Resumo de Geometria Analítica

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Geometria Analítica
1
Distância entre 
Dois pontos 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Geometria analítica é parte da matemática que associa a geometria à álgebra e estuda os resultados 
dessa associação.
Distância entre dois Pontos
A medida da distância entre dois pontos, que abrange a utilização de réguas e escalas, na geometria 
analítica, se sintetiza a uma fórmula facilmente dedutível:
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y
y2
x2
C
B (x2, y2)
A (x1, y1)y1
x1
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
O triangulo ABC é um triângulo retângulo, ou seja, vale o teorema Pitágoras, em que a distância AB é a 
hipotenusa, assim:
 AB = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Equação Geral da Reta
Sabe-se que a distância (d) entre dois pontos dados: A (xA; yA) e B (xB; yB) – em um plano cartesiano pode 
ser calculada de acordo com a fórmula:
 d = √(xA - xB)2 + (yA - yB)2
Então, para conhecer as coordenadas de um ponto P (x; y) equidistante de dois pontos A (-5) e B (4; -2), 
deve-se considerar dAP = dPB:
 √(xA - x)2 + (yA - y)2 = √(x - xB)2 + (y - yB)2
Elevando ao quadrado os dois membros da equação: (-3 - x)2 + (5 - y)2 = (x - 4)2 + (y + 2)2 
Desenvolvendo os quadrados: 9 + 6x + x2 + 25 - 10y + y2 = x2 - 8x + 16 + y2 + 4y + 4 
Reduzindo os termos semelhantes:
14x - 14 y + 14 = 0
Simplificando: 
x - y + 1 = 0
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Veja-se que significado tem essa equação, atribuindo valores arbitrários a x e calculando y:
x y
-4 -3
-3 -2
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Marcados no plano cartesiano, os pares x e y encontrados representam um reta.
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Isso significa que não existe apenas um ponto P equidistante dos pontos A e B, mas infinitos, compondo a 
mediatriz do segmento AB, que é uma reta. 
Assim, que a reta é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados, e sua equação 
geral pode ser expressa por: 
 ax + by + c = 0 
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1 0,1
-2,-1
-3,-2
-4,-3
1,2
2,3
3,4
4,5
1 2 3 4 5
0
2
3
4
5
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
No caso particular da reta que calculou-se aqui, x - y + 1 = 0, seus coeficientes são: 
 a = 1
 b = -1
 c = 1
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Equação Reduzida da Reta
Coeficiente Linear
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – COEFICIENTE LINEAR
Partindo da equação geral da reta: ax + by + c = 0
Vamos pegar um caso particular: a reta de equação x - y + 1 = 0. Isolando a variável y, encontramos uma 
equação reduzida: y = x + 1 
Veja-se o que ocorre com essa reta quando varia seu termo independente.
y = x + 1 (____) y = x ( ___ ) y = x - 1 (......) 
x y x y x y
-9 -8 --9 -9 -9 -10
-8 -7 -8 -8 -8 -9
-7 -6 -7 -7 -7 -8
-6 -5 -6 -6 -6 -7
-5 -4 -5 -5 -5 -6
-4 -3 -4 -4 -4 -5
-3 -2 -3 -3 -3 -4
-2 -1 -2 -2 -2 -3
-1 0 -1 -1 -1 -2
0 1 0 0 0 -1
1 2 1 1 1 0
2 3 2 2 2 1
3 4 3 3 3 2
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EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – COEFICIENTE LINEAR
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4 5 4 4 4 3
5 6 5 5 5 4
6 7 6 6 6 5
7 8 7 7 7 6
8 9 8 8 8 7
9 10 9 9 9 8
E os gráficos correspondentes a cada curva:
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
1 2 3 4 5
0
2
3
4
5
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EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – COEFICIENTE LINEAR
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A equação y = x representa a bissetriz dos quadrantes ímpares (b13), pois seus pontos têm coordenadas iguais.
A equação y = x + 1 é muito similar com a anterior, mas o acréscimo de uma unidade positiva ao segundo 
membro fez com que a reta se deslocasse para cima (no eixo vertical y). Analogamente, o acréscimo de uma 
unidade negativa ao segundo membro fez com que a reta se deslocasse para baixo.
Nesses casos, as retas conservaram sua inclinação - as três são paralelas -, mas sofreram deslocamentos, de 
acordo com o sinal do termo independente, que é como se chama o acréscimo feito no segundo membro.
Por causa desse deslocamento, o termo independente da equação de uma reta chama-se coeficiente linear, 
porque altera apenas sua posição no plano cartesiano, sem interferir em sua inclinação.
Isso vale para qualquer número real não nulo:
Positivo, a reta “sobe” no eixo y; 
Negativo, ela “desce”.
Deste modo, se a equação de uma reta tiver a forma ax + by = 0, ou seja, se seu termo independente for nulo, 
ela sempre passará pelo ponto O (0; 0), a origem.
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Equação Reduzida da Reta
Coeficiente Angular
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – COEFICIENTE ANGULAR
 y = x
Vejamos o que acontece com essa reta quando varia o coeficiente do termo em x.
y = x + 1 (____) y = x (____) y = 1/2x(____) 
x y x y x y
-6 -12 --6 -6 -6 -3
-5 -10 -5 -6 -5 -5/2
-4 -8 -4 -4 -4 -2
-3 -6 -3 -3 -3 -3/2
-2 -4 -2 -3 -2 -1
-1 -2 -1 -1 -1 -1/2
0 0 0 0 -0 -1
1 2 1 1 1 -1/2
2 4 2 2 2 -1
3 6 3 3 3 3/2
4 8 4 4 4 2
5 10 5 5 5 5/2
6 12 6 6 6 3
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EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – COEFICIENTE ANGULAR
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E os gráficos correspondentes a cada curva:
A equação y = x representa a bissetriz dos quadrantes ímpares (b13), pois seus pontos têm coordenadas iguais. 
Na equação y = 2x, a multiplicação do termo em x por um coeficiente maior do que 1 fez a reta “girar” no 
sentido horário; e, na equação y = 1/2x, a multiplicação do termo em x por um número positivo menor do que 1, 
fez com que ela “girasse” no sentido anti-horário. 
Em qualquer caso, a reta sofre uma inclinação. Por isso, o coeficiente de x na equação reduzida de uma reta se 
chama coeficiente angular, pois altera seu ângulo de inclinação (considerado, no sentido anti-horário, a partir 
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
1 2 3 4 5
0
2
3
4
5
6
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – COEFICIENTE ANGULAR
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do eixo horizontal [Ox]). 
E o que acontecerá com a inclinação de uma reta se seu coeficiente angular for negativo? 
Para saber, trace num mesmo plano cartesiano as retas representadas pelas duas equações a seguir:
y = x y = -x
x y x y
-5 -5 -5 5
-4 -4 -4 4
-3 -3 -3 3
-2 -2 -2 2
-1 -1 -1 1
0 0 0 0
1 1 1 -1
2 2 2 -2
3 3 3 -3
4 4 4 -4
5 5 5 -5
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – COEFICIENTE ANGULAR
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A reta de equação y = x é a bissetriz dos quadrantes ímpares (b13), e a reta de equação y = - x é a bissetriz dos 
quadrantes pares (b24). A primeira é crescente; e a segunda, decrescente. 
E isso acontece com todas as retas que não são verticais ou horizontais: se seu coeficiente angular é positivo, 
elas são crescentes; se é negativo, são decrescentes.
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Parábola e Hipérbole
PARÁBOLA E HIPÉRBOLE
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Parábola, hipérbole e elipse são as chamadas curvas cônicas. Elas recebem esse nome porque resultam 
de cortes em um cone. 
Ao cortar um cone na horizontal ou no sentido oblíquo obtemos um círculo ou uma elipse. Veja: 
Vista
Vista
Vista
Vista
Vista do corte: 
círculo
Vista do corte: 
parábola
Vista do corte: 
hipérbole
Vista do corte: 
elipse
Cone
Cone
Cone
Cone
Cone
Figura 1 - Cortes de um cone que 
resultam em círculo e elipse. Figura 2 - Cortes de um cone que 
resultam em parábola e hipérbole.
PARÁBOLA E HIPÉRBOLE
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Veja no texto “Elipse” como as equações reduzidas dessas duas curvas se equipa-
ram às equações da elipse:
Elipse: y2/a2 + x2/b2 =1
Hipérbole: y2/c2 + x2/d2 =1
Parábola: y = kx2
Observação: os centros da hipérbole e da elipse possuem coordenadas (0,0), sendo 
que a parábola tem o seu vértice nesse ponto, enquanto a, b, c, d e k são constantes 
correspondentes a cada curva.
Figura 3 - Parábola: y - x2 = 0
Figura 4 - Hipérbole: y2 - x2 = 1
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u34.jhtm
5
Posição Relativa
POSIÇÃO RELATIVA
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Dado um ponto de coordenadas (xp, yp) de um ponto P, a posição desse ponto em relação às cônicas será:
a) Se o ponto é externo
b) Para o ponto interno
P
P
yP - kx2P > 0
ponto externo
yP - kx2P < 0
ponto externo
POSIÇÃO RELATIVA
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Posição relativa entre um ponto e uma elipse:
a) Se o ponto é externob) Para o ponto P interno
P
P
y2P - x2P > 1
c2 d2
ponto externo
y2P - x2P < 1
c2 d2
ponto externo
POSIÇÃO RELATIVA
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Posição relativa entre um ponto e uma hipérbole:
a) Se o ponto é externo
b) Para o ponto P interno
y2 - x2 > 1
c2 d2
ponto externo
y2 - x2 < 1
c2 d2
ponto interno
P
P
y2 - x2 = 1
y2 - x2 = 1
POSIÇÃO RELATIVA
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Estudando poliedros convexos
Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:
Cubo 
Vértices: 8 
Arestas: 12 
Faces: 6
Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe 
o número de arestas.
Octaedro 
Vértices: 6 
Arestas: 12 
Faces: 8 
Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas.
POSIÇÃO RELATIVA
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Pirâmide quadrangular 
Vértices: 5 
Arestas: 8 
Faces: 5 
Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?
O que aconteceu em todos os casos?
O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!
Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:
 V + F = 2 + A
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Geometria Analítica