01 - Metodos Numéricos - Unidade 1

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MÉTODOS NUMÉRICOS
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Unidade 1: Introdução ao método dos elementos finitos
1.1 Definições básicas
1.2 Histórico
1.3 Aplicações na Engenharia
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Introdução
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Modelagem é a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico.
Um modelo matemático é uma representação conceitual; uma idealização da situação real.
Introdução
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Resolução é a fase de obtenção da solução através da aplicação de métodos numéricos (este é o objetivo de estudo do Cálculo Numérico)
Os métodos numéricos são aplicações de algoritmos pelas quais é possível formular e resolver problemas matemáticos usando operações aritméticas menos complexas.
Introdução
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Introdução
Cálculo Numérico é a obtenção da solução de um problema pela aplicação de método numérico; a solução do problema será caracterizada, então, por um conjunto de números, exatos ou aproximados.
Método Numérico é um algoritmo composto por um número finito de operações envolvendo apenas números (operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a uma tabela de valores, consulta a um gráfico, arbitramento de um valor, etc.).
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1.1 Definições básicas
Os métodos numéricos são técnicas pelas quais os problemas matemáticos são formulados de modo que possam ser resolvidos com operações aritméticas.
Aritmética consiste no ramo da Matemática que estuda as operações numéricas, ou seja, os cálculos de adição, subtração, divisão, multiplicação, etc.
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Embora existam muitos tipos de métodos numéricos, eles têm uma característica em comum: invariavelmente envolvem um grande número de cálculos aritméticos tediosos. 
Não é nada surpreendente que, com o desenvolvimento de computadores digitais rápidos e eficientes, o papel dos métodos numéricos na resolução de problemas de engenharia tenha aumentado drasticamente nos últimos anos.
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1.2 Histórico
Muitos fenômenos em engenharia e ciências podem ser descritos em termos de equações diferenciais parciais.
 
Em geral, solucionar essas equações por meio de métodos analíticos clássicos para geometrias arbitrárias é quase impossível. 
O método de elementos finitos (MEF) é uma aproximação numérica com a qual essas equações diferenciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado. 
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1.2 Histórico
Muitos fenômenos em engenharia e ciências podem ser descritos em termos de equações diferenciais parciais.
A derivada parcial é basicamente a derivada de uma função com diversas variáveis, em que apenas uma das variáveis é mantida como variável, e as outras variáveis são mantidas como constantes.
 
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Em geral, solucionar essas equações por meio de métodos analíticos clássicos para geometrias arbitrárias é quase impossível. 
O método de elementos finitos (MEF) é uma aproximação numérica com a qual essas equações diferenciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado.
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Do ponto de vista da engenharia, o MEF é um método para resolver problemas de engenharia, tais como análise de tensões, transferência de calor, escoamento de fluidos e eletromagnetismo, por simulações de computador.
Milhões de engenheiros e cientistas em todo o mundo usam o MEF para prever o comportamento estrutural, mecânico, técnico, elétrico e químico de sistemas, tanto na etapa de projeto quanto na de análise de desempenho. 
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Sua popularidade pode ser atribuída ao fato de que mais de US$ 1 bilhão é gasto por ano nos Estados Unidos em programas de computador sobre MEF e em tempo computacional. 
Em 1991, uma lista de referências bibliográficas (Noor, 1991) foi publicada com cerca de 400 livros sobre elementos finitos escritos em inglês e outros idiomas. 
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Uma pesquisa feita na internet em 2006 para a frase "elementos finitos", usando o programa Google, encontrou mais de 14 milhões de páginas de resultados. 
Mackerle (http://ohio.ikp.liu.se/fe)relaciona 578 livros de elementos finitos publicados entre 1967 e 2005. 
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1.3 APLICAÇÕES NA ENGENHARIA CIVIL 
A engenharia civil atua em áreas de diversos segmentos, sejam elas a estrutural, geotécnicas, de transporte (estradas e rodagem), ambiental e recursos hídricos, entre outros. 
As manipulações das técnicas numéricas têm relevância nas aplicações práticas, pois na engenharia civil encontramos problemas que nem sempre podem ser solucionados por técnicas analíticas.
Técnicas analíticas, são baseadas em soluções matemáticas obtidas por meio de equações e fórmulas.
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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS(MEF)
 (em inglês: Finite Element Method - FEM ) 
É um procedimento numérico para determinar soluções aproximadas de problemas de valores sobre o contorno de equações diferenciais.
 O MEF subdivide o domínio de um problema em partes menores, denominadas elementos finitos.
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O método dos elementos finitos quando aplicado à análise de estruturas, em sua forma usual, conduz a sistemas de equações que, no caso não-linear, exigem algoritmos iterativos que realizam em essência uma linearização a cada passo de carga. 
Equações não lineares, são aquelas onde os polinômios não são de grau um, resultando em infinitas variaveis, ou seja, sistema de equações não lineares dificilmente resultam em apenas um resultado para y em função de x. 
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Algoritmo é uma sequência finita de ações executáveis que visam obter uma solução para um determinado tipo de problema.
x/d < 0,45
Limites para a 
posição da linha 
neutra
Sim
OK!
Não
Diminuir X
 X - 1
	X/d	d	X
	0,51	27	14
	0,48	27	13
	0,44	27	12
	Fim		
Exemplo simplicado!
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Um método iterativo é um procedimento que gera uma sequência de soluções aproximadas que vão melhorando conforme iterações são executadas, e resolvem uma classe de problemas estabelecida.
Já Dias (2003), define que o MEF (Método dos Elementos Finitos), constitui-se no método numérico mais utilizado na análise estrutural, visto que é capaz de ser aplicado aos diversos tipos de estruturas, apresentando resultados satisfatórios. 
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Em suma, o método é baseado no conceito de discretização.
Discretizar é dividir ou particionar um todo em partes com menor complexidade, com a finalidade de facilitar cálculos. 
Na área de estatística e matemática o termo é utilizado para expressar a individualização (discretização) de uma unidade contínua em unidades individuais (discretas).
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A ideia consiste em transformar um problema complexo na soma de diversos problemas simples.
Na Engenharia Civil é comum no estudo de análise de estruturas delimitar-se à vigas, pórticos, treliças e grelhas.
As estruturas deste tipo são designadas como reticuladas por serem constituídas por barras prismáticas cuja seção transversal apresenta dimensões muito inferior ao comprimento do seu próprio eixo. 
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E é nesse tipo de estrutura que surgem conceitos comuns as generalidades das estruturas, como equilíbrio, compatibilidade, tensão, deformação e relação entre tensão e deformação.
O Ftool é uma das ferramentas de análise estrutural bidimensional favoritas dos estudantes de Engenharia Civil e Engenheiros Civis de países de expressão portuguesa, devido à sua simplicidade e poder de cálculo.
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Já em estruturas não reticuladas, de modo geral, são estudadas por meios contínuos, como paredes, lajes, cascas e sólidos, onde inicialmente os elementos finitos mais comuns eram os triangulares e os tetraédricos, passando-se mais tarde a dar preferência aos quadriláteros e aos hexaedros. 
Nos casos mais simples, podemos citar o Método dos deslocamentos, já nos mais complexos, estão as estruturas que possuem grandes deslocamentos ou que tem comportamento dinâmico. 
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Deste modo vemos que a aplicabilidade do MEF nos dá a segurança no diagnóstico de problemas de análise estrutural por meio da obtenção de deslocamentos, deformações e tensões, representando diversos cenários.
 Autodesk® RobotTM Structural Analysis, é software de engenharia de estruturas, é versátil o suficiente para cobrir a analise de elementos
finitos do mais simples ao mais complexo pórtico, projetos de concreto armado e de aço estrutural.
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SAP2000 - Software para Análise Estrutural e Dinâmica, Linear e Não-Linear por Elementos Finitos
O nome SAP tem sido sinônimo de estado da arte de métodos analíticos, desde o seu surgimento, há mais de 30 anos.
Com uma interface, sofisticada, intuitiva e versátil proporcionada por um sistema de análise estrutural inigualável e ferramentas de auxílio ao projeto, para engenheiros que trabalham com infraestrutura de transporte, obras industriais, públicas, instalações ginásios de esportes, para geração de energia, etc.
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Debate sobre aplicação dos softwares na Engenharia Civil e Apresentação do Software Ftool
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