/s. 
Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
9,6x10-1 Pa.s. 
 
Perda de carga da tubulação. 
Número de Reynolds 
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 786
106,9
15,00,41258
Re
1
≅==
−ν
 
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: 
g
v
D
L
hL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
L
hL 28,1381,92
4
15,0
30
786
64
2Re
64 22
=== 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-76 
Solução: Exemplo 11 
 
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea com 
diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos reservatórios estão 
abertos á atmosfera. 
 
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. 
 
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 
1,7x10-3 Pa.s. 
 
s
m
x
x
D
Q
V 12,2
05,0
3600
15
4
4
22
===
ππ
 635.48
107,1
05,012,2780
Re
3
===
−x
xxVD
µ
ρ (turbulento) 
 
( ) 0268,048635
74,5
7,3
002,0
log25,0
2
9,0
=






 +=
−
f 
 
m
x
x
g
V
D
L
fhL 28,1281,92
12,2
05,0
100
0268,0
2
22
=== 
 
 
Solução: Exemplo 12 
 
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e comprimento igual a 
10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s. Qual será a perda de carga na 
tubulação em metros de coluna de água. Determinar a tensão de cisalhamento. 
Obs. considere para água a 200C a densidade igual a 0,999 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 kg/m.s. 
 
A variação de pressão ma tubulação é dada pela Eq. de energia. 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetroL
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
 
 
( )
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,181,92
66,5
15,0
10
0149,0
2
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 88,1581,999962,1 ≡==− ρ 
a tensão de cisalhamento na parede é dada como: 
 
2
6006,0
10
88,15
4
15,0
4 m
N
kPax
L
pD
w ===
∆=τ 
 
Respostas ∆P=15,88 kPa τW=60 N/m2 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-77 
Solução: Exemplo 13 
[ 13 ] Uma experiência de laboratório foi realizada na 
disciplina para determinar a perda de carga entre os pontos 
A e B distantes 150cm numa tubulação de 7mm de diâmetro. 
Determinar a perda de carga entre os pontos A e B em 
função da leitura manométrica do sistema apresentado na 
figura abaixo. 
(Densidade do mercúrio 13,6. Massa especifica da água 
1000 kg/m3). 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
Tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro: 
g
p
g
p
h BAL ρρ
−= 
Aplicando Eqs. de manometria obtemos: 
 
 BxaguaHgxaguaA phhgghghp =−−−+ )(ρρρ 
 
BaguaHgA pghghp =+− ρρ 
 ( )ghpp aguaHgBA ρρ −=− 
 ( ) kPaxpp BA 74,4581,910001360037,0 =−=− 
 
m
mx
x
g
pp
h BAL 66,48191000
100074,45
==
−
=
ρ
 
 
 
Solução: Exemplo 14 
[ 14 ] Determine a perda de pressão (Pa) e o coeficiente de perda de 
carga num laminador de fluxo instalado num duto de 50 cm de 
diâmetro no qual escoa ar a 200C com ρ=1,2 kg/m3 µ=1,8x10-5 Pa.s. 
O laminador e formado por tubos lisos de 30 cm de comprimento e 4 
mm diâmetro. 
 
 
ar LaEscoamento
x
xxVD
min - 1600
108,1
00040,62,1
Re
5
≅==
−µ
ρ 
Para escoamento laminar a perda de carga é dada por: 
 
g
v
D
L
hL 2Re
64 2
= ( ) mca
x
x
g
v
D
L
hL 91,481,92
6
004,0
3,0
1600
64
2Re
64 22
=== 
 
LghP ρ=∆ PaxxP 8,5791,481,92,1 ==∆ 
g
v
khL 2
2
= 67,2
6
91,481,922
22
===
xx
V
gh
k L 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-78 
Solução: Exemplo 15 
 [ 15 ] Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera 
a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de 122m de comprimento e 
50mm de diâmetro. A rugosidade relativa e igual a 0,001 sendo que o 
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,0216. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). 
Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um 
rendimento global de 70%. O somatório de todos os coeficientes de perda 
de carga dos acessórios e igual a Σk=13,2. 
Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. ] 
 
Z1=6,1m
Z2=36,6m 
 
 
B
BB
ALA
AA z
g
u
g
p
Hhz
g
u
g
p
++=+−++
22
22
ρρ
 
 
ABLA zzhH −+= 
( )
m
xg
V
D
L
fhL 82,2181,92
85,2
05,0
122
0216,0
2
22
=== 
( )
m
xg
V
Khac 46,581,92
85,2
2,13
2
22
===∑ 
 
mH A 80,575,3029,27 =+= WattsxxxQgHW A 45367,0
0056,080,5781,91000
===
η
ρ
& 
 
Solução: Exemplo 16 
[ 16 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. 
Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 1000 metros determinar (a) a variação de pressão na tubulação.(b) a potencia 
de acionamento da bomba. 
 
B
BB
LA
AA z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
++=−++
22
22
ρρ
 
 
Como a tubulação é horizontal e do mesmo diâmetro 
 
L
BA h
g
p
g
p
=−
ρρ
 onde: 00,151.848
100,1
15,099966,5
Re
3
===
−x
xxVD
ν
 Turbulento. 
 
Da apostila, utilizando a Eq. para tubos lisos com Re > 105 
 
012,0)108(5,0056,0 32,05 =+= −xf 
 
( )
mca
x
xx
g
v
D
L
fhL 62,13081,92
66,5
15,0
1000
012,0
2
22
=== 
 
kPaxxghpp LBA 128081,999962,130 ≡==− ρ kWxW 1281,01280 ==& 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-79 
1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - Perda de Carga em Tubulações (Cap.7) 
 
[ 1 ] Determine a velocidade crítica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e (b) para água a 200C escoando num tubo de 20mm. Obs. Para gasolina a 200C a massa específica é igual a 6,48x10-7 m2/s. 
R:(a) V=0,065m/s (b) V=0,1m/s. 
[ 2 ] Determine o tipo de escoamento que ocorre num tubo de 305mm quando (a) água a 150C que escoa a uma 
velocidade de 1,07m/s (b) óleo combustível pesado a 150C escoando com a mesma velocidade considerando que apresenta uma viscosidade cinemática igual a 20,53x10-5 m2/s. 
R: (a) Re 290.000 Turbulento (b) Re=1600 Laminar. 
[ 3 ] Para condições de escoamento laminar, qual o diâmetro da tubulação que poderá conduzir 0,0057m3/s de óleo combustível médio a 4oC com viscosidade cinemática igual a 6,09x10-6 m2/s. R: D=60mm 
 
[ 4 ] Um óleo lubrificante médio, com densidade 0,86 é bombeado através de 300m de um tubo horizontal de 50mm de diâmetro a razão de 0,00114m3/s. Se a queda de pressão for 200kPa qual será a viscosidade absoluta do óleo. 
R:: µ=0,089 Pa.s 
 
[ 5 ] Um óleo com viscosidade absoluta de 0,101 Pa.s e densidade 0,85 escoa através de 3000m de tubulação de ferro fundido com 300 de diâmetro com uma vazão de 0,0444m3/s. Determine a perda de carga no tubo. R: 8,14m. 
 
[ 6 ] Um óleo combustível pesado escoa de A para B através de 914,4m de um tubo horizontal de açõ de 152mm. A pressão em A é de 1068,68 kPa e em B é de 34,47 kPa. O óleo apresenta uma densidade de 0,918 e viscosidade 
cinemática é de 41,24x10-5 m2/s. Determine a vazão em m3/s. R: Q=0,039m3/s. 
 
[ 7 ] Que diâmetro de tubo deve ser instalado para transportar 0,0222 m3/s de óleo combustível pesado a 16oC com viscosidade cinemática v=2,05x10-4m2/s e densidade igual a 0,912. A perda de carga disponível nos 300 m de tubo é de 6,7m. Obs. Adote a hipótese inicial de escoamento laminar e verifique posteriormente tal hipótese. R: D=170mm 
 
[ 8 ] Uma quantidade de gasolina esta sendo descarregada de um tubo em um ponto de 2 a 67m de elevação. O ponto 1 localizado a 966m de tubo do ponto 2, está elevado na elevação de 83m, sendo a pressão neste ponto de 2,5kPa. Se a rugosidade do tubo é de 0,5mm. Determine o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina com uma vazão de 0,10m3/s. Para gasolina considere massa especifica igual a 719 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 2,92x10-
4 N.s /m2 . R: D=258 mm 
 
[ 9 ] Por um tubo inclinado 300 de 100mm de diâmetro escoa glicerina a 300C em sentido ascendente. Entre as seções de 1 e 2 distantes 10m se mede uma diferença de pressão p1-p2=0,8bar. Determinar a perda de carga velocidade do escoamento, número de Reynolds e tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Considere a glicerina com massa especifica igual a 1260 kg/m3 e viscosidade cinemática 1,9x10-4m2/s. 
R: hL=1,47m. V=2,37 m/s Re= 1247 (laminar) τW=45,4 N/m2. 
 
[ 10 ] De um deposito de óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 sai uma tubulação de 13mm de diâmetro. A vazão é de 900 L/h e a queda de pressão entre as duas seções distantes 2m é de 0,265bar. Considerando escoamento laminar, determinar a viscosidade cinemática e dinâmica e verificar se escoamento é realmente laminar. 
Ra: v=3,76x10-5 m2/s µ=3,338x10-2 Pa.s 
 
[ 11 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,2m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 150mm. O 
fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. Considere que para a temperatura de 200C a água tem uma massa específica igual a 
999kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de 
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: ∆P=16 kPa τW = 60 N/m2. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-80 
[12] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. 
Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima 
(c) Posição radial em que u( r ) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de10m 
Respostas: 
• Fator de atrito f=0,0173 
• Velocidade máxima Umax=3,74m/s. 
• Posição radial em que u( r ) = Umedia : r=15,2mm 
• Tensão de cisalhamento na parede τw=22Pa 
• Queda de pressão considerando um comprimento de 10m ∆P=22kPa. 
[13] Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300m de um tubo em ferro forjado de 
10cm de diâmetro que transporta óleo (d=0,9 v=10-5 m2/s). Determine a vazão: (a) Procedimento iterativo (b) Método explicito. 
R: Q=0,037 m3/s 
 
[14] Que diâmetro de uma tubulação horizontal de 400m de comprimento deve ser escolhido para transportar 0,002 m3/s de água a 200C de modo que a perda de carga não exceda 30m (a) Utiliza método iterativo (b) Utilize método explicito. R: D=40mm 
 
[15] Um deposito com óleo com massa especifica igual a 900 kg/m3 é conectado a uma tubulação horizontal de 13mm de diâmetro interno. A vazão é de 900 litros/hora e a queda de pressão na tubulação entre duas seções distantes 2 metros é de 0,265bar. Considerando escoamento em regime laminar determinar a viscosidade cinemática e dinâmica do fluido. Verifique se de fato o escoamento é laminar como suposto no problema. Determine a tensão de cisalhamento na parede. 
R: V=1,88 m/s µ=0,037 Pa.s ν=4,1x10-5 m2/s Re ≈ 590 - Laminar τw=43Pa 
Nota: exercício similar resolvido no Fox ( Cap. de escoamentos em dutos) 
[16] Se requer bombear 40 litros/segundo de água de um deposito a outro 40m mais elevado, distantes 560m. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm e diâmetro de 150mm determinar. Na tubulação existe um registro globo aberto com comprimento equivalente de 50 metros e duas junções com coeficiente de perda de carga igual a 0,4. a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando o diagrama de Moody. b) Determinar com o fator de atrito (obtido pela equação) a perda de carga na tubulação em metros de coluna 
de fluido e em Pascal. c) Determine a perda de carga localizada pelos acessórios presentes na tubulação. d) Determina a perda de carga total pela tubulação mais acessórios. 
R: a) f=0,023 b) hl=22,35m c) hacc=hval-globo + hjunção=2,04m d) hlT= hl+ hacc≅25m 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-81 
[ 17 ]O sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 
0,015 m3/s. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 
15 metros. A tubulação de recalque tem um comprimento de 
200 metros. A válvula de globo aberta apresenta um 
comprimento equivalente Le=30D onde D é o diâmetro da 
tubulação. Determine a perda de carga total do sistema de 
Bombeamento e a potência de acionamento da bomba 
considerando que apresenta um rendimento de 76%. A 
tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a 
tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 
50mm. Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual 
a 4,6x10-5m. 
 Elemento Coef. de perda de carga - K Fluido - álcool 24oC 
Saída do reservatório de aspiração 0,5 ρ=789 kg/m3 
Entrada do reservatório de recalque 1,0 µ= a 5,6x10-4 Pa.s 
curva de 900 0,57 
R: hL=207,4m (z2 - z1) =10m H=217,4m W=33,2kW. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-82 
 
1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.7 e Cap.8) 
 
[1] Determinar a perda de carga e a queda de pressão em 61m de um tubo de ferro fundido asfaltado horizontal de 
152mm de diâmetro transportando água a uma velocidade media de 1,83m/s. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. 
R: (1,37m ) (13,43kPa). 
[2] Óleo com ρ=1000 kg/m3 ν=0,00001 m2/s escoa a 0,2 m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 
200mm de diâmetro. Determinar (a) a perda de carga (b) a queda de pressão se o tubo tem um ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. R: (117m ) (265 kPa). 
[3] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 30cm de diâmetro e 100m de comprimento com uma perda de carga de 8m. A rugosidade relativa e 0,0002. Determine a velocidade media e a vazão. 
R: (4,84 m/s) (0,342 m3/s). – Solução Iterativa. 
[4] Determinar a velocidade numa tubulação de ferro fundido asfaltado horizontal de 61m na qual escoa água 
apresentando uma perda de carga de 1,37m. Obs. ρ=1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. 
R: (1,84 m/s) – Solução Iterativa. 
 
[5] Óleo com ρ=950 kg/m3 ν=2,0x10-5 m2/s escoa por um tubo de 100m de comprimento com uma perda de carga de 
8m sendo a vazão Q=0,342m3/s e a rugosidade ε=0,06mm. Determine o diâmetro da tubulação. 
R: (0,3 m) – Solução Iterativa. 
 
[6] Ar com ρ=1,22 kg/m3 ν=1,46x10-5 m2/s e forcado através de um duto horizontal quadrado de 229mmx229mm de 
30m de comprimento, a uma vazão de 0,708 m3/s. Se a rugosidade ε=0,091mm determine a queda de pressão. 
R: (258 N/m2) 
[7] Água com 1000 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, por um tubo de 122m de comprimento e 50mm de diâmetro e diversos acessórios como mostra a figura. A rugosidade relativa e 0,001. Considere Z1=6,1m e Z2=36,6m sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potencia requerida 
pela bomba em Watts. 
Acessório Coeficiente de perda de carga 
Entrada em canto agudo 0,5 
Válvula globo aberta 6,9 
Curva com 12 pol de raio. 0,15 
Cotovelo normal de 900 0,95 
Válvula de gaveta aberta pela metade. 3,7 
Saída em canto agudo 1,0 
R: (3,2kW) 
 
[8] Um duto de ferro fundido de 360m de comprimento e rugosidade absoluta igual a 10-4m conduz água a temperatura de 200C com uma vazão de 12 m3/s apresentando uma perda de carga na tubulação horizontal de 3,9m. Determinar o diâmetro da tubulação. R: (D=165,21mm). 
[9] Uma tubulação de fibrocemento de 100m de comprimento e diâmetro de 200mm apresenta uma rugosidade de 10-
4m escoando água a 200C com uma vazão de 62,8 litros/s. Determinar a perda de carga da tubulação. R: hL=18,26 m. 
 
[10] Num duto de concreto (ε= 3,0x10-4m) de 100mm de diâmetro escoa água a 37oC com perda de carga unitária de 0,0115 mca/m. Determinar a vazão. R: (Q=0,007155 m3/s ). 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
AANNÁÁLLIISSEE DDIIMMEENNSSIIOONNAALL EE MMOODDEELLOOSS 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-84 
 
1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Análise Dimensional (Cap.9) 
 
[ 1 ] Está para ser realizado um teste de um projeto proposto para uma bomba grande que deve fornecer 1,5 m3/s 
através de um rotor de 40cm de diâmetro. Um modelo com um rotor de 8cm de diâmetro será usado. Que vazão deve ser usada no modelo para manter a semelhança em relação ao número de Reynolds ? O fluido a ser usado no modelo é a água, na mesma temperatura da água a ser bombeada pelo protótipo. 
 
 
Para que haja semelhança neste problema de escoamento confinado incompressível, o número de Reynolds deve ser igual, ou 
seja, 
 
pm ReRe = 
 
p
pp
m
mm
dUdU
νν
..
= 
Reconhecendo que pm νν = , se as temperaturas são iguais, vemos que 
5
08,0
4,0
===
m
m
d
d
U
U
m
p
p
m 
A razão entre vazões é encontrada reconhecendo que AUQ .= : 
2
2
.
.
pp
mm
p
m
dU
dU
Q
Q
= =
5
1
4,0
08,0
.5
2
2
= 
Assim encontramos 
sm
Q
Q pm /3,05
5,1
5
3
=== 
 
[2] A tensão superficial σ é função de velocidade U, da massa especifica ρ e do comprimento x. Obter a equação da tensão 
superficial. Nota: 
oCompriment
Força
=σ 
 
XU cba ρσπ = 
 
( ) ( ) ( ) LMLLTMTTLM cba 312000 −−−= 
 
2
1
1
220
130
0
=
−=
=
===>−−==>
+−==>
−===>+==>
b
a
c
bcbaT
cbL
cacaM
 
XU 121 ρσπ −= 
 
XkU ρσ 2= 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-85 
 
[ 3 ] Uma unidade de bombeamento de grande porte do DMAE deverá fornecer 5400m3/h de água através de uma tubulação de 
200cm de diâmetro. Determinar a vazão (em m3/h)que deve ser utilizada para estudar um modelo desta tubulação em laboratório 
dispondo de uma tubulação de 50cm de diâmetro. 
P
PP
M
MM
PM
DVDV
νν
=
= ReRe
 
 
Tratando-se do mesmo fluido νM=νP. PPMM DVDV = 
 
M
PP
M D
DV
V = sm
x
D
Q
V
P
P /4775,02
5,144
22 === ππ
 
 
sm
x
VM /91,15,0
0,24775,0
== 
 
4
2
M
M
D
VQ
π
= 
 
)/1350(/375,0
4
5,0
91,1 33
2
hmsmQ ==
π
 
 
[ 4 ] Num projeto hidrodinâmico de um pequeno submarino, é necessário determinar as forças resultantes de um protótipo de 2m de 
diâmetro e 10m de comprimento o qual, quando submerso em água, deverá alcançar uma velocidade máxima de 10 m/s. Para 
realizar o estudo prepara-se um modelo em escala de 1:20 do protótipo qual será testado num túnel hidráulico. Determine a 
velocidade da água no túnel hidráulico para conseguir a semelhança dinâmica do modelo. 
Solução: Por similaridade dinâmica o número de Reynolds do modelo e do protótipo deve ser igual: 
 
 
Re Rem p
m p
ud ud
=



 =




ρ
µ
ρ
µ
 
Desta forma a velocidade do modelo deverá ser 
 u u
d
dm p
p
m
p
m
m
p
=
ρ
ρ
µ
µ 
Como ambos (modelo e protótipo) atuam em água então, �m = �p e �m = �p assim. 
 u u
d
d
m sm p
p
m
= = =10
1
1 20
200
/
/ 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPRROOBBLLEEMMAASS AADDIICCIIOONNAAIISS 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-87 
1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS 
 
1. Problemas de Propriedades dos fluidos 
 
[1.1] A densidade de um óleo é 0,8. Determine (a) massa específica, (b) volume específico (c) peso específico. 
 R: (a) 800 kg/m3; (b) 1,3.10-3 m3/kg; (c) 7848 N/m3. 
 
[1.2] Uma placa plana infinita move-se a 0,3 m/s sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há uma camada líquida de 
espessura 3 mm. Admitindo que a distribuição das velocidades sejam linear, a viscosidade 0,65cP e a densidade 0,88, calcular: 
a) A viscosidade em Pa.s. R = 6,5.10-4 Pa.s; 
b) A viscosidade cinemática em St. R = 7,4 .10-3 St; 
c) A tensão de cisalhamento na placa em Pa. R = 0,65 Pa. 
 
[1.3] Sendo 1030 kg/m3 a massa específica da cerveja, qual sua densidade e o peso dela por garrafa? Sabe-se que o volume 
ocupado é 600 ml. R: 1,030; 6,06 N. 
 
[1.4] Num motor, um eixo de 112 mm de raio gira internamente a uma bucha engastada de 120 mm de raio interno. Qual é a 
viscosidade do fluido lubrificante se é necessário um torque de 36 kgf.cm para manter uma velocidade angular de 180 rpm. Eixo e 
bucha possuem ambos 430 mm de comprimento. R: 3,75.10-2 kgf.s/m2. 
 
[1.5] De quanto é reduzido um volume de 1m3 de água, quando nele é aplicada uma pressão excedente de 1atm. =vE 2,2 GPa 
R: 4,5.10-5 m3. 
 
[1.6] Um líquido comprimido num cilindro tem volume de 1 litro a pressão de 1 MPa e um volume de 995 cm3 a 2 MN/m2. Determine 
o módulo de elasticidade volumétrica do líquido. R: 2.105 Pa. 
 
[1.7] Um gás com massa molecular 44 está a uma pressão de 0,9 MPa e a temperatura de 20 oC. Determinar a massa específica. 
R: 16,26 kg/m3. 
 
[1.8] Sabendo que a massa molecular do ar é 29 kg/kmol, qual o peso do ar por m3 a uma pressão de 1atm e 20 oC. 
R: 11,8 N/m3. 
 
[1.9] Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão manométrica de 2 kgf/cm2 e uma temperatura de 27 oC. se a pressão 
barométrica for 1 kgf/cm2, qual o peso específico do ar. R: 33,48 N/m3. 
 
[1.10] Determinar o raio R e a massa de uma gota num conta-gotas de raio r (considerar a gota esférica). 
R: R = 3
1
)
2
.3
(
γ
σ r ; m = 
g
r.2πσ 
[1.11] Qual a pressão interna suportada por uma gota esférica de pequeno raio interno. R: r/2σ . 
 
 
[1.12] Determinar a altura h de um determinado líquido, conforme a figura ao lado. 
 R: 
r
h
.
cos.2
γ
ασ
= . 
 
[1.13] Identificar o tipo de escoamento de um fluido que escoa numa tubulação de 3 cm de diâmetro a uma velocidade de 1m/s. 
Sabe-se que a viscosidade é de 10-6 m2/s. R: Re = 30. 000 (turbulento). 
 
 
[1.14] Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro quando ainda se 
encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2.10-3 Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m3. R: 0,02 m/s 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-88 
2. Problemas de Estática dos Fluidos 
 
[2.1] Que profundidade de óleo de densidade 0,75 produzirá uma pressão de 2,8 kgf/cm2. Qual a profundidade em água para esta mesma pressão? R: 37,3 m; 28 mca. 
 
[2.2] Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, qual a massa de carga que pode ser colocada no navio 
antes que o calado atinja o valor de 9,2 m? Obs: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a parte 
inferior do casco. R: 612644 kg. 
[2.3] Determinar as pressões manométricas e absolutas em B e em C. Obs. Reservatório aberto para atmosfera. 
 R: 7,7 kPa; 27,67 kPa. 
 
[2.4] Determine a pressão efetiva (relativa) e a absoluta no tanque da figura. 
R: 1,57.105 Pa; 2,58.105 Pa. 
 
[2.5] Qual a pressão manométrica e absoluta dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio no manômetro de coluna é de 4 mm? Obs: Massa específica do mercúrio 13600 kg/m 3 e pressão atmosférica 1013,25 hPa. Desconsiderar o peso específico do ar. R: 533,6 Pa. R: 101858 Pa. 
 
[2.6] Dado o desenho abaixo, calcular pA - pB. 
R: 96.000 Pa. 
 
[2.7] Determine PB – PA na figura. 
 R: -35.280Pa. 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-89 
3. Problemas de Conservação da Massa 
 
[3.1] Uma estação de água deve recalcar 450 m3/h para abastecimento de uma cidade. Determine o diâmetro da canalização para que a velocidade média seja 1,25 m/s. R: 36 cm. 
[3.2] Em um tubo de 150 mm escoa ar com velocidade de 3 m/s sob uma pressão manométrica de 203 kPa e uma temperatura de 27 oC. A pressão atmosférica é 101,32 kPa. Determine o fluxo de massa. R: 0,181 kg/s. 
 
[3.3] Determine a vazão da água (em litros/s) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro, considerando a velocidade do fluido igual a 4 m/s? R: 3,21 litros/s. 
[3.4] Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s? R: 0,1 m/s 
 
[3.5] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na parte maior da seção escoa ar com peso específico 9,8 N/m3 a uma vazão de 3,06 m3/s. Ao fluir para o trecho de menor seção o ar sofre uma redução de pressão e aumento de velocidade, provocando uma expansão no mesmo e reduzindo o peso específico 
para 7,85 N/m3. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,82 m3/s. b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 43,31 m/s. c) A vazão mássica do ar no escoamento. R: 3,06 kg/s. 
[3.6] Uma tubulação cilíndrica tem um trecho com uma seção de 300 mm de diâmetro e outro com 200 mm de diâmetro. A redução de seção é feita através de um elemento cônico colocado entre os dois trechos. Na tubulação escoa água líquida com massa específica de 1000 kg/m3 a uma vazão de 3,06 litros/s. Ao fluir para o trecho de menor seção a água sofre uma redução de pressão e 
aumento de velocidade. Viscosidade 10-6m2/s. Determine: a) A vazão volumétrica no trecho de menor seção. R: 3,06 litros/s b) A velocidade do ar no trecho de menor seção. R: 0,097 m/sc) A vazão mássica do ar no escoamento. Re= 19490 (turbulento) 
[3.7] Uma canalização lisa que conduz água a 15oC com diâmetro de 150 mm apresenta num determinado trecho uma seçãocontraída de 75mm de diâmetro onde a pressão interna é de uma 
atmosfera (ao nível do mar). 3m acima do ponto (B) a pressão se eleva para 144.207Pa. Determinar a vazão e a velocidade nos pontos (A) e (B). 
R: 3,1 m/s; 12,42 m/s; 55 litros 
[3.8] Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m? 
 [3.9] Um conduto que escoa água é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25m e 0,20m. A pressão no ponto (A) é de 1,5 atmosferas e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m/s, calcule a vazão no duto e a pressão no ponto (B. (Supor movimento sem atrito). 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-90 
4. Problemas de Equação de Bernoulli e Equação da Energia 
 
[4.1] Uma turbina gera 600 Hp quando o fluxo de água através dela é de 0,6 m3/s. Considerando um rendimento global de 87%, qual será a altura de carga que atua na turbina? R: 87,4 m. 
[4.2] A bomba mostrada na figura recebe água, com vazão Q = 0,2 m³/s, através do duto com diâmetro de 20 cm e descarrega através do duto de descarga de diâmetro 
15 cm que está instalado com uma elevação 0,5 m em relação a tubulação de sucção. O manômetro colocado no duto de sucção indica uma pressão p1 = -30 kPa, enquanto o manômetro instalado no tubo de descarga mede uma pressão p2 = 300.kPa. Considerando que não há trocas de calor e desprezando o atrito, determine a potência fornecida pela bomba. R: 73,8 kW 
 
 
[4.3] A água escoa através de uma turbina, a razão de 0,21 m³/s. A pressões em A e 
B são respectivamente 150 kPa e -35 kPa. Determinar a potência extraída pela turbina. R: 41,6 kW 
 
 
 
 
 
 
[4.4] A figura mostra um esquema de escoamento de água, em regime permanente, com vazão Q = 0,5 m³/s, através de uma turbina. As pressões 
estáticas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, P1 = 180 kPa e P2 = -20 kPa. Desprezando a dissipação de energia mecânica por atrito viscoso e considerando que não há troca de calor, determine a potência fornecida pelo escoamento á turbina. R: 131,7 kW. 
 
[4.5] O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o 
fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-91 
 
[4.6] A água flui numa tubulação, conforme figura. No ponto (1) da tubulação o diâmetro é de 175 mm, a velocidade é de 0,6 m/s e a pressão é igual a 345 kPa. No ponto (2) o diâmetro se reduz a 43 mm e a pressão é de 300 kPa. Calcule a perda de carga entre os pontos sabendo que o desnível entre eles 
é de 5 m. R: 4,5 m 
 
 
 
 
 
 
 
[4.7] A figura mostra um sistema no qual a bomba retira água, através de um duto com diâmetro D=10 cm, de um reservatório de grandes dimensões com a superfície livre mantida em nível constante. A água é descarregada, com vazão constante Q = 0,02 m³/s, a uma altura 38 m acima da bomba, através de um duto de diâmetro interno d = 8 cm, 
num reservatório aberto para atmosfera. A perda de carga entra as seções (1) e (2) é igual a ph = 2m. Determine a 
potência que a bomba fornece ao escoamento. R: 7,4 kW. 
 
[4.8] Na instalação da figura uma bomba opera com água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é de 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). R: 62,4 m. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-92 
5. Problemas de Escoamentos Viscosos Internos 
 
[5.1] Um fluido escoa por um tubo de 10 mm de diâmetro com um Reynolds de 1800. A perda de carga é de 30 m em 100 m de tubulação. Calcular a vazão em litros/min. R: 6,06 litros/min. 
[5.2] Seja 100 m de tubo liso horizontal de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s. Determinar (a) a perda de carga (energia): R: 12,65 m. (b) a variação de pressão R: 124.172 Pa. 
 
[5.3] Um óleo lubrificante médio de densidade 0,86 é bombeado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâmetro a razão de 0,00125 m3/s. Se a queda de pressão é 2,1 kgf/cm2, qual a viscosidade do óleo? 
R: 0,051 Pa.s. 
 
[5.4] Calcular a perda de carga para o escoamento de 140 litros/s de um óleo de viscosidade cinemática 10-5 m2/s num tubo horizontal de ferro fundido de 40 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. R: 4,66 m 
[5.5] A água circula a 15 oC num tubo de aço rebitado de 300 mm de diâmetro e ε = 3 mm com ma perda de carga de 6 m.c.a num comprimento de 300 m de comprimento. Calcular a vazão. R: 0,12 m3/s. 
 
[5.6] Determinar o diâmetro do tubo de aço estruturado necessário para transportar 252 litros/s de óleo, 
smv /10 25−= a distância de 3.048 m com uma perda de carga de 22,86 m. R: 424 mm. 
 
[5.7] Seja um escoamento de um fluido através de uma válvula globo totalmente aberta conectada em uma tubulação de ferro galvanizado de 2,5 cm de diâmetro. Sabe-se que a velocidade do escoamento é 3,0 m/s provocando um Reynolds de 1000. Determine em relação a válvula: (a) O comprimento equivalente; R: 3,9 m (b) A perda de carga provocada. R: 4,6 m 
 
[5.8] Calcular a vazão pela tubulação de ferro fundido, de 150 mm de diâmetro, da figura. Viscosidade cinemática = 10-
6m2/s. R: 46 litros/s. 
 
[5.9] Seja uma tubulação cilíndrica de 4 cm2 de seção transversal por onde circula um escoamento de água a 15 oC e velocidade de 2 m/s. A seção sofre uma redução brusca para a metade da área. Supondo uma tubulação lisa, determine em relação ao escoamento: 
a) A perda de carga provocada pela contração em altura de coluna de mercúrio. R: 0,045 mH2O. 
b) A variação de pressão provocada pela redução. R: 441,5 Pa. c) A perda de carga correspondente em altura de coluna de mercúrio. R: 3,3 mmHg. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-93 
 
 
[5.10] No sistema de bombeamento a vazão (água temperatura 20 oC) é de 10 m3 /h 
 
Determinar: 
a) A perda de carga na sucção; R: 4,15 m. 
b) A perda de carga no recalque; R: 4,488 m 
c) Perdas de carga total; R: 9,03 m 
d) A energia adicionada pela bomba; 25,82 m 
e) A potência hidráulica da bomba; R: 709 W 
f) A potência de acionamento da bomba 
considerando um rendimento de 85%. R: 
834 W. 
 
 
 
 
 
 
 
[5.11] Seja o sistema abaixo com tubulação lisa 
 
Determinar: a) A vazão volumétrica; R: 0,002 m3/s b) A velocidade do escoamento; R: 1,02 m/s c) O número de Reynolds; R: 51000 
d) Total de perdas localizadas; R: 0,98 m e) Total de perdas nas tubulações; R: 0,94 m f) O total de perdas de carga; R: 1,92 m g) A energia adicionada pela bomba; R: 17,97 m h) A potência hidráulica; R: 352,6 W i) A potência de acionamento da bomba considerando um rendimento de 80%. R: 441 W 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-94 
LISTA DE EXERCICIOS – 2010 
 
[ 1 ] Óleo SAE 30W a 200C escoa por um tubo horizontal de 12cm de diâmetro. Na seção (1), a pressão é de 186 kPa. Na seção (2), que esta a 6 m a jusante, a pressão é de 171 KPa. Se o escoamento é laminar determine: (a) o fluxo de 
massa (Kg/s) e (b) o número de Reynolds. (ρ=981 kg/m3 µ=0,29 kg / m s ). Ra: 43,16 kg/s; 1580 
 [2] Dois reservatórios de água A e B estão conectados entre si por um tubo de ferro fundido com rugosidade de 0,26mm. O tubo possui um comprimento de 40m e 20mm de diâmetro. Considere a perda de carga pela entrada com canto vivo do fluido no tubo e a perda de carga pela saída do fluido no tubo. O tubo possui uma válvula de retenção e uma válvula de gaveta aberta. O nível da água de ambos os reservatórios é igual. O reservatório A é fechado e 
pressurizado com ar comprimido, sendo o reservatório B aberto a atmosfera a pressão igual a 88 kPa. Se a vazão inicial através do tubo for 1,2 Litros/s determine a pressão absoluta do ar na parte superior do reservatório A. Temperaturada água 100C. R: 741,7 kPa 
 [3] Um tubo horizontal no qual escoa água tem uma expansão brusca de D1=80mm para D2=160mm. Na seção menor a velocidade é igual a 10m/s sendo o escoamento turbulento. A pressão na seção menor é de P1=300kPa. (a) Tomando o fator de correção da energia cinética igual a 1,06 na entrada e na saída determine a pressão à jusante P2. (b) Estime o erro em Pa que teria ocorrido se a equação de Bernoulli tivesse sido usada. 
R: (a) P2=320 kPa. (b) 30 kPa. 
 [4] Óleo escoa por um tubo horizontal de 15mm de diâmetro que descarrega na atmosfera com pressão de 88 kPa. A 
pressão absoluta a 15m antes da saída é 135 kPa. Determine a vazão do óleo através do tubo. Propriedades: ρ=876 kg/m3 µ=0,24 kg/m s. R: 1,63x10-5 m3/s 
 [5] No escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular, a velocidade em R/2 (a meio caminho entre a superfície da parede e o eixo central) é medida como 6,0m/s. Determine a velocidade no centro do tubo. Faça um desenho esquemático do problema com a respectiva solução. Resposta: 8m/s 
 
[6] Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido num tubo circular. Se o diâmetro do tubo for reduzido pela metade enquanto a vazão e o comprimento do tubo forem mantidos constantes, a perda de carga: (a) Dobrará (b) Triplicará (c) Quadruplicará (d) Aumentara por um fator de 8 (e) Aumentara por um fator de 16 
R: Aumentara por um fator de 16 
 
[7] Um tubo liso horizontal de 4cm de diâmetro transporta 0,004 m3/s de água a 200C. Usando um perfil exponencial determine. (a) Fator de atrito (b) Velocidade máxima (c ) Posição radial em que u(r) =Umedia (d) Tensão de cisalhamento na parede (e) Queda de pressão considerando um comprimento de 10m 
R: (a) 0,0173; (b) 3,74m/s (c) 15,2mm (d) 22 N/m2 (e) 22kPa. 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-95 
[8] A água escoa de um reservatório grande para um menor através de uma tubulação enferrujada de 50mm 
de diâmetro, 17m de comprimento e com rugosidade igual a 0,5 mm. Determine a elevação Z1 para uma vazão de 6 litros/s. Água: ρ=1000 kg/m3; µ= 1,15.10-3 Pa.s. Resposta: 11,4m 
 [9] Um sistema de bombeamento água opera com vazão de 20 m³/h. Na tubulação de 50m 
de comprimento e 60 mm de diâmetro a 
velocidade do fluido é igual a 1,96 m/s. Na 
instalação Z1=5 m e Z2=25 m. A soma dos coeficientes de perda de carga de todos os 
acessórios é igual a 13,55. 
 
A tubulação é de ferro galvanizado com rugosidade igual a 0,1 mm. 
 
(a) Altura adicionada pela bomba 
(b) Potência de acionamento considerando um rendimento de 65%. 
Fluido: ρ=1000 kg/m3 ν=1,15x10-6m²/s. 
R: (a) 26,83m (b) 2,25 kW 
 
[ 10 ] Na figura mostra-se um sistema que utiliza uma turbina hidráulica. A tubulação é de ferro fundido com rugosidade 
ε=0,15mm. O Comprimento da tubulação é igual a 125m e o diâmetro igual a 60mm. Na tubulação existe um registro de globo aberto com coeficiente de perda de carga k=10. O sistema opera com uma vazão de 0,004 m3/s. Determine: (a) Fator de atrito e perda de carga na tubulação (b) Potencia da turbina considerando uma eficiência de 100%. Considere água com: ρ = 998 kg/m3 ν=1,02x10-6 m2/s. R: (a) 0,027 (b) 1,3 kW 
 [11] Ar a pressão de 1Atm, e 30oC entra com velocidade de 7,0m/s num duto de 7m de comprimento com seção 
retangular de 15cmx20cm. Desprezando os efeitos de entrada determine a perda de carga da tubulação e a potencia necessária para superar a perda de pressão nessa seção. Utilize aço com rugosidade igual a 0,045mm. 
R: 5 W 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-96 
[ 12 ] O sistema bomba-turbina da figura retira água do reservatório superior durante o dia para gerar energia para uma cidade. De noite, o sistema bombeia água do reservatorio inferior para o superior para restaurar a situação. Para uma vazão de projeto de 56,8 m3/min em ambas as direções, a perda de carga por atrito é de 5,2m. Determine a potência em kW (a) extraída pela turbina (b) adicionda pela bomba. Para os dois casos apresente a equação geral do problema e 
aplique as simplificações (hipótese) do escoamento. Na figura Z1=45,7m e Z2=7,6m. 
 [ 13 ] Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo 
de água horizontal, como mostra a figura para medir a pressão estática e de estagnação (estática + dinâmica). Para as alturas de coluna d’água indicadas, determine (a) A pressão de estagnação 
(b) a velocidade no centro do tubo. Na figura h1=30mm; h2=70mm e h3=120mm. 
 
 
[ 14 ] Água escoa com uma vazão de 6 litros/s por uma tubulação horizontal com 50mm de diâmetro e 89m de comprimento. Considere tubulação de ferro fundido com rugosidade de 0,25mm. Determinar: 
( a ) Número de Reynolds identificando o regime do escoamento ( b ) Fator de atrito e perda de carga da tubulação ( c ) Variação de pressão da tubulação ( d ) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. Obs: Fluido água a 100C: Viscosidade dinâmica: 1,307x10-3 Pa.s Massa especifica 999,7 kg/m3. 
 [15] Numa de 20mm de diâmetro escoa água a 200C com velocidade media igual 2,0 m/s. A tubulação apresenta 20m de comprimento e rugosidade igual a 0,02mm. Determine a velocidade e tensão de cisalhamento em (a) r=0 (b) r=4,0mm (c ) r=10mm Água: Massa especifica ρ =1000 kg/m3 Viscosidade dinâmica µ = 1,02x10-3 Pa.s 
R: (a) 2,48m/s; 0 N/m2 (b) 2,29 m/s; 5 N/m2 (b) 0 m/s; 12,5 N/m2 
 [16] Para medir a velocidade do ar numa tubulação de ventilação industrial pode-se utilizar um tubo de Pitot introduzido a partir da parede da tubulação. Considerando os escoamentos laminar e turbulento e utilizando as expressões do perfil de velocidade para cada um dos regimes identifique (para cada caso) qual a distância y a partir da parede da tubulação que deve ser introduzido o tubo de Pitot para que a sua medida represente a velocidade média da tubulação. 
 Laminar 


 

−=
2
max 1)( R
r
Uru 
Turbulento (n=7) 
n
R
r
Uru
/1
max 1)( 

 −= 
R: Laminar: y=0,293R Turbulento: y=0,242R 
 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
As equações da pressão: 
 
 
indicam que: 
Nota: 0.0 
 
A A pressão varia na direção y 
 
B A pressão não varia na direção z 
 
C A pressão é constante na mesma direção da gravidade 
 
D A pressão varia na direção da gravidade 
Aula 2, tema 1 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
Um escoamento pode ser em regime permanente ou transiente. Marque a alternativa que 
melhor corresponde à definição de regime permanente. 
Nota: 20.0 
 
A É o escoamento sem aceleração 
 
B É somente aquele que o fluido está estático 
 
C É o escoamento que não tem variação de propriedade no espaço 
 
D É aquele cujas propriedades são constantes em um ponto do escoamento. 
Você acertou! 
Aula 1, tema 4 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
 
 
Nota: 20.0 
 
A PB=2837,6lbf/ft²PB=2837,6lbf/ft² 
Você acertou! 
Aula 2, tema 3 
 
 
B PB=4826,4lbf/ft²PB=4826,4lbf/ft² 
 
C PB=3522,8lbf/ft²PB=3522,8lbf/ft² 
 
D PB=2741,5lbf/ft²PB=2741,5lbf/ft² 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Marque a alternativa que completa corretamente a frase: “a ____________ significava dentre 
outras coisas que, quando os ______________ dominavam um povo, este dominado 
recebesse ______________________ e calçamento nas ruas” 
Nota: 20.0 
 
A Pax chinesa, egípcios, papel 
 
B Pax romana, romanos, tratamento de esgoto 
Você acertou! 
Aula 1, tema 1 
A Pax romana significava dentre outras coisas que, quando os romanos dominavam um povo, este dominado recebesse tratamento de 
esgoto e calçamento nas ruas. 
 
C Pax otomana, romanos, morte certa 
 
D Pax romana, turcos, cavalos 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
Sobre escoamentos classificados como não viscosos, é correto afirmar: 
Nota: 20.0 
 
A São sem atrito 
Você acertou!Aula 1, tema 5 
 
B Tem pouco atrito 
 
C Não existem 
 
D Tem muito atrito 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
A conservação do momento linear na forma integral também é conhecida como: 
Nota: 20.0 
 
A 2ª Lei de Newton do controle universal 
 
B 3ª Lei de Newton 
 
C 3ª Lei de Newton da massa 
 
D 2ª Lei de Newton na forma integral 
Você acertou! 
rota 3, tema 2 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
A conservação do momento linear na forma integral pode ser escrita na seguinte forma: 
 
 
O termo (2) dessa equação significa: 
Nota: 20.0 
 
A Forças de campo 
Você acertou! 
rota 3, tema 2 
 
B Forças bimodais 
 
C Forças binárias 
 
D Forças bipartidas 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
Determinar as pressões efetovas e absolutas do ar: 
 
 
Nota: 20.0 
 
A P = 25 kPa e Pabs = 125 kPa 
 
B P = 34 kPa e 134 kPa 
Você acertou! 
Aula 2, temas 2 e 3 
 
 
C P = 48 kPa e Pabs = 138 kPa 
 
D P = 72 kPa e Pabs = 127 kPa 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
 
 
Nota: 20.0 
 
A ρazeite=1380,8kg/m³ρazeite=1380,8kg/m³ 
Você acertou! 
Aula 2, tema 3 
 
 
 
 
 
 
 
B ρazeite=1243,4kg/m³ρazeite=1243,4kg/m³ 
 
C ρazeite=1645,2kg/m³ρazeite=1645,2kg/m³ 
 
D ρazeite=1189,6kg/m³ρazeite=1189,6kg/m³ 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
Um irrigador recebe um jato de água, por onde o fluido entra na horizontal da esquerda para a 
direita, faz uma curva de 90° e sai na vertical. A tubulação da entrada tem diâmetro de 0,1m e 
o fluido entra na tubulação a uma velocidade média de 1m/s, pressurizado com 100kPa 
manométrico. Qual alternativa contém o valor da força horizontal necessária para manter essa 
tubulação fixa? 
Nota: 20.0 
 
A 793,25N 
Você acertou! 
Aula 3, tema 3 
 
 
 
B 5.392,5N 
 
C 2.652,12N 
 
D 605,14N 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
Dado o campo de velocidades: 
 
 
Esse campo está em regime permanente? Se não, em que direção ele está sendo acelerado? 
Nota: 20.0 
 
A Está em regime permanente 
 
B Não. Na direção x 
Você acertou! 
Aula 4, tema 2 
 
 
C Não. Na direção y 
 
D Não. Na direção z 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
 
Nota: 0.0 
 
A 0,1 m/s2 
 
B 1 m/s2 
 
C 10 m/s2 
 
D 100 m/s2 
Aula 4, tema 2 
 
 
 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
A conservação da massa na forma diferencial pode ser escrita na seguinte forma: 
 
 
Em regime permanente, o primeiro termo se reduz a: 
Nota: 20.0 
 
A 1 
 
B ρρ 
 
C t 
 
D 0 
Você acertou! 
Aula 4, tema 1 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Marque a alternativa que completa corretamente os espaços da frase: “As equações de 
____________ podem ser simplificadas para a chamada equação de ______________ que 
possui solução _______________, mas despreza o _________________”. 
Nota: 20.0 
 
A Maxwell, campo, vetorial, campo magnético 
 
B Navier-Stokes, Euler, vetorial, campo magnético 
 
C Bernoulli, Bernsen, analítica, atrito 
 
D Navier-Stokes, Euler, analítica, atrito 
Você acertou! 
Aula 4, tema 3 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
O método de Euler para solução de equações diferenciais depende, essencialmente do fator 
h, que é o: 
Nota: 20.0 
 
A Passo da derivada 
Você acertou! 
Aula 3, tema 5 
 
B Passo do gato 
 
C Chute da derivada 
 
D Passo das pernas 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
Para resolver uma equação diferencial utilizando o método de Euler o passo h, deve ser: 
Nota: 0.0 
 
A Nulo 
 
B Maior que 1 
 
C Pequeno 
Aula 4, tema 5 
 
D Grande 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
Sobre a força de sustentação: 
Nota: 20.0 
 
A É a componente de forças paralela ao arrasto 
 
B É maléfica ao escoamento 
 
C A pipa voa sem sustentação 
 
D É a componente de forças perpendicular ao escoamento 
Você acertou! 
Aula 5, tema 5 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água flui por um canal, como mostra a figura. A velocidade é uniforme nas seções e a 
pressão é aproximadamente hidrostática. Marque a alternativa que contém a velocidade na 
entrada do sistema em m/s. 
 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 1,47 
Aula 5, tema 1 
 
 
B 0 
 
C 3,15 
 
D 5,67 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água escoa sobre uma placa plana inclinada em θθ graus, em regime permanente, formando 
um filme de espessura h. Se a única força agindo é a da ação da gravidade, marque a 
alternativa que mostra o perfil de velocidades correto. 
 
Considerações: 
Incompressível e em regime permanente. Eixos alinhados com a placa. 
Assim, da conservação da massa: 
Nota: 20.0 
 
A 
 
Você acertou! 
Aula 4, tema 4 
 
 
 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
O tubo de Pitot é um instrumento comumente usado em escoamentos para medir 
velocidades. A equação de Pitot é: 
 
 
 
Se um tubo de Pitot acoplado a um manômetro que usa mercúrio (dr=13,6) para medir a 
velocidade de água que está escoando em uma tubulação, mede uma deflexão de 28mm, 
qual é a velocidade que a água está escoando? 
Nota: 0.0 
 
A 2,73m/s 
Aula 5, tema 2 
 
 
B 4,76m/s 
 
C 1,90m/s 
 
D 10,8m/s 
Questão 1/5 - Mecânica dos Fluídos 
Água flui por um canal, como mostra a figura. A velocidade é uniforme nas seções e a 
pressão é aproximadamente hidrostática. Marque a alternativa que contém a velocidade na 
saída do sistema em m/s. 
 
 
Nota: 20.0 
 
A 10,34 
 
B 11,22 
 
C 13,15 
 
D 11,81 
Você acertou! 
Aula 5, tema 1 
 
 
Questão 2/5 - Mecânica dos Fluídos 
Para a tabela abaixo, que tem comprimentos equivalentes de conexões, supondo que uma 
tubulação de 25mm de diâmetro tenha 4 joelhos de 90°, marque a alternativa que mostra as 
perdas menores desta tubulação, em m: 
 
Nota: 20.0 
 
A 1,2 
 
B 1,8 
 
C 2,0 
 
D 4,8 
Você acertou! 
Aula 6, tema 2 
 
Questão 3/5 - Mecânica dos Fluídos 
 
Nota: 0.0 
 
A 100Pa 
 
B 1.000Pa 
 
C 4.800Pa 
 
D 480Pa 
Aula 6, tema 1 
 
 
Questão 4/5 - Mecânica dos Fluídos 
Um escoamento é dito turbulento quando: 
Nota: 20.0 
 
A O número de Reynolds é menor que 2300 
 
B O atrito não existe 
 
C O número de Reynolds é maior que 1 
 
D O número de Reynolds é maior que 5500 
Você acertou! 
Aula 6, tema 3 
 
Questão 5/5 - Mecânica dos Fluídos 
Marque a alternativa que melhor define o efeito Venturi: 
Nota: 20.0 
 
A Aumento de pressão numa redução de diâmetro da tubulação 
 
B Redução de pressão numa redução de diâmetro da tubulação 
Você acertou! 
Aula 5, tema 3 
 
C Redução de pressão numa vazão da tubulação 
 
D Aumento de pressão num aumento de diâmetro da tubulação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Alysson Nunes Diógenes 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
Estamos aqui nesse momento num curso de engenharia, correto? O que 
torna a nossa história tão fascinante é que o engenheiro faz história. Estamos 
em meio à humanidade desde que se criou a primeira máquina ou ferramenta. 
Algo que eu faço questão é de, no começo de cada aula, compartilhar com você 
um pouco da história da engenharia, e nesse caso, da disciplina de mecânica 
dos fluidos. É um mundo fascinante em que podemos viajar juntos. 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
Neste momento, eu gostaria de fazer uma pergunta: Quando será que a 
mecânica dos fluidos começou? 
Na próxima aula, trataremos um pouco mais desse jovem senhor. Ele foi 
Arquimedes, filósofo que viveu na Grécia, aproximadamente entre os anos de 
287 a.C. a 212 a.C. Suas profissões incluíram os ofícios de físico, engenheiro, 
matemático e astrônomo. 
Ele criou muitas máquinas, e uma em especial, usada até hoje, leva o 
nome dele, o chamado “parafuso de Arquimedes”. Podemos ver uma foto desse 
parafuso logo abaixo. 
Figura 1 
 
Fonte: Wikipédia, 2016b. 
Esse equipamento foi muito utilizado para elevação de esgoto em cidades 
medievais. Esgoto não é lembrado até se tornar um problema, não é mesmo? 
 
 
3 
Esse parafuso é usado até hoje. Olhe as fotos que separei paravocês. A 
foto abaixo foi tirada no ano de 1997 no Japão. Se você tem um registro mais 
recente desse parafuso em um navio, por favor, envie para a tutoria para 
colocarmos como um link para os demais alunos. Obviamente, com os créditos 
para agradecer sua participação nesta aula. 
 
Figura 2 
 
Fonte: Unusual, 2016. 
Espero ter despertado sua curiosidade e atenção. Vamos continuar? 
 
TEMA 1 - HISTÓRICO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS – O PERÍODO ANTIGO 
Os egípcios inventaram e usaram muitas máquinas simples. Dentre elas, 
é possível citar a rampa e a alavanca. Essas ferramentas eram usadas para 
auxiliar os seus processos da construção. A escrita egípcia vinha do papiro, e a 
cerâmica era produzida e exportada para os países do Mediterrâneo. Você deve 
ter visto, no Ensino Médio, que os egípcios cultivavam a bacia do Nilo, que 
enchia e secava. Olha a engenharia em tudo isso! 
Os egípcios também construíram grandes obras em pedra, das quais as 
mais famosas são as pirâmides. O primeiro engenheiro civil conhecido pelo 
nome foi Imhotep. 
 
 
 
 
4 
Roma antiga 
A civilização romana desenvolveu vários conhecimentos em áreas de 
tecnologia como arquitetura e engenharia. Eles possuíam o domínio de 
construção de estradas e agricultura. Além disso, de metalurgia e propriedade 
individual. Por fim, engenharia militar, fiação e tecelagem 
Roma era um país cujo centro político se localizava aonde hoje é a Itália. 
Esse local era uma península vulcânica, com uma areia específica que era 
bastante durável e servia para fazer tijolos. Alguns dos seus edifícios duraram 
milhares de anos. Os romanos tinham vários conhecimentos de hidráulica e 
construíram fontes e chafarizes que podem ser encontrados até os dias atuais. 
Por sinal, a Pax Romana, quando os romanos dominavam um povo, 
incluía que o povo dominado recebesse tratamento de esgoto e calçamento nas 
ruas. Ser dominado por Roma não devia ser agradável. O que Roma trazia, 
porém, era bastante interessante. 
A grandeza dos feitos tecnológicos do império romano impressiona até os 
dias atuais, considerando que todas as cidades que eles dominavam acabavam 
por construir estradas, casas de banho e sistemas de esgoto, bem como 
estrutura para transporte de água e cisternas. Olha a Engenharia novamente 
aqui. 
China antiga 
A China desenvolveu, ao longo da história, uma grande contribuição nos 
setores de tecnologia e engenharia. As Invenções da China antiga de destaque 
são a bússola, pólvora, papel e impressão. 
De acordo com o filósofo inglês Francis Bacon, em Novum Organum 
Scientiarum (1620, tradução nossa): "Impressão, pólvora e bússola: esses três 
mudaram todo o estado das coisas através do mundo: o primeiro na literatura, o 
segundo na guerra, e o terceiro na navegação; e ainda assim receberam 
inúmeras modificações, tanto que nenhum império, nenhum setor, nenhuma 
estrela parece ter exercido maior poder e influência nos assuntos humanos que 
essas descobertas mecânicas”. 
As consequências dos desenvolvimentos que a China realizou incluem os 
fósforos, papel, o ferro fundido, o arado de ferro, o carro de mão, a bússola, a 
besta e a pólvora. 
 
 
5 
Quer um dado interessante? Se você quiser conhecer um pouco da 
engenharia chinesa da época, um britânico chamado Joseph Needham compilou 
o conhecimento chinês da época em uma enciclopédia chamada “Science and 
Civilization in China”. Dê uma olhada no link abaixo: 
https://goo.gl/x0GCOQ. 
 
TEMA 2 - SISTEMA DE UNIDADES 
Foi uma das primeiras ferramentas inventadas pelo homem, devido à 
necessidade da construção de habitações, confecção de vestes e troca de 
recursos, por exemplo. 
Para realizar essas medidas, partes do corpo humano e elementos da 
natureza foram os primeiros instrumentos utilizados. 
 Comprimento: Registros históricos da Babilônia e do Egito antigo 
descrevem a utilização da mão, braço e dedo; 
 Tempo: períodos solares e lunares; 
 Volume: colocar sementes até o recipiente estar cheio e depois 
contá-las; 
 Massa: sementes ou pedras como padrão para a balança. (O 
quilate, por exemplo, é uma unidade de massa com valor de 200 mg até 
hoje utilizada, e teve sua origem na semente de alfarrobeira.) 
Problema: Nações diferentes tinham medidas diferentes, e havia 
diferenças até mesmo em diferentes regiões de um país. 
Ex.: Uma medida de comprimento comum na Europa era a vara, que na 
Alemanha media 40,2cm, e na Escócia, 94,5cm. 
Sistemas mundiais 
Sistema métrico: 
Este sistema teve início em 1789, na Academia Francesa de Ciências. O 
sistema criado pela comissão foi definido utilizando a base decimal, pela qual os 
múltiplos de potências de dez da unidade têm prefixos e unidades fundamentais 
como metro, grama e segundo, sendo tais quantidades definidas assim: 
 O segundo sendo a unidade fundamental de tempo, valendo 
1/86.400 do dia solar médio; 
https://goo.gl/x0GCOQ
 
 
6 
 O metro, unidade fundamental de comprimento, definido sendo 
1/10.000.000 a distância entre o polo norte e a linha do Equador através do 
meridiano que passa entre Dunquerque e Barcelona; 
 A grama, unidade fundamental de massa, ficou definida como a 
massa de um centímetro cúbico de água a 4°C. 
Foi adotado como lei na França, em 1795, e na Europa e em todos os 
países dominados por Napoleão, em 1801. O único país europeu que não o 
adotou foi a Inglaterra. 
Atualmente, apenas três países não adotam o sistema métrico, mantendo 
o sistema inglês: Libéria, Myanmar e Estados Unidos. 
Definição – Dimensões e unidades 
Dimensões são quantidades físicas, como comprimento, tempo, massa e 
temperatura. 
Unidades são nomes e magnitudes arbitrárias convencionados a 
dimensões primárias, como padrão de medição. Para tempo, por exemplo, o 
segundo. 
Sistemas de unidades 
A junção de vários padrões de unidades é chamada sistemas de 
unidades. Os mais usados mundialmente são: 
Sistema Métrico ou Sistema Internacional (MLtT) 
Definido como MLT (massa, comprimento, temperatura) ou MLTt (massa, 
comprimento, temperatura, tempo): 
 Massa – grama 
 Comprimento – metro 
 Temperatura – K 
 Tempo – s 
Todas as demais unidades devem ser baseadas nessas unidades 
primárias. Por exemplo, força: 
N = kg m/s2 
Sistema Britânico Gravitacional (FLtT) 
 Força – libra força (lbf) 
 
 
7 
 Comprimento – pé (ft) 
 Temperatura – Rankine (R – R=F+459,67) 
 Tempo – s 
 Massa – slug (lbf s2/ft) 
 
Sistema Inglês Técnico ou de Engenharia (FMLtT) 
 Força – libra força (lbf) 
 Massa – libra massa 
 Comprimento – pé (ft) 
 Temperatura – Rankine (R – R=F+459,67) 
 Tempo – s 
Exemplo: Cite a dimensão e converta para o sistema MLT as seguintes 
unidades: 
a) Joule 
b) Watt 
c) Litro 
d) Radiano/s 
e) Pascal (também serve para tensão de cisalhamento) 
f) Ampère 
 
O sistema métrico atual possui sete unidades padrão: metro, quilograma, 
segundo, Ampère, Kelvin, Candela e Mol. 
Caro aluno, cara aluna, chegou a hora de praticar um pouco. Hoje, você 
tem muitas ferramentas disponíveis para ajudar em conversão de unidades. Eu 
gosto, por exemplo, do aplicativo da Bosch, que você pode baixar gratuitamente 
na Play Store ou na iTunes, para conversão de unidades. Você pode instalá-lo 
no seu smartphone e fazer todas as conversões que você precisa. 
Sabendo isso, mais do que simplesmente fazer você converter unidades 
no braço, eu queria chamar a sua atenção para algumas unidades e valores 
úteis. Vamos lá? 
Primeiro, para a pressão: 
1 atm = 1bar = 1kgf/cm2 
 
 
8 
Portanto, quando vir aquele manômetro em kgf/cm2, nem estranhe. Ele 
está medindo em atmosferas ou bar. 
1 psi = 1 libra por polegada quadrada, ou, quando estamos calibrando o pneu do 
carro, simplesmente libra. 1 atm tem 14 libras. 
Para o comprimento: 
Lembre-se que uma polegada tem 2,54cm. Isso é muito útil quando você 
está comprando canos para sua casa, não é? 
O pé tem 30,48cm, o que é exatamente12 polegadas. Portanto, o pé tem 
12 polegadas. 
Para a massa: 
1 quilograma é 2,2 libras. Por consequência, se algum dia você conversar 
com um americano ou uma americana, e ele pesar entre 120, 150 libras, não se 
espante. Ele só estará gordinho mesmo por volta de 200 libras. 
Uma unidade esquisita é o slug, que tem 14,59kg. 
Para o volume: 
Nunca é demais lembrar que um metro cúbico tem 1000 litros. 
1 galão tem 4,54 litros, na Inglaterra, e 3,78 litros, nos EUA. Então, não 
pense que a gasolina nos Estados Unidos é barata. Converta as unidades e veja 
quanto custa. 
Para a potência: 
Lembre-se que o cavalo americano, o hp, é maior que o cavalo brasileiro, 
o cv. 
1 hp é 745,7W, e 1 cv tem 735,5W. 
Por fim, a energia: 
1 btu tem 0,29Wh. Pode parecer pouco, mas um ar condicionado comum 
tem cerca de 10.000 btu, ou seja, consome por mês 2,9kWh na sua conta de luz. 
 
 
 
 
 
 
9 
TEMA 3: DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE FLUIDO 
Neste momento, definiremos o que é um fluido. 
Fluido é toda substância que se deforma continuamente quando 
submetida a uma tensão cisalhante. Os fluidos são os líquidos e os gases. O 
exemplo mais comum de líquido é a água, enquanto de gás, é o ar que 
respiramos. Note que o fluido não precisa ser um único tipo de átomo. Enquanto 
olhamos para o refrigerante, por exemplo, ele é um fluido que contém gás em 
solução. 
O primeiro conceito que apresentaremos é o fluido como um contínuo. 
Essa hipótese é chamada de fluido contínuo. 
Conceitos fundamentais 
Fluido como contínuo. Na hipótese do contínuo, cada propriedade do 
fluido é considerada como tendo um valor definido em cada ponto no espaço. 
Dessa forma, as propriedades dos fluidos, como densidade, temperatura, 
velocidade, etc., são consideradas funções contínuas da posição no tempo. 
Exemplificando: Enquanto se está bem próximo ao átomo, as 
propriedades do fluido não são constantes. Pensemos na densidade. Se eu pego 
um copo cheio de água, ele sempre terá o mesmo peso para o mesmo volume. 
Por outro lado, se eu pego uma caixinha com uma gota de água, ou menor ainda, 
uma caixinha bem pequena com apenas alguns átomos, eu não consigo mais 
garantir que sempre haverá a mesma quantidade de átomos nela. Como o 
volume da caixinha é constante, a densidade muda. O que queremos dizer que 
a hipótese do contínuo só é válida para propriedades constantes, numa unidade 
de comprimento longe do tamanho dos átomos. Não trabalharemos nos 
nanômetros, e sim, na unidade dos centímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Figura 3 
 
Campo de velocidades 
Sendo �⃗� uma função das coordenadas espaciais e do tempo 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 𝑒 𝑡, a 
velocidade em qualquer ponto do campo de escoamento pode variar de um 
instante a outro. O vetor velocidade �⃗� pode, ainda, ser escrito em termos dos 
três componentes escalares: 
�⃗� = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤�⃗� 
Onde u, v e w são as componentes de velocidade nas direções x, y e z, 
respectivamente. 
Se as propriedades em cada ponto não mudam com o tempo, o 
escoamento é chamado de permanente, ou: 
𝜕𝜂
𝜕𝑡
= 0 
Onde 𝜂 é uma propriedade qualquer, por exemplo, a velocidade ou a 
densidade. Lembre-se desse conceito. Se não muda no tempo, o regime é 
permanente. Por exemplo, em regime permanente: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 𝑜𝑢 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
Da mesma forma: 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 0 𝑜𝑢 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
Note que isso não quer dizer que não exista movimento. Se eu embarco 
no fusquinha 77 de um amigo meu, o “trovão azul”, e nós vamos à praia a uma 
 
 
11 
velocidade constante de 5m/s (mais ou menos 20km/h), podemos dizer que a 
velocidade está em regime permanente. Não muda nada no tempo, ainda que 
eu não esteja parado e que faça curvas. 
Fundamentos da visualização de escoamentos 
O mais difícil de um fluido é enxerga-lo corretamente. Para isso foram 
criados métodos matemáticos e experimentais para ver o escoamento. Vamos 
primeiramente ao método matemático. Observe na figura abaixo como um fluido 
escoa em uma tubulação. 
Figura 4 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2014. 
Linhas de corrente: é uma curva que é tangente em todos os pontos ao 
vetor velocidade local instantâneo. Essa curva representa matematicamente o 
caminho por onde uma partícula de fluido passa. Veja, por exemplo, as linhas de 
corrente em preto calculadas para cada instante na velocidade de cada partícula. 
Figura 5 
 
Fonte: AlfaConnection, 2016. 
Definição: A velocidade de um fluido é definida como o tempo que uma 
determinada partícula de fluido leva para sair de um ponto A para um ponto B. 
Assim, com sua velocidade tendo as três componentes u, v e w, pode-se calcular 
a linha de corrente da seguinte forma: 
 
 
12 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑣
𝑢
 𝑒 
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑣
𝑤
 𝑒
𝑑𝑥
𝑑𝑧
=
𝑢
𝑤
 
Característica: Linhas de corrente não se cruzam. Isso é uma definição 
matemática com a qual você não deve se preocupar tanto. Por sua vez, isso é 
muito coerente, pois dois corpos não passam pelo mesmo lugar ao mesmo 
tempo, correto? Se duas linhas de corrente se cruzassem, elas violariam esse 
princípio. 
Linhas de trajetória: é a trajetória real percorrida por uma partícula de 
fluido individual em um período de tempo. 
Esse é um método teórico. Eu só teria acesso às linhas de trajetória se eu 
conhecesse o caminho de todas as partículas de fluido em todo o tempo. 
Aconteceria como na figura. Se eu pudesse ver para onde as partículas de água 
vão num escoamento, eu poderia filmar essas partículas em 3 instantes e o 
caminho que elas fizeram, como na figura abaixo. Essa é uma foto de grande 
exposição de uma fogueira, onde as pequenas faíscas são levadas pelo vento, 
e a foto mostra o caminho que elas fizeram: 
Figura 6 
 
Fonte: Wikipedia, 2016c. 
Linha de emissão: conjunto das posições das partículas de fluidos que 
passam sequencialmente através de um ponto prescrito. A linha de emissão é 
um método experimental. Imagine que todas as partículas que passam por um 
ponto são marcadas, como as partículas que passam por uma chaminé. Cada 
 
 
13 
ponto da chaminé “marca” o ar que passa por ela com fumaça, formando linhas 
de emissão. 
Figura 7 
 
Fonte: Gigantes, 2016. 
Em regime permanente, os três são idênticos. Vamos ver o poder desses 
métodos? Assistiremos a esse vídeo sobre Fórmula 1. O que se enxerga nele 
são os campos de pressão, em que a pressão é mais alta ou baixa no carro de 
Fórmula 1, e se movendo, são as linhas de corrente dos campos de velocidade 
passando ao redor do carro. 
 
TEMA 3 - CLASSIFICAÇÃO DE FLUIDO 
Podemos classificar um fluido de diferentes formas. 
 
a) Quanto à geometria: 
a. 3D – As grandezas que regem o escoamento variam nas 3 
dimensões. Esses são os escoamentos da maior parte do nosso dia a dia. 
b. 2D – As grandezas variam em 2D, ou seja, em um plano. Imagine 
uma corrente de água descendo suavemente sobre uma mesa plana. 
c. 1D – Variam apenas na linha de corrente. 
b) Quanto ao tempo: 
 
 
14 
a. Transiente – Propriedades variam com o tempo para um ponto do 
escoamento. 
b. Permanente – Propriedades constantes em um ponto do 
escoamento. Note que isso não significa que não há mudanças no espaço, mas 
que não há mudanças no tempo. 
c) Quanto ao movimento de rotação: 
a. Rotacional – Partículas se deslocam com velocidade angular em 
relação ao centro de massa. 
b. Irrotacional - As partículas se movimentam sem exibir movimento 
de rotação (maioria na engenharia). 
d) Quanto à direção da trajetória: 
a. Escoamento Laminar – As partículas descrevem trajetórias 
paralelas. 
b. Escoamento Turbulento – As trajetórias são errantes, cuja previsão 
é difícil. 
c. Escoamento de Transição – Representa a passagem do 
escoamento laminar para o turbulento ou vice-versa. 
Reynolds desenvolveu o experimento abaixo. Quando o fluido escoa 
lentamente, o fluido escoa como que em lâminas, sendo, portanto, um 
escoamento laminar. Enquanto a velocidade aumenta,o escoamento ganha 
algumas oscilações, e é chamado de transição. Quando ele, por fim, atinge uma 
grande velocidade, torna-se caótico e é chamado turbulento. 
Esses escoamentos serão melhor definidos mais à frente, através de um 
parâmetro chamado número de Reynolds. 
 
Figura 8 
 
 
 
 
15 
Faremos agora uma pequena pausa nas classificações para introduzir 
dois conceitos. 
Campos de tensão 
O primeiro deles é o do campo de tensão. Em nosso estudo sobre forças 
atuando sobre fluidos, podemos definir essas forças em forças de superfície e 
forças de campo. 
As forças de superfície atuam nas superfícies do fluido, como a pressão 
e o atrito. Por sua vez, as forças de campo atuam em todo o fluido, como a 
gravidade e o campo eletromagnético. 
As forças de superfície que atuam sobre o fluido levam a tensões. Esse 
conceito é útil para entender como as forças se propagam no fluido. Observe a 
figura abaixo. Uma força atuando num fluido poderia ser decomposta em forças 
normais e tangenciais à superfície do fluido. 
Figura 9 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2014. 
 
Assim, as tensões são definidas da seguinte forma: 
𝜎𝑛 = lim
𝛿𝐴→0
𝛿𝐹𝑛
𝛿𝐴𝑛
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 
E: 
τn = lim
𝛿𝐴→0
𝛿𝐹𝑡
𝛿𝐴𝑛
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 
Essas tensões são como se eu colocasse um pedaço de papel sobre uma 
bacia com água. A folha de papel faz uma tensão normal à superfície do fluido. 
Por sua vez, se eu movo o papel com meu dedo, ele provoca, além da tensão 
normal, uma tensão cisalhante. 
 
 
16 
O elemento de área também não precisa estar alinhado com o eixo. 
Assim, podemos decompor a área também, correto? Assim, as tensões ganham 
dois subscritos: 
𝜎𝑥𝑥 = lim
𝛿𝐴→0
𝛿𝐹𝑥
𝛿𝐴𝑥
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑥 
τxy = lim
𝛿𝐴→0
𝛿𝐹𝑦
𝛿𝐴𝑥
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑚 𝑦 𝑛𝑢𝑚𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑚 𝑥 
 
Esses conhecimentos serão utilizados mais à frente. Guarde-os com 
carinho. 
Lembre-se também que tensões são vetores, ou seja, tem sentido e 
orientação. É possível, por exemplo, ter uma tensão negativa em uma 
determinada direção. 
 
Viscosidade 
O segundo conceito é a viscosidade. Ela representa o atrito que um fluido 
sofre com ele mesmo, ou seja, uma propriedade da matéria. Quando um fluido 
sofre uma tensão cisalhante, como na figura abaixo, ele se deforma. Na figura 
abaixo, imagine que o fluido é pequeno, e a tensão é só uma forcinha. 
Figura 11 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2014. 
Essa força provoca uma deformação que tem um ângulo α com a vertical. 
Alguma matemática depois, nota-se que a tensão que se aplica nesse fluido é 
diretamente proporcional à taxa de deformação. Ou: 
𝜏𝑥𝑦 ∝
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 
À constante de proporcionalidade, chamamos viscosidade, de símbolo μ. 
Assim, podemos fazer a última classificação do escoamento. 
 
 
17 
a) Por fim, com relação à tensão cisalhante. 
b) Newtoniano, quando a viscosidade é constante. 
c) Não newtoniano, quando a viscosidade varia. 
Lembre-se que a viscosidade é a força com que o fluido se opõe ao 
movimento. Olhe esse outro vídeo curtinho: 
https://www.youtube.com/watch?v=yFbmf_57nXI 
 
Agora que sabemos classificar os fluidos, só nos falta começar a 
matemática, não é? Afinal, estamos num curso de engenharia. 
TEMA 5: ESCOAMENTOS VISCOSOS E NÃO VISCOSOS 
Quando o jogador de futebol chuta a bola em direção ao gol, a bola 
experimenta uma força contrária ao movimento, chamada “arrasto”. 
Uma pequena observação: quando o Galvão Bueno fala que “a bola bate 
na água e ganha força”, isso está errado. O momento que a bola tem mais 
velocidade é no instante em que deixa o pé do jogador. Depois disso, ela só 
perde velocidade. Para a bola ganhar velocidade na água, só se a água empurrar 
a bola. O correto seria dizer que a bola bate na água e altera sua trajetória, 
surpreendendo o goleiro. 
Intuitivamente, podemos pensar que o arrasto pode ser originário das 
forças de pressão na frente da bola ou do atrito do fluido ar com a bola. 
Podemos, então, perguntar: Será que conseguimos saber quando as 
forças viscosas são importantes? A resposta é: sim. Da mesma forma que o 
número de Reynolds define quando o escoamento é laminar ou turbulento, ele 
também define se as forças viscosas são importantes ou não. Basicamente, para 
um grande número de Reynolds, a viscosidade deixa de ser importante. 
Ilustrando esse pensamento mais uma vez com nosso exemplo do 
jogador de futebol, imagine que ele chuta a bola, que tem aproximadamente 
20cm de diâmetro, a 108km/h (30m/s). Usando a tabela A10 da bibliografia 
básica, pode-se ver que o número de Reynolds é 400.000, um número grande. 
Nesse momento, as forças viscosas são praticamente desconsideradas, e o 
arrasto é quase todo da pressão. 
Por outro lado, um grão de areia caindo tem Reynolds aproximadamente 
de 0,7. Isso é muito pequeno, e o arrasto é basicamente do atrito com o ar. 
https://www.youtube.com/watch?v=yFbmf_57nXI
 
 
18 
Assim, demos dois exemplos de escoamentos, mas ainda não explicamos 
o que são escoamentos com e sem atrito. 
Olhemos essas duas esferas. A primeira escoa em um escoamento sem 
atrito, enquanto a segunda escoa com atrito. Ao redor das duas esferas, estão 
expostas as linhas de corrente. 
Figura 11 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2014. 
Como o escoamento não atravessa a esfera, podemos dizer que as 
velocidades nos pontos A e C são baixas, enquanto que a velocidade em B é 
relativamente alta. Na verdade, como veremos no capítulo 6, onde a pressão é 
alta, a velocidade é baixa, e vice-versa. Enquanto olhamos essa esfera, notamos 
que ela não experimenta atrito. Obviamente, isso seria irrealizável. Mesmo para 
escoamentos que tem baixíssima viscosidade, existe um atrito entre a bola e o 
fluido ao redor dela. Esse atrito faz com que o fluido próximo à superfície do 
sólido tenha velocidades baixas, e a isso chamamos de “camada-limite”, que é 
a zona de influência do sólido no fluido ao seu redor. Podemos ver uma ilustração 
sua na figura abaixo: 
Figura 12 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2014. 
Essa camada-limite leva a um outro fenômeno. Como a zona de influência 
do atrito é pequena, em algum momento o fluido que está sob influência do sólido 
sairá dessa zona de influência. A esse ponto, chamamos de “zona de 
 
 
19 
separação”, e é o ponto D, da figura acima, para o escoamento com atrito. Veja 
novamente na figura abaixo: 
Figura 13 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2014. 
Tudo o que está no atrás da esfera e entre os pontos de separação é 
chamado de esteira, e representa um “caminho” por onde o sólido influenciou. 
Dentre outros elementos, é esse efeito que vemos quando observamos um avião 
que deixa um rastro no céu. 
Esses conhecimentos parecem meio abstratos e de pouca aplicação, mas 
são os conhecimentos sobre linhas de corrente e saber diferenciar quando o 
escoamento é viscoso ou não que nos permitem desenvolver a aerodinâmica. 
Veja esse aerofólio, por exemplo: 
Figura 14 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2014. 
Note que a esteira tem diâmetro menor do que o aerofólio, e quanto menor 
essa esteira, menos energia é perdida com atrito, ou seja, melhor esse aerofólio 
vai voar. Um bom projetista de aerofólios trabalhará o formato do aerofólio para 
que as linhas de corrente e a esteira adquiram mais capacidades de manobra ou 
sustentação. 
Por fim, guarde, em sua cabeça, que um escoamento não viscoso nunca 
é sem atrito, mas é aquele em que os efeitos viscosos podem ser desprezados, 
como os escoamentos com grande número de Reynolds. Mas eles estão lá. 
 
 
20 
SÍNTESE 
Caro aluno, cara aluna, muito obrigado por iniciar comigo essa jornada 
pelo mundo da mecânica dos fluidos. Hoje foi apenas o começo, e espero que 
seja tão prazerosa para você como é para mim. 
Na aulade hoje, vimos os fundamentos da mecânica dos fluidos e 
estabelecemos um vocabulário comum. Agora, não se assuste mais quando 
você ler slug em algum lugar. 
Minha expectativa sobre você, ao fim da disciplina, é que você encerre a 
mecânica dos fluidos não apenas com conhecimento, mas também com cultura 
a respeito da ciência que estudamos. 
Assim, mais uma vez, desejo que seja bem-vindo ao mundo da mecânica 
dos fluidos. Até a próxima aula. 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
ALFACONNECTION. Conceitos básicos na Hidrodinâmica. Disponível 
em: <http://www.alfaconnection.pro.br/fisica/liquidos/teoremas-basicos-da-
hidrodinamica/conceitos-basicos-na-hidrodinamica/>. Acesso em: 15 nov. 2016. 
FOX, R. W; PRITCHARD, P.; MCDONALD, T. Introdução à mecânica 
dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014. 
GIGANTES do Mundo. Maior chaminé do mundo. Disponível em: 
<http://gigantesdomundo.blogspot.com.br/2015/07/maior-chamine-do-
mundo.html>. Acesso em: 15 nov. 2016. 
UNUSUAL Off-Road Locomotion. Disponível em: 
<http://www.unusuallocomotion.com/medias/images/73-Garinko-2-with-4-
screws.jpg?fx=r_250_250>. Acesso em: 15 nov. 2016. 
WIKIPEDIA. 2016a.Disponível em: 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes#/media/File:Domenico-
Fetti_Archimedes_1620.jpg>. Acesso em: 15 nov. 2016. 
WIKIPEDIA. 2016b. Disponível em: 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes%27_screw#/media/File:Archimedes_
screw.JPG>. Acesso em: 15 nov. 2016. 
 
 
21 
WIKIPEDIA. 2016c. Disponível em: 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Streamlines,_streaklines,_and_pathlines#/media/
File:Kaberneeme_campfire_site.jpg>. Acesso em: 15 nov. 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Alysson Nunes Diógenes 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, cara aluna, continuaremos os desenvolvimentos da mecânica 
dos fluidos. 
Na aula passada, definimos um fluido como qualquer substância que flui 
(ou se deforma) quando se experimenta uma tensão de cisalhamento. Por 
consequência, para um fluido estático, existe apenas tensão normal sendo 
aplicada, ou, em outras palavras, a pressão. 
Estudaremos, nesta aula, o tema da estática de fluidos, muitas vezes 
chamado de hidrostática, mesmo que ele não esteja restrito a água. 
Embora problemas de estática de fluidos sejam o tipo mais simples de 
problemas de mecânica dos fluidos, esta não é a única razão pela qual vamos 
estudá-los. A pressão gerada por um fluido estático tem importância em muitas 
situações práticas. Usando o equacionamento que desenvolveremos, podemos, 
por exemplo, calcular as forças que agem em objetos submersos. Além disso, 
podemos desenvolver instrumentos de medida de pressão, e até deduzir as 
propriedades da atmosfera. 
Da mesma forma, podemos usar os mesmos princípios para determinar 
as forças desenvolvidas em prensas industriais ou freios de automóveis. 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
Ainda no Ensino Médio, você já estudava hidrostática e não sabia disso. 
Você lembra do princípio de Pascal? 
Vamos a um exemplo bem simples. Se você está dirigindo e se depara 
com o sinal fechado, coloca o pé no freio. O carro para. Para a física, o que isso 
significa? 
Significa que é possível parar um objeto que tem uma massa de uma 
tonelada ou mais, com um esforço mínimo - o do seu pé sobre o pedal do freio. 
Isso ocorre porque a força que é transmitida é multiplicada muitas vezes 
pelo sistema de freios. A explicação desse fenômeno é o princípio de Pascal, 
que pode ser enunciado da seguinte forma: "Em equilíbrio, os líquidos que não 
podem ser comprimidos transmitem integralmente a pressão por eles recebida". 
Figura 1 
 
 
3 
 
Blaise Pascal fez esse enunciado que possui muitas aplicações. Dentre 
elas, o macaco hidráulico, a prensa e o freio. Veja o exemplo mais comum: 
Figura 2 
 
 
Neste caso, o fluido transfere a força de um lado a outro do elevador, mas, 
melhor que isso: distribui as forças entre as cargas e faz com que uma pequena 
força no elemento de área grande provoque uma grande força no elemento de 
área pequena. 
Vamos, então, estudar esses fenômenos? 
 
TEMA 1: EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
O primeiro objetivo desta aula é o de obter uma equação para calcular o 
campo de pressão num fluido estático. Deduziremos o que já sabemos da 
experiência cotidiana, que a pressão varia com a profundidade. 
Para fazer isso, observemos a figura abaixo, que representa um elemento 
bem pequeno de líquido, chamado de diferencial de volume. 
Em um fluido estático não há tensões cisalhantes, de modo que a única 
força de superfície é a força de pressão. A pressão é um campo escalar, P=P (x, 
 
 
4 
y, z); em geral, esperamos que a pressão varie com a posição no interior do 
fluido. A força de pressão líquida que resulta dessa variação pode ser encontrada 
pela soma das forças que atuam sobre as seis faces do elemento de fluido. 
 
Figura 3 
 
Fonte: Fox, Pritchard e McDonald, 2006. 
Nessa figura, O é o centro do elemento, P é a pressão no centro desse 
elemento, e as suas dimensões são dx, dy e dz. 
Esse elemento está parado, mas isso não quer dizer que ele não está 
sujeito a forças. Lembre-se da aula passada, de que um fluido em repouso 
suporta tensões normais. Suponhamos, então, que esse fluido está sob efeito da 
gravidade (força de campo) e de forças de pressão normais (forças de 
superfície), por exemplo, a pressão atmosférica. 
Assim, da 2ª Lei de Newton, podemos escrever que a gravidade age 
assim: 
𝑑𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑔 𝑑𝑚 
Onde FB é uma força de campo, nesse caso, vinda da gravidade g e m, a 
massa do elemento. Note também que essa é uma equação vetorial, que 
demanda orientação e sentido de todos os elementos que tem a flecha em cima. 
Mas: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑∀ 
E ∀ é o volume do elemento, que também pode ser expresso por ∀=
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 e ρ é a densidade. Assim: 
𝑑𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑔 𝜌𝑑∀= 𝑔 𝜌 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Não é possível medir a pressão numa face quando se sabe que a pressão 
no centro é P. É possível, porém, usar um artifício matemático chamado 
“expansão por séries de Taylor” para estimar a pressão na face de um elemento 
 
 
5 
diferencial. Por exemplo, para a face da esquerda, podemos escrever que a 
pressão é: 
𝑃𝐸 = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
(𝑦𝐸 − 𝑦) = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
(−
𝜕𝑦
2
) = 𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2
 
Por sua vez, na face direita: 
𝑃𝐷 = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
(𝑦𝐷 − 𝑦) = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
(
𝜕𝑦
2
) = 𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2
 
Note que o sinal mudou porque na esquerda, a coordenada 𝑦𝐸 é menor 
do que o y do centro, enquanto que a coordenada 𝑦𝐷 é maior do que a 
coordenada y do centro, como na ilustração abaixo: 
 yE y yD 
 
Contudo, as forças de pressão agem em todas as faces e em todas as 
direções. Dessa forma, podemos dizer que a força de superfície agindo nesse 
volume de controle é a soma de todas as pressões agindo sobre ele. Mas, para 
transformar a pressão numa força, ela se multiplica a pressão pela área da face 
do diferencial: 
𝑑𝐹𝑠⃗⃗ ⃗ = (𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑥
2
) 𝑑𝑦𝑑𝑧(𝑖̂) + (𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝜕𝑥
2
) 𝑑𝑦𝑑𝑧(−𝑖̂) 
+ (𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2
)𝑑𝑥𝑑𝑧(𝑗̂) + (𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝜕𝑦
2
)𝑑𝑥𝑑𝑧(−𝑗̂) 
+(𝑃 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
2
)𝑑𝑥𝑑𝑦(�̂�) + (𝑃 +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
𝜕𝑧
2
) 𝑑𝑥𝑑𝑦(−�̂�) 
Cancelando os termos, podemos escrever: 
𝑑𝐹𝑠⃗⃗ ⃗ = −(
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑖̂ +
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕𝑃
𝜕𝑧
�̂�) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Define-se, então, o operador gradiente, que mede a derivada de uma 
propriedade em todas as direções. Esse operador funciona como uma medida 
de variação em todas as direções. 
∇≡
𝜕
𝜕𝑥
𝑖̂ +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂� 
Assim: 
𝑑𝐹𝑠 = −∇𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Somando as forças de superfície e de campo: 
𝑑𝐹 = 𝑑𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑑𝐹𝑆⃗⃗ ⃗ 
𝑑𝐹 = (−∇𝑃 + 𝜌𝑔 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = (−∇𝑃 + 𝜌𝑔 )𝑑𝑉 
Por sua vez, da segunda lei de Newton para um elemento diferencial, 
 
 
6 
𝑑𝐹 = 𝑎 𝑑𝑚 = 𝑎 𝜌𝑑𝑉 
Mas ofluido está em repouso, assim: 
𝑎 = 0 𝑜𝑢 
𝑑𝐹 
𝑑𝑉
= 0 
Assim, pode-se escrever: 
∇𝑃 − 𝜌𝑔 = 0 
O significado físico do primeiro termo dessa equação são as forças de 
pressão l, por unidade de volume em um ponto. O segundo termo significa as 
forças de campo por unidade de volume em um ponto. 
Esta é a equação básica da estática dos fluidos. É uma equação vetorial, 
o que implica que pode ser analisada individualmente, e que suas 3 
componentes devem ser satisfeitas: 
{
 
 
 
 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
− 𝜌𝑔𝑥⃗⃗⃗⃗ = 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦
− 𝜌𝑔𝑦⃗⃗ ⃗⃗ = 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
− 𝜌𝑔𝑧⃗⃗⃗⃗ = 0
 
 
 
 
Ou simplificando: 
{
 
 
 
 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= 𝜌𝑔𝑧⃗⃗⃗⃗ = 𝛾
 
Note que as pressões são constantes nas direções x e y, pois suas 
derivadas no espaço são nulas. A pressão varia apenas na direção z. Lembre-
se: a pressão não varia na horizontal, apenas na vertical. 
Considerações que usamos para chegar nesse resultado: 
 Fluido estático; 
 Gravidade é a única força de campo; 
 O eixo z está para cima. 
Definiremos agora os referenciais de pressão: 
Figura 4 
 
 
7 
 
Ou: 
𝑃𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑚𝑎𝑛 + 𝑃𝑎𝑡𝑚 
Os equipamentos de medir pressão são chamados manômetros. Eles 
podem medir a pressão absoluta, cujo referencial é o vácuo, ou, na maioria 
destes, se mede a pressão manométrica, que trabalha com o referencial de 
pressão atmosférica. 
Por exemplo, quando calibramos o pneu do carro em 30 libras, na 
verdade, colocamos algo como 44,7 libras nele. As libras são o nome popular 
para o psi, ou libras por polegada quadrada. 
Ufa! Não se canse ainda. Com os exemplos, tudo fica mais claro. Mas, 
ainda precisamos caminhar um pouco mais antes disso. 
 
TEMA 2: A ATMOSFERA PADRÃO 
Boa parte da vida de um engenheiro se torna mais clara quando há um 
padrão bem estabelecido. Assim, estabeleceremos agora a chamada atmosfera 
padrão. Por incrível que pareça, não há um modelo padrão mundial para a 
atmosfera, e o mais comum foi definido pela International Civil Aviation 
Organization (ICAO), o órgão de aviação civil dos Estados Unidos, que 
estabeleceu a temperatura padrão se relacionando com a altitude, como se pode 
ver na figura abaixo: 
 
Figura 5 
 
 
8 
 
Fonte: Fox, Pritchard, McDonald, 2006. 
E, da mesma forma, estabeleceu as propriedades da atmosfera: 
 
Tabela 1 
 
Note as propriedades escritas nos dois sistemas de unidades. Outra 
observação interessante é que, para a maioria das aplicações de engenharia, a 
variação da gravidade pela altura é desprezada. Assim, pode-se utilizar o valor 
padrão de 9,81 m/s2. 
 
 
9 
Entretanto, ainda não conseguimos definir uma equação para a pressão. 
Assim, para um fluido incompressível, de densidade constante e considerando a 
gravidade constante, pode-se escrever na direção z: 
∫ 𝑑𝑃
𝑃
𝑃0
= −∫ 𝜌
𝑧
𝑧0
𝑔 𝑑𝑧 
𝑃 − 𝑃0 = −𝜌𝑔 (𝑧 − 𝑧0) 
𝑃 − 𝑃0 = 𝜌𝑔 ℎ 
Note que, por definição, ℎ = (𝑧0 − 𝑧) e não (𝑧 − 𝑧0), assim a equação 𝑃 −
𝑃0 = 𝜌𝑔 ℎ tem todos os termos positivos. Z0 nada mais é do que um referencial 
de altura qualquer, e z a altura em relação a esse referencial. Define-se 𝑧0. 
Note que o referencial P0 varia, de forma que será possível definir, a partir 
desse equacionamento, manômetros, comportas e forças sob superfícies 
submersas. 
Faremos dois exemplos para fixar o conteúdo: 
1. Foi fornecido a um técnico um manômetro calibrado no nível do mar 
(P0=101.325Pa), para que ele efetuasse medidas numa tubulação que está 
localizada em uma cidade a 1500m (P0’=84.259Pa) de altura em relação ao nível 
do mar. Considerando que o manômetro é um equipamento de coluna de óleo 
de densidade 892kg/m3, e mediu 10cm no nível do mar e deveria ter a mesma 
medida a 1500m de altura, qual seria a diferença da pressão medida? 
Esse problema é mais comum do que se pensa. Comecemos, então, 
utilizando a equação da pressão. Primeiramente, calculemos a pressão que o 
técnico mediu no nível do mar. Ele mediu uma coluna, mas seu resultado será 
em relação à pressão no nível do mar – foi onde o manômetro foi calibrado, logo 
ela é a referência. 
𝑃 − 𝑃0 = 𝜌𝑔ℎ 
Para o nosso caso, P0 é a pressão atmosférica no nível do mar, ρ é a 
densidade do óleo, e h, a altura medida. Assim: 
𝑃 − 101.325 = 892 ∙ 9,81 ∙ 0,1 
Lembrando que 10cm é 0,1m. A altura sempre deve ser utilizada em metro 
quando a equação estiver no sistema internacional. 
𝑃 = 102.200,052𝑃𝑎 
Caso o técnico medisse uma pressão de 10cm de óleo a 1500m de altura, 
o resultado seria: 
𝑃 − 𝑃0
′ = 𝜌𝑔ℎ 
 
 
10 
𝑃 − 84.259 = 892 ∙ 9,81 ∙ 0,1 
𝑃 = 85134,052𝑃𝑎 
Ou seja, teria 17.066Pa de diferença na medida. Note que, como 
consideramos a atmosfera nesse exercício, o resultado para as duas medidas 
foi em pressão absoluta. 
2. Uma tubulação aparenta estar com problemas. A pressão 
manométrica em um determinado ponto da linha deveria ser 5.000Pa (que é igual 
a 5kPa) e será monitorada pelo técnico. Todavia, ele tem disponíveis apenas 
manômetros que medem em psi, ou um manômetro de coluna de mercúrio (𝜌 =
13.600𝑘𝑔/𝑚3) aberto à atmosfera que apresenta uma leitura de 5cm. A linha 
está pressurizada corretamente? Qual seria a medida do manômetro em psi? 
 
Resolveremos novamente: 
𝑃 − 𝑃0 = 𝜌𝑔ℎ 
Primeiramente, suponhamos que o manômetro está calibrado para a 
pressão atmosférica correta. A medida que faremos será manométrica, então 
suponhamos que a subtração da pressão já está incluída no resultado. Assim, 
para uma medida de pressão manométrica, a medida será calculada pela 
equação: 
Δ𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 
Onde ΔP representa a medida de pressão manométrica. 
Δ𝑃 = 13.600 ∙ 9,81 ∙ 0,05 
Δ𝑃 = 6.670,8𝑃𝑎 
Já sabemos que a linha está com pressão acima do que deveria. Agora, 
converteremos para psi. Faremos uma dedução geral. 
1𝑃𝑎 =
1𝑁
𝑚2
 
Agora, vamos às conversões para as unidades do sistema britânico. O psi 
é uma unidade de libra por polegada quadra. Assim: 
1𝑁 = 0,224𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 
E: 
1𝑚 = 39,37𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎 
Assim: 
6.670,8𝑃𝑎 = 6.670,8
𝑁
𝑚2
 
 
 
11 
6.670,8
𝑁
𝑚2
= 6.670,8 ∙
0,224𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎
(39,37 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎)2
 
6.670,8
𝑁
𝑚2
= 0,964𝑝𝑠𝑖 
Deu quase 1 psi. De fato, 1 psi é convertido costumeiramente em 
6.894,757 Pa. 
Uma observação: Caso você tenha feito essa conversão usando o 
aplicativo da Bosch, você pode chegar a um resultado ligeiramente diferente. 
Não se assuste. A conta que fizemos aqui, por uma questão de simplicidade, foi 
feita com menos casas decimais do que os conversores costumam usar, mas 
nesse caso, não influenciam no resultado. O objetivo desse exercício foi ilustrar 
as formas de medir pressão utilizando várias unidades. 
Na bibliografia básica, há um outro exemplo bastante interessante que 
trata da sensibilidade de manômetros. É interessante que você o leia e entenda 
com bastante atenção. 
 
TEMA 3: FIXAÇÃO DE CONTEÚDO 
Se temos apenas a equação, somos matemáticos. Se observamos um 
fenômeno associado à equação, somos físicos. Mas, se associamos um 
fenômeno à uma equação e um equipamento, somos engenheiros. Assim sendo, 
vamos aplicar as equações que acabamos de desenvolver? 
Exercício 1 – Tanque fechado – O tanque fechado da figura abaixo está 
a 20°C (γar=11,8N/m3 e γágua=9.790N/m3). Se a pressão absoluta no ponto A é 
98kPa, qual é a pressão no ponto B? Qual é o percentual de erro se a pressão 
da coluna de ar for ignorada? (Gama, ou γ, é o peso específico, definido como a 
multiplicação da gravidade pela densidade, ou 𝛾 = 𝜌𝑔.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Figura 6 
 
Assim, para a primeira resposta, deve-se considerar a coluna de ar, ou 
seja, temos a pressão em A. Ela vai ser o nosso referencial para esse exemplo. 
Assim, para calcular a pressão em C, podemos escrever: 
𝑃𝑐 − 𝑃𝑎 = 𝛾ℎ → 𝑃𝑐 = 98𝑘 + 11,8 ∙ 5 = 98.059𝑃𝑎 
Naturalmente, a pressão em C é maior do que a pressão em A, pois C 
está mais baixo do que A. Noteque o fluido pelo qual “caminhamos” de A a C é 
o ar, logo o peso específico utilizado deve ser o do ar. 
Lembra que a pressão não varia na horizontal no mesmo fluido? Assim 
sendo, podemos arbitrar um ponto E, na mesma altura de C, na qual sabemos 
que a pressão nesse E é a mesma que em C. Assim, podemos calcular a pressão 
em D: 
𝑃𝐸 − 𝑃𝐷 = 𝛾ℎ → 𝑃𝐷 = 98.059 − 9.790 ∙ 2 = 78.479𝑃𝑎 
No entanto, por que a pressão em D foi usada como referência? Por uma 
questão de conveniência, para que o resultado dessa equação seja positivo, 
podemos definir que nosso referencial, a partir desse momento, será o ponto 
mais alto. Assim, os dois lados da equação serão positivos. 
Da mesma forma, dessa vez, o fluido pelo qual “caminhamos” de C para 
E, e de E para D é a água, então o peso específico utilizado é o da água. 
Por fim, para a pressão em B, escreveremos mais uma vez: 
𝑃𝐷 − 𝑃𝐵 = 𝛾ℎ → 𝑃𝐵 = 78.479 − 11,8 ∙ 3 = 78.443,6𝑃𝑎 
E usamos o peso específico do ar. 
Agora, a segunda parte do exercício. Desconsiderando as colunas de ar: 
𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 𝑒 𝑃𝐷 = 𝑃𝐵 
Água 
Ar 
Ar 
E 
 
 
13 
Como o peso das colunas de ar foram desprezados, as pressões em A e 
C são iguais. Da mesma forma em D e B. 
Assim, podemos montar as novas equações: 
𝑃𝐴 = 𝑃𝐶 
𝑃𝐶 = 𝑃𝐸 
𝑃𝐸 − 𝑃𝐷 = 𝛾ℎ 
 
Mas: 
𝑃𝐷 = 𝑃𝐵 
Assim: 
𝑃𝐸 − 𝑃𝐵 = 𝛾ℎ 
𝑃𝐷 = 98𝑘 − 9.790 ∙ 2 = 78.420𝑃𝑎 
Uma equação geral para um erro de qualquer parâmetro que se deseje 
calcular pode ser escrita da seguinte forma: 
𝜖(%) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
∙ 100 
Assim, para um erro na pressão em B, pode-se comparar as duas formas 
de se calcular. A maior pressão foi a considerando a coluna de ar. Assim: 
𝜖 =
78.443,6 − 78.420
78.443,6
∙ 100 = 0,03% 
Então, teríamos um erro de 0,03% ao desprezar a coluna de ar. Isso faz 
sentido, pois a pressão depende diretamente da densidade, e a água é muito 
mais densa que o ar. 
Exercício 2 – Calcule a pressão em A, B, C e D na geometria abaixo. 
 
Solução: 
A primeira pressão que calcularemos é a pressão em A. Lembre-se que 
adotamos um referencial de que a pressão de referência sempre será mais 
baixa, que, nesse caso, é a pressão atmosférica. Assim: 
𝑃𝐴 − 𝑃0 = 𝜌𝐻2𝑂𝑔ℎ 
 
 
14 
A diferença de altura entre a linha de superfície de água na entrada do 
sistema (única parte aberta à atmosfera) e o ponto A é 0,8m. note a cota na 
figura. Note que “caminhamos” por água. Note também, que, como o único fluido 
que há entre a entrada e o ponto A é água, não faz diferença a profundidade da 
entrada ou do ponto A, e sim, a diferença de altura entre eles. Deste modo: 
𝑃𝐴 = −1000 ∙ 9,81 ∙ 0,8 = −7,848𝑘𝑃𝑎 
Para calcular a pressão em B, “caminhamos” mais uma vez pela água. 
Poderíamos ir do ponto A para o ponto B, e a diferença de altura seria 1,3m. 
Optamos, todavia, por usar a entrada mais uma vez. Assim, a diferença de altura 
da entrada a B será 0,5m. E como B está mais baixo do que a entrada, ele será 
a referência. 
𝑃𝐵 − 𝑃0 = 𝜌𝐻2𝑂𝑔ℎ 
𝑃𝐵 = 1000 ∙ 9,81 ∙ 0,5 = 4,905𝑘𝑃𝑎 
Para a pressão em C, ignoraremos a pressão de 0,9m de ar. Vimos no 
exercício passado que, quando trabalhamos com um fluido muito mais denso do 
que o outro, o erro é pequeno ao se desprezar uma coluna do fluido menos 
denso. Faremos isso novamente. Assim: 
𝑃𝑐 = 𝑃𝐵 = 4,905𝑘𝑃𝑎 
Por fim, para calcular a pressão em D, agora “caminhamos” pelo fluido 
óleo, e D é mais alto que C, assim, C será a referência. No entanto, a densidade 
do óleo foi dada na forma de densidade relativa. A densidade relativa de um 
líquido é definida como na equação abaixo: 
𝑑𝑟𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 =
𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜌á𝑔𝑢𝑎
 
Ou: 
𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑑𝑟𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 ∙ 𝜌á𝑔𝑢𝑎 
Assim: 
𝑃𝐷 − 𝑃𝐶 = 𝜌𝑜𝑙𝑒𝑜𝑔ℎ 
E aplicando a equação da densidade relativa para o líquido óleo: 
𝑃𝐷 = 𝑃𝐶 + 𝜌𝑜𝑙𝑒𝑜𝑔ℎ = 𝑃𝐶 + 𝑑𝑟𝑜𝑙𝑒𝑜 ∙ 𝜌á𝑔𝑢𝑎 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 
𝑃𝐷 = 4,905𝑘 + 0,9 ∙ 1000 ∙ 9,81 ∙ 1,9 = 21,68𝑘𝑃𝑎 
 
TEMA 4: EMPUXO E ESTABILIDADE 
Se um objeto estiver imerso ou flutuando num líquido, a força vertical 
atuando sobre ele em decorrência da pressão do líquido é denominado empuxo. 
 
 
15 
Considere um cilindro: 
 
Figura 7 
 
 
As equações para determinar as forças verticais agindo nesse elemento 
de fluido são: 
𝑃 − 𝑃0 = 𝜌𝑔ℎ 
𝑑𝐹𝑧 = (𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ2)𝑑𝐴 − (𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ1)𝑑𝐴 
Mas: 
(ℎ2 − ℎ1)𝑑𝐴 = 𝑑∀ 
Logo: 
𝑑𝐹𝑧 = ∫ 𝜌𝑔𝑑∀
𝑉
= 𝜌𝑔∀ 
Assim, a força líquida vertical decorrente da pressão, ou empuxo, sobre o 
objeto, é igual à força da gravidade atuando sobre o líquido deslocado pelo 
mesmo. Portanto: 
𝐹𝑒𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 = 𝜌𝑔∀ 
Lembrando que esse ∀ representa o volume submerso e que essa 
densidade é a densidade do fluido que circunda o objeto, sofrendo o empuxo. 
Essa equação foi deduzida por Arquimedes, em 220 a.C. Por vezes, é chamada 
de Princípio de Arquimedes. Ela parece simples, mas possui grandes aplicações. 
Exemplo: Quantifique o enunciado: “Somente uma parte do iceberg 
aparece sobre a água do mar”. Adote a densidade da água salgada como sendo 
1.025kg/m3, e a densidade do gelo como 990kg/m3. 
Figura 8 
 
 
16 
 
Fazendo o somatório das forças verticais agindo no iceberg, tem-se duas 
forças. O peso e o empuxo. 
∑𝐹𝑧 = 0 
𝐹𝐵 −𝑚𝑔 = 0 
Considerando que a massa do iceberg pode ser definida como 𝑚 =
𝜌𝑔𝑒𝑙𝑜∀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: 
𝐹𝐵 = 𝜌𝑔𝑒𝑙𝑜∀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ∙ 𝑔 
Mas, o empuxo também é calculado em relação ao fluido que o cerca: 
𝐹𝐵 = 𝜌𝐻2𝑂𝑔∀𝑠𝑢𝑏 
Assim: 
𝜌𝐻2𝑂𝑔∀𝑠𝑢𝑏= 𝜌𝑔𝑒𝑙𝑜𝑔∀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 → 
∀𝑠𝑢𝑏
∀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝜌𝑔𝑒𝑙𝑜
𝜌𝐻2𝑂
 
∀𝑠𝑢𝑏
∀𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
=
917
1025
= 0,9 
90% do iceberg fica submerso nessas condições. 
 
Exemplo: Um balão de ar quente (aprox. esférico), de 50ft de diâmetro, 
ergue um cesto de 600lbf. A que temperatura o ar deve ser aquecido para o 
balão ser erguido? Considere ρar=0,00238slug/ft3 e Tatm=519°R (15°C). (Fox; 
Pritchard; McDonald, 2014) 
Não se assuste com as unidades. Resolveremos uma questão no sistema 
britânico apenas para ver como pode ser fácil. 
Solução: 
Figura 9 
 
 
17 
 
 
Equações: 
𝐹𝐵 = 𝜌𝑔∀ e 𝑃 = 𝜌𝑅𝑇 
Nesse exercício, precisaremos da equação dos gases ideais, que já foi 
vista na disciplina de termodinâmica. Para relembrar, P é a pressão, ρ a 
densidade, R a constante universal dos gases e T é a temperatura. 
Precisamos fazer o somatório das forças. Temos o peso do cesto, o peso 
do ar e o empuxo. Chamaremos o peso de W, para não confundirmos com a 
pressão: 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝐹𝐵 −𝑊𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 −𝑊𝑐𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0 
𝜌𝑎𝑟𝑔𝑉 − 𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑔∀ −𝑊𝑐𝑒𝑠𝑡𝑜 = 0 
𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝜌𝑎𝑟 −
6𝑊𝑐𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑔𝜋𝑑3
 
𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,00238
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑓𝑡3
− 6
600𝑙𝑏𝑓
𝜋503𝑓𝑡3
∙
1𝑠2
32,2𝑓𝑡
∙
𝑠𝑙𝑢𝑔 ∙ 𝑓𝑡
𝑠2 ∙ 𝑙𝑏𝑓
 
𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 0,00238 − 0,000285 = 0,00209
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑓𝑡3
 
Finalmente, da equação dos gases: 
𝑉1 = 𝑉2 → 
𝑃𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑅𝑇𝑞
=
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑎𝑡𝑚𝑅𝑇𝑎𝑡𝑚
 
O balão está em equilíbrio, ou seja, as pressões internas (ar quente) e 
externas (atmosférica) são iguais. Da mesma forma, a constante universal dos 
gases é igual para o ar quente e para o ar atmosférico. Assim: 
 
 
18 
1
𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑇𝑞
=
1
𝜌𝑎𝑡𝑚𝑇𝑎𝑡𝑚
 
𝑇𝑞 = 𝑇𝑎𝑡𝑚 ∙
𝜌𝑎𝑡𝑚
𝜌𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
= 519 ∙
0,00238
0,00209
= 591°𝑅 = 55°𝐶 
Enquanto resolvemos esse exercício, podemos ver que a metodologia é 
a mesma. Apenas as unidades são diferentes. 
Exemplo: Um barco está carregado com 150 toneladas de carvão. O peso 
da barca vazia é de 35 toneladas. Se a barca mede 5m de largura, 20m de 
comprimento e 5m de altura, qual é o calado (parte submersa) da barca? 
Solução: 
𝐹𝐵 = 𝑊 
𝜌𝐻2𝑂𝑔𝑉 = (150 + 35) ∙ 10
3 ∙ 𝑔 
103 ∙ (20 ∙ 5 ∙ 𝐷) = (150 + 35) ∙ 103 
𝐷 =
185
100
= 1,85𝑚 
Exemplo: Um bloco de aço de densidade relativa=7,85flutua numa 
interface água-mercúrio como na figura. Qual será a razão a-b? 
Figura 10 
 
 
Mais uma vez, utilizaremos a definição de densidade relativa. Para 
sólidos, o referencial é o mesmo de líquidos, ou seja, a água. 
Solução: 
Fazendo o somatório das forças, temos o peso e o empuxo. Assim: 
𝐹𝐵 = 𝑊 
Contudo, o empuxo age parte no volume submerso em água e parte no 
volume submerso em mercúrio. O peso, por sua vez, é o peso do volume inteiro 
de aço: 
𝜌𝐻2𝑂𝑔∀𝐻2𝑂 + 𝜌𝐻𝑔𝑔∀𝐻𝑔= 𝜌𝑎ç𝑜𝑔∀ 
 
 
19 
Não sabemos qual é o volume da peça, mas chamaremos de L um 
comprimento arbitrário e w uma largura arbitrária. Assim, o volume pode ser 
calculado da seguinte forma: 
∀𝑎ç𝑜= (𝑎 + 𝑏)𝐿𝑤 
∀𝐻2𝑂= 𝑎𝐿𝑤 
∀𝐻𝑔= 𝑏𝐿𝑤 
Como L e w estarão em todos os termos da equação, eles serão cortados. 
Observe: 
𝜌𝐻2𝑂𝑎𝐿𝑤 + 𝜌𝐻𝑔𝑏𝐿𝑤 = 𝜌𝑎ç𝑜(𝑎 + 𝑏)𝐿𝑤 
𝜌𝐻2𝑂𝑎 + 𝜌𝐻𝑔𝑏 = 𝜌𝑎ç𝑜(𝑎 + 𝑏) 
𝜌𝐻2𝑂𝑎 + 13,6𝜌𝐻2𝑂𝑏 = 7,85𝜌𝐻2𝑂(𝑎 + 𝑏) 
−6,85𝑎 = −5,75𝑏 → 
𝑎
𝑏
= 0,839 
SÍNTESE 
Caro aluno, cara aluna, não estranhe as deduções das equações que 
fizemos. Isso fará a diferença entre o curso técnico e o curso de engenharia. 
Enquanto técnicos, propomos soluções, mas enquanto engenheiros, propomos 
soluções de forma ordenada, correta, usando os recursos necessários e sem 
desperdício. Por quê? Porque sabemos de onde vem os modelos e como usá-
los da forma mais correta. 
Para o correto aprendizado, você deve praticar. Assim, não esqueça de 
estudar os capítulos e fazer bastante exercícios. 
 
REFERÊNCIAS 
 
FOX, R. W; PRITCHARD, P.; MCDONALD, T. Introdução à mecânica 
dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Alysson Nunes Diógenes 
 
 
2 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, cara aluna, como alguém que aprende a nadar, hoje 
soltaremos a beirada da piscina e nos aventuraremos entre as águas mais 
profundas. 
Na aula passada, já definimos os referenciais de pressão e aprendemos 
sobre a pressão que um fluido parado provoca. Da mesma forma, entendemos 
como medir essa pressão através de colunas. 
Mas, até o momento, os fluidos estavam parados. O que é uma parte 
pequena da disciplina, pois estamos conhecendo a mecânica dos fluidos, ou 
seja, o movimento dos fluidos. Agora, iniciaremos com um fluido em movimento 
e veremos como lidar com isso. 
A partir de agora, eu peço uma dedicação especial sua nos estudos, pois 
a parte com mais equações e mais matemática será vista nessas próximas aulas. 
Mas não se preocupe. Com um pouco de esforço e bastante prática, 
conseguiremos. 
Assim sendo, vamos começar? 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
Agora, estamos prontos para estudar fluidos em movimento; por isso, 
temos de decidir como devemos analisar um fluido que escoa. Há duas opções 
disponíveis para nós. (Fox, Pritchard e McDonald, 2014) 
1. Nós podemos estudar o movimento de uma partícula de fluido ou grupo 
de partículas e ver como eles se movem pelo espaço. Essa é a abordagem de 
sistema, que tem a vantagem de que as leis físicas se aplicam à matéria e, 
portanto, diretamente para o sistema. Por exemplo, a segunda lei de Newton, F 
⃗=dP ⃗/dt, em que F é a força e dP/dt é a taxa de variação de momento do fluido. 
Uma desvantagem é que, na prática, as equações associadas com essa 
abordagem podem se tornar um pouco complicadas, geralmente levando a um 
conjunto de equações diferenciais parciais. Essa abordagem é necessária se 
estamos interessados em estudar a trajetória de partículas ao longo do tempo, 
 
 
 
3 
 
 
por exemplo, em estudos de poluição ou do clima, previsão do tempo, medição 
de ondas, entre outros. 
2. Podemos estudar uma região do espaço à medida que o fluido passa 
através dele, que é a abordagem de volume de controle. Essa abordagem é 
frequentemente o método de escolha, porque tem aplicações práticas; por 
exemplo, na aerodinâmica, em que geralmente se está interessado na 
sustentação e arrasto em uma asa (que nós selecionamos como parte do volume 
de controle), em vez de saber o que acontece com as partículas de fluido 
individuais. Da mesma forma, isso pode ser aplicado para verificar a força que o 
movimento de um fluido faz em uma tubulação, e, assim, verificar se o suporte 
dessa tubulação é suficiente para sustentá-la, como na figura abaixo. 
Figura 1 
 
 
Então, recapitulando, a principal vantagem do método com que 
trabalharemos agora é podermos trabalhar com médias, sem se importar com os 
detalhes do fluido, e sim com sua interação com o sólido que o contém. 
 
 
 
 
 
4 
 
TEMA 1: CONSERVAÇÃO DA MASSA 
Quando trabalhamos as conservações, precisamos de um conjunto de 
equações que descrevam o movimento do fluido. Quando estávamos 
trabalhando a mecânica convencional, era comum um sistema como o da figura 
abaixo. 
Figura 1 
 
 
Esse sistema não é mais válido para uma porção grande de fluido, tendo 
em vista que o fluido se deforma com grande facilidade. Sendo assim, é 
necessário criar um conjunto novo de equações que sejam válidas para um 
conjunto de partículas de fluido e que mostrem como elas se comportam e como 
influenciam o que está a sua volta. 
Chamaremos esse conjunto de equações de abordagem integral do 
escoamento. 
Para um determinado sistema, em um determinado tempo: 
Figura 2 
 
 
 
Fonte: Do autor. 
V1 
δl1=V1δt 
V2 
δl2=V2δt 
I II VC-I VC 
 
 
5 
 
 
Onde V é velocidade, VC é um volume de controle e δl e δt são pequenos 
deslocamentos de espaço e de tempo, respectivamente. Na primeira parte da 
figura, temos apenas o VC, enquanto que, na segunda parte, o VC se deslocou, 
perdendo um pedaço “I” e ganhando um pedaço “II”, de forma que a intersecção 
entre os dois é VC-I. 
Assim sendo, definimos um sistema como um volume de controle em um 
instante t, cujas propriedades podem variar no tempo. No tempo t, o sistema era 
VC, e, no tempo t+δt, ele se deslocou e passou a ser (VC-I)+II. 
Propriedades básicas para um sistema 
Pode-se escrever uma formulação geral para um sistema a partir de suas 
propriedades extensivas. Essas são propriedades que dependem do tamanho 
ou da quantidade de matéria que um sistema contém. Ex.: massa, volume, 
energia, quantidade de movimento, etc. (Fox; Pritchard; McDonald, 2014) 
As propriedades intensivas não dependem do tamanho ou da quantidade 
de matéria que o sistema contém. Ex.: temperatura, pressão, etc. Normalmente, 
uma propriedade intensiva tem uma propriedade extensiva correspondente. 
Se B é uma propriedade extensiva do sistema, primeiramente, pode-se 
escrever: 
𝐵 = ∫ 𝑏𝜌𝑑𝑚
𝑀
= ∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
 
Onde B é a propriedade dependente da massa, e b é a propriedade 
intensiva correspondente. Ex.: Energia e energia específica. Comumente, 
b=B/m. 
O valor associado a essa propriedade no instante t é: 
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡) = 𝐵𝑉𝐶(𝑡) 
Onde Bsist é a propriedade do sistema (que não se altera), e BVC é a 
propriedade extensiva do volume de controle. Assim, no instante t+δt: 
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) + 𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) 
E a variação da propriedade no tempo é: 
𝛿𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡
𝛿𝑡
=
𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡)
𝛿𝑡
=
𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) + 𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡(𝑡)
𝛿𝑡
 
 
 
6 
 
 
Mas BVC=Bsist. Assim, tirando o limite δt→0: 
𝛿𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡
𝛿𝑡
)
𝛿𝑡→0
= lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑉𝐶(𝑡)
𝛿𝑡
−
𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
+
𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
 
 (1) (2) (3) 
Analisando cada termo individualmente, tem-se, para o termo (1): 
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝑉𝐶(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝐵𝑉𝐶(𝑡)
𝛿𝑡
=
𝜕𝐵𝐶𝑉
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
 
Para o elemento (2): 
− lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
= − lim
𝛿𝑡→0
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
𝛿𝑡
= − lim
𝛿𝑡→0
∫ 𝑏𝜌 𝛿𝑙 𝑑𝐴
∀
𝛿𝑡
= − lim
𝛿𝑡→0
∫ 𝑏𝜌 𝑉𝛿𝑡 𝑑𝐴
𝐴𝐼
𝛿𝑡
 
Onde l é um comprimento,e A é a área da seção transversal por onde 
passa o fluido. Assim: 
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
= − ∫ 𝑏𝜌𝑉𝑑𝐴
𝐴𝐼
 
O mesmo raciocínio pode ser feito para o elemento (3): 
lim
𝛿𝑡→0
𝐵𝐼𝐼(𝑡 + 𝛿𝑡)
𝛿𝑡
= ∫ 𝑏𝜌𝑉𝑑𝐴
𝐴𝐼𝐼
 
Reescrevendo os termos: 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
− ∫ 𝑏𝜌�⃗⃗�𝑑𝐴
𝐴𝐼
+ ∫ 𝑏𝜌�⃗⃗�𝑑𝐴
𝐴𝐼𝐼
 
Os termos (2) e (3) representam um balanço da quantidade de 
propriedade que passa através da área de entrada e de saída do volume de 
controle, ou seja, o que sai menos o que entra. Assim: 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑏𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝑆𝐶
 
Essa equação é chamada Teorema do Transporte de Reynolds. Como 
estamos na engenharia, tudo possui uma aplicação e uma interpretação físicas. 
Observe que, no terceiro termo, a velocidade não está multiplicando o diferencial 
de área, e sim, fazendo um produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor 
área. Da mesma forma, a integral desse termo é uma integral na superfície de 
controle SC (pode ser representado por SC ou A), que representa as fronteiras 
do sistema por onde a fluido passa. Assim, a interpretação física dessa equação 
é: 
 
 
7 
 
Interpretação física 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
 – Taxa de mudança da propriedade B no tempo. 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑏𝜌𝑑∀
∀
 – Variação no tempo da propriedade B no volume de controle. 
∫ 𝑏𝜌𝑉𝑑𝐴
𝑆𝐶
 – Balanço da quantidade de propriedade B que passa pelas 
superfícies de controle. 
Um exemplo de uso do Teorema do Transporte de Reynolds: 
Fazendo B=m e m=1: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝑆𝐶
 
Essa equação é chamada de “conservação da massa”, e será usada para 
descrever como a massa é afetada por um escoamento ao longo do tempo. 
Observe mais uma vez que, no terceiro termo, a velocidade não está 
multiplicando o diferencial de área, e sim, fazendo um produto escalar dentre o 
vetor velocidade e o vetor área. Ficará mais claro quando fizermos alguns 
exemplos. 
Ou: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 (1) (2) 
(1) Variação de massa no Volume de Controle VC; 
(2) Quantidade de massa que passa pelas fronteiras do sistema. 
Observe que nenhuma massa é criada ou destruída, logo, a variação de 
massa em um sistema é zero (dM/dt=0). 
Da mesma forma, note o produto escalar da velocidade com a área no 
segundo termo da equação. 
 
Considerações comuns: 
A primeira consideração é a de Regime permanente. Para esta, o termo 
de derivada no tempo é nulo. Assim: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
= 0 
 
 
8 
dA 
V 
dA 
V 
 
 
E integrando, podemos escrever: 
∑ 𝜌�⃗⃗�𝐴
𝑠𝑎𝑖
− ∑ 𝜌�⃗⃗�𝐴
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
= 0 
 
A segunda consideração comum é a de escoamento incompressível, ou 
seja, a densidade ρ é uma constante 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
A terceira é uma combinação das anteriores. Para escoamento 
incompressível e em regime permanente: 
∑ �⃗⃗�𝐴
𝑠𝑎𝑖
− ∑ �⃗⃗�𝐴
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
= 0 
 
Observe que a massa que entra é negativa, e a que sai é positiva. Isso 
ocorre pelo produto escalar da velocidade com a área: 
 
 
Por fim, é interessante definir as equações das vazões mássica e 
volumétrica. 
A vazão mássica para um determinado fluido é: 
�̇� = 𝜌�⃗⃗�𝐴 
Onde ρ é a densidade do fluido, V, a velocidade que ele escoa e A a área 
através da qual ele escoa. Sua unidade é kg/s. 
Por sua vez, a vazão volumétrica para um determinado fluido é: 
𝑄 = �⃗⃗�𝐴 
E sua unidade é m3/s. Assim, podemos escrever: 
�̇� = 𝜌𝑄 
Lembrando que, para um sistema em regime permanente e 
incompressível, a vazão é constante. Essa foi a consideração que acabamos de 
fazer. 
Exemplo: Água (ρ=998kg/m3) escoa na redução abaixo a 60kg/s. Os 
diâmetros são D1=220mm e D2=80mm. Calcule as velocidades em 1 e em 2 (Fox; 
Pritchard; McDonald, 2014): 
 
 
 
9 
 
Figura 3 
 
 
Observe que foi adicionado um retângulo pontilhado. Esse retângulo é o 
volume de controle, ou a representação do nosso sistema. A parte dele que 
consideraremos é a parte onde está o fluido de interesse, no caso, água. Assim, 
o que considerar para efeito de cálculos é a intersecção da tubulação com o 
volume de controle. Para cada problema, o aluno é responsável por escolher o 
volume de controle, e, normalmente, a escolha correta é um volume que englobe 
a área de interesse do sistema. Para nosso problema atual, foi escolhido um 
volume de controle que englobasse a entrada larga e a saída estreita. Nesse 
volume de controle, podemos escrever: 
𝑚 = 𝜌𝑄 →̇ 𝑄 =
�̇�
𝜌
=
60
998
= 0,0601
𝑚3
𝑠
 
Onde �̇� é a vazão mássica, ρ é a densidade do fluido e 𝑄 é a vazão 
volumétrica. Pela conservação da massa: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= 0 
Para regime permanente e escoamento incompressível: 
𝑄1 = 𝑄2 → 𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
𝑉1 =
𝑄
𝐴1
=
0,0601
𝜋0,222/4
= 1,58𝑚/𝑠 
𝑉2 =
𝑄
𝐴2
=
0,0601
𝜋0,082/4
= 12𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
 
10 
 
TEMA 2: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR (2ª LEI DE NEWTON NA 
FORMA INTEGRAL) 
Utilizando o Teorema de Transporte de Reynolds, e fazendo B=P=mV e 
b=mV/m=V: 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌�⃗⃗�𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 (1) (2) 
(1) Variação de momento no VC; 
(2) Quantidade de momento que atua pelas fronteiras do 
sistema. 
Onde P é o momento linear, V é a velocidade e A é a área. 
Mas vale notar que, da segunda lei de Newton: 
�⃗� = 𝑚�⃗� = 𝑚
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 
E fazendo: 
�⃗� = 𝐹𝑠⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 
Onde FS são as forças de superfície e FB as forças de campo, pode-se 
escrever: 
𝐹𝑠⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌�⃗⃗�𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
(1) (2) (3) (4) 
Essa é a chamada conservação do momento linear, ou 2ª lei de Newton 
escrita para um volume de controle não acelerado. 
Cada termo significa: 
(1) – Força de superfície aplicada no volume de controle. Pode 
ser o atrito, a pressão, uma reação de uma tubulação, etc.; 
(2) – Força de campo, como a gravidade; 
(3) – Variação de momento no volume de controle. Mede se o 
fluido está acelerando ou freando; 
(4) – Quantidade de fluido que atravessa as fronteiras do 
sistema. 
 
 
 
 
11 
 
Considerações comuns: 
- Não há forças de campo agindo em uma direção. Assim: 
𝐹𝐵 = 0 
- A força de superfície é oriunda de pressão. Dessa forma: 
𝐹𝑠 = ∫ 𝑃𝑑𝐴 
 
Todos os referenciais e considerações que já definimos para a 
conservação da massa são válidos para a equação que montamos. 
Outro ponto a notar. Observe o termo de fronteira: 
∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Ele tem duas velocidades. Por que eu não posso meramente multiplicar 
as duas e elevá-las ao quadrado? Eu não posso fazer isso por causa do produto 
escalar. Então, isso nos leva a uma nova observação. O sinal da primeira 
velocidade deve obedecer ao eixo, enquanto que o sinal da segunda velocidade 
obedece à convenção de positivo para saindo e negativo para entrando. 
Por exemplo, se x é para a direita e a velocidade também, seu sinal é 
positivo. Por outro lado, se y é para cima e a velocidade é para baixo, seu sinal 
é negativo. 
Observe o exemplo abaixo, criado apenas para ilustrar os sinais. Um fluido 
entra pela face (e) e sai pela face (s). Imagine que as setas representam a 
velocidade de água passando por um volume de controle pontilhado. Observe 
novamente o termo da equação acima que estamos analisando. Para o caso 
abaixo, depois de integrá-lo, ele ficaria com os seguintes sinais: 
 
∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= (−𝑉𝑠) ∙ 𝜌 ∙ (𝑉𝑠𝐴) + ((−𝑉𝑒) ∙ 𝜌 ∙ (−𝑉𝑒𝐴)) 
 
 
 
 
 
 
s e 
 
 
12 
 
Figura 4 
 
 
Note: O primeiro termo após a igualdade é o termo que sai. A primeira 
velocidade é para baixo, então seu sinal é negativo. A segunda velocidade é 
positiva, pois o fluido está saindo do sistema. 
No segundo termo, a primeira velocidade continua negativa, enquanto que 
a segunda passa a ser também negativa, pois o fluido está entrando no sistema. 
Fazendoa distributiva, temos: 
∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
= −𝑉𝑠
2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 − 𝑉𝑒
2 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴 
E isso faz sentido. Estamos trabalhando a conservação do momento. A 
equação mede uma variação de momento no tempo, que é um tipo de força. Se 
todo o fluido está para baixo, nada mais natural do que a força ser aplicada para 
baixo, o que implica que o sinal da força que o fluido exerce é para baixo, ou 
seja, negativo. 
Agora, resolveremos um exemplo mais completo. 
Exemplo: Água sai de um bocal estacionário e atinge uma placa plana 
como na figura. A água deixa o bocal a 15m/s e a área do bocal é 0,01m2. 
Considere que a água atinge a placa normal à superfície e determine a força 
horizontal no suporte. 
 
Figura 5 
 
s 
e 
 
 
13 
 
 
Definiremos, mais uma vez, que o volume de controle é o quadrado em 
pontilhado. Note que o sistema poderia ser de qualquer tamanho, mas o que vai 
interessar são os trechos onde há fluido cruzando o sistema. Mais do que isso: 
mesmo que aparentemente a quantidade de água no sistema intuitivamente não 
pareça ser constante, quando dizemos que o sistema está em regime 
permanente, é exatamente isso que consideramos. 
Considerações: 
Regime permanente e velocidade constante pelas fronteiras do sistema. 
A equação que vamos utilizar é a equação da conservação do momento 
linear: 
�⃗� = 𝐹𝑠⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌�⃗⃗�𝑑∀
∀
+ ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Solução: 
A pressão atmosférica age em todas as direções, então não há forças de 
pressão atuando. Da mesma forma, desprezaremos a gravidade, pois a força de 
reação que analisaremos está na horizontal. Assim, 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 (a gravidade), e a 
única força de superfície agindo na horizontal é a reação da força da água Rx 
que a placa oferece ao fluido. 
𝐹𝑠 = 𝑅𝑥 = ∫ �⃗⃗�𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
𝑅𝑥 = (−𝑉)𝜌(𝑉𝐴) 
𝑅𝑥 = −15 ∙ 999 ∙ 15 ∙ 0,01 = −2,25𝑘𝑁 
O resultado negativo quer dizer que o sentido da reação é contrário ao do 
eixo x. Isso faz sentido, pois se o fluido aplica força para a direita, a placa reage 
para a esquerda. 
 
 
TEMA 3: EXERCÍCIOS 
Chegou o momento de fixarmos o conteúdo para melhorar o 
entendimento. Eu separei alguns exercícios para resolvermos juntos. 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Exemplo: Uma placa vertical tem um orifício no centro. Um jato d’água 
com velocidade V atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão 
para manter a placa fixa em função da razão de diâmetros d/D se a velocidade 
de saída do orifício permanece V. Calcule o valor para V=5m/s, D=100mm e 
d=25mm. 
Figura 6 
 
 
Equação da conservação do momento linear: 
𝐹𝑠 + 𝐹𝑏 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑉𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Considerações: 
 Regime permanente; 
 Sem força de campo (𝐹𝑏 = 0 – a gravidade não está na horizontal); 
 Velocidade uniforme. 
 
Solução: 
𝐹𝑠 = 𝑅𝑥 
𝑅𝑥 = 𝑉1𝜌(−𝑉1𝐴1) + 𝑉2𝜌𝑉2𝐴2 
Lembre dos referenciais. A primeira velocidade é positiva por estar no mesmo 
sentido do eixo x, enquanto que a outra velocidade obedece ao produto escalar. 
A área é a área de um círculo, ou seja, 𝜋𝑟2 ou 𝜋𝐷2/4. 
𝑅𝑥 = −𝜌𝑉1
2
𝜋𝐷2
4
+ 𝜌𝑉2
2
𝜋𝑑2
4
 
Como 𝑉1 = 𝑉2 e d = d/D 
𝑅𝑥 = −𝜌𝑉1
2
𝜋𝐷2
4
+ 𝜌𝑉2
2
𝜋(𝑑/𝐷)2
4
 
 
 
15 
 
 
𝑅𝑥 = −
𝜌𝑉2𝜋𝐷2
4
[1 − (
𝑑
𝐷
)
2
] 
Para os valores: 
𝑅𝑥 = −1000 ∙
𝜋
4
∙ 52 ∙ (0,1)2 ∙ [1 − (
0,025
0,1
)
2
] = −184𝑁 
 
Exemplo: Um caminhão deve ser carregado com 675kg de grãos. O grão é 
carregado por um duto como na figura. O fluxo de grãos é encerrado quando a 
balança atinge o limite. Encontre o valor real carregado no caminhão. Adote 
D=0,3m, ρ=600kg/m3 e uma vazão de 40kg/s de grãos (Fox; Pritchard; 
McDonald, 2014). 
Nesse caso, consideraremos que os grãos se comportam como partículas 
de fluido. Já que temos a densidade e a vazão, temos tudo o que precisamos. 
Equação da conservação do momento linear: 
𝐹𝑠 + 𝐹𝑏 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑉𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Considerações 
 Regime permanente; 
 Velocidade uniforme. 
Solução: 
Há 3 forças envolvidas: A reação em y, o peso do caminhão e o peso dos 
grãos. Intuitivamente, poderíamos pensar que essas três forças são iguais, e 
elas seriam se tudo estivesse em repouso. Mas, os grãos estão em movimento, 
e é justamente isso que a equação da conservação do movimento avalia. 
𝑅𝑦 − (𝑊𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑎𝑜 + 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠) = −𝑉𝜌(−𝑉𝐴) 
𝑅𝑦 − 𝑊𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑎𝑜 = 𝑊𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 + 𝑉�̇� 
Para o primeiro termo da igualdade, a balança encerra o fluxo quando a 
diferença entre a reação e o peso do caminhão for 675kg. Essa é a tara da 
balança. Assim: 
(𝑅𝑦 − 𝑊𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑎𝑜) = 675𝑘𝑔 
Iniciando a tratar o termo do lado direito da igualdade, tem-se: 
�̇� = 𝜌𝑉𝐴 → 𝑉 =
𝑚
𝜌𝐴
̇
 
 
 
16 
 
 
Dividindo os termos do outro lado da igualdade pela aceleração da 
gravidade 𝑔, tem-se: 
𝑚𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 +
�̇�2
𝜌𝑔𝐴
= 675(𝑘𝑔) 
𝑚𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 = 675 −
402
600 ∙ 9,81 ∙ [(𝜋0,32)/4]
 
𝑚𝑔𝑟𝑎𝑜𝑠 = 671𝑘𝑔 
Exemplo: Querosene com densidade relativa dr=0,88 entra na peça 
cilíndrica da figura com uma vazão mássica �̇�=0,0081kg/s. As placas têm 80mm 
e estão distanciadas entre si como na figura. Assumindo regime permanente, 
encontre as velocidades de entrada e de saída (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
 
Figura 8 
 
Para esse problema, note em especial que a peça é parecida com um 
irrigador, ou seja, a entrada é através de um tubo, mas a saída é através da 
superfície de um cilindro, como na figura abaixo: 
Figura 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Equação: 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝜌𝑉𝑑𝐴
𝐴
= 0 
Considerações: 
- Regime permanente; 
- Velocidade uniforme. 
 
Solução: 
�̇�1 = 𝜌𝑉1𝐴1 
0,0081 = 0,88 ∙ 1000 ∙ 𝑉1 ∙ (𝜋 ∙ 0,004
2/4) 
𝑉1 = 0,732𝑚/𝑠 
𝑄1 = 𝑄2 
𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
𝑉1𝜋𝐷1
2
4
= 𝑉2𝜋𝐷2ℎ 
𝑉2 =
𝑉1𝐷1
2
4𝐷2ℎ
=
0,732 ∙ 0,0042
4 ∙ 0,08 ∙ 0,003
= 0,0123𝑚/𝑠 
Exemplo: Considere que o óleo sai para a superfície, e calcule a máxima massa 
que a placa poderia ter para o escoamento do exercício anterior. 
 
 
Equação: 
𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝜌𝑉𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑉𝜌𝑉 ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Considerações: 
- Fs=0; 
- Regime permanente. 
Solução: 
𝐹𝐵 = −𝑊𝑝 
−𝑊𝑝 = 𝑉1𝜌(−𝑉1𝐴1) 
𝑊𝑝 = −0,732 ∙ 0,88 ∙ 1000 ∙ (−0,732 ∙ 𝜋 ∙
0,0042
4
) 
𝑊𝑝 = 0,006𝑁 
 
 
 
18 
 
 
𝑚𝑝 =
𝑊𝑝
𝑔
=
0,006
9,81
= 0,6𝑔 
 
TEMA 4: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR 
Aprofundaremos a análise da conservação do momento e veremos como 
o momento angular se comporta. Utilizando o Teorema de Transporte de 
Reynolds e fazendo a propriedade extensiva B ser o momento angular H, 
podemos escrever B=H=r x mV e b=r x mV/m = r x V: 
𝑑𝐻
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 (1) (2) 
(1) Variação de momento angular no VC; 
(2) Quantidade de momento angular que atua pelas fronteiras 
do sistema. 
Note que, agora, há um produto vetorial de um raio com a velocidade. 
Além disso: 
𝑇 =
𝑑𝐻
𝑑𝑡
 
 
E o torque pode ser escrito como: 
𝑇 = 𝑟 x 𝐹𝑠 + ∫ 𝑟 x 𝑔𝜌𝑑∀ + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 
Assim: 
𝑟 x 𝐹𝑠 + ∫ 𝑟 x 𝑔𝜌𝑑∀ + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Do lado direito, tem-se todos os tipos de torque, que são o torque devido 
a forças de superfície, o torque devido à gravidade e o torque de um eixo. 
O referencial para a velocidade que está em escalar com o elemento de 
área continua o mesmo. Ela é positiva para saída e negativa para entrada. Por 
sua vez, o produto vetorial do raio com a velocidade é positivo para sentido anti-
horário e negativo para sentido horário. 
 
 
 
 
19 
 
 
Alguns conceitos úteis para relembrar são o de velocidade e aceleração 
tangencial: 
𝑉𝑡 = 𝜔𝑟 
𝑎𝑡 = 𝛼𝑟 
 
Onde 𝜔 é a velocidade angular em rad/s, e 𝛼 é a aceleração angular em 
rad/s2. O sufixo t se refere à tangencial. 
Aplicações comuns: 
Dispositivos com escoamento radial, como bombas centrífugas. Veja na 
imagem abaixo: 
Figura 10Para um escoamento em regime permanente e incompressível, 
simplificando a equação do momento, chega-se ao seguinte resultado, que é a 
Equação de Euler para máquinas de fluxo. Essa equação nos mostra que o 
torque no eixo de uma bomba depende apenas das velocidades tangenciais de 
entrada 𝑉1,𝑡 e de saída 𝑉2,𝑡, dos raios da tubulação de entrada 𝑟1 e da voluta 𝑟2 e 
da vazão mássica �̇�. 
𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 = �̇�(𝑟2𝑉2,𝑡 − 𝑟1𝑉1,𝑡) 
Para o caso ideal: 
𝑉𝑡 = 𝜔𝑟 
Assim: 
𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 = �̇�𝜔(𝑟2
2 − 𝑟1
2) 
E a potência do eixo: 
�̇� = 𝜔𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 
 
 
20 
 
 
Mais uma vez, é necessário fazer um exemplo para aplicarmos o 
conteúdo. 
Exemplo: Água subterrânea é bombeada a uma altura suficiente através 
de um tubo de 10 cm de diâmetro que consiste num comprimento vertical de 2m 
e 1 m de comprimento horizontal, como mostrado na figura abaixo. A água é 
descarregada para o ar atmosférico a uma velocidade média de 3 m/s, e a massa 
da secção de tubo horizontal quando cheio com água é de 12 kg por metro de 
comprimento. A tubulação está ancorada no chão por uma base de concreto. 
Determinar o momento de flexão, agindo na base do tubo (ponto A), e o 
comprimento necessário da secção horizontal que faria o momento no ponto A 
zero (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
 
Figura 11 
 
 
Forças agindo no sistema: 
Figura 12 
 
 
 
21 
 
Considerações: 
- Regime permanente; 
- Velocidade uniforme. 
 
Solução: 
Pela conservação da massa: 
�̇�1 = �̇�2 = 𝜌𝑉𝐴 = 1000 ∙ 3 ∙
𝜋0,12
4
= 23,56𝑘𝑔/𝑠 
Cálculo do peso: 
𝑊 = 𝑚𝑔 = 12 ∙ 9,81 = 118𝑁 
 
Equação do momento angular: 
𝑟 x 𝐹𝑠 + ∫ 𝑟 x 𝑔𝜌𝑑∀ + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑟 x 𝑉)𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
O terceiro (𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜) e o quarto termos (o termo da derivada no tempo) são 
zero (sem eixo e em regime permanente). Considerando negativo o sentido 
horário e fazendo r x Fs=M, suponhamos que o momento está no sentido anti-
horário. Assim, o resultado da equação será positivo. 
𝑀 − 𝑟1𝑊 = −�̇�𝑟2𝑉2,𝑡 
𝑀 = 0,5 ∙ 118 − 23,56 ∙ 2 ∙ 3 
𝑀 = −82,5𝑁 ∙ 𝑚 
O momento está em sentido contrário ao que estimamos inicialmente, ou 
seja, ele está no sentido horário. 
O momento não é a reação, mas age no mesmo sentido que ela. O 
momento é uma quantidade de força, ou seja, ele é na direção em que a força 
reage. Nesse caso, a diferença entre a força peso e a força de velocidade do 
escoamento. Isso significa que a força que o fluido exerce por escoar na 
tubulação é maior do que a força que a massa de água na tubulação exerce. 
A segunda parte da questão pediu para fazer o momento ser zero. Assim: 
0 = 𝑟1𝑊 − �̇�𝑟2𝑉2,𝑡 
Mas: 
𝑟1 = 𝐿/2 
0 =
𝐿
2
∙ 𝑊 − �̇�𝑟2𝑉2,𝑡 
 
 
 
22 
 
 
Ou: 
𝐿 = √
2 ∙ 𝑟2 ∙ �̇� ∙ 𝑉2
𝑊
 
Assim: 
𝐿 = √
2 ∙ 141,4
118
= 2,4𝑚 
 
TEMA 5: CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
Nossa última conservação na forma integral. Utilizando o Teorema de 
Transporte de Reynolds e fazendo B=E, ou seja, a Energia de um sistema em 
Joule, e b=E/m=e, a chamada energia específica, em unidade de Joule/kg: 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑒𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ 𝑒𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 (1) (2) 
(1) Variação de energia no VC; 
(2) Quantidade de energia que passa pelas fronteiras do 
sistema. 
Mas da 1ª Lei da termodinâmica: 
𝑄 − �̇� =
𝑑𝐸
𝑑𝑡
 
Onde �̇� é um termo de trabalho. Da mesma forma, pode-se escrever da 
equação de estado: 
𝑒 = 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧 
Ou: 
𝑄 − �̇� =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
 
Analisando termo a termo: 
Q se refere a uma transferência de energia através de uma troca de calor. 
Por exemplo, para três latas de refrigerante a 25°C, 15°C e 5°C numa 
temperatura ambiente de 25°C, teríamos as transferências de energia abaixo. 
 
 
23 
 
Figura 13 
 
 
�̇� se refere a transferência de energia por trabalho feito ou sofrido pelo 
sistema. Há vários tipos de trabalho: 
�̇�𝑡 = �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 + �̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 + �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜𝑠 + �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 
Onde �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜𝑠 (ou �̇�𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠) se refere ao trabalho transmitido ao fluido por 
efeitos de atrito (ex.: um rotor movendo o fluido) e será desprezado por ser um 
termo muito pequeno em relação aos demais, mas será considerado em análise 
de máquinas de fluxo. �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 se refere a trabalhos elétricos ou 
eletromagnéticos. �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 é o trabalho realizado pelo eixo de uma bomba ou de 
uma turbina, e �̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 é o trabalho que um fluido pressurizado sofre pela ação 
da pressão. 
Comumente: 
�̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 = 2𝜋𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 
Onde Teixo é o torque do eixo e: 
�̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = ∫ 𝑃�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 = ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 =
𝑃
𝜌
∙ �̇� 
Outra forma comum da equação da energia é a forma abaixo. 
Desprezamos os trabalhos viscosos e de outros, e substituímos o trabalho de 
pressão no sistema. Assim: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 − �̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Mas: 
�̇�𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 
 
 
 
24 
 
Substituindo na equação anterior, e sabendo que a integral da soma é a 
soma das integrais: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 − ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫
𝑃
𝜌
𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴 + ∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∫ (
𝑃
𝜌
+ 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌�⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴
𝐴
 
Ou: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∑ �̇� (
𝑃
𝜌
+ 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑠𝑎𝑖
− ∑ �̇� (
𝑃
𝜌
+ 𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
 
Ou, ainda: 
𝑄 − �̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 =
𝑑
𝑑𝑡
∫ (𝑢 +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑑∀
∀
+ ∑ �̇� (ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑠𝑎𝑖
− ∑ �̇� (ℎ +
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
 
Onde h é a entalpia do fluido. 
Agora, podemos analisar os casos especiais, ou as considerações 
comuns: 
- Regime permanente, sem transferência de calor e incompressível: 
�̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
+ �̇�𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = �̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
+ �̇�𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 + �̇�𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 
Lembrando que �̇�𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑜𝑠 = �̇�𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠. 
- Regime permanente, sem atrito, sem transferência de calor e 
incompressível: 
(
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
1
= (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
2
 
Essa equação é chamada equação de Bernoulli. Ela faz um balanço de 
energia mecânica para um fluido, e os termos significam as energias de pressão, 
cinética e potencial. 
 
 
 
 
25 
 
Exemplo 1: Medindo perdas por atrito numa bomba. A bomba de um 
sistema de distribuição de água é alimentada por um motor elétrico que consome 
15 kW cuja eficiência do é de 90%. A vazão de água através da bomba é de 
50L/s. Os diâmetros dos tubos de entrada e de saída são os mesmos, e a 
diferença de elevação entre a bomba é negligenciável. Se as pressões na 
entrada e na saída da bomba medem 100 kPa e 300 kPa (absoluta), 
respectivamente, determinar (a) a eficiência mecânica da bomba e (b) o 
aumento da temperatura da água que flui através da bomba devido à ineficiência 
mecânica (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
 
Figura 14 
 
 
Lembre-se que apesar do volume de controle englobar o motor, a água 
só passa no interior da tubulação. 
Considerações: 
- Regime permanente; 
- Velocidade uniforme. 
Solução: 
a) 
�̇� = 𝜌𝑄 =
1𝑘𝑔
𝐿
∙
50𝐿
𝑠
= 50
𝑘𝑔
𝑠
 
O trabalho do motor transferido para o fluido é: 
�̇�𝑒𝑖𝑥𝑜 = 𝜂 ∙ �̇�𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 0,9 ∙ 15𝑘 = 13,5𝑘𝑊 
Onde η é o rendimento do motor. 
 
 
 
26 
 
Fazendo um balanço de energia, a variação de energia mecânica no 
sistema é: 
Δ𝐸𝑚𝑒𝑐 = �̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑠𝑎𝑖
− �̇� (
𝑃
𝜌
+
𝑉2
2
+ 𝑔𝑧)
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
 
Como os diâmetros dos tubos de entrada e de saída são os mesmos, as 
velocidades deentrada e saída são as mesmas. Da mesma forma, o enunciado 
nos disse que a diferença de elevação entre a bomba é negligenciável, ou seja, 
zsai=zentra. Dessa forma, a equação se torna: 
Δ𝐸𝑚𝑒𝑐 = �̇� (
𝑃2 − 𝑃1
𝜌
) = 50 (
300 − 100
1000
) = 10𝑘𝑊 
Assim, para o rendimento: 
𝜂𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 =
10𝑘𝑊
13,5𝑘𝑊
= 0,741 = 74,1% 
b) Para o aumento de temperatura, usa-se a seguinte forma da primeira 
lei da termodinâmica: 
Δ𝐸𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 = �̇�𝑐𝑝Δ𝑇 
Ou, a variação de temperatura é: 
Δ𝑇 =
Δ𝐸𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎
�̇�𝑐𝑝
 
O termo Δ𝐸𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎é a diferença entre o que a bomba consumiu e o que ela 
de fato produziu, ou seja, 13,5kW-10kW. Assim, considerando cp=4,18kJ/kg 
(calor específico a pressão constante) para a água: 
Δ𝑇 =
3,5
50 ∙ 4,18
= 0,017°𝐶 
Numa aplicação prática, a água teria um aumento de temperatura ainda 
menor, pois parte desse aumento seria transmitido para a carcaça da bomba e, 
por sua vez, liberado para a atmosfera. Por outro lado, se a bomba fosse 
submersa, a temperatura aumentaria mais ainda, pois o 1,5kW dissipado na 
ineficiência do motor também seria transmitido para a água. 
 
 
27 
 
 
SÍNTESE 
Caro aluno, cara aluna, Parabéns pelo seu esforço até o momento. Já 
estamos na metade da disciplina e já aprendemos muita coisa. Na aula de hoje, 
estudamos as conservações na forma integral, ou seja, sem nos importarmos 
com os detalhes do escoamento, e, sim, com o efeito que o escoamento tem em 
tudo o que o circunda. 
Mais uma vez, eu reforço: para o correto aprendizado, você deve praticar. 
Assim, não esqueça de estudar os capítulos e fazer bastantes exercícios. 
 
 
REFERÊNCIAS 
FOX, R. W; PRITCHARD, P.; MCDONALD, T. Introdução à mecânica 
dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Alysson Nunes Diógenes 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá, caro aluno, cara aluna. Na aula passada, eu usei um exemplo de 
alguém que larga a borda da piscina após aprender a nadar. Hoje, uso um 
exemplo de alguém que já sabe nadar e agora fará um curso de mergulho de 
profundidade. 
Já definimos todas as conservações na forma integral. Lembro que essas 
equações são para análise do efeito do escoamento nas fronteiras que o cercam. 
A partir de agora, deduziremos um novo conjunto de equações que nos 
permitirá analisar não mais os efeitos do escoamento, e, sim, os detalhes de 
cada pequeno conjunto de partículas de fluido. Isso nos levará à dinâmica dos 
fluidos computacional, que talvez você já tenha ouvido falar. 
Assim sendo, vamos começar? 
 
 
 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
Agora, estamos prontos para estudar fluidos em movimento em detalhes. 
Há várias aplicações do estudo do movimento dos fluidos em detalhes, como as 
seguintes: 
 Aerodinâmica de veículos aeroespaciais e terrestres (trens, 
caminhões, carros, etc.); 
 Refrigeração de reatores nucleares; 
 Caracterização de poluição ambiental; 
 Análise e simulação de lançamento de poluentes e 
contaminantes em correntes hídricas; 
 Hidrodinâmica e hemodinâmica computacionais; 
 Indústria de petróleo; 
 Previsão de tempo. 
Um exemplo a vocês. Essa simulação foi feita por mim resolvendo 
equações de conservação na forma diferencial pelo uso de computadores. Esse 
avião é um EMB 314, o super tucano, feito pela Embraer. Na imagem, podemos 
ver a esquadrilha da fumaça em formação e, na direção oposta, uma simulação 
de um avião com a visualização do escoamento ao redor. Esse avião tem 
velocidade máxima de 590km/h, e foi nessa velocidade que a simulação ocorreu. 
 
 
3 
Figura 1 
 
 
Meramente, ao observarmos essa imagem, aplicamos uma grande parte 
dos conceitos que vimos até o momento. Essas linhas coloridas são as 
chamadas linhas de corrente, que definimos na aula 2 como uma ferramenta 
matemática para visualização de escoamentos. 
Outra aplicação é na indústria de jogos de computador. O vídeo abaixo de 
uma explosão utiliza as equações que definiremos para modelar uma 
transferência de calor com escoamento, para fazer uma explosão realista. 
Observemos: 
Observe o vídeo: 
http://www.shutterstock.com/pt/video/clip-301306-stock-footage-atomic-
bomb-with-alpha-channel-matte-fiery-side-view-vfx-element-created-using-
proprietary-cg.html?src=search/I1n9iXMoYwO_-ndUUbIJwQ:1:30/3p 
 
As equações que serão definidas na aula de hoje são as mesmas que 
utilizei para fazer essa simulação. O que significa que você também poderá, 
eventualmente, fazer simulações desse tipo. 
Sendo assim, vamos começar? 
http://www.shutterstock.com/pt/video/clip-301306-stock-footage-atomic-bomb-with-alpha-channel-matte-fiery-side-view-vfx-element-created-using-proprietary-cg.html?src=search/I1n9iXMoYwO_-ndUUbIJwQ:1:30/3p
http://www.shutterstock.com/pt/video/clip-301306-stock-footage-atomic-bomb-with-alpha-channel-matte-fiery-side-view-vfx-element-created-using-proprietary-cg.html?src=search/I1n9iXMoYwO_-ndUUbIJwQ:1:30/3p
http://www.shutterstock.com/pt/video/clip-301306-stock-footage-atomic-bomb-with-alpha-channel-matte-fiery-side-view-vfx-element-created-using-proprietary-cg.html?src=search/I1n9iXMoYwO_-ndUUbIJwQ:1:30/3p
 
 
4 
 
 
 
TEMA 1: CONSERVAÇÃO DA MASSA 
Mais uma vez, começaremos com a conservação da massa. Dessa vez, 
nosso volume de controle não é mais algum sistema grande e que envolvia todo 
o objeto. Em vez disso, analisaremos uma pequena porção do fluido, um 
diferencial de fluido, como o da figura abaixo: 
Figura 2 
 
Fonte: Fox; Pritchard; McDonald, 2006. 
A partir desse momento, este será nosso objeto de estudo. Imagine que 
pegamos uma porção grande de fluido, por exemplo, um tanque de 1m3. 
Dividimos esse tanque pela metade. 
Depois de novo, de novo e de novo, até que ele fique com dimensão bem 
pequena. Esse será o chamado diferencial de fluido. Se observarmos o conjunto 
de todos os cubinhos que compõem o tanque, podemos observar o tanque 
novamente. Mas, por enquanto, observaremos um cubinho desses. Agora, 
desenvolveremos um conjunto de equações que se aplicam a essa porção de 
fluido. 
Para avaliar as propriedades da massa (ou da densidade, que 
multiplicada pelo volume é a própria massa) em cada uma das seis faces da 
superfície de controle, usaremos uma ferramenta matemática conhecida como 
expansão por série de Taylor. Note que o centro da figura tem um “O”. A 
expansão por série de Taylor nos diz que se uma propriedade é definida no 
centro de um elemento, eu posso calcular a propriedade na face, ou na 
 
 
5 
superfície. Faremos essa expansão para a face direita da figura. Ela é a face 
indicada pela seta em azul, e tem largura dx e altura dy, estando localizada a 
dz/2 de distância do centro “O” do diferencial. 
Lembro também que, a partir de agora, a velocidade será observada como 
uma composição dos seus três vetores nas três direções �⃗� = �⃗� 𝑖̂ + 𝑣 𝑗̂ + �⃗⃗� �̂�. �⃗� é 
a componente de velocidade na direção x com o vetor unitário da direção x 𝑖̂. O 
mesmo para 𝑣 𝑗̂ e �⃗⃗� �̂� nas direções y e z, respectivamente. Observaremos na 
figura abaixo essa mesma face em destaque. Suponhamos que há dois 
escoamentos de massa (𝜌�⃗� ) acontecendo, um vindo da face sul (s) e saindo na 
face norte (n), e outro entrando na face oeste (w) e saindo na face leste (e). As 
dimensões dessas faces (no momento) serão Δx e Δy. 
Figura 3 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente faremos um balanço de massa escrito com o seguinte 
enunciado: “A variação de massa de um volume de controle no tempo 
Δ𝑚
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
, é 
a diferença da vazão de massa que entra no sistema �̇�𝑒 e da vazão de massa 
que sai �̇�𝑠”. Assim: 
Δ𝑚
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
= �̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − �̇�𝑠𝑎𝑖 
Esse enunciado é simples e intuitivo. O que eu engordo é a diferença do 
que eu como com o que eu gasto de calorias. Faz sentido, não? 
Por conveniência, reescreveremos: 
Δ𝑚Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+ �̇�𝑠𝑎𝑖 − �̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 0 
Como estamos numa face, estamos num espaço bidimensional, ou seja: 
Δ𝑚 = 𝜌∀ → Δ𝑚 = 𝜌Δ𝑥Δ𝑦 
 𝜌𝑢 𝑤 𝜌𝑢 𝑒 
 𝜌𝑣 𝑠 
 𝜌𝑣 𝑛 
𝜌 
 
 
6 
E a vazão é escrita em função apenas de uma componente da área. Por 
exemplo, para a vazão que entra pela face oeste: 
�̇�𝑤 = 𝜌�⃗� ∙ 𝐴 → �̇�𝑤 = 𝜌�⃗� 𝑖̂ ∙ Δ𝑦 = 𝜌�⃗� wΔ𝑦 
Assim, podemos dizer que há duas vazões de entrada e duas de saída. 
Logo: 
�̇�𝑠𝑎𝑖 = �̇�𝑒 + �̇�𝑛 
�̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = �̇�𝑤 + �̇�𝑠 
Ou: 
�̇�𝑠𝑎𝑖 = 𝜌𝑢 𝑒Δ𝑦 + 𝜌𝑣 𝑛Δx 
�̇�𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = 𝜌𝑢 𝑤Δ𝑦 + 𝜌𝑣 𝑠Δx 
Substituindo cada termo na equação original, temos: 
Δ 𝜌Δ𝑥Δ𝑦 
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+ 𝜌𝑢 𝑒Δ𝑦 + 𝜌𝑣 𝑛Δx − 𝜌𝑢 𝑤Δ𝑦 − 𝜌𝑣 𝑠Δx = 0 
Dividindo tudo por Δ𝑥Δ𝑦: 
Δρ
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+
 𝜌𝑢 𝑒
Δ𝑥
+
 𝜌𝑣 𝑛
Δy
−
 𝜌𝑢 𝑤
Δ𝑥
−
 𝜌𝑣 𝑠
Δ𝑦
= 0 
Reordenando: 
Δρ
Δ𝑡
)
𝑉𝐶
+
 𝜌𝑢 𝑒 − 𝜌𝑢 𝑤
Δ𝑥
+
 𝜌𝑣 𝑛 − 𝜌𝑣 𝑠
Δy
= 0 
Por fim, tomando o limite de cada Δ tendendo a zero: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕 𝜌𝑢 
𝜕𝑥
+
𝜕 𝜌𝑣 
𝜕𝑦
= 0 
Lembramos, então, que o operador nabla ∇ foi definido como uma 
derivada direcional que era: 
∇≡
𝜕
𝜕𝑥
𝑖̂ +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕
𝜕𝑧
�̂� 
Quando o aplicamos diretamente na pressão, ele era chamado gradiente 
e era utilizado para medir variações em todas as direções. Agora, nós o 
utilizaremos com o auxílio de um produto escalar, e ele será usado para 
representar uma variação de massa, ou um balanço. Assim, podemos escrever 
a equação anterior na forma: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (𝜌�⃗� ) = 0 
O primeiro termo representa a variação de massa (densidade) no tempo, 
e o segundo termo, o balanço de massa que passa pelas fronteiras do sistema. 
 
 
7 
Essa é a chamada equação geral da conservação da massa, obtida por Euler, 
em 1757. 
Da mesma forma como fizemos com as conservações na forma integral, 
faremos considerações comuns para simplificar as equações para seu uso. 
Outra forma de ver a equação da conservação da massa: 
∇ ∙ (𝜌�⃗� ) = 𝜌∇ ∙ �⃗� + �⃗� ∙ ∇𝜌 
Assim: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇𝜌 + 𝜌∇ ∙ �⃗� = 0 
Ou, definindo um outro operador, que é a derivada material: 
𝐷 
𝐷𝑡
=
𝜕 
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇ 
Esse operador se lê da seguinte forma: A derivada material de um 
parâmetro é a sua variação no tempo mais a sua componente convectiva. A 
derivada material mede uma variação no tempo e no espaço de um parâmetro. 
Para a conservação da massa: 
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ +𝜌∇ ∙ �⃗� = 0 
Quando a derivada material é aplicada para a velocidade, é chamada de 
aceleração do fluido. 
𝐷(�⃗� )
𝐷𝑡
=
𝜕(�⃗� )
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇(�⃗� ) 
O primeiro termo no lado direito da equação é a variação no tempo, ou 
aceleração local e o segundo termo é a aceleração convectiva. Essa aceleração 
é provocada pelo próprio movimento das partículas de fluido. Imagine a seguinte 
situação: Uma bola de bilhar se movendo se choca com uma outra, parada, 
fazendo com que as duas se movam. Esse é um tipo de aceleração convectiva 
e ocorre para fluidos em geral. 
Assim, suponha que eu aciono uma bomba para mover água. A pressão 
que a bomba aplica causa uma aceleração no fluido, mas o fato da tubulação 
estar cheia, faz com que exista choque de partículas de água e que esses 
choques causem uma aceleração convectiva. 
Considerações: 
- Regime permanente e incompressível (𝜌 = 𝑐𝑡𝑒): 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 𝑒 �⃗� ∙ ∇𝜌 = 0 
 
 
8 
Logo: 
𝜌∇ ∙ �⃗� = 0 
Mas como ρ é constante, podemos passá-lo para o outro lado da equação 
dividindo. Assim: 
∇ ∙ �⃗� = 0 
Ou: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
Essa será a forma mais comum em que utilizaremos a conservação da 
massa. Na bibliografia, há a forma da equação em coordenadas cilíndricas. Você 
pode estudá-la caso deseje se aprofundar no tema. 
TEMA 2: EXERCÍCIOS 
Bocais convergentes e divergentes tem grandes aplicações na 
engenharia. Bocais divergentes são usados, por exemplo, para propelir foguetes, 
como na figura abaixo. 
 
Figura 4 
 
 
 
Por sua vez, bocais convergentes são usados para acelerar o 
escoamento, como no túnel de vento da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
9 
Figura 5 
 
 
Montaremos, então, um equacionamento para um bocal. 
Exemplo 1 – O escoamento através de um bocal convergente pode ser 
aproximado por uma distribuição de velocidades unidimensional u=u(x). Para o 
bocal da figura abaixo, considere que a velocidade varia linearmente de u=v0 a 
u=3v0 na saída, ou seja: 𝑢 𝑥 = 𝑣0 1 + 2𝑥/𝐿 (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
a) Calcule a aceleração; 
b) Avalie a variação da velocidade na entrada e na saída se v0=10m/s e 
L=1m. 
 
 
Figura 6 
 
 
Solução: 
a) Primeiramente, calcularemos a aceleração. Lembre que o 
fato de ter um escoamento em regime permanente não quer dizer que a 
 
 
10 
aceleração é nula. Quer dizer que o escoamento não varia no tempo. 
Lembrando que a aceleração é a derivada material. Assim: 
𝐷(�⃗� )
𝐷𝑡
=
𝜕(�⃗� )
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇(�⃗� ) 
Considerando que a velocidade só varia na direção x, a única componente 
de velocidade que tem variação será a u. Dessa forma: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ �⃗� ∙ ∇(�⃗� ) 
Explicitando os termos: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ (�⃗� 𝑖̂ + 𝑣 𝑗̂ + �⃗⃗� �̂�) ∙ (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑖̂ +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
�̂�) 
Como o produto escalar de vetores unitários só é diferente de zero na 
mesma direção, por exemplo: 𝑖̂ ∙ 𝑖̂ = 1, mas 𝑖̂ ∙ 𝑗̂ = 0, chega-se a: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
 
Contudo, o enunciado disse que o problema está em regime permanente, 
logo: 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 0 
E fazendo a derivada de cada termo, como a velocidade só depende da 
direção x: 
𝑢 𝑥 = 𝑣0 (1 +
2𝑥
𝐿
) 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
2𝑣0
𝐿
 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 0 
Assim: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= 0 + 𝑣0 (1 +
2𝑥
𝐿
) (
2𝑣0
𝐿
) + 0 + 0 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2𝑣0
2
𝐿
) (1 +
2𝑥
𝐿
) 
Essa é a aceleração do sistema. Para o sistema citado, de 1m de 
comprimento e com v0=10m/s, pode-se fazer um gráfico da velocidade e da 
aceleração como na figura abaixo. Veja que a velocidade saiu de 10m/s na 
entrada para 30m/s na saída, e a aceleração também aumentou com o tempo. 
 
 
 
 
 
11 
 
Gráfico 1 
 
 
b) Agora, calcularemos a aceleração nos dois pontos pedidos. Para isso, 
só precisamos aplicar: 
Na entrada, x=0: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2𝑣0
2
𝐿
) (1 +
2𝑥
𝐿
) 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2 ∙ 102
1
) (1 +
2 ∙ 0
1
) = 200𝑚/𝑠2 
Na saída, x=1m: 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2𝑣0
2
𝐿
) (1 +
2𝑥
𝐿
) 
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= (
2 ∙ 102
1
) (1 +
2 ∙ 1
1
) = 600𝑚/𝑠2 
Lembrando que apenas montamos a equação para a velocidade e a 
aceleração no tempo. Isso ainda não nos permite visualizar o escoamento. Para 
isso, seria necessário usarmos linhas de corrente, mas veremos esse assunto 
num outro momento. 
 
 
 
 
80
180
280
380
480
580
5
10
15
20
25
30
35
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
A
ce
le
ra
çã
o
V
el
o
ci
d
ad
e
Comprimento
Velocidade e Aceleração x Comprimento
V (m/s) a (m/s^2)
 
 
12 
TEMA 3: EQUAÇÃO DO MOMENTO 
Agora que já sabemos usar a conservação da massa, chegou a hora de 
deduzir a Equação do momento. Partiremos da mesma equação que utilizamos 
para a formulação integral, que a força F é a variação no tempo do momento 
linear P. Essa equação é a própria segunda lei de Newton.: 
𝑑𝐹 =
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
 
Porém, o momento é a integral da velocidade na massa: 
�⃗� = ∫ �⃗� 𝑑𝑚 
Assim, aplicando na primeira equação: 
𝑑𝐹 = 𝑑𝑚
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
)
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
 
Essa componente de derivada é a aceleração do sistema, que, para um 
fluido, definimos ser a derivada material: 
𝑑𝐹 = 𝑑𝑚
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝑑𝑚 [�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
] 
Por uma questão de simplicidade, desenvolveremos o equacionamento 
apenas para a componente x da velocidade. As demais equações possuem 
desenvolvimento semelhante. 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗⃗ = 𝑑𝑚 [�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
] 
Por outro lado, para um volume de controle, o mesmo que usamos agora 
há pouco, escreveremos todas as forças que atuam em um elemento de volume. 
Para cada face, pode haver uma tensão cisalhante τ ou uma tensão normal σ. 
Como estamos na direção x, a tensão normal será na direção x e as demais 
tensões serão cisalhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Figura 7 
 
 
Nesse elemento, as forças da direção x podem ser forças de superfície Fs 
ou forças de campo FB: 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝐹𝐵𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑑𝐹𝑆𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑑𝐹𝐵𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜌𝑔 𝑥𝑑∀ = 𝜌𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
𝑑𝐹𝑆𝑥⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑∀ = (
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Somando as duas: 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ = (𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Mas da equação anterior: 
𝑑𝐹𝑥⃗⃗ ⃗ = 𝑑𝑚 [�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
] 
E: 
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑∀= 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
Assim: 
(𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝜌 (�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Eliminando os diferenciais: 
𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
= 𝜌 (�⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
) 
 
 
14 
Voltando à forma da derivada material: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
 
Por sua vez, para um fluido newtoniano, a tensão cisalhante é diretamente 
proporcional à deformação do fluido, e a constante de proporcionalidade é a 
chamada viscosidade μ. Assim, as equações das tensões serão substituídas por: 
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 (
𝜕𝑣 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
) 
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
) 
E a tensão normal é definida como: 
𝜎𝑥𝑥 = −𝑃 −
2
3
𝜇𝛻 ∙ �⃗� + 2𝜇
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
 
Onde P sem a indicação de vetor é a Pressão, e não o momento linear. 
Substituindo: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑥
[2𝜇
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
−
2
3
𝜇𝛻 ∙ �⃗� ] +
𝜕
𝜕𝑦
[𝜇 (
𝜕𝑣 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
)] +
𝜕
𝜕𝑧
[𝜇 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
)] 
Note que é uma equação e várias incógnitas. 
Quando se considera as três dimensões, essas equações são famosas 
por não terem solução analítica para todos os casos. Inclusive, elas são um dos 
“problemas do milênio”. Caso você as resolva, será contemplado com um milhão 
de dólares. 
O fato de essas equações não terem solução foi uma das razões que 
levou ao desenvolvimento da dinâmica dos fluidos computacional, um setor que 
movimenta muito dinheiro atualmente. Mas, por enquanto, inseriremos 
simplificações na equação. 
Para escoamento incompressível e com viscosidade constante, podemos 
eliminar os termos de derivada de velocidade e os termos de derivada de 
viscosidade. Dessa forma, a equação se reduz a: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇∇2�⃗� 
Ou, generalizando para todas as direções (x, y e z): 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 − ∇𝑃 + 𝜇∇2�⃗� 
Essa é a forma mais comum das chamadas equações de Navier-Stokes. 
Os termos significam respectivamente: 
 
 
15 
1. Aceleração do fluido; 
2. Gravidade; 
3. Variação da pressão; 
4. Termo de viscosidade. 
Poderíamos ler a equação da seguinte forma: “A aceleração de um fluido 
é causada pela gravidade, por uma diferença de pressão e/ou pela influência do 
atrito através da viscosidade”. 
O sinal negativo do termo de pressão significa que a velocidade aumenta 
da região de maior pressão para a região de menor pressão. 
A última simplificação dessa equação é para o caso sem atrito (µ=0). Já 
contemplando as 3 dimensões, podemos escrever a equação mais uma vez: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 − ∇𝑃 
Essa é a chamada equação de Euler, que tem solução analítica. 
 
TEMA 4: EXERCÍCIOS 
Neste momento, eu gostaria de passar algumas orientações sobre como 
utilizar de forma adequada as equações de Navier-Stokes. Enumeraremos 
passos para que vocês solucionar problemas com o uso dessas equações, caso 
seja necessário. 
Passos para uma solução adequada das equações de Navier-Stokes: 
1. Desenhe o problema identificando os parâmetros 
importantes – Um desenho bem feito faz toda a diferença na análise do 
problema; 
2. Efetue as considerações – regime permanente, etc.; 
3. Escreva as equações diferenciais (conservação da massa e 
Navier-Stokes) e simplifique os termos; 
4. Integre as equações, chegando às constantes de 
integração; 
5. Aplique as condições de contorno; 
6. Verifique a validade do seu resultado. 
Imaginemos um problema de lubrificação, em que o óleo escoa por uma 
parede para mantê-la lubrificada. Esse problema tem várias aplicações. Poderia 
ser o cilindro do carro, que deve permanecer lubrificado enquanto o motor gira, 
por exemplo. Vamos resolver? 
 
 
16 
 
Exemplo – Considere o escoamento, em regime permanente, 
incompressível e laminar, de uma fina película de óleo escoando lentamente por 
uma parede vertical infinita (Figura abaixo). A espessura da película de óleo é h, 
e gravidade atua na z-direção negativa (para baixo). Não há nenhuma pressão 
aplicada, e o óleo escoa por gravidade. Calcule os campos de velocidade e de 
pressão no filme de óleo, e esboce o perfil de velocidade. Ignore as mudanças 
na pressão hidrostática do ar (Fox; Pritchard; McDonald, 2014). 
Figura 8 
 
 
Solução 
Aplicação dos passos: 
Passo 1 – desenhar – A figura já está desenhada. 
Passo 2 – efetuar considerações: 
Considerações 
1 A parede é infinita no plano yz (y é dentro da página). Essa consideração 
significa que eu não estou preocupado com o efeito da direção y no escoamento, 
apenas com as direções x e z. 
2 Regime permanente (todas as derivadas parciais com respeito ao tempo 
são zero). 
3 O escoamento é paralelo à parede (o componente x da velocidade, u, é 
zero em todos os lugares). Isso faz sentido, pois o óleo não escoa para dentro 
nem para fora da parede, e, sim, paralelo a ela. 
 
 
17 
4 O fluido é incompressível e newtoniano com propriedades constantes, 
e o fluxo é laminar. Mais à frente, veremos em detalhes esse tipo de escoamento. 
5 A Pressão é atmosférica na superfície livre. Em outras palavras, não há 
nenhuma diferença de pressão aplicada 
6 O campo de velocidade é bidimensional, o que implica que a 
componente y da velocidade v, são nulas e todas as derivadas parciais em 
relação à y são iguais a zero (como dissemos antes, não estamos interessados 
na componente y do escoamento). 
7 A gravidade age na direção de z negativo (para baixo). O eixo z aponta 
para cima. 
8 Em x=0, u=v=w=0 (significa que tem atrito na parede). Uma vez que a 
molécula de óleo encosta na parede, ela não escoa. Fica parada lá. 
9 Em x=h, a velocidade é máxima, ou 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 0 (significa que quanto mais 
longe da parede, mais rápido o óleo escoa). Isso faz sentido, pois quanto mais 
longe da parede, menos atrito há. 
Passo 3 – escrever as equações 
Conservação da massa incompressível em regime permanente: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
Mas, de 3 e de 6, os dois primeiros termos são nulos. Logo: 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
Isso implica que o campo de velocidades não é função de z. Chamamos 
esse escoamento de plenamente desenvolvido. 
Isso significa que ele não está mais acelerando nem no tempo, nem no 
espaço. Como ele não é função de y nem do tempo, ele é função somente de x. 
Agora, escrevamos Navier-Stokes na direção z: 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= −𝜌𝑔 − ∇𝑃 + 𝜇∇2�⃗� 
Ou, com a velocidade apenas na direção z: 
𝜌
𝐷�⃗⃗� 
𝐷𝑡
= −𝜌𝑔 − ∇𝑃 + 𝜇∇2�⃗⃗� 
O sinal negativo da gravidade apareceu, porque a gravidade está em 
sentido contrário ao eixo z. 
Ou ainda, escrevendo todos os termos: 
 
 
18 
𝜌 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗⃗�𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑧 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑦2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑧2
 
Note que todo o termo de aceleração é nulo (todo o lado esquerdo da 
equação) – escoamento desenvolvido. 
O termo de gravidade existe. 
O termo de pressão é nulo (consideração 5). 
A única derivada segunda a utilizar é na direção x (considerações 3 e 6). 
Simplificando: 
𝜇
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
− 𝜌𝑔 = 0 
Como a incógnita é a velocidade, vamos deixá-la do lado esquerdo: 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
=
𝜌𝑔 
𝜇
 
Passo 4 – integrar 
Integrando duas vezes (aparecem duas constantes de integração): 
�⃗⃗� =
𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
Passo 5 – aplicar as condições de contorno 
(1) p/ x=0, w=0, isso quer dizer que C2=0 
0 =
𝜌𝑔 
2𝜇
02 + 𝐶10 + 𝐶2 → 𝐶2 = 0 
(2) p/ x=h, 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 0 (a velocidade está em seu máximo), assim: 
�⃗⃗� =
𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥2 + 𝐶1𝑥 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
=
2𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥 + 𝐶1 
𝐶1 +
𝜌𝑔 ℎ
𝜇
= 0 
𝐶1 = −
𝜌𝑔 ℎ
𝜇
 
O perfil de velocidades se torna: 
�⃗⃗� = −
𝜌𝑔 
2𝜇
𝑥2 −
𝜌𝑔 ℎ
𝜇
𝑥 
Passo 6 – Verificar o resultado 
Eu coloquei esse perfil de velocidades em função da espessura num 
gráfico. O que vemos do lado esquerdo seria a parede, e essa curva seria o 
 
 
19 
campo de velocidades. Note que a curva faz sentido e a velocidade é máxima 
na espessura de 2cm. 
Gráfico 2 
 
 
TEMA 5: NOÇÕES DE FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL 
Nesta parte da aula, discutiremos, de uma forma muito básica, as ideias 
por trás dinâmica dos fluidos computacional, ou, na sigla em inglês, que é a mais 
conhecida, CFD (Computational Fluid Dynamics). Primeiro, reveremos algumas 
ideias fundamentais para a solução numérica de uma equação diferencial parcial 
ordinária usando uma planilha, como o Excel, com um exemplo. Depois dessa 
aula, você será capaz de utilizar o seu computador para resolver numericamente 
uma série de problemas de CFD simples. 
A necessidade do CFD 
Como falamos agora há pouco, as equações de Navier-Stokes são de 
grande utilidade para que se conheça o escoamento em detalhes. Todavia, há a 
dificuldade de se ter muitas incógnitas e somente com simplificações é que se 
consegue resolver as equações analiticamente. 
Só para relembrarmos, se desejássemos resolver um problema simples 
de escoamento incompressível com viscosidade constante, nossas equações 
seriam estas aqui: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
-0,35
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
A
lt
u
ra
 d
a 
p
ar
ed
e 
(m
)
Espessura do filme (m)
w - m/s
 
 
20 
𝜌
𝐷�⃗� 
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔 − ∇𝑃 
No entanto, essas duas equações são vetoriais, e Navier-Stokes se 
transforma em um conjunto de quatro equações para as três coordenadas: 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
= 0 
𝜌 (
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗� 
𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇 
𝜕2�⃗� 
𝜕𝑥2
+
𝜕2�⃗� 
𝜕𝑦2
+
𝜕2�⃗� 
𝜕𝑧2
 
𝜌 (
𝜕𝑣 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕𝑣 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕𝑣 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕𝑣 
𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑦 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜇 
𝜕2𝑣 
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣 
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣 
𝜕𝑧2
 
𝜌 (
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑡
+ �⃗� 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑥
+ 𝑣 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑦
+ �⃗⃗� 
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑧
) = −𝜌𝑔 𝑧 −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇 
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑥2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑦2
+
𝜕2�⃗⃗� 
𝜕𝑧2
 
Esse conjunto de equações não possui solução analítica para todos os 
casos. Mas, e se eu desejar resolver essas equações? Uma alternativa é a 
computação numérica, ou o uso de CFD. Aprenderemos, então, a resolver uma 
equação diferencial usando o Excel? 
Podemos implementar alguns métodos básicos de CFD usando uma 
planilha. Antes de discutir CFD um pouco mais detalhadamente, podemos definir 
algumas noções de sobre métodos numéricos para resolver alguns problemas 
simples em mecânica dos fluidos usando a planilha. 
Em primeiro lugar, consideramos resolver a forma mais simples de uma 
equação diferencial: a equação diferencial ordinária de primeira ordem: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 
Onde f(x,y) é uma função qualquer. Quando estudávamos geometria 
plana, essa derivada era chamada de coeficiente angular da reta. Quando 
estudávamos cálculo, essa derivada foi chamada tangente à curva. Tudo isso 
tem o mesmo princípio, que é: Uma derivada pode ser tratada como uma 
diferença bem pequena. Assim, eu não preciso resolver a equação diferencial. 
Ou: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛
𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛
 
Se esse xn+1-xn for constante, podemos chamá-lo de “passo” e 
simbolizarmos por h. Assim: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛
ℎ
= 𝑓 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 
Ou, como nossa incógnita é y: 
 
 
21 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 
Com: 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ 
Essas equações são o conceito básico do método de Euler para resolução 
de equações diferenciais de primeira ordem. 
Um diferencial é substituído com uma diferença finita. Nessas equações, 
yn+1 agora representa o nosso melhor esforço para encontrar o próximo ponto na 
curva de solução. 
Suponha um passo h bem pequeno. Se eu sei um ponto inicial qualquer 
da curva x0,y0, eu posso deduzir todos os outros pontos da curva. Nós não 
conseguiremos a função que é a solução da curva (a derivada), mas 
conseguiremos todos os pontos que desejarmos dela, o que para a maioria dos 
casos já é suficiente. 
Esse método é muito fácil de configurar, tornando-se uma abordagem 
atraente, mas não é muito preciso. Por outro lado, o método de Euler é o método 
numérico mais simples, e para o que vamos fazer, ele será mais do que 
suficiente. 
Resolvamos um exemplo: 
Exemplo: Um tanque contém água a uma profundidade inicial y0=1m. O 
diâmetro do tanque é D=250mm. O tanque tem um furo de diâmetro D=2mm na 
sua parte inferior. Adotou-se como modelo para o nível de água ao longo do 
tempo a equação: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −(
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦 𝑒 𝑦 0 = 𝑦0 
Figura 9 
 
 
Use 2, 5, 10 e 20 pontos e estime o nível de água no tanque depois de 
100minutos. Compare o resultado com a solução exata (a solução da equação 
diferencial acima): 
𝑦𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 = [√𝑦0 − (
𝑑
𝑑
)
2
√
𝑔
2
𝑡]
2
 
 
 
22 
Solução: 
Sabemos da equação de Euler que: 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 𝑡𝑛, 𝑦𝑛 
E: 
𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ 
Note que substituímos x por t, uma vez que a derivada é no tempo. 
E, ainda: 
𝑓 𝑡𝑛, 𝑦𝑛 = −(
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦𝑛 
Para chegarmos a 100minutos usando 5 pontos, nosso passo será: 
ℎ =
𝑥5
𝑥0
 
ℎ =
100
2
= 50𝑚𝑖𝑛 = 50 ∙ 60 = 3000𝑠 
Note que o tempo precisa estar em segundos. Assim resolveremos para 
cada passo. Calculando a partir de y0, que é conhecido: 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ [− (
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦𝑛] 
Fazendo n=0: 
𝑦1 = 𝑦0 + 3.000 ∙ [− (
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦0] 
𝑦1 = 1 − 3.000 ∙ (
2
250
)
2
√2 ∙ 9,81 ∙ 1 
𝑦1 = 1 − 0,8504 = 0,14956𝑚 
Esse foi o primeiro ponto (não contamos com o ponto inicial da curva). 
Fazendo agora o segundo ponto (n=1): 
𝑦2 = 𝑦1 + ℎ [−(
𝑑
𝐷
)
2
√2𝑔𝑦1] 
𝑦2 = 0,14956 − 3.000 ∙ (
2
250
)
2
√2 ∙ 9,81 ∙ 0,14956 
𝑦2 = −0,17933𝑚 
Obviamente, não podemos ter uma altura negativa. Encontramos o 
primeiro “defeito” do uso de um método numérico. O passo não pode ser muito 
grande, sob pena de termos um resultado errado. 
Eu fiz o mesmo cálculo para 5, 10 e 20 pontos. Observe na figura abaixo. 
Gráfico 3 
 
 
23 
 
 
Note que, apenas ao reduzirmos o passo, a solução aproximada pelo 
método de Euler rapidamente se aproximou do resultado correto. 
Vocês podem usar esse método para resolver a derivada de qualquer 
equação que você conheça a função, inclusive Navier-Stokes. 
SÍNTESE 
Caro aluno, cara aluna, mais uma vez parabenizo você pelo esforço até o 
momento. Já passamos da metade da disciplina e aprendemos muita coisa. Na 
aula de hoje, estudamos as conservações na forma diferencial, ou seja, 
determinamos os detalhes do escoamento. 
Mais uma vez, eu reforço: para o correto aprendizado, você deve praticar. 
Assim, não esqueça de estudar os capítulos e fazer bastante exercícios.-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 20 40 60 80 100
A
lt
u
ra
 y
 (
m
)
Tempo (min)
2 pontos
5 pontos
10 pontos
20 pontos
solução exata
 
 
24 
REFERÊNCIAS 
FOX, R. W; PRITCHARD, P; MCDONALD, T. Introdução à mecânica 
dos fluidos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Ana Carolina Tedeschi Gomes Abrantes 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
As turbinas estão presentes na nossa vida, muito mais do que 
imaginamos. O próprio verbo turbinar é utilizado frequentemente quando 
queremos nos referir à melhoria de alguma situação. Isso porque as turbinas 
surgiram como alternativas para a produção de elevadas quantidades de 
trabalho, o que viabilizou processos nos quais estão envolvidas altas cargas de 
pressão e vazão. 
As turbinas a vapor são utilizadas na área industrial e, embora não 
tenhamos contato direto, são responsáveis por auxiliar diversos processos 
industriais que utilizam bombas, compressores e geradores elétricos. Em 
compensação, as turbinas a gás estão mais próximas ao cidadão comum, 
principalmente quando associadas aos meios de transporte, movendo 
aeronaves e navios. 
Aprender sobre esses equipamentos e seus ciclos termodinâmicos é 
fundamental para avaliar a eficiência e otimizar a operação deles. Dessa forma, 
esta aula trará subsídios para gerenciar os processos nos quais as turbinas estão 
inseridas. 
CONTEXTUALIZANDO 
A maioria dos equipamentos de geração de potência, como as turbinas, 
opera em ciclos difíceis de serem analisados. Visando tornar o estudo viável, 
suas irreversibilidades e complexidades são desconsideradas, de forma a se 
modelar um ciclo ideal para o estudo. 
Uma vez que essas máquinas térmicas foram concebidas a fim de 
converter a energia térmica de um fluido em trabalho, o desempenho é medido 
pela eficiência térmica (η). Esse parâmetro é calculado por meio da razão do 
trabalho líquido produzido (Wliq) pelo calor total fornecido (Qent). Entre os ciclos 
térmicos ideais, o ciclo Carnot é o que apresenta maior eficiência. Porém, não 
representa os ciclos encontrados em aplicações práticas, tornando-se 
inadequado. Assim, outros ciclos ideais foram propostos para grupos específicos 
de máquinas térmicas. 
As simplificações consideradas pelos ciclos ideais são: 
• Não há queda de pressão no escoamento do fluido por conta do atrito. 
 
 
3 
• Os processos de expansão e compressão acontecem em condições 
quase estáticas. 
• Não há transferência de calor pelas tubulações que transferem o fluido. 
• As energias cinética e potencial são desprezíveis. 
Os diagramas de propriedades T-S e P-v são muito úteis para a avaliação 
dos ciclos termodinâmicos que serão estudados nesta aula, principalmente na 
comparação das condições ideais com as reais. 
A forma construtiva básica das turbinas é constituída de um rotor de pás 
ou palhetas ligado a um eixo que gira sobre um conjunto de mancais. Esses 
equipamentos podem ser usados para movimentar outros equipamentos 
mecânicos rotativos, para geração de eletricidade e para propulsão naval e 
aeronáutica. As potências geradas podem variar de 300 kW, para acionamento 
de ventiladores, até 1200 MW, em instalações nucleares. 
TEMA 1 – TABELAS E DIAGRAMAS DE VAPOR 
No transcorrer desta aula, estudaremos os ciclos de potência que utilizam 
água e misturas gasosas como fluido termodinâmico. Os diagramas P-v e T-S 
serão bastante utilizados para explicar a transformações sofridas pelo fluido. 
Tabelas serão aplicadas para o levantamento das propriedades termodinâmicas. 
Analise os diagramas a seguir. Eles representam o ciclo Rankine 
ideal. A intenção, neste momento, não é detalhar o ciclo, mas mostrar como a 
informação pode ser apresentada nos diagramas. 
A curva preenchida de cinza representa a situação de saturação 
líquido-vapor do fluido, durante a mudança de fase. Ao dividir a linha que delimita 
essa região em duas partes, com base no ponto crítico (ponto de inflexão), temos 
à esquerda a linha que divide o líquido subresfriado da condição de saturação, 
e à direita o vapor superaquecido. Estes diagramas são bastante úteis para 
identificar processos, pressão constante (a) e a temperatura ou entropia 
constante (b). A área delimitada pelas retas que unem os pontos 1, 2, 3 e 4 
representa o trabalho líquido gerado (ou consumido) pelo ciclo. 
 
 
 
 
 
4 
Gráfico 1– Diagramas do ciclo Rankine ideal (a) P-V. (b) T-S 
 
 
Fonte: Garrido, 2012. 
Os diagramas são ótimos para avaliar as transformações termodinâmicas, 
mas o levantamento dos valores das propriedades não é muito preciso. Para 
isso, utilizamos as tabelas de propriedades termodinâmicas. No Anexo 1 você 
encontrará as relativas à água como líquido subresfriado (compressed liquid 
water), na condição de saturação líquido-vapor (saturated water) e para vapor 
superaquecido (superheated water). 
Para a leitura das informações, é necessário definir a temperatura e a 
pressão da condição que se deseja avaliar e, então, fazer a leitura na linha 
correspondente à temperatura especificada. As propriedades, que estão 
classificadas em colunas, são: volume específico (v), energia interna 
específica (u), entalpia específica (h) e entropia específica (s). 
Para o líquido subresfriado e para o vapor superaquecido, a tabela é 
subdividida em outras tabelas menores em função da pressão de trabalho. 
Tabela 1 – Vapor superaquecido 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
 
 
5 
Tabela 2 – Tabela para líquido subresfriado 
 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
TEMA 2 – CICLO RANKINE IDEAL 
A turbina a vapor, por ser uma máquina térmica, trabalha em ciclos, em 
conjunto com outros equipamentos. A figura 3 representa um exemplo aplicável 
a uma planta de geração de energia elétrica (Steam Power Plant). O vapor 
superaquecido é gerado em uma caldeira (boiler) e utilizado nas turbinas de alta 
pressão (HP turbine) e de baixa pressão (LP turbine) as quais estão acopladas 
a um gerador elétrico (generator). O vapor exausto é então resfriado e 
condensado no condensador (steam condenser), retornando à caldeira com o 
auxílio de uma bomba (water pump). 
Figura 1 – Representação esquemática de uma planta de geração de energia elétrica a vapor 
 
 
 
6 
Esse sistema pode ser representado termodinamicamente por um ciclo 
reversível, conhecido como ciclo Rankine ideal (figura 2), o qual é constituído 
pelas seguintes etapas básicas: 
• Expansão adiabática (turbina). 
• Troca de calor a pressão constante (condensador). 
• Bombeamento adiabático (bomba). 
• Troca de calor a pressão constante (caldeira). 
Figura 2 – Ciclo de Rankine simples e ideal 
 
Fonte: Garrido, 2012. 
Essas transformações termodinâmicas são mais bem explicadas pelos 
diagramas P-V e T-S (gráfico 2). A bomba aumenta a pressão do liquido desde 
a pressão do condensador Pcond (3) até a pressão de admissão na caldeira 
Pcald (4). Nesse processo, a temperatura e a entropia do líquido praticamente 
não variam. Na caldeira, o líquido recebe calor Qabs em pressão constante, 
transformando-se em líquido saturado (4’) e, posteriormente, em vapor 
saturado (1). Aqui, o fluido tem sua temperatura e sua entropia aumentadas 
consideravelmente. Após a caldeira, o vapor é direcionado à turbina e sofre 
expansão (2), produzindo trabalho em um processo isentrópico. O vapor exausto 
é descarregado em um condensador no qual é liquefeito em temperatura e 
pressão constantes (3), fechando o ciclo. 
 
 
7 
Gráfico 2 – Diagramas do ciclo Rankine ideal 
(a) P-V (b) T-S 
 
(a) 
 
(b) 
Fonte: Garrido, 2012. 
Além da potência gerada pela turbina, observamos nesse ciclo que há 
outras potências relacionadas às energias trocadas pelos outros equipamentos. 
Elas podem ser calculadas por: 
1. Potência devido ao trabalho realizado pela bomba sobre o fluido (�̇�𝐖𝐛𝐛) 
�̇�𝑊𝑏𝑏�̇�𝑚
= 𝑣𝑣(𝑃𝑃4 − 𝑃𝑃3) = (ℎ4 − ℎ3) 
2. Potência devido ao calor absorvido pelo fluido na caldeira (�̇�𝑸𝒄𝒄) 
�̇�𝑄𝑐𝑐 = �̇�𝑚(ℎ1 − ℎ4) 
3. Potência devido ao calor liberado pelo fluido no condensador (�̇�𝑸𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄) 
�̇�𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = �̇�𝑚(ℎ2 − ℎ3) 
Onde: Pn = pressão do fluido no ponto n (n = 1, 2, 3 ou 4). 
hn = entalpia específica do fluido no ponto n (n = 1, 2, 3 ou 4). 
�̇�𝒎 = vazão mássica do fluido. 
𝒗𝒗 = volume específico do fluido. 
Sabendo-se as energias trocadas, é possível obter o rendimento 
(η, em %) deste ciclo ideal por: 
η = 
�̇�𝑊𝑡𝑡 − �̇�𝑊𝑏𝑏
�̇�𝑄𝑐𝑐
. 100 = 
�̇�𝑄𝑐𝑐 − �̇�𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
�̇�𝑄𝑐𝑐
. 100 = �1−
ℎ2 − ℎ3
ℎ1 − ℎ4
� . 100 
 
 
 
8 
TEMA 3 – CICLO RANKINE REAL 
Nas aplicações reais, as transformações do ciclo Rankine não são 
totalmente reversíveis. Há perda de energia devido à perda de carga por conta 
do escoamento do fluido nas tubulações e nos equipamentos. O processo de 
expansão não resistida, na turbina, e o atrito do fluido com o rotor da bomba 
elevam a entropia do fluido. O gráfico 3 faz a comparação do ciclo ideal (linha 
cheia) com o ciclo real (linha pontilhada), além de indicar o superaquecimento 
do vapor no ponto 3, necessário para evitar umidade e prevenir a erosão das 
palhetas na turbina. O tratamento matemático é o mesmo, porém, utilizam-se as 
condições reais de entalpia do fluido em cada ponto. 
Gráfico 3 – Diagrama T-S do ciclo Rankine com irreversibilidades 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
Na prática, algumas modificações são realizadas no ciclo Rankine para o 
aumento da eficiência. Essas modificações são realizadas com o objetivo de 
aumentar a temperatura de transferência de calor para o fluido na caldeira, e de 
reduzir a temperatura na qual o calor é rejeitado pelo fluido no condensador. 
Uma opção é a redução da pressão (abaixo da atmosférica) no 
condensador por meio do aumento do trabalho líquido. Essa condição é obtida 
ao reduzir a temperatura da água de resfriamento no trocador. O gráfico 4 
representa essa modificação passando o processo de condensação de 4-1-2 
para 4’-1’-2’. Operacionalmente, deve-se cuidar para não se alcançar a pressão 
de saturação do vapor ainda na saída da turbina, pois ocasiona erosão nas pás 
e perda de eficiência da turbina. As conexões do condensador também devem 
estar bem vedadas, para evitar infiltração de ar para o interior. 
 
 
9 
Gráfico 4 – Efeito da redução de pressão no condensador no ciclo Rankine 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
Outra possibilidade de aumento de eficiência é a elevação da pressão da 
caldeira, o que aumenta a temperatura de ebulição da água (gráfico 5). Embora 
a energia adquirida pelo fluido na caldeira seja maior, essa manobra reduz o 
trabalho líquido na turbina, além de acarretar aumento da umidade do vapor e 
resultar na erosão das pás da turbina. 
Gráfico 5 – Efeito do aumento da pressão da caldeira no ciclo Rankine 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
A energia do vapor também pode ser aumentada ao elevar o grau de 
superaquecimento (gráfico 6). Esse processo aumenta a eficiência da turbina e 
 
 
10 
reduz a possibilidade de erosão nas pás. Deve-se cuidar somente em relação à 
temperatura máxima admitida de vapor na turbina, conforme o projeto 
desenvolvido. 
Gráfico 6 – Efeito do superaquecimento no ciclo Rankine 
 
Fonte: Cengel e Boles, 2013. 
Outros processos que podem ser encontrados são: 
• Reaquecimento do vapor que é encaminhado para o estágio de baixa 
pressão (gráfico 7), diminuindo a sua umidade e mantendo a eficiência da 
turbina. Nesta condição, as vazões, pressões e temperaturas 
intermediárias devem ser levantadas, surgindo novas parcelas de cálculo 
da potência. 
𝑄𝑄𝑐𝑐 = 𝑄𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝çã𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 + 𝑄𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐 = (ℎ3 − ℎ2) + (ℎ5 − ℎ4) 
𝑊𝑊𝑡𝑡 = 𝑊𝑊𝑡𝑡𝑟𝑟𝑝𝑝𝑏𝑏𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑡𝑡𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ã𝑐𝑐 + 𝑊𝑊𝑡𝑡𝑟𝑟𝑝𝑝𝑏𝑏𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑏𝑏𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ã𝑐𝑐 = (ℎ3 − ℎ4) − (ℎ5 − ℎ6) 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Gráfico 7 – Ciclo Rankine com reaquecimento 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
• Extração de parte do vapor que sai da turbina de alta pressão para 
aquecimento da água de alimentação da caldeira – ciclo regenerativo 
(gráfico 8). Esse processo também atua na desaeração mecânica da 
água, o que previne a corrosão e auxilia a reduzir vazão de vapor nos 
estágios seguintes da turbina. O tratamento matemático é um pouco mais 
complicado, pode ser encontrado nas referências citadas nesta aula. 
Gráfico 8 – Ciclo Rankine regenerativo 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
O principal equipamento desse ciclo é a turbina, uma vez que o trabalho 
é gerado por ela. Os demais equipamentos são auxiliares para condicionamento 
do fluido de trabalho. No Anexo 2, você encontrará mais informações sobre as 
 
 
12 
turbinas a vapor, como a descrição dos componentes que a compõe e o 
tratamento matemático para o cálculo do trabalho gerado. 
 
TEMA 4 – CICLO BRAYTON IDEAL 
Diferentemente do ciclo de potência a vapor, o fluido de trabalho no ciclo 
de potência a gás se mantem gasoso em todo o ciclo. Conforme estudado no 
tema anterior, as turbinas a gás costumam operar em ciclo aberto (figura 3), sem 
recirculação dos gases. Esse ciclo pode ser modelado a um ciclo fechado 
(figura 4), se for considerado o ar como fluido motor (gás ideal). “Nessa condição, 
o processo de combustão é substituído pelo fornecimento de calor por uma fonte 
externa (qent) e o de exaustão é trocado pela liberação de energia (qsai) para o 
ar ambiente, ambos com pressão constante” (Cengel; Boles, 2013, grifo nosso). 
Figura 3 –Turbina a gás de ciclo aberto. 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Figura 4 – Turbina a gás de ciclo fechado 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
O ciclo que descreve as transformações termodinâmicas de um fluido 
gasoso em ciclo fechado é o ciclo Brayton ideal, composto por quatro processos 
irreversíveis (gráfico 9): 
• Compressão isentrópica em um compressor (entre pontos 1 e 2). 
• Adição de calor a pressão constante (entre pontos 2 e 3). 
• Expansão isentrópica em uma turbina (entre os pontos 3 e 4). 
• Rejeição de calor a pressão constante (entre os pontos 4 e 1). 
Cada uma dessas etapas pode ser verificada nos diagramas T-S e P-v a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Gráfico 9 – Diagramas T-S e P-v do ciclo Brayton ideal 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
Para o cálculo do calor recebido (Qentra) e do calor cedido (Qsai) pelo fluido, 
são utilizadas as expressões: 
𝑄𝑄𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑚𝑚(ℎ3 − ℎ2) = 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑝𝑝(𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇2) 
𝑄𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑚𝑚(ℎ4 − ℎ1) = 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑝𝑝(𝑇𝑇4 − 𝑇𝑇1) 
Onde: Tn = temperatura do fluido no ponto n (n = 1, 2, 3 ou 4). 
hn = entalpia específica do fluido no ponto n (n = 1, 2, 3 ou 4). 
m = massa do fluido. 
cp = calor específico do fluido. 
Uma vez que as trocas térmicas ocorrem à pressão constante, é possível 
deduzir que: 
𝑇𝑇3
𝑇𝑇4
=
𝑇𝑇2
𝑇𝑇1
 
A eficiência térmica (η, em %) do ciclo Brayton ideal é obtida por: 
η =
𝑊𝑊𝑎𝑎í𝑟𝑟
𝑄𝑄𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡
. 100 = �1− 
𝑄𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑄𝑄𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡
� . 100 = �1 −
𝑐𝑐𝑝𝑝(𝑇𝑇4 − 𝑇𝑇1)
𝑐𝑐𝑝𝑝(𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇2)
� . 100
= �1 −
𝑇𝑇1 �
𝑇𝑇4
𝑇𝑇1
− 1�
𝑇𝑇2 �
𝑇𝑇3
𝑇𝑇2
− 1�
� . 100 
 
 
15 
Dois coeficientes bastante aplicados para avaliação da eficiência térmica 
da turbina a gás é a razão de pressão (rp) e a razão dos calores específicos (k) 
dos processos 1-2 e 3-4. 
η = �1 − 
1
𝑟𝑟𝑝𝑝
𝑘𝑘−1
𝑘𝑘
� . 100 
𝑟𝑟𝑝𝑝 =
𝑃𝑃2
𝑃𝑃1
=
𝑃𝑃3
𝑃𝑃4
=
𝑃𝑃𝑝𝑝á𝑏𝑏
𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐
 
Como os processos de compressão e descompressão são considerados 
isentrópicos, as igualdades a seguir também são verdadeiras: 
𝑟𝑟𝑝𝑝 =
𝑃𝑃2
𝑃𝑃1
= �
𝑇𝑇2
𝑇𝑇1
�
𝑘𝑘
𝑘𝑘−1
 
 
𝑟𝑟𝑝𝑝 =
𝑃𝑃3
𝑃𝑃4= �
𝑇𝑇3
𝑇𝑇4
�
𝑘𝑘
𝑘𝑘−1
 
Assim como no ciclo Rankine, o ciclo Brayton real diferencia-se do ciclo 
ideal devido a irreversibilidades no sistema. O tratamento do ciclo Brayton real 
você encontrará no Anexo 3. Como complemento, os componentes e o 
funcionamento da turbina a gás, exemplo de aplicação do ciclo Brayton, 
encontram-se no Anexo 4. 
 
NA PRÁTICA 
1ª aplicação: instalação de potência a vapor 
Exemplo 10-2, de Cengel e Boles (2013) 
Uma usina de potência a vapor opera segundo o ciclo mostrado no gráfico 
10 a seguir. 
 
 
 
16 
Gráfico 10 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
Se a eficiência isentrópica da turbina é 87% e a eficiência isentrópica da 
bomba é de 85%, determine: 
0. A eficiência térmica do ciclo. 
1. A potência líquida da usina para um fluxo de massa de 15 kg/s. 
Resolução 
Algumas hipóteses necessitam ser consideradas para a resolução deste 
exercício: 
• A instalação opera e regime permanente. 
• As variações de energia cinética e potencial são desprezíveis. 
As temperaturas e pressões do vapor em diversos pontos estão indicados 
na figura. Ao avaliar o diagrama T-S, verifica-se que a usina opera no ciclo 
Rankine real. 
1. A eficiência térmica de um ciclo é a razão entre o trabalho líquido e o 
consumo de calor. A eficiência isentrópica da turbina e da bomba 
relaciona o trabalho gerado ou consumido no ciclo ideal (com subscrito s) 
com a condição real. 
 
 
17 
Para o trabalho consumido na bomba utiliza-se a equação a seguir, 
retirando o valor do volume específico no ponto 1 (v1) da tabela de propriedades 
termodinâmicas da água saturada (condição ideal do ciclo Rankine). 
𝑤𝑤𝑏𝑏 =
𝑤𝑤𝑏𝑏,𝑝𝑝
η
=
𝑣𝑣1(𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1)
η
 
O que irá definir a condição ideal nesta situação é a pressão do ponto 1 
(9 kPa). Na tabela, não há condição com pressão exatamente igual a 9 kPa, por 
isso, é necessário fazer uma interpolação entre uma condição de pressão maior 
e outra de pressão menor. Nesse caso, escolheram-se as linhas referentes às 
pressões de 7,3851 e 9,5953 kPa. É importante destacar que as temperaturas 
dessas condições de água saturada (40 e 45 oC) são maiores do que a condição 
real (38 oC). Isso significa que, na prática, a água encontra-se subresfriada, e 
não saturada, como definido no ciclo Rankine ideal. 
Considerando a condição de pressão menor como A e a condição de 
pressão maior como B, a obtenção de v1 por interpolação se dá por: 
𝑣𝑣1−𝑣𝑣𝐴𝐴
𝑃𝑃1−𝑃𝑃𝐴𝐴
=
𝑣𝑣𝐵𝐵−𝑣𝑣𝐴𝐴
𝑃𝑃𝐵𝐵−𝑃𝑃𝐴𝐴
 
𝑣𝑣1 − 0,001008
9− 7,3851 =
0,001010− 0,001008
9,5953− 7,3851 
𝑣𝑣1 − 0,001008
1,6149 =
0,000002
2,2102 
𝑣𝑣1 = 0,0010095 𝑚𝑚3/𝑘𝑘𝑘𝑘 
Tabela 3 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
 
 
18 
Calcula-se, então, o trabalho consumido na bomba: 
𝑤𝑤𝑏𝑏 =
𝑣𝑣1(𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1)
η
=
�0,0010095𝑚𝑚
3
𝑘𝑘𝑘𝑘� [(16000− 9)𝑘𝑘𝑃𝑃𝑘𝑘]
0,85 = 19,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
Em relação ao trabalho gerado na turbina, utilizamos a relação: 
 𝑤𝑤𝑡𝑡 = 𝑤𝑤𝑡𝑡,𝑝𝑝.η = η(ℎ5 − ℎ6𝑝𝑝) 
Ao avaliarmos a pressão e a temperatura do ponto 5, verificamos que o 
vapor se encontra superaquecido nesse ponto, por isso, sua entalpia (h5) 
necessita ser retirada de uma tabela de propriedades termodinâmicas para vapor 
superaquecido. Essa entalpia é lida na linha referente a temperatura de 600ºC 
da tabela para P = 15 MPa. 
Tabela 4 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
Em contrapartida, a condição ideal no ponto 6 (P=10kPa) apresenta uma 
mistura de líquido e vapor saturados, cuja proporção pode ser obtida pela regra 
da alavanca no diagrama T-S (80,45% de vapor). O cálculo da entalpia 
específica nesta condição (h6,s) é realizada por uma média ponderada entre a 
entalpia do líquido e a entalpia do vapor de acordo com a proporção obtida. 
 
 
 
 
19 
Tabela 5 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
h6,s=0,8045 x 2583,9 + 0,1955 x 191,81 = 2115,25 kJ/kg 
Com os valores das entalpias, tem-se, portanto: 
𝑤𝑤𝑡𝑡 = η(ℎ5 − ℎ6𝑝𝑝) = 0,87(3583,1− 2115,25) = 1277,0 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
Conforme demonstrado pela equação a seguir, faz-se necessária a 
obtenção das entalpias nas condições 3 e 4, para o cálculo do calor gerado na 
caldeira. 
𝑞𝑞𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡 = (ℎ4 − ℎ3) 
Ao avaliarmos a pressão e a temperatura do ponto 3, verificamos que a 
água se encontra no estado subresfriado. Entre as tabelas para água 
subresfriada, não há disponível a opção de P3 = 15,9 MPa, nem uma linha 
referente a T3 = 35ºC. Com isso, será necessário encontrar primeiro os valores 
das entalpias para as temperaturas de 20 (passo 1) e 40 oC (passo 2) 
para P = 15,9 MPa e, depois, calcular a entalpia para T = 35ºC (passo 3) nessa 
pressão. 
 
 
 
 
 
 
20 
Tabela 6 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
Passo 1: 
ℎ20𝑐𝑐𝑜𝑜−ℎ𝐴𝐴
𝑃𝑃3−𝑃𝑃𝐴𝐴
=
ℎ𝐵𝐵−ℎ𝐴𝐴
𝑃𝑃𝐵𝐵−𝑃𝑃𝐴𝐴
 
ℎ20𝑐𝑐𝑜𝑜 − 97,93
15,9 − 15 =
102,57− 97,93
20 − 15 
ℎ20𝑐𝑐𝑜𝑜 − 97,93
0,9 =
4,64
5 
ℎ20𝑐𝑐𝑜𝑜 = 98,76 𝐾𝐾𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
Passo 2: 
ℎ40𝑐𝑐𝑜𝑜−ℎ𝐴𝐴
𝑃𝑃3−𝑃𝑃𝐴𝐴
=
ℎ𝐵𝐵−ℎ𝐴𝐴
𝑃𝑃𝐵𝐵−𝑃𝑃𝐴𝐴
 
ℎ40𝑐𝑐𝑜𝑜 − 180,77
15,9 − 15 =
185,16− 180,77
20 − 15 
ℎ40𝑐𝑐𝑜𝑜 − 180,77
0,9 =
4,39
5 
ℎ40𝑐𝑐𝑜𝑜 = 181,56 𝐾𝐾𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
 
 
 
21 
Passo 3: 
ℎ35𝑐𝑐𝑜𝑜−ℎ𝐴𝐴
𝑇𝑇3−𝑇𝑇𝐴𝐴
=
ℎ40𝑐𝑐𝑜𝑜−ℎ𝐵𝐵
𝑇𝑇𝐵𝐵−𝑇𝑇𝐴𝐴
 
ℎ35𝑐𝑐𝑜𝑜 − 98,76
35 − 20 =
181,56− 98,76
40 − 20 
ℎ35𝑐𝑐𝑜𝑜 − 98,76
15 =
82,8
20 
ℎ35𝑐𝑐𝑜𝑜 = 160,86 𝐾𝐾𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
No ponto 4, o vapor encontra-se superaquecido e o levantamento de sua 
entalpia é realizado nas tabelas de vapor superaquecido, para P = 15 MPa e 
P = 17,5 MPa, da mesma forma que foi feito para o líquido subresfriado. Como 
a pressão é muito próxima a 15,0 MPa e a temperatura é a média de 600 e 650ºC, 
podemos simplificar esse cálculo para 15 MPa, sem erros significativos, como se 
segue: 
ℎ4 =
3712,1 + 3583,1
2 = 3647,6 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
Tabela 7 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
 
 
 
22 
Assim, o calor gerado na caldeira é igual a: 
𝑞𝑞𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡 = (ℎ4 − ℎ3) = (3647,6 − 160,86) = 3486,7 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
Finalmente, a eficiência do ciclo por ser calculada: 
η𝑇𝑇 =
𝑤𝑤𝑎𝑎𝑝𝑝𝑟𝑟
𝑞𝑞𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡
=
𝑤𝑤𝑡𝑡 − 𝑤𝑤𝑏𝑏
𝑞𝑞𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡
=
1277− 19
3486,7 = 0,361 𝑜𝑜𝑜𝑜 36,1% 
2. A potência produzida na usina é 
�̇�𝑊𝑎𝑎𝑝𝑝𝑟𝑟 = �̇�𝑚�𝑤𝑤𝑎𝑎𝑝𝑝𝑟𝑟� = �15
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑠𝑠 ��1258,0
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘𝑘𝑘� = 18,9𝑀𝑀𝑊𝑊 
2ª aplicação: instalação de potência a gás 
Um ciclo padrão de Brayton opera com uma razão de compressão de 10. 
O ar entra no compressor a 0,1 MPa e 20ºC com uma vazão em massa de 11 
kg/s. A temperatura na entrada da turbina de 1200K. Nessas condições, 
determine: (a) a eficiência térmica do ciclo; (b) a potência desenvolvida. 
Dado: cp do ar = 1,0035 KJ/kgK 
Resolução 
Os diagramas que descrevem o ciclo Brayton estão representados a 
seguir. 
Gráfico 11 
 
Fonte: Cengel; Boles, 2013. 
 
 
23 
1. Para o cálculo da eficiência térmica do ciclo usaremos a equação abaixo, 
uma vez que nos foi informada a sua razão de compressão (rp). 
η = �1 − 
1
𝑟𝑟𝑝𝑝
𝑘𝑘−1
𝑘𝑘
� . 100 
Como ar é o fluido de trabalho, temos k = 1,4. Assim: 
η = �1 − 
1
10
1,4−1
1,4
� . 100 = 48,2% 
2. Para o cálculo da potência desenvolvida (gerada), precisamos conhecer 
a energia recebida (𝒒𝒒𝒆𝒆𝒄𝒄𝒆𝒆) e cedida (𝒒𝒒𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔) pelo ar, uma vez que: 
�̇�𝑊 = �̇�𝑄𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝 − �̇�𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 
O fluido recebe energia para aumentar sua temperatura de T2, na saída 
do compressor, para T3, na entrada da turbina. T3 foi fornecido do problema como 
1200K e T2 é calculado por: 
𝑃𝑃2
𝑃𝑃1
= �
𝑇𝑇2
𝑇𝑇1
�
𝑘𝑘
𝑘𝑘−1
 
𝑇𝑇2 = �
𝑃𝑃2
𝑃𝑃1
�
𝑘𝑘−1
𝑘𝑘
.𝑇𝑇1 = 10
0,4
1,4. 293 = 565,7𝐾𝐾 
A energia que o fluido recebe é, portanto: 
𝑞𝑞𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑝𝑝(𝑇𝑇3 − 𝑇𝑇2) = 1,0035. (1200− 565,7) = 636,5 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
Para o cálculo da energia cedida pelo fluido, necessita-se conhecer as 
temperaturas de saída da turbina (T4) e de entrada do compressor (T1). 
Conforme enunciado,T1 = 273 + 20 = 293K. Uma vez que as trocas de calor 
ocorrem à pressão constante, T4 pode ser obtido por: 
𝑇𝑇3
𝑇𝑇4
=
𝑇𝑇2
𝑇𝑇1
 
 
 
24 
𝑇𝑇4 =
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
 𝑇𝑇3 =
293
565,7 1200 = 621,5𝐾𝐾 
Assim: 
𝑞𝑞𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑝𝑝(𝑇𝑇4 − 𝑇𝑇1) = 1,0035(293− 621,5) = −329,6𝐾𝐾𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘 
O sinal negativo indica a liberação de calor. Ao calcular a potência 
fornecida com base no do módulo das energias calculadas: 
�̇�𝑊 = �̇�𝑄𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡 − �̇�𝑄𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = �̇�𝑚(𝑞𝑞𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡 − 𝑞𝑞𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) = 11(636,5− 329,6) = 3,4𝑀𝑀𝑊𝑊 
 
SÍNTESE 
Nesta aula, estudamos os ciclos termodinâmicos ideais e reais, que 
representam os sistemas de potência a vapor (Rankine) e a gás (Brayton). 
Estudamos também as respectivas turbinas, tanto em relação ao aspecto 
construtivo quanto às condições operacionais. 
 
REFERÊNCIAS 
AFONSO, C. Termodinâmica para engenharia. Porto: FEUP Edições, 2012. 
CENGEL, Y. A.; BOLES, M. A. Termodinâmica. 7. ed. Porto Alegre: McGraw 
Hill Brasil, 2013. 
GARRIDO, S. G. Operación y mantenimiento de centrales de ciclo 
combinado. Madri: [s.n.], 2012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Ana Carolina Tedeschi Gomes Abrantes 
 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá, caro aluno e cara aluna. Chegamos à nossa última aula. Tem sido 
uma jornada de aprendizado pelo mundo da mecânica dos fluidos, que se 
encerra ao fim desta aula. Estudaremos os temas de análise dimensional e 
passaremos pelo mundo da perda de carga, no qual incluiremos o atrito na 
equação de Bernoulli. 
Então, não vamos mais perder tempo. Vamos começar! 
CONTEXTUALIZANDO 
Na aula passada, resolvemos um exemplo que usou a figura 1 a seguir. 
Figura 1 
 
Nesse exemplo, calculamos uma velocidade que vinha de uma pressão. 
A pergunta que não respondemos quando estávamos usando a equação de 
Bernoulli na forma da aula passada é: “a que distância estão os pontos 1 e 2?”. 
Na forma da equação de Bernoulli, estudada até o momento, isso não é 
considerado. Assim, é indiferente se os pontos 1 e 2 estão a 10 cm ou a 5 km de 
distância. E isso não faz sentido. Nesta aula, vamos complementar essa 
equação para torna-la mais aplicável. 
 
TEMA 1 – ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA 
Alguns parâmetros não podem ser medidos em escala real, mas são 
estimados, seja por tamanho ou por impossibilidade. Por exemplo: 
 
 
3 
• Qual é a velocidade de um dinossauro (há uma correlação entre a 
velocidade do animal e a distância de seu joelho ao calcanhar)? 
• Se eu colocar um modelo de carro em uma escala de 1:30 em um túnel 
de vento a 30 m/s e medir uma força de arrasto de 2N, qual é a força que 
o carro sofre? 
Essas perguntas se resumem a criar referenciais, que são criados por 
meio de uma técnica conhecida como análise dimensional. Essa técnica 
permite, por exemplo, desenvolver números adimensionais e relações funcionais 
quando não se tem uma equação. 
Por exemplo, o cálculo da força de arrasto ao redor de uma esfera. 
Pode-se escrever que a força de arrasto F depende do diâmetro da esfera D, da 
velocidade do fluido V, da viscosidade µ e da densidade ρ. Assim: 
𝐹𝐹 = 𝑓𝑓(𝜌𝜌,𝑉𝑉,𝐷𝐷, 𝜇𝜇) 
Por uma técnica conhecida como Teorema Pi de Buckingham, pode-se 
estabelecer a seguinte relação: 
𝐹𝐹
𝜌𝜌𝑉𝑉2𝐷𝐷2 = 𝑓𝑓 �
𝜇𝜇
𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷� 
Essa relação é composta de adimensionais que se preservam em 
qualquer escala do escoamento. Por isso, a técnica de análise dimensional 
também é utilizada para o projeto de protótipos em escala. A esse procedimento 
de fazer estudos em escala de forma correta, chamamos semelhança em 
escoamentos e estudos em escala. Este será o assunto que vamos estudar a 
seguir. 
Semelhança em escoamentos e estudos em escala 
Para que se possa utilizar modelos em escala, deve-se respeitar as 
seguintes condições: 
• Geometrias semelhantes. 
• Escoamentos semelhantes (velocidades no mesmo sentido, variando 
apenas a magnitude). 
 
 
4 
• Dinamicamente semelhantes (forças no mesmo sentido, variando apenas 
a magnitude). 
Nessas condições, os grupos adimensionais calculados pela técnica de 
análise dimensional são mantidos constantes para um determinado estudo em 
escala, ou seja, para o número de Reynolds: 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒 = 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚 
Ou, como o número de Reynolds é definido por 𝝆𝝆𝝆𝝆𝝆𝝆/𝝁𝝁: 
�
𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷
𝜇𝜇 �𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒
= �
𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷
𝜇𝜇 �𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚
 
Vamos fazer uma aplicação. 
Exemplo: um planador deve voar em uma velocidade de 4 m/s no ar. 
Um modelo em escala 1:20 é fabricado e testado em um túnel de vento a fim de 
determinar o arrasto. Se a força de arrasto sobre o modelo for 250N a 80m/s, 
qual será a força real que a aeronave sofre? O procedimento correto foi seguido? 
Primeiramente, vamos lembrar: os adimensionais, que desenvolvemos no 
exemplo anterior, podem ser usados em qualquer escala e, para um 
procedimento de mudança de escala correto, eles devem ter o mesmo valor. 
Assim: 
�
𝐹𝐹
𝜌𝜌𝑉𝑉2𝐷𝐷2�𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒
= �
𝐹𝐹
𝜌𝜌𝑉𝑉2𝐷𝐷2�𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚
 
Substituindo os valores, podemos cancelar as densidades e considerar 
que, devido a escala ser 1:20, podemos substituir o diâmetro real por 20 vezes 
o diâmetro em escala. Assim: 
250
802𝐷𝐷𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒2
=
𝐹𝐹𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚
42202𝐷𝐷𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒2
 
Agora, podemos cancelar os diâmetros em escala. 
𝐹𝐹𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚 ∙ 802 = 250 ∙ 42 ∙ 202 
𝐹𝐹𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚 = 250𝑁𝑁 
 
 
5 
O procedimento foi correto? Para isso, vamos verificar se o número de 
Reynolds –o outro adimensional que determinamos – pode ser aplicado. 
�
𝜇𝜇
𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷�𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒
= �
𝜇𝜇
𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷�𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚
 
Ou, para lembrar do número de Reynolds, que é definido como 𝝆𝝆𝝆𝝆𝝆𝝆/𝝁𝝁: 
�
𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷
𝜇𝜇 �𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒
= �
𝜌𝜌𝑉𝑉𝐷𝐷
𝜇𝜇 �𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚
 
Como as duas aeronaves estão no mesmo fluido, podemos cancelar a 
densidade e a viscosidade. Assim: 
(𝑉𝑉𝐷𝐷)𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒 = (𝑉𝑉𝐷𝐷)𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚 
80 = 20𝑉𝑉𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚 
𝑉𝑉𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑚𝑚 = 4𝑚𝑚/𝑠𝑠 
O procedimento correto foi seguido. Os dois adimensionais foram 
corretamente mantidos constantes. 
TEMA 2 – PERDA DE CARGA 
Quando deduzimos a equação de Bernoulli, chegamos a uma conclusão 
que não era muito intuitiva. Uma tubulação pode ter, por exemplo, 10 cm ou 1 km 
de comprimento, sem fazer diferença no escoamento. Isso ocorre porque a 
equação de Bernoulli não considera o atrito. Agora, vamos modifica-la para 
incluir o atrito e deixa-la na forma mais condizente com as aplicações de 
engenharia que temos. 
Imagine: a equação de Bernoulli pode ser vista como uma equação de 
altura. Mas a unidade da equação de Bernoulli é m2/s2. Porém, dividindo todos 
os termos pela gravidade, tem-se uma nova equação cuja unidade é metros: 
�
𝑃𝑃
𝜌𝜌𝑔𝑔 +
𝑉𝑉2
2𝑔𝑔 + 𝑧𝑧� = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 
Ou usando o peso específico 𝜸𝜸 = 𝝆𝝆𝝆𝝆, em vez da densidade: 
�
𝑃𝑃
𝛾𝛾 +
𝑉𝑉2
2𝑔𝑔 + 𝑧𝑧� = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒 
 
 
6 
A esses três termos chamamos, respectivamente, altura de pressão, 
altura dinâmica e altura de elevação. 
Agora, imagine que podemos medir a pressão ao longo de todo um 
escoamento usando manômetros de coluna, no qual cada pressão seria 
convertida em uma altura de pressão. 
Se ligássemos todos os pontos das alturas dos manômetros e 
somássemos essa altura de pressão à altura de elevação, teríamos uma linha 
que decai ao longo do escoamento. Chamamos essa linha de piezométrica, 
como na figura 2 a seguir. 
Figura 2 
 
 
Se à linha piezométrica somássemos a altura dinâmica, teríamos outra 
linha chamada linha de carga, a qual também decresce ao longo do escoamento. 
Chamamos o fenômeno que causa esse decréscimo nas duas linhas de perda 
de carga. Veja na figura